精品解析：北京市清华大学附属中学2025-2026学年高三上学期统练七数学试卷

统练7 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为等差数列的前项和.已知，，则（ ） A. 为递减数列 B. 数列为递增数列 C. 为递增数列 D. 5. 已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为单位向量，则“”是“与的夹角是钝角”的（　　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 面积的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 9. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 10. 已知曲线：，下列说法正确的是（ ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中常数项为80，则____________． 12. 已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为____________． 13. 已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是__________．（只需写出一组） 14. 已知，若方程有个实数解，则实数的取值范围是____________.若，都有，则实数的取值范围是____________． 15. 已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，.给出下列四个结论： ①当，时，； ②，； ③存在，使得，为等腰直角三角形； ④任取，为递增数列. 其中所有正确的结论是_____. 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，已知，． （1）求的值； （2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，F，G，H分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小． 18. 每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数 类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． （2）从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．（结论不要证明） 19. 已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若，求证：函数在上有极大值，且． 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 统练7 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式划化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】由或，又 ， 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 3. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及对数函数的性质、指数函数的性质，基本不等式可求得结果. 【详解】对于A，，则，所以，该选项错误； 对于B，若，满足，但，该选项错误； 对于C，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，该选项正确； 对于D，，所以，因为，所以， 但跟0的大小关系不确定，所以不能确定， 所以不能得到，该选项错误； 故选：C. 4. 设为等差数列的前项和.已知，，则（ ） A. 为递减数列 B. 数列为递增数列 C. 为递增数列 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，求出的通项公式，结合数列的性质，可判断各选项的准确性. 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以. 所以. 所以为递增数列，故A错，C正确； 又当时，.所以当时，单调递减，故B错误； 因为，故D错误. 故选：C 5. 已知直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。 【详解】直线恒过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A. 6. 已知为单位向量，则“”是“与的夹角是钝角”的（　　　） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及夹角公式求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】单位向量，由，得，解得， 则，因此， 所以“”是“与的夹角是钝角”的必要而不充分条件. 故选：B 7. 过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：， 因为. 由，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 8. 如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ） A. 不存在点P，使得 B. 的最小值为 C. 面积的最小值为 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 【答案】D 【解析】 【分析】对于A项，通过证明平面可得出，进而得出使得的P点的位置；对于B项，通过对两个面的翻转和几何知识求出，进而求出的最小值；对于C项，通过转化，表达出三棱锥的两种体积的表达式，即可求出点P到的距离的最小值，进而求出面积的最小值；对于D项，通过转化，分别得到点P到面的距离为点M到面的距离，点P到面的距离为点M到面的距离，表达出三棱锥与三棱锥的体积之和，即可求出三棱锥与三棱锥的体积之和为定值. 【详解】解：在直三棱柱中，，， ， ∴. 在中，，，, ∴, ∴. ∵,平面，，， ∴平面，平面. 在矩形中，， 如下图，连接，，， ∴，∴. ∵,平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∴当点P为和的交点时，， 故A错误; 将和沿展开，连接交于点D，当点P与点D重合时的值最小，如下图所示： ，， ，， . 在中，由余弦定理得， , 故B错误； 连接， 点P到的距离的最小值为直线与之间的距离d， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴点A到面的距离为d， 在三棱锥中，, 即，解得：， ∴，故C错误； 过点P作直线，交于点M，如下图所示， ∴点P到面的距离为点M到面的距离，设为， 点P到面的距离为点M到面的距离，设为. 在中，由几何知识得，，，， ∴. ∴三棱锥与三棱锥的体积之和为 ， 故D正确. 故选:D. 9. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可． 【详解】由得在上单调递减， 当时，， 当时，要递减，且， 对于A，当时，，不合题意，故A错误； 对于B，当时，，不合题意，故B错误； 对于C，当时，，符合题意，故C正确； 对于D，当时，，不合题意，故D错误； 故选：C． 【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题． 10. 已知曲线：，下列说法正确的是（ ） ①曲线关于轴对称； ②存在，使得曲线与坐标轴的交点个数为3； ③曲线围成的区域面积是关于的增函数； ④当时，直线：与曲线有且仅有2个交点． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】因为曲线C中含有，所以对分情况讨论，得到曲线C的方程，因为方程含参数，所以需要对分，，三种情况，可以画出三个图，然后根据图形判断四个选项即可. 【详解】对于①：因为，所以有， 即为：当时，， 当时， 当时，曲线C即为，关于y轴对称， 当时，曲线C表示的是关于y轴对称的圆的部分图象. ①正确； 对于②：当时，，所以曲线C过点，， 当时，，即：，所以曲线C过点，， 当时，曲线C与坐标轴有两个交点，当时，曲线C与坐标轴有四个交点， 所以②错误； 对于③：当时， ， 如图所示： 当时，曲线C表示的两个圆的方程分别为： ，圆心为，半径， ，圆心为，半径， 由②知，曲线C过，两点， 当时，如图所示： 由图可知，曲线C恒过，，且两个圆的圆心纵坐标均为1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 当时，如图所示： 由图可知，曲线C同样恒过，，且两个圆的圆心纵坐标还是1， 所以曲线C围成的区域面积随的增大而增大； 且时，区域面积介于和之间， 所以曲线C围成的区域面积是关于a的增函数，③正确； 对于④：当时，若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点； 若，联立， 整理得：，解得：或， 即与曲线C有且仅有2个交点，所以④正确. 故答案为：C 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中常数项为80，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可建立等式求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中常数项为，解得. 故答案为： 12. 已知双曲线的焦距是实轴长的2倍，且经过点，则它的标准方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，根据焦距与实轴长的关系及可得，对焦点所在位置分类讨论，代入点求出参数即可得双曲线的标准方程. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 因为双曲线的焦距是实轴长的2倍， 所以，即. 因为，所以，即. 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点， 所以，即，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，则双曲线的标准方程为， 所以，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 13. 已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是__________．（只需写出一组） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】因为，且存在非零实数，，使得对都成立， 所以. 当时，，即. 因此当时，符合题意. 故答案为：. 14. 已知，若方程有个实数解，则实数的取值范围是____________.若，都有，则实数的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在取值为正，负，零三种情况下，分别作出分段函数图像，数形结合确定的取值范围. 【详解】若： 当时，的图像为开口向上，顶点的抛物线； 当时，的图像是将图像向右平移个单位. 则的图像如下. 因为，若方程有个实数解，则有，解得. 而此时，不成立. 若： 当时，的图像为开口向下，顶点的抛物线； 当时，的图像是将图像向左平移个单位. 则的图像如下. 此时方程只有个实数解，不满足条件. 而此时，为增函数，都有恒成立. 若： 当时，的图像为一条水平射线； 当时，. 则的图像如下. 此时方程只有个实数解，不满足条件. 而此时，不成立. 综上所述，若方程有个实数解，则实数的取值范围是； 若，都有，则实数的取值范围是. 故答案为：；. 15. 已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，.给出下列四个结论： ①当，时，； ②，； ③存在，使得，为等腰直角三角形； ④任取，为递增数列. 其中所有正确的结论是_____. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由题意可知：.对于①：直接代入运算即可；对于②：根据题中关系式相加整理可得，即可得结果；对于③：根据题中关系式相减整理可得，结合等比数列分析判断；对于④：由②可知点在以为直径的圆上，由③可知：数列为递减数列，结合圆的性质分析判断即可. 【详解】由题意可知：. 对于①：当，时，则，即，故①正确； 对于②：因为，， 两式相加可得， 则，即，可得，故②正确； 对于③：因为，， 两式相减可得， 若，则， 可知数列是以公比为的等比数列， 则，即对任意恒成立， 所以不存在，使得，为等腰直角三角形，故③错误； 对于④：由②可知，即的斜边长为定值， 所以点在以为直径的圆上， 以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设该圆与y轴交点为， 由③可知：， 则，可知数列为递减数列， 即两者之差越来越小，则点越来越接近点（或）， 则斜边上的高越来越大，即面积越来越大， 所以为递增数列，故④正确； 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：对于④的关键在于：将数列问题转化为圆的问题，进而结合图形分析判断. 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，已知，． （1）求的值； （2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2） 条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 【解析】 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【小问1详解】 因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，F，G，H分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明： 因为F，G，H分别为，，的中点， 可得是的中位线，是的中位线， 所以， 因为，,, 平面，且平面，所以可得平面 又因四边形是正方形，所以，所以可得， 平面，且平面，所以可得平面, ，平面，所以平面平面， 而平面，所以可得平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明可证明平面平面即可证明； （2）以为原点,分别以直线为轴, 为轴,为轴，求出平面与平面的法向量后可得锐二面角的大小. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 建立如图坐标系，直线为轴, 为轴,为轴， 因为， 所以可得各点坐标为， 因F，G，H分别为，，的中点， 则由中点坐标公式可得， 所以可得， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 所以，解之可得，取，则， ，解之可得，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 可得， 则平面与平面所成角的大小为 18. 每年8月8日为我国的全民健身日，倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数 类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 8 11 11 10 8 高中 m 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率． （2）从该校参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为，初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．写出一个m的值，使得．（结论不要证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解即可. （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. （3）分别计算关于的解析式可得答案. 【小问1详解】 从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生， 估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率为； 【小问2详解】 依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； 【小问3详解】 根据表格人数可知： 内初中生的总体育锻炼活动时间， 内高中生的总体育锻炼活动时间， 则， ， ， 由，得，解得. 19. 已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【答案】（1），离心率 （2） 【解析】 【分析】（1）由直线方程确定，进而可求解； （2）设方程为，点，联立椭圆方程，结合韦达定理得到的坐标为，再由直线：，直线：．得点．再由线段的中点为，得，化简得到，进而可求解. 【小问1详解】 因为直线与坐标轴交点为和， 所以． 由，解得， 所以椭圆的方程为，离心率． 【小问2详解】 由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， 设点， 由得， 所以． 所以点的横坐标，纵坐标． 结合直线过坐标原点，可得直线的方程为． 令，得点的坐标为． 当时，显然点不在轴上． 则直线：，直线：． 令，得点． 由线段的中点为，得， 整理，得， 即， 化简，得． 由，得． 当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合）， 处为中点，且， 在中，，则直线的方程为， 由的中点为，则，即，故， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，的取值范围为. 20. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若，求证：函数在上有极大值，且． 【答案】（1） （2） （3） 证明：， 令，，， 在单调递增，且， 在单调递增，且， 在单调递减， ，， 即，， 存在唯一的，使，即， 当时，，即，在单调递增， 当时，，即，在单调递减， 在处取得极大值，设极大值， 即， 令，， ， 对勾函数在单调递增， ， ， ， ， 即，. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）求导，根据导数与函数单调性列不等式求解即可； （3）先对求导，然后构造函数，再对求导，根据导数判断函数的单调性，进而判断的单调性，最后根据对勾函数的单调性求出极大值的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，即切点为， ，，即在处切线的斜率为， 故曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 若在上单调递减， 则在上恒成立，即， 因为在单调递增， 在单调递增， 所以在单调递减， 当时，， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 【答案】（1）；；；. （2）不存在，理由如下： 假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． （3）7 【解析】 【分析】（1）分析得，再写出满足题意的数列即可； （2）假设存在满足条件的数列，则分析有是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明不存在； （3）首先分析得当时，有，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $