精品解析：广东省江门市2023-2024学年高二上学期调研考试数学试题（一）

江门市2023年普通高中高二调研测试（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36 【答案】A 【解析】 【分析】根据图（1）及分层抽样可得样本容量及抽取的四居室户主人数，再结合图（2）可得抽取的户主对四居室满意的人数. 【详解】由图（1）得该小区户主总人数为人， 所以样本容量为人，其中四居室户主有人， 由图（2）得抽取的户主中对四居室满意的有人， 故选：A. 2. 已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式求出的中点坐标即为圆心，再根据两点间的距离公式求出的长即直径，即可求得圆的标准方程. 【详解】由，，知的中点坐标为， 且， 则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为， 故选：D 3. 直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ） A. ，2 B. ， C. ， D. ，2 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解. 【详解】直线化成斜截式， 可知直线的斜率，故倾斜角为，直线在y轴上的截距为， 故选：C 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的性质，结合共面向量的性质逐一判断即可. 【详解】假设，，是共面向量，则存在 使，因为构成空间的一个基底，所以有，因此假设成立，故选项A不符合题意； 假设，，是共面向量，则存在 使，因为构成空间的一个基底，所以有，因此假设成立，故选项B不符合题意； 假设，，是共面向量，则存在 使，即， 因为构成空间的一个基底，所以上式向量式无实数解，因此假设不成立，故选项C符合题意； 假设，，是共面向量，则存在 使，因为构成空间的一个基底， 所以有，因此假设成立，故选项D不符合题意， 故选：C 5. 已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（ ） A. 16 B. 20 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值. 【详解】如图所示，抛物线的准线与轴相交于点，作于，过作于， 因为，所以，设， 在中，， 显然，又由抛物线的定义得， 所以，解得：，即. 故选：A. 6. 直线（不同时为0），则下列选项正确的是（ ） A. 无论取任何值，直线都存在斜率 B. 当，且时，直线只与轴相交 C. 当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D. 当，且，且时，直线轴所在直线 【答案】D 【解析】 【分析】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误； 对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误； 对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误； 对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确. 故选：D 7. 设，则AB的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得点坐标，利用两点间距离公式计算得. 【详解】因为中点， 所以 故选：C． 8. 已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，，两点在上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得直线的方程为，直线的方程为，通过联立方程组可得、同．根据，即化简即可求解． 【详解】如图所示， 四边形为平行四边形，，则， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，解得：． 同理联立，化为：． 解得． 因为，即， 所以． 化简为：． 所以椭圆的离心率． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的每个得2分. 9. 已知曲线方程，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C的渐近线方程为 B. 若，则曲线C的离心率为 C. “”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件 D. “”是“曲线方程C表示椭圆”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】通过的值，依据双曲线的渐近线方程判断A；由双曲线的离心率可判断B；由双曲线的标准方程可判断C；由椭圆的标准方程判断D. 【详解】对于A，方程表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为，故A错误； 对于B，方程，表示焦点在y轴上的双曲线，则， 所以离心率为，故B正确； 对于C，方程表示双曲线，则，解得或，故“”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，方程表示椭圆，则，解得且，故“”是“曲线方程C表示椭圆”的必要不充分条件，故D错误； 故选：BC 10. 若曲线C上存在点M，使M到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线是“好曲线”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可知M轨迹为：，即与其有公共点的曲线都是“好曲线”，依次判断各选项，即可得到结论. 【详解】由题意知：M到平面内两点，距离之差的绝对值为8， 由双曲线定义知，M的轨迹以为焦点的双曲线且，所以，方程为：， ∴“好曲线”一定与有公共点， 对于A，直线过点，符合题意，故A正确； 对于B，方程代入，可得，其中，方程无解，不符合题意，故B错误； 对于C，椭圆的右顶点为，符合题意，故C正确； 对于D，圆的圆心为，半径，与双曲线没有公共点，不符合题意，故D错误； 故选：AC 11. 在长方体中，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若直线与直线所成的角为，则 B. 若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则 C. 若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则 D. 若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A根据长方体的性质找到直线与直线CD所成角的平面角即可；B构建空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求，即可求M坐标，进而确定线段长；C、D将长方体补为以为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线m、平面β，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值. 【详解】解：对于A：如下图，直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，则，故A正确； 对于B：构建如下图示的坐标系，过的直线与长方体所有棱所成的角相等，与面交于且，又， 则 ，故，则，故B正确； 对于C：如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m为以为棱长的正方体的体对角线，故，故C正确； 对于D：如下图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为，只需面β与以为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面，故，则，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的方程为：，进而得，再解方程即可得答案. 【详解】解：因为双曲线的焦点在轴上， 所以，设双曲线的方程为：， 因为渐近线方程为，虚轴长为， 所以，解得， 所以，双曲线的标准方程为： 故答案为： 13. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得点在坐标平面Oxy内的射影B，再利用两点间的距离求解. 【详解】因为点在坐标平面Oxy内的射影是， 所以. 故答案为：. 14. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面s千米，远地点B（离地面最远的点）距地面t千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则下列说法正确的是______（填写序号）． ①； ②； ③； ④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合题意和给定的椭圆的图形，推得之间的关系，逐项判定各选项，即可求解. 【详解】由题意，近地点A距地面千米，远地点距地面千米， 可得，，即，，故①②正确； 由，可得，故③不正确； 又由，故④正确. 故答案为：①②④ 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别是点，，． （1）求边AC上的高所在直线的方程； （2）求中边AC上的高的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据两点坐标求斜率公式求出，由垂直直线的斜率之积为-1求出AC边上的高所在直线斜率，结合直线的点斜式方程即可求解； (2)由(1)，利用直线的点斜式方程求出直线AC方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解. 【小问1详解】 ∵直线AC的斜率为， 设AC边上的高所在直线斜率为k，由，则， 所以AC边上的高所在直线方程为， 即； 【小问2详解】 由(1)得直线AC的方程为，即， 设点到直线AC的距离为h，则， 故边AC上的高为． 16. 如图，四面体中，，，，M，N分别是棱，的中点，设，， （1）用表示向量； （2）求，所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接通过向量的线性运算表示出即可； （2）先计算出，再求出和，按照夹角公式即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，，，， ，， 由（1）知，， ， ， 又，，故，所成角的余弦值为. 17. 已知O是坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l与C交于A，B两点． （1）证明：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； （2）求面积S的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】(1)设，，取AB的中点M，根据抛物线的定义表示出点M到准线的距离，由即可证明； (2)若直线l斜率不存在，易求得；若直线l的斜率存在，设其方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和完全平方公式计算即可求出. 【小问1详解】 由题意知，抛物线的焦点，且x非负， 设，，取AB的中点M， 则直径AB的中点，即圆心M坐标为， 由抛物线的定义得，，， ∴点M到准线的距离为：， ∴圆的半径， ∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 【小问2详解】 若直线l的斜率不存在，其方程为，代入， 得，所以， 此时，. 若直线l的斜率存在，设其方程为， 联立，消x得， ，则，， ， 综上所述，， 故面积的最小值是2． 18. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，. （1）证明：； （2）若点到面的距离为，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面垂直判定定理证明面，进而得到； （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求得C点竖坐标，再求得平面和平面的法向量夹角余弦值，进而求得平面和平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接， ， 为正三角形， 又面，面 又面， 【小问2详解】 面平面，面面 面，故两两垂直， 设，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图 则， 设面的法向量， 则，令，可得 ，解之得， 又面的法向量，而 则 所以平面与平面夹角的余弦值为 19. 已知平面上的动点总满足关系式． （1）判断点P的轨迹是什么曲线？并求其轨迹E方程； （2）设不经过点的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆； （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义分析运算； （2）由题意可得，结合韦达定理分析运算，注意讨论直线l的斜率是否存在. 【小问1详解】 设，， ∵，则， 故动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 即，，则， 所以曲线E的轨迹方程是为． 【小问2详解】 若点B在以线段MN为直径的圆上，则， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，， 联立，消去y可得， 则，，， ∵， 则， 即， 整理得，解得或（舍去）， ∴直线l的方程为，过定点； 当直线l的斜率不存在时，设，，则， 可得，解得， 此时直线过点，不符合题意； 综上所述：故直线l过定点，且该定点的坐标为． 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市2023年普通高中高二调研测试（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某居民小区户主人数和户主对住房户型结构满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A. 400，32 B. 400，36 C. 480，32 D. 480，36 2. 已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ） A. ，2 B. ， C. ， D. ，2 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（ ） A. 16 B. 20 C. 4 D. 8 6. 直线（不同时为0），则下列选项正确的是（ ） A. 无论取任何值，直线都存在斜率 B. 当，且时，直线只与轴相交 C. 当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D. 当，且，且时，直线是轴所在直线 7. 设，则AB的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，，两点在上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的每个得2分. 9. 已知曲线方程，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则曲线C的渐近线方程为 B. 若，则曲线C离心率为 C. “”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件 D. “”是“曲线方程C表示椭圆”的充要条件 10. 若曲线C上存在点M，使M到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线是“好曲线”的有（ ） A. B. C. D. 11. 在长方体中，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若直线与直线所成的角为，则 B. 若经过点直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则 C. 若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则 D. 若经过点平面与长方体所有面所成的二面角都为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为______． 13. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则的值是______． 14. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面s千米，远地点B（离地面最远的点）距地面t千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则下列说法正确的是______（填写序号）． ①； ②； ③； ④． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤. 15. 已知三个顶点分别是点，，． （1）求边AC上的高所在直线的方程； （2）求中边AC上的高的长度． 16. 如图，四面体中，，，，M，N分别是棱，的中点，设，， （1）用表示向量； （2）求，所成角的余弦值． 17. 已知O是坐标原点，过抛物线的焦点F作直线l与C交于A，B两点． （1）证明：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； （2）求面积S的最小值． 18. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，. （1）证明：； （2）若点到面的距离为，求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知平面上的动点总满足关系式． （1）判断点P的轨迹是什么曲线？并求其轨迹E方程； （2）设不经过点的直线l与曲线E相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $