精品解析：辽宁省抚顺市新宾满族自治县2025-2026学年上学期教学质量检测 （三）九年级数学试题

2025~2026学年度第一学期教学质量检测（三）九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效. 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处.每小题3分，共30分） 1. 从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率公式，从甲、乙、丙、丁四人中任选一人，总可能结果数为4，甲被选中的可能结果数为1，因此概率为． 【详解】解：∵总人数为4， ∴总可能结果数为4， ∵甲被选中只有1种情况， ∴甲被选中的概率是． 故选：B． 2. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：把代入可得，，解得 故选：B． 3. 反比例函数经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握“当时，反比例函数的图象经过第一、三象限；当时，反比例函数的图象经过第二、四象限”是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质作答即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：． 4. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，把含的三角板绕点A逆时针旋转得到，使得点、A、三点共线，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查旋转角的计算，理解题意，找准旋转角是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵点、A、三点共线， ∴， 故选：D． 6. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 已知函数是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 9. 如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，即可判断②；把代入函数解析式求出的值即可判断③；作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，可得△周长，此时△周长的最小，利用勾股定理求出得到△周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故①正确； 由函数图象可知，当时，图象位于轴下方， ∴当时，，故②正确； 把代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，故③正确； 作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，则，， ∴△周长，此时△周长的最小， ∵，， ∴， ∴△周长的最小值，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 10. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 11. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】（1）400， （2）D （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； 【小问2详解】 解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； 【小问3详解】 解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 12. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示（恒温系统开启前的温度是），段为开启恒温系统后，温度升高阶段，此时大棚内温度与时间之间满足关系式为：，段是恒温阶段，关闭恒温系统后，大棚内温度与时间之间的关系是某反比例函数图象的一部分（段），请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）若大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】（1）； （2）这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用． （1）应用待定系数法求段反比例函数图象的关系式，当时，即可求得； （2）分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【小问1详解】 解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ， 解得， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 13. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 【答案】（1）双 （2）元 （3）每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 【小问1详解】 解： （双） 答：商场平均每天可售出双鞋子． 【小问2详解】 设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元． 【小问3详解】 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 14. 如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求点到弦的距离． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，则， ∵相切于， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵点是圆上一点， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，由题意可证得，进而可得，即：，即可证明结论； （2）设与交于点，易知垂直平分，得，，由题意得，可知为等腰三角形，得，则，根据含的直角三角形的性质得，即可求得点到弦的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点， ∵，， ∴垂直平分， 则，， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴，则， ∵，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 即：点到弦的距离为． 【点睛】此题考查了切线的性质及判定，勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，解决问题的关键在于要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 15. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）P点坐标为，四边形ABPC的最大面积为 （3）存在，P点坐标为 【解析】 【分析】（1）直接把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=﹣2，c=﹣3，则二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3； （2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，﹣），则点P的纵坐标为﹣，再把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标． 【小问1详解】 解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得 ，解得， ∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3； 【小问2详解】 如图1 ， 作PF⊥x轴于F点，交BC于E点， 因为四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形BPC的面积； 而三角形ABC的面积不变， 所以当三角形BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积的面积也最大； 令y=0，则x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=-1，x2=3， 所以A(-1，0)B(3，0) ∴AB=4，又OC=3 ∴S∆ABC=； BC的解析式为y=x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）． PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+， S△BCP=S△BEP+SCEP=PE×FB+EP•OF =EP•OB =×3[﹣（m﹣）2+] 当m=时，S最大=×3×=， m2﹣2m﹣3=﹣， 此时P（，﹣）； 所以此时，四边形ABPC的面积的面积也最大； S四边形ABPC= S△BCP+ S∆ABC=6+ ∴此时P点的坐标（，﹣），四边形ABPC的最大面积为 ． 【小问3详解】 存在．理由如下： 作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2 ， 则PO=PC， ∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C， ∴OP′=OP，CP′=CP， ∴OP′=OP=CP′=CP， ∴四边形POP′C为菱形， ∵C点坐标为（0，﹣3）， ∴E点坐标为（0，﹣）， ∴点P的纵坐标为﹣， 把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣， 解得x=， ∵点P在直线BC下方的抛物线上， ∴x=， ∴满足条件的点P的坐标为（，﹣）． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及到了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期教学质量检测（三）九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效. 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处.每小题3分，共30分） 1. 从甲、乙、丙、丁四人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 反比例函数经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 4. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把含的三角板绕点A逆时针旋转得到，使得点、A、三点共线，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 已知函数是反比例函数，则的值为______． 8. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 9. 如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 10. 解方程： （1） （2） 11. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 12. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示（恒温系统开启前的温度是），段为开启恒温系统后，温度升高阶段，此时大棚内温度与时间之间满足关系式为：，段是恒温阶段，关闭恒温系统后，大棚内温度与时间之间的关系是某反比例函数图象的一部分（段），请根据图中信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）若大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 13. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 14. 如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求点到弦的距离． 15. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $