精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年高三上学期统练七数学试卷

统练7 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为等差数列的前项和.已知，，则（ ） A. 为递减数列 B. 数列为递增数列 C. 为递增数列 D. 5. 已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为单位向量，则“”是“与的夹角是钝角”的（　　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 面积的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 9. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 10. 已知曲线：，下列说法正确的是（ ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中常数项为80，则____________． 12. 已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为____________． 13. 已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是__________．（只需写出一组） 14. 已知，若方程有个实数解，则实数的取值范围是____________.若，都有，则实数的取值范围是____________． 15. 已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，.给出下列四个结论： ①当，时，； ②，； ③存在，使得，为等腰直角三角形； ④任取，为递增数列. 其中所有正确的结论是_____. 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，已知，． （1）求的值； （2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，F，G，H分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小． 18. 每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数 类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． （2）从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．（结论不要证明） 19. 已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若，求证：函数在上有极大值，且． 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 统练7 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项 1.已知集合4=d-1<x<3,B={dx之4，则AUB=（) A.（-l,+o∞) B（-1,2] c（-0,-2小U(-l,+∞) D.（-0,-2]U(-1,3) 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式划化简，即可根据并集的定义求解 【详解1由B={dr≥4}={x≥2或x≤-2，又A=-1<x<3, 4UB=(-0,-2U(-1,+o） 故选：C 2若20-)=1+i,则2非() A.i B.1 c v2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为1-i)=1+i 1+i_0+i00+_21=i 所以云=-一i0+0-)2 第1页/共36页 6学科网列组卷网 所以2=-i,2=1 故选：B 3.已知实数a,b满足a<0<b,则() 1、1 B.Ig(-a)<lgb ba-2 一十 A.a b C.a b D.eb<ea 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及对数函数的性质、指数函数的性质，基本不等式可求得结果， 1<0,2>0 11 【详解】对于A,a<0<b,则ab,所以ab,该选项错误； 对于B,若a=-10,b=10,满足a<0<b,但lg(-)=gb 该选项错误； b <0,9<0 对于C,因为a<0<b,所以ab, g〔)28(=-2 b+4≤-2，该选项正确： 即a=-b时，等号成立，所以ab 对于D,>0,e>0'所以三e b ea e,因为a<0<b所以a ab<0' a2-b2 但a2-b2跟0的大小关系不确定，所以不能确定eab<e, 所以不能得到eb<ea,该选项错误； 故选：C 4.设S为等差数列{a}的前”项和.已知S,=-5,a,=0,则() 第2页共36页 学科网命组卷网 A{a,}为递减数列 B.数列S,}为递增数列c{a}为递增数列D.S,=0 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出{a,}的通项公式，结合数列的性质，可判断各选项的准确性， 详解]因为数列{@为等差数列，所以S,=aa5a,=-5,所以a=二 2 所以d=4-4=1 所以a.=a,+(n-4)d=n-4 所以a,}为递增数列，故A错，C正确： 又当n≤3时，a,<0所以当n≤3时，S单调递减，故B错误： 为-8a）-4a+a）1-4 2 故D错误 故选：C 5.己知直线1：x+my+1=0与圆0：+y=4相交于A,B两点，则4B的最小值为《) A.25 B.2V2 c v2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点C,由几何法可知当0C1B时，M最小，用勾股定理求出。 【详解】直线：x+my+1=0恒过定点C(-1,0) 当0C1AB时，圆心O(0,0)到直线'：x+y+1=0的距离最大值为d=0C=l, 此时AB取得最小值，根据勾股定理：AB=2VP-dP=2V4-1=2V3 第3页/共36页 学科网命组卷网 故选：A. 6.已知a, 为单位向量，则a+b水KV5a是a与b的夹角是钝角的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及夹角公式求出a,)的范围，再利用充分条件、必要条件 的定义判断即得 【详解】单位向量4,6，由a+水V2a,得l+2a-方+1<2，解得a-方<0， 则cos(a,= a.b 60,医t位e经， 所以a+b水V21a是a与b的夹角是纯角"的必要而不充分条件 故选：B 7.过点(（，4)且与抛物线广=4r恰有一个公共点的直线的条数为《) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与x轴平行时，直线与x轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时， 三种情况，结合△=0，即可求解。 【详解】当直线过点俱，4)，且与x轴平行时，此时直线y=4与抛物线广=4只有1个公共点： 当直线过点(，4)，且与x轴垂直时，此时直线x=1与抛物线广=4x有2个公共点： 当直线过点化4到，斜率存在且不为0时，设直线y-4=k-)>=1+ k，代入抛物线y2=4x, 第4页/共36页 6学科网命组卷网 +40 因为a-(到-4小=16+利小=16） 由△=0→2-4k+1=0,因为-4°-4×1×1>0，所以方程2-4k+1=0有两根， 故过点（，4)可以作两条直线与抛物线相切 综上，过点，4)共有3条直线，与抛物线只有1个公共点 故选：D 8.如图，直三棱柱 MBC-ABC中，M=B=1,AC=2,BC=V5.点P在线段B,C上（不含端 点)，则() C P C AB⊥BP A.不存在点P,使得 B.PM+PB的最小值为N5 25 C,△ABP面积的最小值为5 D.三楼锥B-PMB与三楼锥G-PMC 的体积之和为定值 【答案】D 【解析】 【分析1对于A项，通过证明似+平面B4G可得出M份1BC,进而得出使得B1B 的P点的位 第5页/共36页 6学科网列组卷网 置；对于B项，通过对两个面的翻转和几何知识求出Cos∠ACB,进而求出PA+PB的最小值；对于C A-ABC 项，通过转化，表达出三棱锥 的两种体积的表达式，即可求出点P到AB 的距离的最小值，进而 求出△1BP面积的最小值：对于D项，通过转化，分别得到点P到面M4BB AABB 距离为点M到面 的距离，点P到面14GC的距离为点M到面14CC的距离，表达出三棱链B-PMB与三棱锥 C-PAC 的体积之和，即可求出三枝维B-P1B与三楼锥G-PAC 的体积之和为定值 【详解】解：在直三棱柱ABC-ABC中，AA=AB=1,AC⊥A4,AB⊥A4,ABIIAB, .AB L4B 在△ABC中，AB=1,AC=2.BC=V5 AB2+AC2=BC2 .AB⊥AC :A4OAB=A,AM,ABC AC⊥平面MMBB,MnAC=A,M,ACC AAGC, :AC⊥平面M4BB,AB1平面MMCC 在矩形A4CC中，ACAG BC AB AB 如下图，连接 第6页/共36页 命学科网命组卷网 :AC⊥AB.AC1AB A4Bn4C=A,AB,4GCAB1平面BAG, :AB1平面B4G :BGC平面BMG,:AB L BC 当点P为BC和BC的交点时，4B1B即， 故A错误； 将△MB,C和△BB,C沿BC层开，连接AB交B,C于点D,当点P与点D重合时PA+PB的值最小，如 下图所示： B 1 B D √6 √5 sBC4=4C-25sn∠C4--2-5 BC6 3, BC6 3 cos∠BCB= BC 530 ,sn∠BcR=g6=1-6 cOS∠ACB=cOs(∠ACB+∠BCB) =cos∠4CB cos.∠BCB-sin∠4CB,sin∠BCB =6x30_5x62w5-V2 3636 6 在△MBC中，由余弦定理得， 第7页/共36页 6学科网6组卷网 AB=VAC2+BC2-2AC.BC·coS∠ACB -2+-22x5x25.5_+6 3 故B错误： 连接C C C 点P到AB的距离的最小值为直线AB与BC之间的距离4 :ABAB.ABC平面AB,C,ABt平面AB,C, ·ABW平面ABC, 点A到面4B,C的距离为d, 在三棱锥4-4BC中，VC=VM8, c-分x5d=a-写分12 即V4e=3X21 解得： d-25 5 am以x1x255 55，故C错误； 过点P作直线 PMCG,交BG于点M,如下图所示， 第8页/共36页 6学科网命组卷网 、M ∴点P到面 AAB 的能离为点到面MBB的距离，设为马 点P到面MCC的距离为点M到面M4CC的距离，设为4 在△48，G中，由几何知识得，4B=1,4G=2,tan∠ABG=2 .BE-TME-74 2 A F C d M B :三楼锥B-P1B与三楼锥G-PAC的体积之和为 V-P+VG-P4C =V-+Vp-4CG 空1w4+124-24+4)小-4a-号 故D正确 故选D. 9.「表示大于或者等于x的最小整数，儿小表示小于或者等于x的最大整数.已知函数 x>0且f()满是：对x,5eR有(：-与)-fk》s0则。的 可能取值是() 第9页/共36页 6学科网 组卷网 1 1 A.9 B.0 C.3 D.9 【答案】C 【解析】 【分折】由题意得因在R上单调递减，纺合题忘得出当x≤0时，f)=「t+3a+a]要单调递诚。 且f()=[r+3a+a]21,分别代入a的值进行判断即可。 【详解】由低()飞》0得f四在R上单调递减. 当x>0时，f)=e∈(0，) 当xs0时，f=「+3x+a]要递藏，且f)=r+3ax+a]21, 对Aag-寸引-司-名m)01,本e, A错误； 对于B,当a=0时，f()-「r2f0)-[0]=0<1,不合题意，放B错误： 对，当a=.f-+x+写引++日[1，特.版e疏. 对TD.当专，九-r+号+号引-+上学=1，不，黄D 故选：C 【点睛】方法点晴：对于定文[表示大于或者等于x的最小整数，应用与函数)=x+3+中， 函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题. 10已知曲线C:r+广=2+2y,下列说法正确的是() ①曲线C关于y轴对称： 第10页/供36页 学科网命组卷网 ②存在a,使得曲线C与坐标轴的交点个数为3； ③曲线C围成的区域面积S(a是关于a的增函数， ④当4*0 .1y=4x C 时，直线： 与曲线有且仅有2个交点. A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】因为曲线C中含有风，所以对x分情况讨论，得到曲线C的方程，因为方程含参数口，所以需要 对a分a=0,a>0,a<0三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可. 【详解】对于O:因为t+y=2a+2y,所以有(x±a+(0y-=a+1, 即为：当x≥0时，(x-a+(y-1=a2+1, 当x<0时，(x+a'+0y-12=d2+1 当a=0时，曲线c即为r+(0y-=1,关于y轴对称， 当a≠0时，曲线C表示的是关于y轴对称的圆的部分图象.①正确： 对于②：当x=0时，广=2y,所以曲线c过点(0,0），(0,2） 当y=0时，=2a4,即：=2a,所以曲线c过点(0,0)，(2a,0) 当a=0时，曲线C与坐标轴有两个交点，当a≠0时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误： 对于③：当4= 0时，S=元xP=元 如图所示： 第11页/共36页 6学科网组卷网 1 当a≠0时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： C:(x+a}+(y-l=d2+1,圆心为(-a,l),半径r=v匠+1， C,:(x-a+(0y-=a+l,圆心为(a,),半径r=V匠+1， 由②知，曲线c过(0,0)，(0,2)两点， 当a<0时，如图所示： a:B C 由图可知，曲线c恒过(0,0)，(0,2）， 且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面 S(a)随a的增大而增大： 当a>0时，如图所示： C a B C 第12页/共36页 学科网命组卷网 由图可知，曲线c同样恒过(0,0），(0,2），且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面 S(a)随a的增大而增大： 且a=0时，区域面积S(a介于a0和a>0之间， 所以曲线C国成的区域面积S(@是关于a的增函数，③正确： [y =4ax 对于@当a0时.者a<0联粒10x+@+-=2+1 a≠0 6a 整理得：x[1+16a)x-60]=0,解得：x=0或x=1+16a, 即s4a 与曲线C有且仅有2个交点： y=4ax 若a>0联立(x-a}+0--d+1 10a 整理得： x[(1+16a2）x-10a]=0,解得：x=0或x=1+16a, X= 即ys4a 与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确 故答案为：C 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11.在 x 的展开式中常数项为80，则a= 【答案】-2 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于O,求出r的值，即可建立等式求解. a 【详解】 x2 的展开式的通顶为工=C()广气=C(-5=0,L2345, 第13页/共36页 6学科网 命组卷网 令15-5r=0,得r=3, 所以展开式中常数项为7=C(-a)°=80，解得a=-2 故答案为：-2 12己知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点(V5,2V3) 则它的标准方程为 y2 x2 =1 【答案】1133 【解析】 【分析】设双曲线的实半轴长为0，虚半轴长为，半焦距为°，根据焦距与实特长的关系及°=口+ b 可得=3，对焦点所在位置分类讨论，代入点(N5,2√3)求出参数即可得双曲线的标准方程 【详解】设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为C, 因为双曲线的焦距是实轴长的2倍， 所以2c=2×2a,即c=2a 因为c2=a2+h ,所y4a=a4h,即B=3a x2 y2 当双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线的标准方程为口3石=1， 因为双曲线经过点(V5,23】 312 =1 1 所以a3a,即a京=1」 ,无解： y2 x2 当双曲线的焦点在y轴上时，则双曲线的标准方程为口3=1， 第14页/共36页 命学科网命组卷网 123 所以a23a2-=,即a2,解得a2=11 yx=1 所以双曲线的标准方程为1133 y2 x2 综上所述，双曲线的标准方程为331 y2 x2 =1 故答案为：1133 13,已知函数f()-=sin2x.若非零实数a,b,使得f(x+a=bf()对xeR都成立，则满足条件的 一组有序实数对(a,b)可以是」 (只需写出一组) 【答案】 (,1）(答案不唯一） 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可 【详解】因为()=si血2x,且存在非零实数a,b,使得f(x+)=矿()对x∈R都成立， 所以sin(2.x+2a)=bsin2x 当a=元时 sin(2x+2m）)=sin2x,即b=1 a=元，b=1 因此当 时，符合题意. 故答案为： (π，) ax2-L,x≤a 14.已知)= ln(x-a),x>a,若方程f()=7有3个实数解，则实数a的取值范围是 若xe0,+o）,都有之f0, 则实数“的取值范围是 第15页/供36页 6学科网 命组卷网 【答案】 ①.[2，+o) ②.（-∞，0) 【解析】 【分析】在Q取值为正，负，零三种情况下，分别作出分段函数图像，数形结合确定Q的取值范围. 【详解】若a>0: 当x≤0时，f()=-1的图像为开口向上，顶点0，-)的抛物线： 当x>a时， f(x)=In(x-a) 的图像是将 f(x)=Inx 图像向右平移个单位 则y 的图像如下 y=f(x) 因为f@=a-1,若方程f田=7有3个实数解，则有7≤心-1，解得a≥2 而此时 x0,+o).f≥f0不成立 若a<0: 当x≤口时，f=x-l的图像为开口向下，顶点0，-的抛物线： 当*>0时， f(x)=In(x-a) 的图像是将 f(x)=I 1图像向左平移“个单位 则) 的图像如下 第16页供36页 6学科网命组卷网 此时方程()=7只有个实数解，不满足条件 而此时x∈[0，+o）,f()为增函数，都有f()≥f0)恒成立 若a=0: 当七s0 时， f()=-1 的图像为一条水平射线： 当>0 f(x)=Inx 时， 的图像如下 y=f(x) 此时方程()=7只有个实数解，不满足条件 而此时 x∈0，+o).f(≥f0)不成立 茶所法，无方后儿创-7有子个实数.则安数Pk做化园飞2切） 若x∈[0，+o）,都有f(,≥f0),则实数a的取值范围是（-o,0) 故答案为：[2，+oo).（-∞，0) 第17页/供36页 命学科网命组卷网 15已知△4B,C.(a=L2,是直角三角形，A是直角。内角4，B,C所对的边分别为0,6， 6商5.-5长+ 3, 3给出下列四个结论： ①当6=3G= 4时，4=5 ②neN,a,=al. ③存在么≠S,使得n∈N,△A,BC为等腰直角三角形： ④任取么≠9，S,}为递增数列 其中所有正确的结论是一 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由题意可知： 。=公+〔2对于①：直接代入运算即可：对于@：根据题中关系式相加整理可得 Q=a,即可得结果；对于③：根据题中关系式相减整理可得 结合等比数列 分析判断；对于④：由②可知点A,在以B,G为直径的圆上，由③可知：数列：-C引为递减数列，结合 圆的性质分析判断即可. 【详解】由思意可知：￠=+c 对于0：当久=3,9=4时，则4=6+G=25,即4=5，放0正确： 3 第18页/供36页 6学科网命组卷网 两式相m粉+66e丰+成_2++e 3 3 3， 则3 2a1+a 3,即a1=a,可得0n1=an,故②正确： 对于③：因为61= 3， 3, 丙式藏可用2.-公-) 33 3 若9，则4-≠0， 1 可知数列：-c}是以公比为3的等比数列， 测公-=低- 0,即b.+c,对任意neN恒成立， 所以不存在 ≠G,使得n∈N,△4，B,C:为等腰直角三角形，故③错误： 对于@：②可知0，=a,==4,即△1，B,C的斜边长为定值 所以点A,在 BG为直径的圆上， 以BG的中点0为坐标原点建立平面直角坐标系，设该圆与y销交点为人 M,N M B 第19页/供36页 6学科网命组卷网 自8可阳：公-心-（低-0。 则B-c引=-c 31，可知数列b好-c引为递减数列， 两者之差越来越小，则点A:越来越接近点M(或N), 则△A,B,C斜边上的高越来越大，即面积越来越大， 所以，}为递增数列，故④正确： 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：对于④的关键在于：将数列问题转化为圆的问题，进而结合图形分析判断. 三、解答题共6道小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16.在△ABC中，已知 asin4=33(1-Cos2A)b=2/6 (l)求sinB的值： (2)若∠B为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯 一，求△ABC的面积. 条件①：c=5; 6 条件②： COSA=- 3: 条件③： asinA=√5 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分. 第20页/供36页 6学科网 6组卷网 2W2 【答案】(1) sin B= 3: (2) 条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为5V2 【解析】 a 【分析】(1)转化已知条件求得sinA,解得正弦定理，即可求得sinB: (2)对条件①：求得snC,由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由 cos 4>0 sin C 0,判定1角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得”，以及s ,即可求得其面积；对条件 ③，求得 as加A,由a<b,判划定4为锐角，三角雕一，同理求得si血C,即可求得三角形面积 【小问1详解】 因为2 asinA=35(1-cos2A),则2 asin A-=351-(1-2sin2A]=6W5sin2A, =33 又A∈(0，)，sinA≠0，故2a=6V3sinA,也即sinA b a 26=35 又b=26,由正弦定理sin B sinA可得：sinB 解得sinB=2V2 3· 【小问2详解】 由(1)可知， sin B=22 3,又∠B为锐角，故osB=V1-sin2B= Γ3，又b=2v√6： 52W6 若选择条件①： 山正张定用C=B可得nC2,解得nC-5 C=5 sin C sin B 3 此时，C可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 第21页/共36页 6学科网列组卷网 若选择条件②： 3,则simA=V-cos2A= COSA= ab。=35,可得 3,由正弦定理sin A sin B a=3 A,B 此时， 两角均为锐角，故三角形唯一， sin C-sin(4+B)=sin Acos B+c0s sin5 33+3x39, 放=角形C的面款=jabsinC=×3x26×55-5N5 2 9 ab33,解得a=3,sinA-V3 若选择条件③：asinA=V3,又sinA sin B 3 因为a<b,又B为锐角，放4也是锐角，此时0sA=1-5in2A=y6 3,三角形唯一， sinC-sin(+B)=sin Acos B+cos sinB5 =3x33x3=9, 放三角形4C的面织S-=)bsnC=x3×26×55-=55 2 9 综上所述：条件①不能选：若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为5V5 17.如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD,EA/IPD,AD=PD=2EA=4,F,G,H 分别为PB,EB,PC的中点. 第22页/供36页 6学科网组卷网 (1)求证：GH/1平面PED: (2)求平面GFH与平面FHC所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 π (2)4 【解析】 G//PE,FH//BC/IAD 【分析】(1)证明 可证明平 GHF∥平面PED即可证明： (2)以D为原点，分别以直线DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，求出平面GFH与平面FHC的法向 量后可得锐二面角的大小 【小问1详解】 证明：因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点， 可得FG是△PBE的中位线，FH是△PBC的中位线， FG//PE,FH//BC 所以 因为EAIIPD,ADOPD=D,EAOAD=A, PEC平面PDE.且FGC平面PDE, ,所以可得FG/平面PDE 又因四边形ABCD是正方形，所以AD/IBC,所以可得FHI/BCI/AD, 第23页/供36页 命学科网命组卷网 ADC平 PDE,且Ht平mPDE ，所以可得 H//PDE 平面 平面G FH∩FG=FFH,FGc ,所以平面Gr/平预PED 而GHC平面GF,所以可得GHII平面PED 【小问2详解】 建立如图坐标系，直线DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴， D 因为AD=PD=2EA=4, 所以可得各点坐标为D(0,00)4(4,00),C(0,40),B(4,4,0),P(0,0,4),E(4,02) 因F,G,H分别为PB,EB,PC的中点， 则由中点坐标公式可得F(2,22),G(4,2,),H(0,2,2) 所以可得FG=(20,-,F所=(-20,0)，HC=(0,2-2). 设平面GFH的法向量为%=(x,M),平面FHC的法向量为乃=(3，少，2)， n·F7=-2x=0 所以1 万FG=2x-2=0解之可得x=0,石=0取y=1则月=(0,10) 2·F7=-2x2=0 %C=2为-2，=0解之可得5=0,2，=为取为=1则%=(0,11 设平面GFH与平面FHC所成角为O, 第24页/供36页 6学科网命组卷网 n1·n2 0×0+1×1+0×1 1√2 os9= 则 V02+12+02V02+12+12V22, 0=I 可得4， 则平面GFH与平面FHC所成角的大小为4 18.每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运 动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，为了解该校学生参 与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下 表： 时间人数 [0,50) 50,60) 60,70) 「70,80) 80,90) 「90,100 类别 男 5 12 13 8 9 8 性别 女 6 9 10 10 初中 11-m 8 11 11 10 学段 高中 L 13 12 7 (1)从该校随机抽取1名学生，若己知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在[50,60)的概 率. (2)从该校参加体育锻练活动时间在[80,90)和[90,10)的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数 记为X,求随机变量X的分布列和数学期望： (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记 为么，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为凸、凸.写出一个m的值，使得 第25页/共36页 命学科网组卷网 4=4+华 2. (结论不要证明) 1 【答案】(1)5 (2)X的分布列为： X 0 1 2 P × ヌ 9 9 9 0房 (3)m=9 【解析】 【分析】(1)根据古典概型求解即可. (2)先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可： (3)分别计算凸，4，凸关于m的解析式可得答案 【小问1详解】 从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生， 9 估计该学生参加体育锻炼活动时间在[50,60)的概率为6+9+10+10+6+4ˉ5： 【小问2详解】 依题意，X的所有可能值为0,1,2， 参加体育锻炼活动时间在80,90)的学生总人数为15，其中初中生10人， 参加体育锻炼活动时间在90,100）的学生总人数为12，其中初中生8人， 记事件C为“从参加体育锻炼活动时间在80,90 的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 第26页/供36页 6学科网列组卷网 事件D为“从参加休育锻炼活动时间在90,100)的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， CD室.Pq-8号Po)-合号. 则Px-o-D-@rO-. (x-0)-r(cocm)r(c( PX=2-c0)=PqPo-号号. 所以X的分布列为： X 0 9 9 9 4 44 E(X)=0×。+1×。+2× X的数学期望 9 93: 【小问3详解】 根据表格人数可知： [50,10)内初中生的总体育锻炼活动时间=8×55+11×65+1x75+10x85+8x95=3590 [50,10)内高中生的总体育锻练活动时间-13×55+12×65+7×75+5x85+4x95=2825, ,L（11×25+3590+2825)=66.9 则4=100 2390+25 4=39n[25l-4359则]-0m 第27页/供36页 学科网命组卷网 h= 25m+2825)=25+1800 41+m 41+m, 由%丝+丝 83.8= 2390,1800 2,得 59-m41+m,解得m=9. .x2y2 19已知稀因B:云+存=1a>h>0),直线x十V2y+22=0经过椭圆E的左顶点A和下顶点B: (1)求椭圆E的方程和离心率： (2)设过点G(0,)6>0)且斜车不为0的直线交椭圆E于C,D两点，直线BC,BD与直线y=t的交点 ,线段CD,Pg P, M,N 分别为 的中点分别为 ·若直线MW 经过坐标原点，求8+（的取值范围。 x2,y2 √2 【答案】山8+41，离心幸号 (2)[4,+o) 【解析】 a,b 【分析】(1)由直线方程确定，进而可求解： (2)设CD方程为y=c+s(k≠0），点C(,H),D(:,乃），联立椭圆方程，结合韦达定理得到N的 能标为(-2，用白宜线BC:y=2-2 y=h+2x-2 x，直线BD: 得点 小 +2)压++2)=4，化简得 再由线段P吧的中点为N得片+2为+2 到st=4,进而可求解. 【小问1详解】 因为直线x+V2y+2V2=0与坐标轴交点为4(2N2,0)和B(0,-2), 第28页/共36页 6学科网6组卷网 所以a=2V2,b=2 由口=+c,解得c=2, x2.y2 所以椭圆E的方程为8+41，离心率e=。 a2 【小问2详解】 由题意，直线CD的斜率存在，故设其方程为y=c+s(k≠0）， 设点C(,),D(x,) y=kx+s, 由+兰=1预（22+1r+4x+2x2-8=0 84 所A=1-42+2s2-0+华 .2s2-8 -2k2+1 所以点M的横坐标=当5。，二26 22=2k2+1,纵坐标w=w+5=2K2+1. +2y=0 结合直线 MN 过坐标原点，可得直线MW 的方程为 令y=1,得点N的坐标为-2，)】 C,D 当s≠2时，显然点C,D不在》轴上. 第29页/供36页 6学科网列组卷网 y≈当+2 .x-2 则直线BC: 直线D:+2 专2 +2)五++2)五=-4 由线段PQ的中点为N,得y+2y2+2 整理，得（41+2M+4)x+(431+1+2+2)(G+)+4a+2}2=0. n47+24),471+2e+246+2-0 化简，得(+2)(s1-4)=0 k≠0，s>0ms1=4 由 ，得 C,D 当8=2时，由慰意，点9 D中有一个与点C重合（不妨设点D与点G重合）， 处0为BD中点，且O(0,), 在△BCD中，OM∥BC,则直线BC的方程为'=~)x2 由F的中点为N,则+2)=-2，即1=2，故1=4， 所以5+1≥2W5t=4,当且仅当s=1=2时等号成立 综上，y+的取值范围为[4，+∞) 20.已知函数f)=x- xt-he (若k=1,求曲线'=f)在0，f0》处的切线方程， 在 第30页/共36页 6学科网6组卷网 (2)若f心田在+切)上单调递藏，求实数的取值范国， (3)若≤k<2,求证：函数"=/在0，+o)上有极大值m,且3<m<1 【答案】(1)xy-2=0 (3)证明见解析 【解析】 【分析】(1)求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程： (2)求导，根据导数与函数单调性列不等式求解即可； (3)先对()求导，然后构造函数8()=2e(x+少，再对8（求导，根据导数判断函数8（✉） 的单调性， 进而判断了(x)的单调性，最后根据对勾函数的单调性求出极大值的取值范围， 【小问1详解】 =1时.心，f0=1-e=2,即物为0-2。 国本正e,了O-2-e=1,即y了因在0-2处切线胸 故曲线y=f()在(0，f(0刃处的切线方程为x-y-2=0: 【小问2详解】 e=2g+少 f 2 (x+1)2 若f田在从，+w 上单调递减， k≥2 则2-ke(x+1)2≤0在L,+o)上恒成立，即e*(x+1)2, 第31页/供36页 6学科网列组卷网 因为y=e在L,+o)单调递增， y=(x+1在，+o)单调递增， 所以'=e(+1在(0，+o)单调递减 2 当x→+时，e(x+1 2e, [1 所以实数k的取值范围为2 ,00 【小问3详解】 +e*=2二ex+1f 2 (x+1)2 令8()=2-e(x+l,x∈(0，+o）,1sk<2, y=e在(0，+o）单调递增，且ye>0 y=(x+ヅ在(0，+0)单调递增，且y=(x+>0, :.g(y)在(0，+o)单调递减， 8(0)=2-k∈(0,1]g()=2-4ek∈(2-8e,2-4e] 即8(0)>0.g()<0 ∴存在唯一的元∈(0，+o）,使8()=2-ke(,+=0,即f()=0, 当x∈(0，)时，()>0，即f()>0,f(:在(0，)单调递增， 当x(,to时，8(0，即'()<0，f(在(，+o)单调递减， 第32页/供36页 6学科网6组卷网 (四在x=名处取得极大值，设极大值()=m, 即f3)=e=。-12-3 6+1。+1(6+民+m. 令()=r-3 (x+1)2,x∈(0，+o) hx)=-3=1-2+2）1 2(x+2) 2 ）(x+1-1(x+(x+2-2(x+2)+1(x+2)+c+2 -2, 对勾函数y=(x+2)+ (x+2)在(0，+o)单调递增， .(x+2)+1 1_5 、>2+ (x+2)222, (0x+2)+12之2 （x+2) 2 0< -<4 1。-2， (x+2)+(x+2) 2 -3<1- -<1 e+2*22 即3<h<1,-3<m<1 21.已知有穷整数数列4：a,a,a,(之4)，满足4=a,=l记集合0为 {B:6,b,…,b6=b.=lb=a-a,或=a1-a1,或6=a+a1,i=23,…,n-.若数 列A∈2，则称数列A是2的“恒元”. 第33页/共36页 学科网命组卷网 A:1,3,4,1 (1)已知数列 请写出2中所有满起么<么的数列： （2)当n=3m+2(m∈N)时，是香存在数列A满足4，=2，且A是2的“恒元？若存在，请写出一个 满足条件的数列A;若不存在，请说明理由： (3)当数列4是2的恒元时，若4,4，，a。是”-2个连续正整数的一个排列，求数列4的项数n 的最大值 【答案】(1) 1,3,4,11,-3,4,11,-3,2,11,-3,-2,1 (2)不存在，理由如下： 假设存在满足条件的数列A, 则满足 ie{2,3,,3m+,有4=a-a,或4=a-an,或4=a+an。 所以4与a+a同为奇数或同为偶数. 所以4+4+a1是偶数。 3m+2 3m+l 3m+1 所以4=4++a2=2+“是得数 2 32 又 a=3+ i=3 是奇数，矛盾· i=3 所以假设不成立，不存在满足条件的数列A. (3)7 【解析】 【分析】山)分析得么∈{3,35,4∈{-2,24，再写出满足恩思意的数列即可： (2)假设存在满足条件的数列4，则分析有a+a+a+是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明 不存在： (3)首先分析得当n≥7时，有k之5，再分。2=01-和0=0：=1 讨论即可 第34页/供36页 6学科网命组卷网 【小问1详解】 因为数列4：13,41，所以2中的数列满足么∈{3,35，A∈{-22,49.因为人<么， 2<b3 所以2中所有满足 的数列有 1,3,4,11,-3,4,11,-3,2,11,-3,-2,1 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当数列A是2的“恒元”时， 因为数列4中，凸，4，，4,1是”-2个连续正整数的一个排列， 所以当2<i<j≤n-l时，有4≠0，且至多一项为1. 不妨记”、=maxa,4,,a}=k 大，所以+a=k=0,且k≥2 当k≤4时，n≤6 当n≥7时，有k≥5， 此时02=a-010,或02=0-0=0 又4=0n-1 所g0-%1.8=-八欧8a=a1414-1 @当，=0n时，有%+1=，变%-2=，所以%=m-1.或者%=3 当%=n-l时，有03=1,02=k-1,a,=k,0.=1, 所以04=a.2-0,=k-2.03=44-0,=k-3a,6=4,4-0,=1 因为43=1，a,=1,所以n-6=1.所以n=7. 第35页/供36页 命学科网命组卷网 3时，有4=1,4=k-1.4=ka4=1 当名= 所以n=4(舍). ②当1=21时，有%-1=1，或%+2=n所以人=2.或者%=n-2 当%=2时，有4=1,4=k,4=k-1,a4=1, 所以4=4-a=k-2.a6=a-a,=k-3a,=1 所以n=7. 当%=n-2时，有0=1,02=k,0=k-1,0,=1 所以n-3=1.所以n=4(舍). 又由于数列A:l,2,31,4,5,1和A:1,5,4,1,3,2,1满足条件. 综上所述，ax=7 第36页供36页