寒假作业02 有理数的运算（巩固培优）（积累运用+巩固提升11大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 有理数的运算 1.有理数的加法法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；显然，两个有理数相加，和是一个有理数 2.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 3. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意：1）将减法转化为加法时，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数；2）将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算。 4. 有理数的加减混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 5.有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 6.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 7.倒数：乘积是的两个数互为倒数。 倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 8.有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 9.有理数的乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的。 10. 有理数的乘方：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 整数指数幂的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0；4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 有理数混合运算（含乘方）的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 11.科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别；2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度；3.近似数是估值，但是要控制误差。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1、有理数加、减法法则的辨析 1．（24-25七年级上·重庆·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 2．（24-25·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零 题型2、有理数的加、减法运算（含加减混合运算） 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4) 题型3、有理数加减混合运算中的简便计算 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 6．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 题型4、有理数乘、除法法则的辨析 7．（24-25·成都·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ） ①若，，则，．②若，，则，且． ③若，，则，．④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 题型5、有理数的乘、除运算（含乘除混合运算） 9．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（24-25·山东·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 题型6、有理数乘除法运算中的简便计算 11．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 12．（24-25·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 题型7、有理数混合运算的实际应用 13．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是 ，丁的两张牌上的数字是 ． 14．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 15．（24-25七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 题型8、有理数乘方的符号规律 16．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 17．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 题型9、有理数乘方的运算（含乘方的混合运算） 18．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)；(2)． 19．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算：(1)(2) 题型10、偶次方的非负性的运用 20．（24-25七年级上·广东·阶段练习）已知，则 ． 21．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 题型11、用科学记数法与近似数 22．（2025·四川成都·一模）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·河北沧州·期中）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）；(2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）；(4)亿（精确到百万位）． 1．（2025·山东·一模）的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 2．（2025·陕西咸阳·一模）被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 7．（24-25·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 9．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 10．（24-25·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算： (1)；(2)； (3)； (4) 11．（24-25七年级上·绵阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 12．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】（1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】（3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 1．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（　　） ①集合是一个对称集合；②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936；③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是；④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（   ） A．60 B．792 C．812 D．5040 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 4．（2025·河南·校考二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 5．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________． 6．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 7．（2025·北京·模拟预测）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间／分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 8．（24-25七年级上·云南昭通·期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系： ．（用文字语言叙述） 9．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数．所以原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 10．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】（1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】（4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 有理数的运算 1.有理数的加法法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；显然，两个有理数相加，和是一个有理数 2.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 3. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意：1）将减法转化为加法时，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数；2）将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算。 4. 有理数的加减混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 5.有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 6.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 7.倒数：乘积是的两个数互为倒数。 倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 8.有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 9.有理数的乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的。 10. 有理数的乘方：一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂。 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 整数指数幂的符号规律：1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0；4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 有理数混合运算（含乘方）的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 11.科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 注意：用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近。 精确度：表示近似数与准确数的接近程度。 注意：1）近似数表示的是一个大概的数字，与实际有差别；2）近似数要看精确到哪一位，也就是实际需要的取值精确度；3.近似数是估值，但是要控制误差。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1、有理数加、减法法则的辨析 1．（24-25七年级上·重庆·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 2．（24-25·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零 【答案】A 【详解】A.减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确； B.如，-7-2=-9是负数，所以被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数错误； C.如0-(-5)=5，所以零减去一个有理数，差一定是负数错误； D.如5-3=2>0，所以两个数的差必小于零错误；故选A． 题型2、有理数的加、减法运算（含加减混合运算） 3．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解；； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)8(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 题型3、有理数加减混合运算中的简便计算 5．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型4、有理数乘、除法法则的辨析 7．（24-25·成都·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误； ②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误； ③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确； ④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个；故选：A． 8．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ） ①若，，则，．②若，，则，且． ③若，，则，．④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①若，，则，，故①结论正确； ②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误； ③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确； ④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误． 故正确的有2个．故选：B． 题型5、有理数的乘、除运算（含乘除混合运算） 9．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①，故原计算错误；②，故原计算错误； ③，故计算正确；④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个，故选：． 10．（24-25·山东·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型6、有理数乘除法运算中的简便计算 11．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析；(2)． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 12．（24-25·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2(2)(3)0(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型7、有理数混合运算的实际应用 13．（24-25九年级下·北京丰台·阶段练习）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共10张牌挑出，打乱顺序后随机地发给了甲、乙、丙、丁、戊五名同学，每人各两张牌．并要求其中四位同学将手中两张牌的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11，乙：4，丙：17，戊：7，则戊的两张牌上的数字是 ，丁的两张牌上的数字是 ． 【答案】 和； 和； 【详解】解：由题意可知，一共有10张牌，五名同学每人各两张牌，数字不重复， 五名同学10张牌的和为，甲、乙、丙、戊四名同学的牌数字之和为，丁同学的两张牌的数字之和为， 由甲：11可知，甲的两张牌上的数字可能是和、和、和，和、和； 由乙：4可知，乙的两张牌上的数字只能是和； 由丙：17可知，丙的两张牌上的数字可能是和、和； 由丁：16可知，丁的两张牌上的数字可能是和、和； 由戊：7可知，戊的两张牌上的数字可能是和、和、和； 综上可知，乙的两张牌上的数字是和；戊的两张牌上的数字是和；甲的两张牌上的数字是和；丙的两张牌上的数字可能是和；丁的两张牌上的数字可能是和；故答案为：和；和； 14．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 【答案】问题1：630元；问题2：667元；问题3：①30；3；13；②订购方案的总费用为元（答案不唯一） 【详解】解：问题1：通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元），答：需花费630元． 问题2：刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用， 则需花费（元），答：需花费667元． 问题3：根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元， 则可以选择电话订购30杯，送3杯，此时花费（元），则外卖APP订购杯； 通过某外卖分五次下单这13杯奶茶， 其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”， 则（元）， 订购总费用为（元）． 电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元． 故答案为：30；3；13（答案不唯一）． 15．（24-25七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 【答案】(1)，否(2)72(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析 【详解】（1）解：根据题意列式为：，∵，∴游戏不再继续，即：第二次结果为：； （2）解：根据题意列式为：，，； （3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”， 理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜； 理由二：所有的出牌可能有： ①，甲负乙胜；②，乙负；③，乙负； ④，乙负；⑤，乙胜；⑥，甲负乙胜， ∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”． 题型8、有理数乘方的符号规律 16．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：当时，①，正确．②，正确． ③，故错误．④，则，故错误．故选：A． 17．（24-25七年级上·福建·期中）（1）计算下面两组算式：①与；    ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【详解】解：（1）①，； ②，； （2）； （3），理由如下：； （4）． 题型9、有理数乘方的运算（含乘方的混合运算） 18．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10、偶次方的非负性的运用 20．（24-25七年级上·广东·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：，， 故，故答案为：． 21．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴ ∴， ∴的最大值为：；故答案为：． 题型11、用科学记数法与近似数 22．（2025·四川成都·一模）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：．故选：B． 23．（24-25七年级上·河北沧州·期中）用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： (1)（精确到）；(2)（精确到个位）； (3)（精确到千分位）；(4)亿（精确到百万位）． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到千分位）． （4）13.052亿 1．（2025·山东·一模）的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：，的倒数是；故选：C． 2．（2025·陕西咸阳·一模）被誉为“古都明珠，华夏宝库”的陕西历史博物馆以171万件藏品展示着陕西历史文化和中国古代文明．数据“171万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵万，故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：； ； ；使运算结果最小的是 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个．故选：B． 5．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【详解】解：，，， ，， 故选：B． 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则，∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意；故选：． 7．（24-25·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ． 【答案】 【详解】=，得_______ 根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=. 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）我国晋代杰出书法家王羲之所作的《兰亭集序》文章开篇写道“永和九年，岁在癸丑，暮春之初，……”这里的年份和时间，使用了我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，干支是天干和地支的合称，其中天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2025年为乙巳年，2026年为丙午年，2027为丁未年，…2031年为辛亥年，2032年为壬子年…，则2099年是 年． 【答案】己未 【详解】解：由题知，因为2025年为乙巳年，且天干每10年一循环，地支每12年一循环， 所以余4，余2， 则2099年对应的天干为“己”，对应的地支为“未”，所以2099年是己未年．故答案为：己未 9．（24-25·广东·七年级校考期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是______． 【答案】1 【详解】解：第一次：，第二次： ∵其中k是使为奇数的正整数，∴∴第二次运算：， 第三次：∵∴计算结果为 第五次：，第六次：，∵∴，计算结果为，…… 依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1， ∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1． 10．（24-25·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算： (1)；(2)； (3)； (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． （4） ． 11．（24-25七年级上·绵阳·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 12．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】（1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】（3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【详解】（1）∵，∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律；故答案为：，，，；满足； （2）∵，∴， ∴或，∴或； ∵，∴，， ∴，∴或，解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵，∴，，∴； ∵，∴ ∴等式不成立，∴“绝佳”运算不满足结合律． 1．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（　　） ①集合是一个对称集合；②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936；③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是；④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：，，集合是一个对称集合，故①正确； ，若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是，故②错误；，在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是，故③正确； 若一个对称集合中有个元素，则有对和为的对应元素，这个元素的和为，故④正确；故选B． 2．（24-25·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（   ） A．60 B．792 C．812 D．5040 【答案】B 【详解】解：C125 =故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 【答案】C 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误；故选：C． 4．（2025·河南·校考二模）生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【详解】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，∴，故选：B． 5．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________． 【答案】 2或3 或 【详解】解：如图2所示，由题意得，， ∵都是自然数，且，∴，∴，∴； 如图2-1所示，∵的结果十位数为1，∴或， 当时，符合题意，此时的乘积为； 当时，符合题意；，此时的乘积为；故答案为：2或3；或 6．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【答案】 【详解】解：分裂次数为：（次）， 1个这种细菌经过5个小时可以分裂成的细胞为：个，故答案为：． 7．（2025·北京·模拟预测）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间／分钟 8 6 6 5 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】 【详解】解：在不考虑其他因素的前提下，若甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为（分）；如图所示，按照时间线，做完各自工作进入下一房间， ∵每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤， ∴最后一间房的后三个步骤从分钟开始，甲乙同时完成整理床铺、更换客用物品，总时间 分钟，丙在第分钟进入最后一间房完成分钟，则最少需要分钟。故答案为：；． 8．（24-25七年级上·云南昭通·期末）【阅读材料】“洛书”（图1）是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2），在这个幻方中，9个格中的数字之间有什么样的关系： ．（用文字语言叙述） 【答案】每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15 【详解】解：；故每一行的三个数字之和为15； ，故每一列的三个数字之和为15； ，故两条斜对角线上的三个数的和为15； 综上：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15； 故答案为：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线的数的和都为15． 9．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数．所以原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1)张明，见解析(2) 【详解】（1）解：喜欢张明的解法．理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数 ， ∴． 10．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】（1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】（4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 【答案】（1）266；；（2）见解析；（3）见解析；（4）算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律 【详解】解：（1）由题意得，图2表示的数为266，图3表示的数为； （2）如图所示，即为所求； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6， ； （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算可知，算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $