第8章 相交线与平行线（复习讲义）数学新教材青岛版七年级下册

该初中数学第八章相交线与平行线复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，涵盖对顶角、邻补角、垂线等概念，平行线的判定与性质及“铅笔模型”等常考几何模型，图文结合呈现定义、定理及逻辑关系，突出三线八角识别等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的邻补角计算到生活情境应用（如台灯角度问题），培养抽象能力与应用意识。每个题型配例题与变式，帮助学生掌握推理方法，教师可据此实施分层教学，支持学生自主复习与能力提升。

第八章 相交线与平行线（复习讲义） 1．准确理解相交线、平行线、对顶角、邻补角、垂线等概念，能在图形中识别。 ①掌握对顶角相等、邻补角互补等性质，以及平行线的性质与判定定理并能运用其进行推理计算；②理解点到直线距离的概念 2．从实际情境中抽象出相交线、平行线等几何模型的过程，提升抽象概括与空间想象能力。 ①通过观察、操作、推理等活动，发展逻辑思维和有条理的表达能力。 3．体会数学与生活的紧密联系，增强学习几何的兴趣 知识点01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 知识点02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点05 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点06 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 题型一 利用邻补角互补求角度 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 题型二 对顶角的定义 【例2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【变式】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 题型三 对顶角相等 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，则________________（用含α的式子表示）． (2)若，，求的度数． 题型四 垂线的定义理解 【例4】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线，相交于点于点，平分．若，求与的度数，并判断与的大小关系． 【变式】（21-22七年级上·内蒙古赤峰·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 题型五 画垂线 【例5】（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【变式】（24-25七年级下·北京·期末）如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 题型六 垂线段最短 【例6】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【变式】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 题型七 点到直线的距离 【例7】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥． (1)量出点到的图上距离． (2)量出点到的图上距离． (3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离． 【变式】如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 题型八 用直尺、三角板画平行线 【例8】（24-25七年级下·山东青岛·期中）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点到线段的距离即线段 的长； (4)线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 【变式】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 题型九 平行公理的应用 【例9】（24-25七年级下·海南三亚·月考）（1）已知直线a，b，c，d，e，且，，请证明a与c平行． （2）如图，直线相交于点O，且． ①若，求的度数． ②若，求的度数． 【变式】（24-25七年级下·江苏南通·月考）下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种．（4）不相交的两条直线叫做平行线．（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．（6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型十 平行公理推论的应用 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式】（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型十一 同位角、内错角、同旁内角 【例11】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【变式】（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 题型十二 同位角相等两直线平行 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【变式】如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 题型十三 内错角相等两直线平行 【例13】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【变式】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 题型十四 同旁内角互补两直线平行 【例14】（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，，与平行吗？为什么？ 题型十五 两直线平行同位角相等 【例15】（24-25七年级下·全国·周测）如图，，，求证：． 【变式】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，，，求证： 证明：∵（已知） ∴____________________（                   ） ∴ (内错角相等，两直线平行)                       ∴___________=____________（                   ） 又（已知） ∴____________（                   ） ∴（                   ） ∴ （                   ） 题型十六 两直线平行内错角相等 【例16】如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式】（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 题型十七 两直线平行同旁内角互补 【例17】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，，，D为上的一点，连接并延长交于点F，且，问：与的位置关系如何？说明理由． 题型十八 根据平行线的性质探究角的关系 【例18】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 【变式】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 题型十九 根据平行线的性质求角的度数 【例19】（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【变式】（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 题型二十 平行线的性质在生活中的应用 【例20】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【变式】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点． (1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：； (2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系； (3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值． 题型二十一 根据平行线判定与性质求角度 【例21】（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 【变式】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 题型二十二 根据平行线判定与性质证明 【例22】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别与直线交于点，且．的平分线交直线于点，的平分线交直线于点． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)平行于吗？请说明理由． (3)若，求的度数． 【变式】（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 9．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 10．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 3．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 6．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 7．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在线段上，，．请判断与是否平行，并说明理由． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 10．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 相交线与平行线（复习讲义） 1．准确理解相交线、平行线、对顶角、邻补角、垂线等概念，能在图形中识别。 ①掌握对顶角相等、邻补角互补等性质，以及平行线的性质与判定定理并能运用其进行推理计算；②理解点到直线距离的概念 2．从实际情境中抽象出相交线、平行线等几何模型的过程，提升抽象概括与空间想象能力。 ①通过观察、操作、推理等活动，发展逻辑思维和有条理的表达能力。 3．体会数学与生活的紧密联系，增强学习几何的兴趣 知识点01 对顶角和邻补角 1. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2. 对顶角的性质：对顶角相等。 3. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180° 知识点02 垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 知识点03 三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点04 平行线的判定 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 3.平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 知识点05 平行线的性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点06 平行线中常考模型 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四：“抬头模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 题型一 利用邻补角互补求角度 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【规范解答】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【考点再现】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 【变式】（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分． (1)如果，则______； (2)如果，则______（用含n的代数式表示）； (3)如果比大，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可； （3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据对顶角相等得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型二 对顶角的定义 【例2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【思路引导】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【规范解答】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 【规范解答】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 题型三 对顶角相等 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【思路引导】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【规范解答】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，则________________（用含α的式子表示）． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【思路引导】（1）先利用对顶角相等得到的度数，再由角平分线得出的度数，结合平角的性质，用含的式子表示； （2）先根据对顶角、角平分线求出的度数，再分在两侧的情况，结合垂直的性质计算的度数． 【规范解答】（1）解：∵直线相交于， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：①当点F，A在直线CD的同侧时，如图①． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当点F，A在直线CD的异侧时，如图②． 同理可得． ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 【考点再现】本题考查了对顶角、角平分线、垂直的性质，掌握对顶角相等、角平分线分角为相等的两部分、垂直的角为90°是解题的关键，注意第二问需考虑位置的不同情况． 题型四 垂线的定义理解 【例4】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线，相交于点于点，平分．若，求与的度数，并判断与的大小关系． 【答案】 【思路引导】本题考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义；根据平角的定义结合已知可得，进而求得，根据角平分线的定义可得，根据平角的定义可得，即可求解． 【规范解答】解：， ， ， 平分， ， 【变式】（21-22七年级上·内蒙古赤峰·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【思路引导】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【考点再现】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 题型五 画垂线 【例5】（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】(1)图见解析 (2)， 【思路引导】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 【变式】（24-25七年级下·北京·期末）如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查作图，垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用垂线的定义，平行线的性质进行画图即可； （2）根据平行线之间的距离相等，利用等面积法进行计算即可． 【规范解答】（1） 解： （2）解：连接， 由题意可知，， 故， 即， ， 故答案为：． 题型六 垂线段最短 【例6】（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】A 【思路引导】根据垂线段最短，得出的取值范围，再据此判断选项．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴（垂线段最短）． ∵， ∴． ，不满足，故A项错误； ，满足，故B项正确； ，满足，故C项正确； ，满足，故D项正确． 故选：A． 【变式】（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 【规范解答】解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 题型七 点到直线的距离 【例7】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥． (1)量出点到的图上距离． (2)量出点到的图上距离． (3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米 【思路引导】本题主要考查点到直线的距离，垂线的定义，比例尺，理解相关知识是解答的关键． （1）根据题意和图，测量出线段的长度即可求解； （2）先过点作于点，再测量出线段的长度即可求解； （3）根据图上距离实际距离比例尺，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意和图可得， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （2）解：如图， 过点作于点， 点到的图上距离即线段的长度， 测量可得，点到的图上距离是厘米． （3）解：由题意得， （厘米），厘米千米； （厘米），厘米千米． 答：（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米． 【变式】如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【思路引导】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 题型八 用直尺、三角板画平行线 【例8】（24-25七年级下·山东青岛·期中）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点画线段的平行线； (2)过点画线段的垂线，垂足为； (3)点到线段的距离即线段 的长； (4)线段、的大小关系是 （用“”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) (4)，垂线段最短 【思路引导】本题考查过直线外一点作已知线段的平行线和垂线，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是正确理解题意，灵活应用所学的知识解决实际问题． （1）根据平行线的作法作图即可； （2）根据垂线的作法作图即可； （3）根据点到直线的距离，写出正确答案即可； （4）根据垂线段最短，写出正确答案即可． 【规范解答】（1）解：如图，直线为所求． （2）解：如图，直线为所求． （3）解：∵于点， ∴点到线段的距离即为线段的长， 故答案为：． （4）解：∵于点， ∴线段、的大小关系是， 理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 【变式】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B，格点P为上一点． (1)不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的垂线，交于点C，过点P画的平行线； (2)若，请直接写出线段，，的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了作图—基本作图，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线和平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂线段最短即可得解答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，，即为所求； （2）解：由垂线段最短得，． 题型九 平行公理的应用 【例9】（24-25七年级下·海南三亚·月考）（1）已知直线a，b，c，d，e，且，，请证明a与c平行． （2）如图，直线相交于点O，且． ①若，求的度数． ②若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①；；②的度数为 【思路引导】本题考查的是平行线的判定与性质，垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． （1）先证明，，再利用平行公理的含义可得结论； （2）①根据垂直定义可得，然后再利用平角定义和对顶角性质进行计算即可解答； ②根据求出，再根据求解即可． 【规范解答】解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【变式】（24-25七年级下·江苏南通·月考）下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种．（4）不相交的两条直线叫做平行线．（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．（6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平行线、垂直、邻补角、点到直线的距离等概念，根据平行线、垂直、邻补角、点到直线的距离等概念逐一判断各命题的正确性． 【规范解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线．故错误． （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；若未限定同一平面，命题不成立．故错误． （3）同一平面内不重合的两条直线只有相交或平行两种位置关系．故正确． （4）平行线需满足“同一平面内不相交”，未限定平面则可能为异面直线，故错误． （5）邻补角需有公共边且另一边互为反向延长线，且和为，仅公共顶点和边不满足，故错误． （6）点到直线的距离是垂线段的长度，而非“垂线”（垂线为无限长直线），故错误 综上，（1）（2）（4）（5）（6）错误，共5个错误， 故选D． 题型十 平行公理推论的应用 【例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【思路引导】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【规范解答】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·全国·期中）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能判断直线的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到平行直线，从而可以解答本题． 【规范解答】①，不能判定 ，故本项不符合题意； ②，，故本项符合题意； ③，，故本项符合题意； ④，，故本项符合题意； ⑤如图，过点B作， ， 又， ， ， ， 故本项符合题意． 故选：C． 题型十一 同位角、内错角、同旁内角 【例11】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【思路引导】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【考点再现】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 【变式】（24-25七年级下·陕西安康·月考）如图，直线，被直线所截，射线经过直线，的交点，下列说法一定正确的是（    ） A．和是对顶角 B．和是内错角 C．和互为邻补角 D．和是同位角 【答案】D 【思路引导】本题考查了对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角，根据对顶角、邻补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可，熟练掌握相关定义是解题关键． 【规范解答】解：、和不是对顶角，原选项不符合题意； 、和不是内错角，原选项不符合题意； 、和为同旁内角，原选项不符合题意； 、和是同位角，原选项符合题意； 故选：． 题型十二 同位角相等两直线平行 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【思路引导】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【变式】如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【规范解答】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 共有3个条件符合题意． 故选：C． 题型十三 内错角相等两直线平行 【例13】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【思路引导】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【规范解答】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【考点再现】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【变式】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 【答案】对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查了对顶角相等，角的计算，平行线的判定． 根据对顶角相等，角的计算，平行线的判定补全证明过程即可． 【规范解答】证明：与互为对顶角， （对顶角相等）． ， ， ． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 题型十四 同旁内角互补两直线平行 【例14】（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，，与平行吗？为什么？ 【答案】与平行，理由见解析 【思路引导】本题考查平行线的判定．根据同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【规范解答】解：与平行，理由： ∵，， ∴， ∴． 题型十五 两直线平行同位角相等 【例15】（24-25七年级下·全国·周测）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角/同位角相等则两直线平行，两直线平行则内错角/同位角相等是解题的关键． 先利用同角的补角相等推出，得到；再结合，通过平行线性质和等量代换，得到，从而得到；最后利用平行线的性质，证明． 【规范解答】证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，，，求证： 证明：∵（已知） ∴____________________（                   ） ∴ (内错角相等，两直线平行)                       ∴___________=____________（                   ） 又（已知） ∴____________（                   ） ∴（                   ） ∴ （                   ） 【答案】；；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．先求出，两直线平行可判断出，进而得到，可判断出，由平行线的性质即可得出答案． 【规范解答】解：与相等，理由如下： （已知）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 题型十六 两直线平行内错角相等 【例16】如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式】（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义等，掌握这些是解题的关键． 先根据“两直线平行，内错角相等”得出，再根据条件得出, 最后根据“两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线”得出与的位置关系为垂直． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， ， . 故答案为：垂直． 题型十七 两直线平行同旁内角互补 【例17】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式】如图，，，D为上的一点，连接并延长交于点F，且，问：与的位置关系如何？说明理由． 【答案】，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质、三角形内角和等于180度，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，得到，则，再根据等量代换得到，得出，即可得出结论． 【规范解答】解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十八 根据平行线的性质探究角的关系 【例18】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解； （2）根据已知条件，可得，再由，得，根据，，得出，进而可得的度数． 【规范解答】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ． ． 【变式】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【规范解答】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 题型十九 根据平行线的性质求角的度数 【例19】（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 【考点再现】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键． 【变式】（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【思路引导】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【规范解答】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【考点再现】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 题型二十 平行线的性质在生活中的应用 【例20】（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【规范解答】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 【变式】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）已知：E，F分别是直线和上的点，，G，H点为平面内两个动点． (1)如图1，G，H在两条直线之间时，，试说明：； (2)如图2，作直线，G点在下方，H点在和之间，连接和的角平分线交于点G．探究与的数量关系； (3)如图3，H，G在直线上，射线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，射线在旋转6秒后开始绕点F以每秒的速度顺时针旋转．射线旋转后两条射线同时停止．设射线旋转t秒时，射线，直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路引导】本题考查角平分线，平行线的判定与性质，平行公里的推论，旋转，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）过点G作，过点H作，可得，，继而推导出，即可解答； （2）先证明，继而推导出即可解答． （3）分类讨论，逐一分析，即可解答． 【规范解答】（1）如图1， 过点G作，过点H作， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）∵平分平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ∴． （3）分两种情况： ①如图3①， 由题意得，， 则， 当时，， ∴， 解得：； 如图3②，有 ， 当时， ， ∴，解得：． 综上所述，t的值为或． 题型二十一 根据平行线判定与性质求角度 【例21】（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，则，由平行线的性质可得，，从而可得，即可得解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可得，，设，，计算得出，由平行线的性质可得，，，由此计算即可得解； （3）设直线与交于点K，与交于点H，由平行线的性质可得，求出，再结合，在内，．得出，计算即可得解． 【规范解答】（1）解：过点O作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ， 故的值为； （3）解：如图，设直线与交于点K，与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，在内，． ∴， ， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 解得． 【变式】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【规范解答】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 题型二十二 根据平行线判定与性质证明 【例22】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，直线分别与直线交于点，且．的平分线交直线于点，的平分线交直线于点． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)平行于吗？请说明理由． (3)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质、邻补角的性质、角平分线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由对顶角相等及等量代换可得，再由同位角相等两直线平行解答； （2）由两直线平行内错角相等得到，再结合角平分线性质、等量代换得到，最后根据内错角相等，两直线平行解答； （3）由平行线的性质可得，，整理得，最后由邻补角互补解答． 【规范解答】（1）解：． 理由：∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）知， ∴． ∵的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式】（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数． (3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，通过构造平行线利用平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作，得到，利用平行线的性质得到，，得出结论； （2）根据（1）的结论得到，利用平行线的性质得到，结合角平分线定义以及利用（1）的结论得出结果； （3）设，，得到，利用（1）的结论得出结果． 【规范解答】（1）解：过点E作． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由（1）的结论得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）的结论得； （3）解：．理由如下： 如图，设，． ∵，， ∴，， ∴， 由（1）的结论得，， ∴， 即． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【规范解答】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【规范解答】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【思路引导】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【规范解答】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 5．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【思路引导】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【规范解答】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【规范解答】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 9．（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【规范解答】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（22-23七年级下·湖北武汉·月考）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 能力提升进阶练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【规范解答】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【思路引导】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【规范解答】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【考点再现】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 3．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【规范解答】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【规范解答】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点B作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【规范解答】解：如图，过点B作， ∵，， ， ∴，， ∴， ∵与的夹角为， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·全国·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【规范解答】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在线段上，，．请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 延长交于点，根据结合对顶角相等，可得，根据同旁内角互补，两直线平行可得，由平行线的性质可得，再根据等量代换得到，进而可得结论． 【规范解答】解：，理由如下： 如图，延长交于点． ，， ， ， ． ， ， ． 9．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 【答案】(1) 证明过程见解析； (2)； (3)的度数为． 【思路引导】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题． （1）由平行线的性质，可得，，等量代换，即可证得结论；作，由平行线的性质，可得，，结合已知，等量代换，即可得； （2）延长，交于点，由平行线的性质，可得，，由邻补角，结合已知，等量代换可得，，即可得； （3）由（1）得，由（2）得，结合已知可得，由角平分线的定义可得，，设，，则，，可得，作，由平行线的性质可得，，可得，结合已知，即可得的度数． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴． 解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． （3）解：由（2）得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 10．（24-25七年级下·山西吕梁·月考）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【思路引导】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【规范解答】（1）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 【考点再现】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $