福建省福州市2025-2026学年高二上学期期末数学模拟测试卷

福建省福州市2025-2026学年高二数学上学期期末模拟测试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线倾斜角和斜率的关键即可得解. 【详解】由题意直线，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，其中， 可得，所以，即直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设与所成角的大小为，则，从而计算可得. 【详解】设与所成角的大小为， 则， 故与所成角的正弦值为. 故选：A 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：B. 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程. 【详解】由题得圆心到直线的距离， 所以圆的方程为. 故选：D. 5. 双曲线C:－=1的右焦点为F，则F到C的渐近线的距离为（   ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程，先求得焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离求解. 【详解】解：因为双曲线C:－=1， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为：， 所以F到C的渐近线的距离为， 故选：B 6. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点坐标，根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去掉部分点. 【详解】设，则， ，又因为， . 故选：D. 7. 已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D． 8. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9 已知直线，直线，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，与之间的距离为1 D. 直线过定点 【答案】BC 【解析】 【分析】通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 10. 已知正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 与所成角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件求，由此证明，判断A，证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明，判断B，解三角形求，判断C，根据异面直线夹角定义确定与所成角，解三角形求其大小，判断D. 【详解】因为四面体为正四面体，且棱长为， 所以， 连接，因为点为棱的中点， 所以，，， 又点为棱中点， 所以，A正确 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以，B正确， 因为，，点为棱的中点， 所以，C错误； 取的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，，， 所以为与所成的角（或其补角）， 因为，，， 所以为以为斜边的等腰直角三角形， 所以， 所以与所成角为，D正确. 故选：ABD. 11. 设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程. 【详解】直线与的交点为, 垂直于直线的直线方程可设为, 所以,即. 【点睛】本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 已知等比数列满足，则数列的通项公式_______． 【答案】 【解析】 分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 14. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列满足条件：，点在直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意将点代入直线方程，结合等差数列定义即可得解. （2）由题意可得，结合裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 点在直线上，， 数列是首项，公差的等差数列， 数列的通项公式. 【小问2详解】 ， ， ， . 16. 已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【小问1详解】 设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 17. 如图，已知四棱锥底面是正方形，侧棱底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可得出结论； （2）由二面角向量求法计算可得二面角的平面角的正弦值． 【小问1详解】 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则由，得，． 因此，可得，又平面， 平面． 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量， 由面，面，则，又， 由都在面内，则面，即面， 则是平面的一个法向量． 设锐二面角的平面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， （1）求数列的前项和； （2），数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出后再利用等差数列前项和公式即可得到答案； （2）利用裂项求和即可得，则得到答案. 【小问1详解】 根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则， 解得或，又数列为递增数列，所以， ，. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， . 因为是单调递增，，又，所以有最小值. 19. 已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明是定值； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论. 【小问1详解】 因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示： 联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州市2025-2026学年高二数学上学期期末模拟测试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线C:－=1的右焦点为F，则F到C的渐近线的距离为（   ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A B. C. 4 D. 8. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9 已知直线，直线，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，与之间的距离为1 D. 直线过定点 10. 已知正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 与所成角为 11. 设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. 的最大值为5 D. 以线段MF为直径的圆与轴相切 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______． 13. 已知等比数列满足，则数列的通项公式_______． 14. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列满足条件：，点在直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求的面积. 17. 如图，已知四棱锥底面是正方形，侧棱底面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． 18. 已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585， （1）求数列的前项和； （2），数列的前项和记为，若恒成立，求的最小值． 19. 已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明是定值； 学科网（北京）股份有限公司 $