寒假作业08 探究与表达规律（巩固培优）（积累运用+巩固提升7大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 探究与表达规律 1.规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 2、规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1数列的规律 1．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）观察下列一组数：，4，，16，，64，…，请根据你发现的规律写出这组数的第n个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：观察可知：这组数的第n个数为；故答案为：． 2．（2025·云南文山·二模）按一定规律排列的单项式： ，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由所给的单项式可得，系数为，则第n个单项式的系数为， 由所给的单项式可得，次数为，则第n个单项式的次数为， 第个单项式为：，故选：D． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）观察这两组数：①；②．取每组数的第7个数，计算这两个数的和是（    ） A．60 B．85 C．92 D．100 【答案】C 【详解】解：根据题意，第①数据，第个数为，则第7个数为， 第②数据，第个数为，则第7个数为， ∴取每组数的第7个数，这两个数的和．故选：C． 题型2数（图）表的规律 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 【答案】A 【详解】解：，， 第24个数在从开始的第行的第个数， 观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，， 由从开始的第行的数依次为：，，，，，， 由从开始的第行的数依次为，，，，，，，第24个数为，故选：A． 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在如图方格表中，，且两两互不相等，则满足条件的方格表共有 张． 【答案】16 【详解】解：因为，所以两数之和可为， 又因为两两互不相等，故一定有一个数为2或， 不妨设，则，则只能一个为，另一个为0，有2种情况， 同理，若，则，则只能一个为1，另一个为0，有2种情况， 所以取到最值的情况有4种，那么还有分别按照上述思路考虑， 故共有种，故答案为：． 题型3算式的规律 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列各式： ； ； ；…… 由此我们可以得到：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：，故选：C 7．（24-25七年级上·北京·期中）如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1)(2)(3)2500 【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子，第二层有个棋子， 第三层有个棋子，第四层有个棋子，第五层有个棋子， 第六层有个棋子，……，由此发现，第n层有个棋子，故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或，因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 当，即时，∴． 题型4图形的规律（一次类） 9．（2025·重庆·校考二模）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：∵第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，…；∴第n个图案棋子的颗数为， 依题意，解得：故选：C． 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）周末，赵宇在家用木棍摆六边形，如图，摆一个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，按此规律摆个六边形需要的木棍根数为（   ）    A．根 B．根 C．根 D．根 【答案】C 【详解】解：摆一个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根）， 摆个六边形需要木棍（根），，∴摆个六边形需要木棍（根）， ∴当时，需要木棍（根），故选：． 题型5图形的规律（二次类） 11．（2025·陕西宝鸡·一模）围棋，起源于中国，古称“弈”，是棋类之鼻祖，距今已有4000多年的历史．现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案，则第11个正方形图案有黑子 个． 【答案】 【详解】解：∵第1个正方形图案有黑子个数为：， 第2个正方形图案有黑子个数为：， 第3个正方形图案有黑子个数为：，……， ∴第11个正方形图案有黑子个数为：，故答案为：． 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第5个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】90 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， ∴第5个图中平行四边形的个数是：（个），故答案为：90． 题型6图形的规律（指数类） 13．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【详解】（1）解：画图如下，，故答案为：；    （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ，∴，故答案为：； （3）解：由图知，，，， ，，∴第个等式，故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴可推导一般性规律为：， ∴，，，…… ，，将等式左右同时相加得，， ∴， 解得，，故答案为：． 题型7循环规律类问题 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（    ） A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年 【答案】B 【详解】解：(年),，， ∴天干为己，地支为丑，∴1949年应为己丑年.故选: B． 16．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，正方形的边长为1，电子蚂蚁从点以1个单位长度/秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点以3个单位长度/秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2025次相遇在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：设电子蚂蚁和的运动时间为秒，则当电子蚂蚁和第1次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点，当电子蚂蚁和第2次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第3次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第4次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点，当电子蚂蚁和第5次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点，归纳类推得：每四次为一个循环，∵，∴电子蚂蚁和第2025次相遇的地点与第1次相遇的地点相同，即为点，故选：D． 17．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）在如图所示的运算程序中，若第1次输入的值为2，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：根据所提供运算程序可得，第1次输入，则第1次输出的结果为， 第2次输入，则第2次输出的结果为，第3次输入，则第3次输出的结果为， 第4次输入，则第4次输出的结果为，第5次输入，则第5次输出的结果为， 第6次输入，则第6次输出的结果为，第7次输入，则第7次输出的结果为， 第8次输入，则第4次输出的结果为，， ∴从第2次开始，结果按，，的顺序循环出现， ，第2024次输出的结果为．故选：B． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，…，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去第10行从左边数第9个数是（   ） A． B．90 C． D．91 【答案】B 【详解】解：第一行有1个数，前两行有个数， 前三行有个数，前四行有个数，……， 以此类推，前n行共有个数，∴前9行一共有个数， ∴第10行从左边数第9个数是第90个数， 观察可知，当k为奇数时，第k个数是，当k为偶数时，第k个数为， ∴第10行从左边数第9个数是，故选：B． 2．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【详解】解：第①个图案中有个菱形，第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形，第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形，∴第⑧个图案中菱形的个数为，故选：C． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期中）五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从为第二次“移位”．若小宇从编号为4的顶点开始，第2019次“移位”后，那么他所处的顶点的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据题意，小宇从编号为4的顶点开始， 第1次移位到达点3，第2次移位到达点1，第3次移位到达点2，第4次移位到达点4，…， 依此类推，4次移位后回到出发点，． 所以第2019次移位为第504个循环组的第3次移位，到达点2．故选：B． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知整数，，，，…，满足下列条件：，，，，…，，以此类推，则的值为（   ） A．1010 B．1009 C．1011 D．2020 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，……， 以此类推可知，，，…，这一列数每两个数为一个循环，每个循环内的两个数相等，且每增加一个循环，对应循环的数就加1，∵，∴的值为，故选：A． 5．（24-25七年级上·山东济宁·期中）苯的同系物是化工生产中重要的原料，如图是一系列苯的同系物的结构模型，其中黑球代表碳原子，白球代表氢原子，图①有7个碳原子，8个氢原子；图②有8个碳原子，10个氢原子；图③有9个碳原子，12个氢原子……按照其结构规律，若某种苯的同系物有18个碳原子，其氢原子数个数为（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】B 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为，氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为，氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为，氢原子的个数为：；…， 所以第n种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为个，氢原子的个数为个， ∵某种苯的同系物有18个碳原子，当时，（个）， 即某种苯的同系物有18个碳原子，其氢原子数个数为30个．故选：B． 6．（24-25七年级·江苏·假期作业）计算：，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数是 ． 【答案】4 【详解】解：∵，…， ∴计算结果中的个位数字按4、0、8、2依次循环． ∵余1，∴的个位数字与的个位数字相同．故答案为：4． 7．（2025·陕西渭南·一模）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为“正方形数”，则第个“正方形数”可以用表示为 ．           【答案】 【详解】解：由图可得：第个“正方形数”为，第个“正方形数”为， 第个“正方形数”为，第个“正方形数”为，第个“正方形数”为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律，根据图中数字的规律， ．    【答案】 【详解】解：由表可得：，；，；，； ∴，；∴．故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）观察下列式子： ， ， ， 探索以上式子的规律，试写出第个式子________． 【答案】 【详解】解：∵第1个等式，即， 第2个等式，即， 第3个等式，即，…， ∴第n个等式，故答案为：． 10．（24-25七年级上·北京·期中）填空： （1）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． （2）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． 【答案】 28 【详解】解：（1）观察可知：奇数位置的符号为负，偶数位置的符号为正，且：， ∴第个数是，第个数（为正整数）是；故答案为：，； （2）观察可知，奇数位置的符号为正，偶数位置的符号为负，且：， ∴第个数是； 第个数（为正整数）是；故答案为：28，． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值是（   ） A．1222 B．1223 C．1224 D．1225 【答案】C 【详解】解：由图可得，第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从2开始， 第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从1开始， 故选：C． 2．（2025·重庆·一模）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（   ）个小黑点 A．54 B．63 C．84 D．90 【答案】B 【详解】解：由图形1、2、3可以看出，第1个图形小黑点的个数：； 第2个图形小黑点的个数：；第3个图形小黑点的个数：； ∴第个图形小黑点的个数：；∴第6个图形小黑点的个数：．故选：B． 3．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 【答案】D 【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于，即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个．故选：D 4（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(    ) A．143 B．140 C．123 D．120 【答案】A 【详解】解：，，，，， 第个圆中规律为：， 当时，，故选：A． 5．（24-25七年级上·湖南永州·期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到 ．条折痕（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，得到1条折痕， 第2次对折，把纸分成4部分，得到3条折痕，第3次对折，把纸分成8部分，得到7条折痕， 第4次对折，把纸分成16部分，得到15条折痕，…… 以此类推，第次对折，把纸分成部分，得到条折痕，故答案为： 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放下去，摆第n个图案时，黑色小正方形纸片需要 张． 【答案】B 【详解】解：第1个图案中黑色小正方形纸片需要4张，而； 第2个图案中黑色小正方形纸片需要7张，而； 第3个图案中黑色小正方形纸片需要10张，而；…… 第n个图案中黑色小正方形纸片需要张， 7．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ，， ，…… (1)请写出第4个式子______．(2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： 由题意得，第4个式子为； （2）解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为，……， 以此类推，第n个式子为， ∴ （3）解： ． 8．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）观察下列三行数的规律，解答下列问题： ，4，m，16，，…； 0，6，，18，，…； ，2，，8，n，…． (1)m的值为 ，n的值为 ； (2)按照上述规律，第1行第6个数为 ，第2行第6个数为 ； (3)若第1行第9个数是a，第2行第9个数是b，第3行第9个数是c，求的值． 【答案】(1)，(2)64，66(3) 【详解】（1）解：观察可看出第一行的数分别是的1次方，2次方，3次方，4次方…且奇数项是负数，偶数项是正数，用式子表示规律为： ；第二行的数分别是第一行的每个数加2,用式子表示规律为：；第三行的数是第一行的每个数除以2，用式子表示规律为：． 故，，故答案为：， （2）解：按照上述规律，第1行第6个数为，第2行第6个数为，故答案为：64，66 （3）解：根据上述规律可得，，， 所以． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 探究与表达规律 1.规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 2、规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1数列的规律 1．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）观察下列一组数：，4，，16，，64，…，请根据你发现的规律写出这组数的第n个数为 （用含n的代数式表示）． 2．（2025·云南文山·二模）按一定规律排列的单项式： ，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）观察这两组数：①；②．取每组数的第7个数，计算这两个数的和是（    ） A．60 B．85 C．92 D．100 题型2数（图）表的规律 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（    ） A．56 B．42 C．28 D．8 5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）在如图方格表中，，且两两互不相等，则满足条件的方格表共有 张． 题型3算式的规律 6．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列各式： ； ； ；…… 由此我们可以得到：（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·北京·期中）如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 题型4图形的规律（一次类） 9．（2025·重庆·校考二模）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）周末，赵宇在家用木棍摆六边形，如图，摆一个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，按此规律摆个六边形需要的木棍根数为（   ）    A．根 B．根 C．根 D．根 题型5图形的规律（二次类） 11．（2025·陕西宝鸡·一模）围棋，起源于中国，古称“弈”，是棋类之鼻祖，距今已有4000多年的历史．现用围棋中的黑子摆出如图所示的正方形图案，则第11个正方形图案有黑子 个． 12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第5个图中平行四边形的个数是 ． 题型6图形的规律（指数类） 13．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ． 题型7循环规律类问题 15．（2024·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（    ） A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年 16．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，正方形的边长为1，电子蚂蚁从点以1个单位长度/秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点以3个单位长度/秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2025次相遇在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）在如图所示的运算程序中，若第1次输入的值为2，则第2024次输出的结果为（    ） A． B． C． D．1 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，…，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去第10行从左边数第9个数是（   ） A． B．90 C． D．91 2．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 3．（24-25七年级上·河北邢台·期中）五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从为第二次“移位”．若小宇从编号为4的顶点开始，第2019次“移位”后，那么他所处的顶点的编号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知整数，，，，…，满足下列条件：，，，，…，，以此类推，则的值为（   ） A．1010 B．1009 C．1011 D．2020 5．（24-25七年级上·山东济宁·期中）苯的同系物是化工生产中重要的原料，如图是一系列苯的同系物的结构模型，其中黑球代表碳原子，白球代表氢原子，图①有7个碳原子，8个氢原子；图②有8个碳原子，10个氢原子；图③有9个碳原子，12个氢原子……按照其结构规律，若某种苯的同系物有18个碳原子，其氢原子数个数为（   ） A．28 B．30 C．32 D．34 6．（24-25七年级·江苏·假期作业）计算：，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数是 ． 7．（2025·陕西渭南·一模）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为“正方形数”，则第个“正方形数”可以用表示为 ．           8．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律，根据图中数字的规律， ．    9．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）观察下列式子： ， ， ， 探索以上式子的规律，试写出第个式子________． 10．（24-25七年级上·北京·期中）填空： （1）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． （2）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中第个数是 ，第个数（为正整数）是 ． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值是（   ） A．1222 B．1223 C．1224 D．1225 2．（2025·重庆·一模）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（   ）个小黑点 A．54 B．63 C．84 D．90 3．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 4（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(    ) A．143 B．140 C．123 D．120 5．（24-25七年级上·湖南永州·期中）将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，如果对折次，可以得到 ．条折痕（用含的代数式表示）． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放下去，摆第n个图案时，黑色小正方形纸片需要 张． 7．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）观察下列各式： ，， ，…… (1)请写出第4个式子______．(2)若n为正整数，试猜想______． (3)试利用（2）中猜想的结论求的值． 8．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）观察下列三行数的规律，解答下列问题： ，4，m，16，，…； 0，6，，18，，…； ，2，，8，n，…． (1)m的值为 ，n的值为 ； (2)按照上述规律，第1行第6个数为 ，第2行第6个数为 ； (3)若第1行第9个数是a，第2行第9个数是b，第3行第9个数是c，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $