5.5.2 简单的三角恒等变换（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

5.5.2　第1课时　简单的三角恒等变换(一) 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第一册第五章“三角函数”中的5.5.2节“简单的三角恒等变换(一)”。内容包括：基于二倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式；通过和角公式推导积化和差与和差化积公式；运用三角恒等变换思想对三角函数式进行化简、求值和简单证明。 内容解析 本节内容是三角恒等变换的核心组成部分，是在学生已学习同角三角函数关系、和（差）角公式、二倍角公式等11个三角公式基础上的延伸与深化。 · 半角公式的推导是二倍角公式的逆向应用与换元思想的具体体现，通过将“半角”转化为“倍角”，建立起新角与已知角的联系，体现了化归思想； · 积化和差与和差化积公式则是通过对和角公式的变形、换元，将三角函数的“积”与“和差”形式相互转化，为解决三角函数的求值、化简、证明及实际问题（如声波叠加、简谐运动合成）提供了工具； · 三角恒等变换的本质是通过分析角的联系、函数种类差异、式子结构特征，选择合适公式转化形式，其思想方法贯穿三角函数学习始终，是提升逻辑推理和数学运算核心素养的关键载体。 教学目标 1. 能通过二倍角公式逆向变形推导半角的正弦、余弦、正切公式，理解公式中符号的确定规则，体会化归、换元、方程思想。 1. 能通过和角公式推导积化和差与和差化积公式，掌握公式的结构特征，明确公式适用场景。 1. 能运用三角恒等变换的基本思想方法（变角、变名、变式）解决三角函数式的化简、求值和简单证明问题，提升逻辑推理和数学运算核心素养。 目标解析 1.能用二倍角公式导出半角公式. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用． 达成上述目标的标志是： 1. 学生能独立写出二倍角公式到半角公式的推导过程，准确表述半角公式中符号由半角所在象限决定的规则，并能举例说明换元法（如设）在推导中的作用。 1. 学生能通过和角公式的加减运算推导积化和差公式，通过换元法（如设，）推导和差化积公式，能说出两组公式的转化关系。 1. 面对具体问题时，学生能分析式子中角的关系（如倍数、互补、互余）、函数种类（弦、切）及结构特征（和差、积、平方），选择合适公式进行变形，完成化简、求值或证明，并能解释每一步变换的依据。 对学生而言, 前面已经学习了三角变换的十一个公 式,初步掌握了三角函数式的求值(包括给角求值、给值求 角和给值求值) 和三角函数式的化简 (主要是利用公式将 复杂的三角式化为简单的形式). 现在我们需要继续学习 如何将两个三角函数式积的形式转化为和与差的形式, 及 如何将两个三角函数式和与差的形式转化为积的形式. 经 历了前面的公式之间变换的学习过程,学生学习起来还是 比较感兴趣的. 不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异, 而 且还会存在所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面 的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所 包含的各个角之间的联系, 并以此为依据选择适当的公 式.这是三角恒等变换的一个重要特点,也是学生学习过 程中困惑之所在. 基于以上分析，确定本节课的教学重点:1. 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2. 三角变换的内容、思想和方法, 在与代数变换相比 较中, 体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点, 并能运用数学思想方法指导变 换过程的设计, 不断提高从整体上把握变换过程的能力. 温故知新 知识点一　半角公式 [提醒]　公式中的正负号不能直接去掉，要根据所在范围选用符号． 知识点二　积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式 sinα＋sinβ＝2sincos. sinα－sinβ＝2cossin. cosα＋cosβ＝2coscos. cosα－cosβ＝－2sinsin. 导入1：单摆运动中的三角问题 同学们，大家在物理课上见过单摆运动吧？单摆偏离平衡位置的位移随时间变化的规律可以用表示。如果有两个相同的单摆，它们的位移分别是和，那么它们的合位移是什么形式呢？ 直接相加是两个正弦函数的和，能不能转化为更简单的形式？或者反过来，如果已知合位移是，能不能拆成两个单摆的位移之和？这就需要我们今天学习的“三角恒等变换”——通过公式将三角函数的和差与积相互转化。接下来，就让我们一起探索这些神奇的变换公式吧！ 【设计意图】通过物理中熟悉的单摆运动情境，将抽象的三角变换与生活中的周期现象联系起来，引出“和差化积” “积化和差”的必要性，激发学生的探究兴趣。 【教学建议】教师可展示单摆运动的动画或实物演示，引导学生观察位移叠加现象，提出“如何简化表达式”的问题链，自然过渡到新知。 导入2：声波叠加的奥秘 我们听到的声音是由声波传递的，不同的声波可以表示为（为频率）。当两个声波和叠加时，合声波为。 但实际中，我们更关注声波的“拍频”（频率差），这需要将和的形式转化为积的形式。类似地，若已知积形式的声波，如何拆成两个单频声波？这就需要我们学习新的三角变换公式，解决“和差”与“积”的转化问题。本节课，我们就来推导这些公式并探索它们的应用。 【设计意图】结合生活中的声波叠加现象，体现三角恒等变换的实际应用价值，明确本节课的核心任务（和差与积的转化），引发学生的认知需求。 【教学建议】教师可播放不同频率声波叠加的音频（如拍音），让学生直观感受现象，再提出数学表达式转化的问题，强化“用数学解决实际问题”的意识。 探究点1：半角公式的推导 问题1：如何用的三角函数表示的三角函数？ 例7 试以表示，，． 与有什么关系？ 解：是的二倍角、在倍角公式中，以代替，以代替．得 ，所以．① 在倍角公式中， 以a代替2a，以代替a，得以代替，以代替．得 ，所以．② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得． 例7的结果还可以表示为：．并称之为半角公式，符号由所在象限决定． 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式这是三角恒等变换的一个重要特点． 【设计意图】通过换元法将半角问题转化为倍角问题，体现化归思想，让学生经历“从已知公式推导新公式”的过程，培养逻辑推理能力。 【教学建议】教师引导学生观察二倍角公式的结构，提出“如何表示半角三角函数”的问题，鼓励学生自主变形、推导，重点讨论符号的确定方法（结合象限判断）。 【变式】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， ， 所以 ，A选项正确. B选项， ，B选项错误. C选项，，C选项正确. D选项， ，D选项错误. 故选：AC 探究点2：积化和差与和差化积公式的推导 问题2：如何将两个三角函数的积转化为和差形式？如何将和差形式转化为积的形式？ 例8 求证： (1)； (2)． 这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 证明： (1)因为， 将以上两式的左右两边分别相加，得， 即． （2）由(1)可得．① 设．．那么，． 把，的值代入①，即得． 如果不用(1)的结果，如何证明？ 例8的证明用到了换元的方法，如把看作，看作，从而把包含，的三角函数式转化为，的三角函数式．或者，把看作，看作，把等式看作，的方程，则原问题转化为解方程(组)求．它们都体现了化归思想． 【设计意图】通过对和角公式的加减运算及换元法，引导学生自主推导积化和差与和差化积公式，体会方程思想和化归思想，理解公式间的逻辑联系。 【教学建议】教师可先让学生尝试相加和角公式，观察规律，再通过“设元”引导学生将、转化为、的和差，突破和差化积的推导难点，强调公式中“同名函数和差”的条件。 学习了和(差)角公式、二倍角公式以后,我们就有了进 行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思 路和方法更加丰富. 【变式】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 【答案】见解析 【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想 【详解】试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明． 试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=， 故这个常数为． （2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式 sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）= 证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α= 考点：三角恒等变换；归纳推理． 1.（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 2.（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】辅助角公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 3.（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】三角恒等变换的化简问题 【分析】解法一：根据式子结构，利用半角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解；解法二：根据式子结构，利用二倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解. 【详解】解法一：原式 . 解法二：原式 . 故选：B. 4.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给角求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式，可以得到和的关系，再将所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由，可得，即， 化简整理得， 又 ， 将代入， 得 . 故选：A 5.（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、给值求角型问题、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 6.（25-26高二上·辽宁·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式求出，由求解即可. 【详解】由题可得：， 得或，又因为，所以，所以. 故选：C. 7.（2025·河北衡水·模拟预测）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给值求值型问题、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】令，利用倍角公式即可求出，再根据的范围即可求出. 【详解】令，则，则， 故，得， 因为为锐角，则，则. 故选：A 8.（23-24高三下·河南·阶段练习）若 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式、用和、差角的正切公式化简、求值、cos2x的降幂公式及应用 【分析】借助两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系与降幂公式计算，或借助和差化积公式计算即可得. 【详解】法一： 因为，所以， 即， 即，即，即. 法二： . 故选：D. 9.（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】应用和角余弦公式，将条件化为，应用二倍角余弦公式得，最后应用诱导公式求函数值. 【详解】由，故， 所以， 而，则. 故选：C 10.（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】给值求值型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】已知，结合二倍角的正弦、余弦公式得到的值，然后根据同角三角函数的基本关系及角的范围得到的正、余弦值，最后利用两角差的余弦公式求解的值． 【详解】因为， 所以． 因为， 根据两角正切值的正负可得， 所以，， 又因为， 所以， 同理可得，， ． 故选：C. 1.（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】万能公式、二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、诱导公式五、六 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 2.（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】万能公式、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解. 【详解】由可得，故， 由于是第四象限角，故， ∴． 故选：D． 3.（24-25高一下·四川·期中）下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、二倍角的余弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据三角恒等变换公式逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 4.（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、给值求值型问题 【分析】由诱导公式和同角三角函数基本关系式即可得出. 【详解】依题意，. 因为知，所以，且， 所以，.再由．得， 再代入，得，由，所以. 故选：B． 1．知识清单： (1)半角公式； (2)辅助角公式； (3)三角恒等变换的综合问题； (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：换元思想，化归思想． 3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域． 本节主要学习了怎样推导半角公式、积 化和差、和差化积公式，以及如何利用已有 的十一个公式进行简单的恒等变换.在解题 过程中,应注意对三角函数式的结构进行分 析,根据结构特点选择合适公式,进行公式 变形.还要思考一题多解、一题多变,并体会 【设计意图】调动学生的 积极性, 锻炼学 生归纳总结及语 言表达能力. 1. 教材第 226 页练习第 1,2,3 题. 2. 选做题 教材第 229 页习题 5.5 第 8,9 题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 1、 板书设计 第 1 课时利用公式进行简单 二、探究新知 2.积化和差与和差化 三、课堂小结 的恒等变换 1.半角公式的推导 积公式 四、布置作业 一、练习引入 例 1 例 2 积化和差公式 和差化积公式 【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 练习（第226页） 1．求证：． 1．证明： ，， ． 2．已知，且，试求和的值． 2．解析：，，， ，． 3．已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切． 3．解析：设等腰三角形的顶角为，则，底角为， ，，． 4．求证： （1）； （2）； （3）． 4．证明：（1） ，得，即． （2） ，得，即． （3） ，得，即． 5．求证： （1）； （2）； （3）． 5．证明：（1）令4（1）题中，，则，． 从而有，即． （2）令 4（2）题中，，则，． 从而有，即 ． （3）令 4（3）题中，，则，． 从而有，即． 1、 学科网（北京）股份有限公司 $