5.5 三角恒等变换 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本文围绕三角恒等变换展开，聚焦半角公式、积化和差与和差化积公式的推导及应用。承接两角和差与二倍角公式背景，为后续三角函数深入学习奠基。通过公式推导等环节，培养学生数学眼光、思维与语言表达素养，引导学生观察、思考与表达。 该设计创新点在于以问题引导推导公式，采用启发式教法。学生层面提升逻辑思维与问题解决能力，教师层面提供清晰授课思路，课堂效果上有效突破认识变换特点与化归思想这一教学难点。

教学设计 课程基本信息 课题 5.5三角恒等变换 教学目标 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式，并能利用半角公式解决简单的求值问题。 2.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简和证明。 教学重点： 1. 半角公式的推导 2. 积化和差和差化积公式的推导。 教学难点：认识三角变换的特点，体会化归思想。 教学过程 1、 复习引入 复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，为引出之后的半角公式以及积化和差和差化积公式做铺垫。 2、 新课讲解 1、半角公式的推导 例1、 ， ， 用代替2，用 代替，即可，即 ，同理，在倍角公式中，用代替2，用 代替，得。 进而，去掉平方，我们就能够得到对应的半角公式：===，对半角公式进行分析，我们发现，从左到右为降次升角，从右到左为降角升次。在半角公式的运用过程中，只要知道了的余弦值，就能得到的正弦、余弦、以及正切值，同时也要注意的大小，这直接决定了的正弦、余弦、以及正切值的正负。2、和差化积，积化和差公式的推导 例2、求证： (1)sin αcos β＝ (2)sin θ＋sin φ= 思考1:(1)式中角有什么联系？ 思考2:(1)式中左右两边结构形式上有什么特征？ 引导学生分析出(1)式中等式两边角度的关系以及结构形式上的特征，即等式右边的角度是等式左边角度的和与差。再者，等是左边的两角正余弦的乘积形式，右边是两角和差正弦的和的形式，将等式右边展开，左右分别相加 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； 得：2sin αcos β＝sin(α＋β)＋sin(α－β)， 即：sin αcos β＝ 同理，我们还可以得到公式 cos αsin β＝ cos αcos β＝ sin αsin β＝ 我们把以上四个公式叫做“积化和差公式” 例2、求证： (1)sin αcos β＝ (2)sin θ＋sin φ= 证明(2)式时，请学生思考:(2)式与(1)式有什么相同点？ 显然它们在形式上非常相似，唯一的区别在于角度，我们可以利用换元法，同理，我们还可以得到公式 sin θ－sin φ＝ cos θ＋cos φ＝ cos θ－cos φ＝ 我们把以上四个公式叫做“和差化积公式” 在运用积化和差公式和和差化积公式时要注意形式上的区别，在使用公式化简证明时，要注意化归思想的应用。 3、课堂小结： 1.知识清单： (1)半角公式. (2)积化和差、和差化积. (3)三角函数式的化简、证明. 2.化归思想的运用 学科网（北京）股份有限公司 $$