寒假作业10 数轴与线段上的动态问题（巩固培优）（积累运用+巩固提升10大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业10数轴与线段上的动态问题 【知识储备】 1、若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b， 则AB两点间的距离； AB的中点对应的数字是：。 2、数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 3、分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 4、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 5、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1动态规律（左右跳跃）模型 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2动态中点与n等分点模型 3．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 题型3多动点匀速模型 5．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 6．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 题型4 单（多）动点变速模型 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 8．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 题型5动点往返运动模型 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．其中b是最大的负整数，且a，c满足．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C，到达点C后再返回运动到点B并停止．    (1) ， ， ；(2)在点P运动的过程中，当点P运动x秒时，，求x的值． 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1)　　　　，　　　　，　　　　． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数．③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 题型6数轴上的线段移动模型 11．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 题型7动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 13.（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 14.（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 题型8动态线段中的‌定值模型 15.（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ；(2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．①求运动多少秒时，线段重合的长度为2；②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 16.（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 题型9动态线段中的存在性模型（探究型） 17.（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 18.（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒．①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 题型10动态线段中的新定义模型 19.（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 20.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 7.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，，其中正确的是 ． 8.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 9．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 11.（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts．(1)当时，点M，N到达“______分时刻；(2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？ (3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？(4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：    ①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是_ ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？ 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球、、，左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若球在数轴上表示坐标原点，球表示的数为40，则球表示的数为_______，右挡板表示的数为_______． 任务2 碰撞实验中，若球以每秒的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出球第一次和第二次撞向右挡板的时间． 任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时，球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案） 6．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 7.（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 8.（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业10数轴与线段上的动态问题 【知识储备】 1、若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b， 则AB两点间的距离； AB的中点对应的数字是：。 2、数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 3、分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 4、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 5、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1动态规律（左右跳跃）模型 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第113秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 【答案】1 【详解】解：第1次向右运动1个单位长度，用时1秒，在数轴上对应的数为1， 第2次向左运动2个单位长度，用时2秒，在数轴上对应的数为， 第3次向右运动3个单位长度，用时3秒，在数轴上对应的数为2， 第4次向左运动4个单位长度，用时4秒，在数轴上对应的数为， 第5次向右运动5个单位长度，用时5秒，在数轴上对应的数为3， 第6次向左运动6个单位长度，用时6秒，在数轴上对应的数为，…，发现第n次运动n个单位长度，用时n秒，n为奇数时，在数轴上对应的数为，n为偶数时，在数轴上对应的数为， ∵，，∴，， ∴第113秒是在第105秒后的第8秒，∴第113秒的位置是第14次终点向右运动第8秒的位置， ∵，∴，∴第113秒时，点P在数轴上所对应的数是1，故答案为：1． 2．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意每前进步后退步的程序运动则有 ，，，，， ，，，，， ，，，，，，故正确，正确； 由上可知，“前进步后退步”这秒组成一个循环结构， 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数，第个循环第个数，…… 第个循环第个数，第个循环第个数， ∵，∴在第个循环第个数， ∵，∴，，，故正确； 由上规律可得：∵，∴，∴， ∴，故正确，综上可知：正确，故选：． 题型2动态中点与n等分点模型 3．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【详解】解：∵点表示的数为，，∴，∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时，即， ∴或，解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等．故选：B． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，O为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点N所对应的数为_____． 【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为1？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为． 填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点，则我们有等分点公式：点M对应的数为_____．（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1）∵，∴，，解得：，， ∴点对应的数为，点对应的数为，∴的中点N所对应的数为； （2）由（1）知，，，则点所对应的数为，点所对应的数为． 则中点所对应的数为，解得：． （3）∵数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的等分点， ∴点M对应的数为． 题型3多动点匀速模型 5．（24-25七年级上·重庆南岸·期末）如图，在数轴上点，表示的数分别为，7．点，数轴上的动点，点从点出发，每秒2个单位长度的速度运动，点从出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动．点，同时出发，相向而行，当点，两点的距离为12个单位长度时，点在数轴上表示的数为（   ）    A．0 B．7 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数分别为， 、两点间的距离为12个单位长度，，解得：， ∴点在数轴上表示的数为故选：D． 6．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，则的长度为______； （2）如图1，已知线段上有一点B，点D为的中点，，猜想的长度（用含a、b的代数式表示），并说明理由； （3）如图2，已知数轴上有一点A表示的数为，点A的右侧有三点B、C、D，，．若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，点D以每秒1个单位长度的速度向左运动；三个点同时运动，当点C运动到A点时，三个点都停止运动．设运动的时间为t秒，试求当t为何值时，B、C、D中的一点是另外两点为端点的线段的中点？ 【答案】（1）11；（2），理由见解析；（3）当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 【详解】（1）解：如图1：∵，∴， ∵D是的中点，，； （2）解：，理由如下：如图1：∵，∴， ∵D是的中点，，∴． （3）解：A表示，点表示5，点C表示21，点D表示17，当运动的时间为t秒时，点B表示，点C表示，点D表示，点，，， ①当点C在点D的右侧，即，解得：， ∴当时，如图2所示，D是的中点，由题意可得：， 即，解得：，不符合题意，舍去； ②当点C在点D的左侧且点C在点B的右侧，即，解得：， ∴当时，如图3所示，C是的中点， 由题意可得：，即，解得：，符合题意； ③当点C在点B的左侧且点D在点B的右侧，则，解得：， ∴当时，如图4所示，B是的中点，由题意可得：， 即，解得∶，符合题意； ④当点D在点B的左侧到停止前，则，解得：， ∴当时，如图5所示，D是的中点，由题意可得：， 即，解得，符合题意． 综上所述，当t的值为、或8时，B、C、D中的一点是另外两点组成的线段的中点． 题型4 单（多）动点变速模型 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 8．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)18.5秒(2)(3)14.5或19.5 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）；答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为：（秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为：， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，，共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，，∴，解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，，，解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 题型5动点往返运动模型 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．其中b是最大的负整数，且a，c满足．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C，到达点C后再返回运动到点B并停止．    (1) ， ， ；(2)在点P运动的过程中，当点P运动x秒时，，求x的值． 【答案】(1)，，9(2)或1或或 【详解】（1）解：∵，∴，解得， ∵b是最大的负整数，∴．故答案为：，，9； （2）当点P在线段上时，． 因为，所以． 又因为，所以． 当点P的运动状态是从B到A时，如图所示，因为，所以，所以；         当点P的运动状态是从A到B时，如图所示，因为，所以，所以； 当点P在线段上时，．因为，所以． 又因为，所以． 当点P的运动状态是从B到C时，如图所示，因为，所以，所以；       当点P的运动状态是从C到B时，如图所示，因为，所以，所以． 综上所述，x的值为或1或或． 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知是关于的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为和．如图，在数轴上点，，所对应的数分别是，，，为原点，数轴上有一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为． (1)　　　　，　　　　，　　　　． (2)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴上点和点之间往复运动． ①当为何值时，点第一次与点重合？ ②当点运动到点时，点的运动停止，求此时点一共运动了多少个单位长度，并求出此时点在数轴上所表示的数．③设点，所对应的数分别是，，当时，，求的值． 【答案】(1)，，(2)①②点一共运动了个单位长度，此时点在数轴上所表示的有理数为③ 【详解】（1）解：根据二次多项式的定义可得：，，， 解得：，故答案为：，，； （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是， ，，， ∴点从点到点用时:（秒），点从点到点用时:（秒）， 此时点运动的长度为：个单位长度，∴点在的中点， 设再经过秒两点第次重合，则有，，解得：，（秒） 答：当时，点第一次与点重合； ②∵点表示的数是，点表示的数是，， ∴点从点到点用时：（秒），则点一共运动了个单位长度， ，∴此时点在数轴上所表示的有理数为：； ③当时，点在上，点在上运动，，， ，，即：，解得：． 题型6数轴上的线段移动模型 11．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值；(2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【答案】(1)，，14(2)22，11(3)或15 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，∴，，， ∴，，； （2）解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14，∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒），故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； （3）解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：，， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：，即：，解得或； ③当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：，，解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段AB上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 【答案】(1)，(2)5，．(3)(4)或． 【详解】（1）解：由题意可得：在运动过程中，点B表示的数是， ∵点D在数轴上表示的数是14，线段的长度为4个单位长度， ∴点C表示，∴在运动过程中，点C表示的数是．故答案为：，． （2）解：∵线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14，∴点A表示，点C表示，∴在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， ∵当点C和点B表示的数相同时，开始重叠，∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始有重叠部分； ∵点D和点A表示的数相同时，开始不再有重叠部分；∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始不再有重叠部分．故答案为：5，． （3）解：∵在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，点C在线段上，∴，， ∵，∴，解得：，∴当点C在线段上，且时，t的值为． （4）解：∵当点C和点B相遇时，即点C和点B表示的数相同时，∴，解得：， ∵当点B与点D相遇时，即点D和点B表示的数相同时， ∴，解得：，此后点C的运动每秒个单位长度向左运动， ∴当点C和点B相遇后，时点C表示的数为5，以后点C表示的数为； 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：或不合题意舍弃； 当点B与点D相遇后，点C表示的数为 当点C在点A的右侧时，， ∵，∴，解得：符合题意或不合题意舍弃； 综上，当时，或． 题型7动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 13.（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点； （2）设运动时间为，则 ． 14.（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2(2)3(3) 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项，∴，故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则设，则，     故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，，解得：， ②当点在线段的延长线上时，，解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 题型8动态线段中的‌定值模型 15.（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ；(2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．①求运动多少秒时，线段重合的长度为2；②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3(2)①秒或秒；② 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，，∴；故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时，∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴，解得； 当时，∵，∴，解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒，∵运动路程为，运动路程为，则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n，∴，∴，∴．故． 16.（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或(2)(3)是，见解析 【详解】（1）解：∵，，， ，解得：，， 若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ，，； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ，； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ，∵点分别是线段的中点， ， ，∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下：设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴，∴， ∴．∴为定值． 题型9动态线段中的存在性模型（探究型） 17.（24-25七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为，点B表示的数为6．若动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数是____________，点N表示的数是____________；(2)当时，求t的值； (3)若点C为的中点，点D为的中点，当点M、N在线段上运动，且点M在点N的左侧时，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，4(2)t的值为3或5(3)，理由见详解 【详解】（1）解：当时，点M表示的数是，点N表示的数是． 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， 当点M在点N左侧时，，解得； 当点M在点N右侧时，，解得．所以当时，求t的值为3或5； （3）解：．证明：如图，当点M在点N的左侧时，，， 所以，所以， 因为点C为的中点，点D为的中点，所以，， 所以，所以， 所以，所以． 18.（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒．①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)①或；② 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点，∴，∴， ∵点在线段上且，∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时，∵，∴， ∵，∴，解得； 当P、Q相遇后，∵，∴，解得；故或；       ②，理由：∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．    题型10动态线段中的新定义模型 19.（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【详解】解：（1），根据题意得，，∴表示的数是； （2）①点C在线段上时，如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N，∴， 又，∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点，∴，∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下：①如图所示，当时，根据题意得，，解得； ②如图所示，当时，根据题意得，解得； ③如图所示，当时，根据题意得，解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得，解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 20.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足， 即，∴，故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点∴或，或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，规定：每向左运动秒就向右运动秒．则动点运动到第秒时所对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当动点从原点出发向左运动秒，到达的点表示的数为， 再向右运动秒到达的点表示的数为，动点运动秒向左移动个单位长度， ，动点向左运动了个秒， 动点运动到第秒时所对应的数是．故选：A． 2．（24-25七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】设，则，∴．∵，∴．设， 当点E在线段之间时，如图，    ∴，∴． ∵，∴，∴， ∴，∴； 当点E在线段之间时，如图，    ∴，∴． ∵，∴，解得：，不符合题意，舍；综上可得．故选B． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点，∴， ∴，故①正确；设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点，， ∴，， ∴的值不变，故②错误；， ，解得：，故③正确；故选：D． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、B、C、D为直线l上从左到右的四个点，且，动点P、Q在直线l上，点P从点A出发向右运动，同时点Q从点D出发向左运动，点P的速度是点Q的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵∴设 ∵点P的速度是点Q的速度的2倍∴设 ∴ ；∴若要知道的长，则只要知道的长，故选：C． 5．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【详解】解：设点Q的运动速度是， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以，整理得，解得，故答案为：． 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线上的三条线段分别为：，，，将线段固定不动，线段以每秒个单位的速度向右运动，、分别为、中点，设线段的运动时间为，当时， ． 【答案】6 【详解】解：设运动秒后，点表示，点表示，点表示，点表示， 为中点，为中点，点表示，点表示， ，，， 当时，．故答案为：． 7.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，，其中正确的是 ． 【答案】① 【详解】解：当在线段上时，∵，比的多5， ∴，解得：，则，∴， 当在线段外时，∵，比的多5， ∴，解得：，不合题意；故①正确； ∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，∴时间为时，，， 当在左边时，，∵，∴， ∴，∴， ∵N为的中点，∴，∴，∴； 当在右边时，，∵，∴， ∴，∴， ∵N为的中点，∴，此时不一定等于；故②错误， 当在左边时，，， ∴当时，则，解得：， 当在右边时，，， ∴当时，则，解得：，故③错误，故答案为：①． 8.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【详解】解：设运动时间为t， ∵，，，，， ∴，∴， ∴，∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵，，∴，∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵，，∴，∴，即； 综上所述，或1．故答案为：或1． 9．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，、两点在数轴上对应的数分别为和6．现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，当时，运动时间的值为 ． 【答案】2或 【详解】解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，∵，∴，解得； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，∴， ∵，∴，∴或， 解得或（舍去）；综上所述，或，故答案为：2或． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则 秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 【答案】或10或或20 【详解】解：设运动时间为t秒． 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点）， ∴，∴不存在的情况； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点O在线段上（不包含顶点），∴，根据题意得：，解得：； 当时，点B，O重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点B在线段上（不包含顶点），∴，，根据题意得：，解得：； 当时，点A，B重合，此时； 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点A在线段上（不包含顶点）， ∴，，∴不存在的情况． 综上所述，当或10或或20时，A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等． 故答案为：或10或或20． 11.（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts．(1)当时，点M，N到达“______分时刻；(2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？ (3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？(4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数． 【答案】(1)2(2)或(3)或或或(4)见解析 【详解】（1）解：当时，，，如图： ， ，∴．点M，N到达“2分时刻”．故答案为：2； （2）解∶当时，； 当时，； 当时，； 当M、N两点重合时，或，解得或， 点M，N到达“3分时刻”，． ①当 时，，∴，解得 ； ②当时，，∴， 解得 ，不合题意，舍去； ③当 时，，∴， 解得 ，不合题意，舍去； ④当时，，∴，解得 ； ⑤当时，，∴，解得 （舍去）； 综上所述，当t为或时，点M、N达到“3分时刻”； （3）解∶ 当时，； 当时，； 当时， ； 若时，则， 当M、N两点重合时， 或，解得或， ①当 时，，∴，解得 ； ②当时，，∴，解得 ； ③当 时，，∴，解得 ； ④当时，，∴，解得 ； ⑤当时，，∴，解得 （舍去）； 综上所述，当t为或或或时，点M、N达到“8分时刻”；故答案为：或或或； （4）解∶ 同（3）的方法可知，当时，有2个对应的t； 当时，有3个对应的t； 当时，有4个对应的t． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为，∴，， 当时，相遇，即，解得： 当时，， 当时，，∴， 由新定义可知或或， 当时，则，解得或（舍去） 当时，则，解得； 当时，则，解得或， ∴的最大值为，最小值为，∴，故选：D． 2．（24-25七年级上·四川广元·期末）已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动(点B在点C的左侧)，且，下列结论：    ①，； ②当点B与点O重合时，；③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，∴，，故①正确；∴， 当点B与点O重合时，点B在点C的左侧，∴C对应的数是2，∴，故②错误； 当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2， 设点P对应的数是x，则，，， ∴，故③正确； 设B表示的数为c，则C表示的数为， ∵M为线段的中点，∴M表示的数为， ∵N为线段的中点，A表示的数是4，∴N表示的数为 ∴，故④正确，∴正确的是①③④，故选：C． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为 (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是_ ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或(2)1.5，2.25，3，，9，13.5 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件，故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．故答案：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，，因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，当时，，因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧，当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，，9，13.5． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？ 素材1 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材2 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球、、，左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距． 素材3 在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动． 问题解决 任务1 根据素材2，若球在数轴上表示坐标原点，球表示的数为40，则球表示的数为_______，右挡板表示的数为_______． 任务2 碰撞实验中，若球以每秒的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出球第一次和第二次撞向右挡板的时间． 任务3 在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为时，球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案） 【答案】任务1：，70 ； 任务2：第一次7（秒）；第二次：43（秒） 任务3：． 【详解】任务1∶根据题意得∶，， 若A球在数轴上表示坐标原点，则C球在数轴的负半轴，右挡板E在数轴的正半轴， ∴C球表示的数为，右挡板E表示的数为．故答案为∶，70； 任务2∶根据题意得∶（秒）；（秒）． 答∶B球第一次撞向右挡板E的时间为7秒，B球第二次撞向右挡板E的时间为43秒； 任务3∶， ∵左挡板D在数轴的负半轴，∴左挡板D表示的数为． 根据题意得∶C球的运动范围为；A球的运动范围为；B球的运动范围为，， ∴当3个钢球运动的路程和为时，C球在运动此时离左挡板D的距离为， ∴此时C球在数轴上表示的数是．故答案为∶． 6．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为个单位长度，点O是原点． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________；点A在数轴上表示的数是________； (2)若线段的中点为，线段上一点，，点以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当时，求t； (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，请直接写出长方形运动的时间． 【答案】(1)，(2)或；(3)长方形的运动的时间为8秒或11秒． 【详解】（1）解：由题意知，，则点H对应的有理数为：； 由于点在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为个单位长度，， 则，所以点A表示的数为：，故答案为：，； （2）解：因，，则点M、N对应的数为、， 由题意知，它们运动秒后M、N点对应的数分别为：、， 由题意得，解得或； （3）解：设长方形运动的时间为秒，当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后D、E点对应的数分别为：、， ∵，解得； 当运动到如图时，，重叠部分面积为； 长方形运动秒后A、H点对应的数分别为：、， ∵，解得；综上，长方形的运动的时间为8秒或11秒． 7.（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(3) 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴，依题意，， 当点与点相遇时，解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵，当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：，∴ 8.（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)能重合，(4) 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，，∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点．∴，∴，解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴．解得：；故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，解得：．当时，线段与线段的长度相等． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $