寒假作业06 几何图形初步（巩固培优）（积累运用+巩固提升15大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 几何图形初步 1、几何图形相关概念 几何图形：我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形 立体图形：几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，我们称这样的图形为立体图形. 平面图形：几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 几何图形的分类 展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 正方体的展开图 2、点、线、面、体 几何体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。 点:线与线相交成点，点无大小。 线：面与面相交成线，线无粗细，但线有直线和曲线。 面：体由面围成，面无厚薄，但面有平面和曲面。 点动成线，线动成面，面动成体。 3、直线、射线、线段 （1）直线基本事实：两点确定一条直线。 （2）线段基本事实：两点之间线段最短。 （3）连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 （4）直线、射线、线段的联系和区别 4、线段的中点：如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM 与BM，点M叫作线段AB的中点。 类似的还有线段的三等分点、线段的四等分点等。 5、角的有关概念与度量 角：有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角。 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示。例如下图： 角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 6、角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 类似地，还有角的三等分线、n等分线等。 7、余角、补角 余角的定义:如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 )。 几何语言：∵∠1与∠2互为余角；∴∠1+∠2=90°；∠1=90°-∠2；∠2=90°-∠1 补角的定义：如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 几何语言：∵∠3与∠4互为补角；∴∠3+∠4=180°；∠3=180°-∠4；∠4=180°-∠3 性质：同角(等角)的余角相等；同角(等角)的补角相等。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1几何体的相关概念 1.（25-26七年级上·河北唐山·期中）图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：该几何体模型，有几何体：球，正方体，圆柱，棱锥，没有圆锥．故选：D． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法错误的是（　　） A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形 【答案】C 【详解】解：A、圆锥的侧面是曲面，说法正确，不符合题意； B、正方体的所有棱长都相等，说法正确，不符合题意； C、棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，原来的说法是错误的，符合题意； D、圆柱的侧面展开图为长方形，说法正确，不符合题意；故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江·期中）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】B 【详解】A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意； B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个； ∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条，故原说法错误，符合题意； C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意； D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意∴ 不正确的是B，故选：B． 题型2 几何体的分类 4．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下列几何体中，柱体是 ，含曲面的有 无顶点的有 （填序号） 【答案】 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ ①⑦ 【详解】解：下列几何体中，柱体是①③④⑤⑥⑧，含曲面的有①②⑦，无顶点的有①⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧；①②⑦；①⑦． 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦，故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 题型3 欧拉公式 6．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）（1）观察下列几何体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 15 面数c 5 6 8 （2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式； （3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面． 【答案】（1）8，18，7；（2）；（3）12 【详解】解：（1）根据图形可得 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 故答案为：8，18，7； （2）分别可得，，，，所以可得； （3）设这个几何体有个面，则这个几何体的顶点数为， 根据（2）中规律可得，解得，故答案为：． 7．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8，∴．∴， ∵该多面体一共有有30条棱，∴，∴，即这个多面体的面数为12． 题型4 点线面体之间的关系 8．（25-26七年级上·浙江·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空） 【答案】 点 线 点动成线 【详解】雨滴是单个实体，从数学角度可抽象为点；许多雨滴密集下落形成雨，其形态类似线，这说明了点动成线的几何变换．故答案为：点；线；点动成线． 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 【答案】B 【详解】解：这种现象可以用数学原理解释为线动成面．故选：B． 10．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段练习）有一位同学手拿一枚硬币，将其立在桌面上用力一转，它看起来象一个球体，由此说明 ． 【答案】面动成体 【详解】解：拿一枚硬币，将其立在桌面上用力一转，它形成的是一个球体，由此说明面动成体． 故答案为：面动成体． 题型5 旋转体及相关运算 11．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示的青花瓷器，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个青花瓷器形状的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、绕虚线旋转一周后，能大致形成这个青花瓷器形状，则此项符合题意； B、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个青花瓷器形状，则此项不符合题意； C、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个青花瓷器形状，则此项不符合题意； D、绕虚线旋转一周后，不能大致形成这个青花瓷器形状，则此项不符合题意；故选：A． 12．（25-26七年级上·山东威海·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形． (1)你同意___________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算，甲乙立体图形的体积？ 【答案】(1)小红(2)甲的体积为，乙的体积为 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等，所以同意小红的说法；故答案为：小红； （2）解：甲的体积为． 乙的体积为． 题型6直线、射线、线段的相关概念与作图 13．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确；故选：A． 14．（24-25七年级上·成都·期末）如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线；(2)画射线；(3)连接与射线交于点E． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线为所求； （3）解：如图，即为所求， 题型7 直线公理、线段公理与距离 15．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线．故选：A． 16．（24-25七年级上·云南昆明·期末）武汉长江大桥横跨长江，连接了汉口和武昌两岸，使得原本被长江隔断的天堑变通途，极大地促进了南北交通与经济发展．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．连接两点间线段的长度是两点间的距离 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】D 【详解】解：用数学知识解释这一现象恰当的是：两点之间线段最短．故选：D． 17．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）A，B两点间的距离是指（   ） A．连接A，B两点的线段 B．连接A，B两点的直线 C．连接A，B两点的线段的长度 D．连接A，B两点的线的长度 【答案】C 【详解】解∶ A，B两点间的距离是指连接A，B两点的线段的长度．故选：C 题型8 线段和差的相关计算 18．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 【答案】269 【详解】A，B两站之间的距离； ， ，，． 答：C，D两站之间的距离是．故答案为：269． 19．（2025七年级上·浙江·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 【答案】或 【详解】解：当时，如图， 由于翻折，则，由图知， ∴，∴； 当时，如图， 则，即， ∴，∴； 综上，的长为或． 题型9线段的中点相关计算问题 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．(1)求的长度；(2)求的长度． 【答案】(1)的长度为(2)的长度为 【详解】（1）解：∵，，∴． ∵是的中点，∴． 答：的长度为． （2）解：∵是的中点，∴． 由（1）知，∴． 答：的长度为． 21．（24-25七年级上·浙江·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)；(2)；；． 【详解】（1）解：因为，，， 点、分别是、的中点，，， ；故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，，， ，；故答案为：； ，，，，， ，； ，，，， ， ，，故答案为：． 题型10 角的相关概念与作图 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 【答案】D 【详解】解：角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角． 角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角． 依据上述知识，可得选项A、B、C是错误的．故选：D． 23．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【答案】B 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意；故选：B． 24．（24-25七年级上·河北·期中）如图，在平面上有三点，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)画射线，连接并延长线段至点，使得； (2)在的上方作，使得． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，正确作图，射线与线段； （2）解：如图，即为所求． 题型11角的单位换算与相关运算 25．（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1） ′ ″； （2） °． 【答案】（1）；；；（2） 【详解】解：（1），， ，，故，故答案为：57，，； （2），，，故，故答案为：． 26．（24-25七年级上·河北张家口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 题型12 几何图形中的角度运算 27．（24-25八年级上·广东惠州·期中）一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 【答案】/120度 【详解】解：过点作法线，得到界面， 由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线， 界面，，得到， 入射角等于反射角，，与界面的夹角是， ，故；故答案为120°． 28．（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合实践课上，小明把两个三角尺按图所示那样放置在一起，若此时，则 ． 【答案】/度 【详解】解：∵，，∴， 又∵，∴，故答案为： 29．（25-26七年级上·四川德阳·月考）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 【答案】 【分析】解：由折叠重合得：，∵，∴， ∴，故答案为：。 题型13 角平分线与角的n等分线相关计算 30．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和． （1）当时，的度数为 ；（2）在旋转过程中，的度数始终为 ． 【答案】 【详解】解：（）∵，∴，∵分别平分和， ∴，，∴， ∵，∴，故答案为：； （）∵，∴，∵分别平分和， ∴，，∴， ∴，故答案为：． 32．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数．②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)(2)①；②， 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，∴，故答案为：； （2）解：①∵，，∴， ∵平分，平分．∴， ∴，∴； ②∵的度数是，的度数是，∴， ∵平分，平分．∴， ∴， 又∵平分，平分，∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 题型14 余角与补角 33．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：，，，．故选B． 34．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与互补，∴，即， ∵，∴， ∵与互为余角，∴，∴．故选：C． 题型15互余与互补的性质 35．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，∴， ∵，∴；故选A． 36．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，若与互补，与互补，则 = ．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是 ． 【答案】 同角的补角相等 【详解】解：若与互补，与互补，则，用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是同角的补角相等．故答案为：，，同角的补角相等 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中的道理是（   ） A．直线最短 B．两点之间的距离 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．这其中包含的数学道理是两点确定一条直线， 故选：D． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意；故选：C． 3．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 故把用度、分、秒表示为，故选：B． 4．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【详解】解：过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则，∴点位于点的方向为南偏西方向上． 故选：A． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：设，则， ①当为对折点，则剪断后，有长度为，，的三段， 则绳子最长时，，解得：；即绳子的原长是； ②当为对折点，则剪断后，有长度为，，， 则绳子最长时，，解得：；即绳子的原长是； 这根绳子原来的长度为或，故选：C 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，射线平分， ，．故选：C． 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知：，即， ∵，∴， ∵，∴，即，解得：， ∵，，∴．故选：B． 8．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 【详解】解：余下部分的体积：；表面积：； 答：余下部分的表面积是，体积是． 9．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为；②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余，∴； ∵与互补，∴；∴，代入得：， ∴，正确．故选：B． 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数；(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴； （2）解：，理由如下：∵，∴， ∵平分，∴， ∴． 11．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线；(2)在射线上截取；(3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析(4)(5) 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）如图，线段即为所作； （3）如图，线段即为所作； （4），故答案为：； （5）如图，，故答案为：． 12．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段；(2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：图中有，共条线段，故答案为：； （2）解：∵，∴，∴， ∵，，，∴； （3）解：∵，∴， ∵C、D分别为中点，∴， ∴． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 【答案】A 【详解】解：以点开始，有4段，即，以点开始，有3段，即， 以点开始，有2段，即，以点开始，有1段，即， 同理，反向如此，∴共有，故选：A． 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【详解】解：由题意，可知：，∴， 当两个三角板不重合时，如图：则：， 当两个三角板有重合部分时，如图：∵， ∴，∴， ∴；故甲、乙答案合在一起才完整；故选C． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【详解】解：由题知，当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ．故答案为：或． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）．开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．以数轴正方向（朝右）为基准，逆时针旋转对应正角，则顺时针旋转两周可以表示为 ． 【答案】 【分析】解：根据角的动态定义，逆时针旋转对应正角，顺时针旋转对应负角； 旋转两周为720度，因此顺时针旋转两周表示为负720度，故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为 ．（用含m，h的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由图可知，该印章共有个面，其中正方形有个，等边三角形有个，∴这个印章的表面积是，故答案为：． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】25 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值，而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的即．故答案为：25． 7．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)表格见解析，(2)这个多面体的面数为14 【详解】（1）解：所填数据如表所示： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 二十面体 12 20 30 ， ，； （2）解：由，得， 这个多面体的面数为14． 8.（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】（1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）他们共握了次手 【详解】解：（1）根据图形得： 如果经过两点画直线，那么图②中最多可以画3条直线；图③中最多可以画6条直线；图④中最多可以画10条直线；故答案为：3，6，10； （2）如果平面上有个点，且任意3个点均不在同一条直线上， ∴（条）那么经过两点最多可以画条直线；故答案为：； （3）某班级聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握次， 把代入，得（次）．答：他们共握了次手． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)5厘米(3) 【详解】（1）解：∵M，N分别是，的中点，， ∴， ∴，故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 10．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)；(2)(3)(4)或1 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，，∴，∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵，∴；故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵，又∵∴， ∴∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵，又∵，∴，∴；综上所述：或1． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 几何图形初步 1、几何图形相关概念 几何图形：我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形 立体图形：几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，我们称这样的图形为立体图形. 平面图形：几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 几何图形的分类 展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 正方体的展开图 2、点、线、面、体 几何体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体也简称体。 点:线与线相交成点，点无大小。 线：面与面相交成线，线无粗细，但线有直线和曲线。 面：体由面围成，面无厚薄，但面有平面和曲面。 点动成线，线动成面，面动成体。 3、直线、射线、线段 （1）直线基本事实：两点确定一条直线。 （2）线段基本事实：两点之间线段最短。 （3）连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 （4）直线、射线、线段的联系和区别 4、线段的中点：如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM 与BM，点M叫作线段AB的中点。 类似的还有线段的三等分点、线段的四等分点等。 5、角的有关概念与度量 角：有公共端点的两条射线组成的图形，叫作角。 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示。例如下图： 角的度量：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 6、角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 类似地，还有角的三等分线、n等分线等。 7、余角、补角 余角的定义:如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 )。 几何语言：∵∠1与∠2互为余角；∴∠1+∠2=90°；∠1=90°-∠2；∠2=90°-∠1 补角的定义：如果两个角的和等于180°( 平角 )，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 几何语言：∵∠3与∠4互为补角；∴∠3+∠4=180°；∠3=180°-∠4；∠4=180°-∠3 性质：同角(等角)的余角相等；同角(等角)的补角相等。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1几何体的相关概念 1.（25-26七年级上·河北唐山·期中）图是美术素描常用的几何体模型，其中没有下列哪个几何体（　　） A．球 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法错误的是（　　） A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形 3．（25-26七年级上·浙江·期中）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 题型2 几何体的分类 4．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下列几何体中，柱体是 ，含曲面的有 无顶点的有 （填序号） 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 题型3 欧拉公式 6．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）（1）观察下列几何体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 15 面数c 5 6 8 （2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式； （3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面． 7．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 题型4 点线面体之间的关系 8．（25-26七年级上·浙江·期中）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了 ，把雨看成 ，说明 ．（用“点，线，面，点动成线，线动成面，面动成体”填空） 9．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 10．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段练习）有一位同学手拿一枚硬币，将其立在桌面上用力一转，它看起来象一个球体，由此说明 ． 题型5 旋转体及相关运算 11．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示的青花瓷器，将下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个青花瓷器形状的是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·山东威海·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形． (1)你同意___________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算，甲乙立体图形的体积？ 题型6直线、射线、线段的相关概念与作图 13．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 14．（24-25七年级上·成都·期末）如图，在同一平面内，已知A，B，C，D四点，请按下列要求画图： (1)画直线；(2)画射线；(3)连接与射线交于点E． 题型7 直线公理、线段公理与距离 15．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 16．（24-25七年级上·云南昆明·期末）武汉长江大桥横跨长江，连接了汉口和武昌两岸，使得原本被长江隔断的天堑变通途，极大地促进了南北交通与经济发展．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（　　） A．过一点可以画多条直线 B．连接两点间线段的长度是两点间的距离 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 17．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）A，B两点间的距离是指（   ） A．连接A，B两点的线段 B．连接A，B两点的直线 C．连接A，B两点的线段的长度 D．连接A，B两点的线的长度 题型8 线段和差的相关计算 18．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为 ． 19．（2025七年级上·浙江·专题练习）一根绳子长为，C，D是绳子上任意两点（C在D的左侧）．将，分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在上的点E，F处．当E，F两点间的距离为时，求的长． 题型9线段的中点相关计算问题 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．(1)求的长度；(2)求的长度． 21．（24-25七年级上·浙江·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 题型10 角的相关概念与作图 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．两条射线所组成的图形叫做角 B．有公共点的两条射线叫做角 C．一条射线绕着它的端点旋转叫做角 D．一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角 23．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 24．（24-25七年级上·河北·期中）如图，在平面上有三点，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)画射线，连接并延长线段至点，使得； (2)在的上方作，使得． 题型11角的单位换算与相关运算 25．（25-26七年级上·浙江·课后作业）（1） ′ ″；（2） °． 26．（24-25七年级上·河北张家口·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 题型12 几何图形中的角度运算 27．（24-25八年级上·广东惠州·期中）一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 28．（24-25七年级上·广东深圳·期末）综合实践课上，小明把两个三角尺按图所示那样放置在一起，若此时，则 ． 29．（25-26七年级上·四川德阳·月考）如图，将长方形纸片沿直线、进行折叠后（点在边上），点刚好落在上，若折叠角，则另一个折叠角 ． 题型13 角平分线与角的n等分线相关计算 30．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和． （1）当时，的度数为 ；（2）在旋转过程中，的度数始终为 ． 32．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数．②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 题型14 余角与补角 33．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型15互余与互补的性质 35．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，若与互补，与互补，则 = ．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是 ． 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中的道理是（   ） A．直线最短 B．两点之间的距离 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 3．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·陕西西安·月考）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是 ，体积是 ． 9．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为；②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数；(2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 11．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线；(2)在射线上截取；(3)连接； (4)根据图形可得： （用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是： （用“”，“”或“”填空） 12．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，C、D为线段上任意两点． (1)如图1，图中共有_____条线段；(2)如图2，若，，，求的长； (3)如图3，M为线段上一点，，C、D分别为中点，求的长． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，在一条公路上有五个车站，依次为A，M，C，N，B，车站要准备车票，一共要准备（    ）种车票． A．20 B．10 C．5 D．40 2．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）．开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．以数轴正方向（朝右）为基准，逆时针旋转对应正角，则顺时针旋转两周可以表示为 ． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为 ．（用含m，h的代数式表示） 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，用边长为10的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 7．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 8.（24-25七年级上·广东东莞·期末）【试验观察】（1）如图①，已知两点确定一条直线，则： 图②中不在同一直线上的3个点最多可以确定______条直线； 图③中不在同一直线上的4个点最多可以确定______条直线； 图④中不在同一直线上的5个点最多可以确定______条直线． 【探索归纳】（2）如果平面内有个点，且任意3个点均不在同一直线上，那么最多可以确定__________条直线．（用含n的代数式表示） 【解决问题】（3）某次班级聚会中，45名同学每两人之间都要握1次手问好，那么他们共握了多少次手？ 9．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知点在线段上，，分别是线段和上的点． (1)如图1，，分别是，的中点．若，，则线段的长为___________； (2)如图2，若，，，求线段的长； (3)若（为正整数），请用含的代数式，直接写出线段的长． 10．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $