精品解析：黑龙江省五校联盟2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

五校联盟2025—2026学年度高二第一学期期末 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回； 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方程求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角. 【详解】因为的斜率为，所以的倾斜角为． 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中，点到轴的距离为求解即可． 【详解】点到轴的距离为. 故选：B 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即可． 【详解】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， ，矛盾，即假设不成立，所以，，不共面，故B正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，因为，所以，，共面，故D错误． 故选：B． 4. 双曲线的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的双曲线方程，求出双曲线的实半轴、虚半轴长即可求出渐近线的方程作答. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，且焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，即，则C正确，ABD错误. 故选：C 5. 若数列满足，，则（ ） A. -3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】分别求得的值，得到是周期为4的数列，结合，即可求解. 【详解】由题可知：，， ，， 所以数列是周期为4的数列， 所以， 故选：D 6. 某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的性质即可求解. 【详解】假设从第一排到第十一排的座位数成等差数列，则， 所以，得． 故选：C. 7. 已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线定义将转化为求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 所以，因为当时，最小， 所以，故的最小值是. 故选：B. 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（ ） A. 996 B. 995 C. 1014 D. 1024 【答案】B 【解析】 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 在平面上的投影向量的模长为 D. 在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：向量分解法，拆分为基向量（）的组合，结合点的中点关系推导表达式； 选项B：向量点积法，展开，利用直三棱柱侧棱垂直、正三角形夹角性质计算点积； 选项C：平面投影，作向量端点到平面的垂线，用勾股定理算投影向量模长； 选项D：直线投影，作端点到直线的垂线，或用投影公式算投影向量； 【详解】因为直三棱柱所有棱长为1，分别是，中点，所以 选项A：，A正确； 选项B ：因为底面是正三角形，所以与的夹角是，与的夹角是， 所以； ； 又，故， 所以 ，B错误； 选项C ：过作平面，垂足为，易知， 过作平面，垂足为，易知， 即在平面上的投影向量为， 所以.C正确； 选项D ：过作，垂足为，易知，过作，垂足为， 易知，即在上的投影向量为， 因为，则：.D错误. 故选：AC. 10. 已知直线：，直线：，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为11 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方程可求定点，判断A，根据直线方程截距式的定义可判断B，利用两直线的位置关系可判断C 、D. 【详解】对于A，直线：， 整理得， 令，解得：， 直线过定点，故A正确； 对于B，直线：在轴上的截距， 令代入：得： ，解得， 直线在轴上的截距为-11，故B错误； 对于C，直线：，直线：， ， ，解得：，故C正确； 对于D ，直线：，直线：， ， 解得：，故D错误. 故选：A C 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 数列的前100项和为5050 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】变形得到，是公比为3的等比数列，从而得到，A选项，求出；B选项，根据等比数列的定义进行判断；C选项，，从而利用等差数列求和公式得到答案；D选项，放缩得到，由等比数列求和公式可得. 【详解】由，得，则， 所以，所以是首项为，公比为3的等比数列． 由，得， A选项，，，所以，A正确； B选项，因为，不是常数，所以不是等比数列，B错误； C选项，因为，所以是等差数列， 所以的前100项和为5050，C正确； D选项，由，得，得， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故 ，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的短轴长为________. 【答案】 【解析】 【分析】化成标准方程后可得短轴长. 【详解】化成标准方程为：， 所以，所以该椭圆的短轴长为； 故答案为： 13. 直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由圆的方程求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算即可. 由切线性质,，要使最小，只需最小，由两点间距离公式计算即可. 【详解】圆的方程为：， 圆心，半径， 圆心，到直线：的距离为：， . 由切线性质,， 要使最小，需要最小， 点在轴上，设， ， 当时，取最小值3， . 故答案为：， 14. 在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最小值，进而求出的取值范围. 【详解】设， 则． 易得函数为增函数． 由，，得，， 所以，故的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若为正项等比数列，且，，求． 【答案】（1） （2）81 【解析】 【分析】（1）由题目列方程组求出所以. （2）结合（1）结果列方程组求出，，所以. 【小问1详解】 设的公差为．由得 所以. 【小问2详解】 设的公比为．由 得（舍去），． 所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得底面，建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可； （2）由面面角向量法计算即可. 【小问1详解】 ∵侧面底面，侧面底面，， 底面， ∵底面，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量为， 则令，则，， 得平面的法向量为． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 17. 在数列中，． （1）求的通项公式． （2）若数列的前项和为，证明：． （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可； (2)通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和进行证明即可； (3)运用错位相减的方法求解即可. 【小问1详解】 当时，，得． 当时，， ， 两式相减得，则． 当时，符合上式， 所以． 【小问2详解】 证明：由（1）得， 所以， 故． 【小问3详解】 由（1）得， 则， ， 所以 ， 所以． 18. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点，且. （i）求直线的方程； （ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知，曲线是以点为焦点的抛物线，可得出方程； （2）（i）设的方程为，联立曲线的方程，根据抛物线的焦点弦的性质求出的值即可求出的方程；（ii）设的方程为，写出直线与直线的方程，得出点的横坐标恒为，即得点在定直线上. 【小问1详解】 因为直线和之间的距离为1， 所以点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线， 设曲线的方程为，得，得， 故曲线的方程为; 【小问2详解】 （i）设，，的方程为， 由，消去得， 所以，. 因为， 所以，即直线的方程为. （ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方， 由（i）知，，， 设的方程为，，，， 由，消去得， 所以，. 直线的斜率，方程为， 直线的斜率，方程为 由，消去得， 整理得 ， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上. 19. 已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）定点，定值为，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合已知的离心率和焦点与短轴端点围成的四边形的面积，列出关于，，的方程组，进而求解，的值，即可得到椭圆的标准方程. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于或的一元二次方程，再利用韦达定理表示出，再根据其为定值求出定点的坐标和定值. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，所以. 焦点与短轴端点围成的四边形为菱形，其面积为，即， 又， 联立解得，，，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，左焦点. 设直线方程为，，，. 则，. 联立，整理得. ， 所以，. . 要使为定值，即与无关， 所以，解得，即， 此时. 所以定点，定值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五校联盟2025—2026学年度高二第一学期期末 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回； 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 双曲线的一条渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，，则（ ） A. -3 B. C. D. 2 6. 某体育场一角看台的座位共有十一排，从第一排到第十一排的座位数成等差数列，且前两排的座位数与后两排的座位数之和为80，则第六排的座位数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 7. 已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（ ） A. 996 B. 995 C. 1014 D. 1024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 在平面上的投影向量的模长为 D. 在上的投影向量为 10. 已知直线：，直线：，则下列选项正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为11 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知数列的前项和为，，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 数列的前100项和为5050 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的短轴长为________. 13. 直线：与圆：相交于点，，则______.过轴上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为_______. 14. 在数列和中，，，且不等式对任意恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若为正项等比数列，且，，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，，分别为棱，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在数列中，． （1）求的通项公式． （2）若数列的前项和为，证明：． （3）若，求数列的前项和． 18. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点，且. （i）求直线的方程； （ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 19. 已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成的四边形的面积为. （1）求椭圆的标准方程. （2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $