专题01 函数模型的应用大题（30题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题01 函数模型的应用大题（30题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 二次函数模型的应用 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 2．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）为推动生产力的发展，我市某企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元盈利总额=总收入-总支出 (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备年平均盈利额=盈利总额使用年数； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备， 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）某厂2025年年初用700万元购买一台设备，并立即投入生产使用．已知该设备在使用过程中的各项支出费用总和（万元）与使用时间（，，单位：年）满足．该设备使用后，每年的生产总收入为200万元．设使用年后该设备的盈利额为万元．（盈利额生产总收入购买成本及所有使用支出费用） (1)写出与之间的函数关系式； (2)从哪一年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）？ (3)该设备在使用过程中，已知年平均折旧率为3%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．当盈利额达到最大值时，将该设备卖出，此时该厂利用该设备获得的总利润为多少？（利用该设备获得的总利润该设备的盈利额使用后设备剩余价值） （参考数据：，，，） 题型二 分段函数模型的应用 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 7．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 8．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）重庆某化工厂为响应国家环保政策，引进了一种生产某化工产品的新型环保设备．通过市场分析发现，每月需投入固定维修成本4000元，生产吨产品需另投入成本元，且若每吨产品售价2000元，且该化工厂每月生产的化工产品当月内能全部售完． (1)求化工厂所获用利润（元）关于月产量（吨）的函数关系式； (2)当月产量为多少吨时，化工厂由该环保设备所获的月利润最大？并求出最大月利润． 9．（25-26高一上·湖北黄石·期中）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投入成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 题型三 分式型函数模型的应用 11．（25-26高一上·广东中山·月考）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 12．（24-25高一上·重庆长寿·期末）某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. (1)以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围. 13．（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 14．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 15．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. (1)求关于的函数解析式； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 题型四 指数函数模型的应用 16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 17．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）酒后驾驶是严重危害交通安全的违法行为．根据（道路交通安全法）．当血液中酒精含量超过20毫克/百毫升时开车会被认定为酒后驾驶．某驾驶员在饮酒后，血液中的酒精含量上升至毫克/百毫升，此后他血液中的酒精含量以每小时的速度下降．经过3小时后，其血液中的酒精含量减少了毫克/百毫升．（）） (1)求a的值； (2)该驾驶员应至少在饮酒后几小时才能驾驶机动车?（结果保留整数） 18．（24-25高一上·广东汕尾·期末）物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 19．（24-25高一上·吉林·期中）某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的 (1)求每年捕捞的鱼的数量的百分比. (2)到今年为止，该水库已捕捞了多少年? (3)今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年? 20．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）美国政府一边嘴上说着“一个中国”，一边源源不断地向台湾输出武器，中国的抗议早已习以为常.是的，抗议过，反对过，但最后总被无视.既然如此，那就来点“硬核”的.2024年11月，中国商务部出手，《两用物项出口管制清单》横空出世，对稀土金属和核心民用科技和军用科技关键金属进行全面出口管制.镓是一种具有重要应用价值的金属元素，被广泛应用于制造各种电子元件，应用于计算机､通讯､自动化等领域，用于医学诊断和治疗，用于制作精密仪器零部件等.镓金属不是多么贵重的金属，世界上并不存在所谓的镓矿石，镓是伴生矿，而且含量很低，一般常见于铝矿石中.所以要想提炼镓金属，就得大搞特搞氧化铝工厂.某地有一处可提炼金属镓的铝矿石基地，探明的铝矿石储存量为吨，计划每年开采一些铝矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该矿已经开采了12年，在此期间铝矿石开采的总量为吨. (1)求该铝矿石基地每年的矿石开采率； (2)为了避免破坏当地的生态环境，也为子孙后代留下足够的矿产资源，铝矿石基地的矿石至少要保留吨不进行开采，则该矿今后最多还能开采多少年？ 题型五 对数函数模型的应用 21．（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 22．（24-25高二下·浙江温州·期中）科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？ (2)若雄性候鸟的飞行速度为 ，雌性候鸟的飞行速度为 ，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 23．（24-25高一上·湖南·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. (1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； (2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 24．（24-25高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 25．（24-25高一上·北京·期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 题型六 函数模型的选择问题 26．（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 27．（24-25高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 28．（2025·福建三明·模拟预测）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 29．（24-25高一上·广东广州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 2 3 4 5 6 8 4 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个. 30．（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数模型的应用大题（30题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 二次函数模型的应用 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】(1)年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； (2)年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【解题思路】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【解答过程】（1）依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. （2）设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 2．（25-26高一上·浙江台州·期中）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题可得与之间的函数关系式； （2）由（1）解二次不等式可得答案. 【解答过程】（1）依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. （2）由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是. 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解题思路】（1）由题意易得函数，的解析式； （2）将两函数作差，分类讨论可求得结论. 【解答过程】（1）在方案一中，， 在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元， 所以， （2）， 当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠； 当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠； 综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）为推动生产力的发展，我市某企业于2024年年初用98万元购进一台生产设备，并立即投入生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年后，其x年来所需维修保养费用的总和为万元，设该设备产生的盈利总额为y万元盈利总额=总收入-总支出 (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备年平均盈利额=盈利总额使用年数； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备， 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1) (2)方案①比较合理，理由见解析 【解题思路】（1）根据二次函数模型，由题意列出函数关系式即可； （2）根据基本不等式和二次函数求最值的方法，求出两种方案的最大获利金额，进而根据实际情况，选出结果即可. 【解答过程】（1）根据题意可得； （2）①年平均盈利额为， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即使用7年后，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元； ②可知，当时，盈利额达到最大值， 该设备可获利万元， 因为两种方案企业获利总额相同，但方案①所用时间较短，所以方案①比较合理． 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）某厂2025年年初用700万元购买一台设备，并立即投入生产使用．已知该设备在使用过程中的各项支出费用总和（万元）与使用时间（，，单位：年）满足．该设备使用后，每年的生产总收入为200万元．设使用年后该设备的盈利额为万元．（盈利额生产总收入购买成本及所有使用支出费用） (1)写出与之间的函数关系式； (2)从哪一年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）？ (3)该设备在使用过程中，已知年平均折旧率为3%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．当盈利额达到最大值时，将该设备卖出，此时该厂利用该设备获得的总利润为多少？（利用该设备获得的总利润该设备的盈利额使用后设备剩余价值） （参考数据：，，，） 【答案】(1)，， (2)6 (3) 【解题思路】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到与之间的函数关系式； （2）令，解一元二次不等式即可； （3）利用二次函数求最值， 【解答过程】（1）由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为， 且该机床每年的生产总收入为200万元， 设使用年后数控机床的盈利额为万元， 可得与之间的函数关系式，； （2）由（1）知：，， 令，可得，解得， 因为，所以且，故从第6年开始盈利. （3）由（1）知，， 对称轴为：， 所以当时，营利额达到最大值为312万元， 使用11年后机床剩余价值为：（万元）， 所以总获利为（万元）. 题型二 分段函数模型的应用 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元 【解题思路】（1）利用，即可求解； （2）分、两种情况，结合二次函数性质以及基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）根据题意可得， 所以 ； （2）由（1）可得： 当时，因为的图象开口向上，对称轴为， 可得； 当时，可得 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元. 7．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元 【解题思路】（1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 8．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）重庆某化工厂为响应国家环保政策，引进了一种生产某化工产品的新型环保设备．通过市场分析发现，每月需投入固定维修成本4000元，生产吨产品需另投入成本元，且若每吨产品售价2000元，且该化工厂每月生产的化工产品当月内能全部售完． (1)求化工厂所获用利润（元）关于月产量（吨）的函数关系式； (2)当月产量为多少吨时，化工厂由该环保设备所获的月利润最大？并求出最大月利润． 【答案】(1) (2)月产量为吨时，所获得月利润最大，最大月利润为元 【解题思路】（1）分别求出当与时的利润表达式，即可得解； （2）利用二次函数及基本不等式分别求每段的最大值，比较大小即可得出结论. 【解答过程】（1）当时，， 当时， 所以. （2）①当时,， 所以当时，； ②当时， ，当且仅当，即时取等号， 因为，所以时，最大， 所以月产量为吨时，所获得月利润最大，最大月利润为元. 9．（25-26高一上·湖北黄石·期中）以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，我国一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投入成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【答案】(1)； (2)当年产量为50（百台）时，最大年利润为350万元． 【解题思路】（1）分和讨论即可； （2）当时，利用二次函数性质即可求出最值，当时，利用基本不等式即可求出最值. 【解答过程】（1）当时，， 当时，. 所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为： . （2）当时，， 故（百台）时，取得最大值为284万元； 当时， ， 当且仅当时取等号，故当（百台）时，取最大值为350万元：由于， 故当年产量为50（百台）时，最大年利润为350万元． 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了节能减排，某企业决定安装一个可使用年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是（为常数）.已知太阳能电池板面积为平方米时，每年消耗的电费为万元，记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业年所消耗的电费之和. (1)求常数的值； (2)写出的解析式； (3)当为多少平方米时，取得最小值?最小值是多少万元? 【答案】(1) (2) (3)当为平方米时，取得最小值，最小值是万元 【解题思路】（1）由可得出关于的等式，即可解得的值； （2）分、两种情况讨论，根据可得出函数的解析式； （3）求出函数在、时的最小值，比较大小后可得出结论. 【解答过程】（1）依题意得，，所以，解得，故的值为. （2）依题意可知，又由（1）得，， 当时， ， 当时，， 所以. （3）当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以； 又，故. 答：当为平方米时，取得最小值，最小值是万元. 题型三 分式型函数模型的应用 11．（25-26高一上·广东中山·月考）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求总费用； (3)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2) (3)， 【解题思路】（1）根据题意，直接列出关于的函数表达式； （2）由（1）中的函数式，代入数值直接求解即可； （3）结合基本不等式，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）由（1）知， ， 所以当时，. （3）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时， 修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是元. 12．（24-25高一上·重庆长寿·期末）某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. (1)以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据利润收入成本即可得结果； （2）直接根据对勾函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）由题意得（） （2）由（1）可得：（）， 函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当年产部时，，当年产部时，， 当年产部时，， 因此：当年产量为部时，公司所获利润最大，最大利润为万元，当产量为部时，公司所获利润最小，最小利润为万元， 综上所述：公司利润取值范围是：（单位万元）. 13．（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为 【解题思路】（1）由题得，化简即得解； （2）利用基本不等式即可求解． 【解答过程】（1）； （2）， ， 当且仅当即时等号成立， 当为40m时，蔬菜的种植面积S最大，最大值为． 14．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用关于的表达式； (2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）求出行车所用时间，列出总费用表达式，从而求解； （2）根据（1）中的表达式并结合基本不等式，从而求解. 【解答过程】（1）行车所用时间为， 根据汽油的价格是每升7元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元， 可得行车总费用：． （2）由（1）， 当且仅当即时，取等号. 故：当时，这次行车的总费用最低，最低费用为． 15．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段练习）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元;再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元.设总造价为（单位:元），长为，且（单位：）. (1)求关于的函数解析式； (2)长为时，求该休闲场所的总造价； (3)当长为多少米时，该休闲场所的总造价最小？最小值是多少？. 【答案】(1) (2) (3)， 【解题思路】（1）设，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，即可求解； （2）把代入（1）中的解析式，即可求得该休闲场所的总造价； （3）由（1）中的解析式，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【解答过程】（1）解：设，则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以关于的解析式为. （2）解：当m时， 可得 （元）， 所以长为时，该休闲场所的总造价元. （3）解：由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 题型四 指数函数模型的应用 16．（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意有，则，代入，计算即可得； （2）令，结合指数函数的性质计算即可得. 【解答过程】（1）依题意得，则， 当时，， 即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时； （2）由题意令，得，即， 则， 则， 即 解得： 故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度. 17．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）酒后驾驶是严重危害交通安全的违法行为．根据（道路交通安全法）．当血液中酒精含量超过20毫克/百毫升时开车会被认定为酒后驾驶．某驾驶员在饮酒后，血液中的酒精含量上升至毫克/百毫升，此后他血液中的酒精含量以每小时的速度下降．经过3小时后，其血液中的酒精含量减少了毫克/百毫升．（）） (1)求a的值； (2)该驾驶员应至少在饮酒后几小时才能驾驶机动车?（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意可得，解得即可； （2）经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：（毫克/百毫升），再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】（1）依题意可得，解得； （2）经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：（毫克/百毫升）. 只需，即，. 因为函数在R上为减函数， 所以， 故他至少要经过个小时后才能驾车. 18．（24-25高一上·广东汕尾·期末）物理学家牛顿研究提出物体在常温环境下温度变化的模型，如果物体的初始温度为，空气温度为（），则分钟后物体的温度满足（为常数）．实验测算，当时满足． (1)求的值； (2)茶艺文化是中国传统文化的重要组成部分，涵盖茶的制作、泡法、茶器、茶道等方面．经验表明，茶水的口感与茶叶品种和水温有关，某种茶叶泡制的茶水，刚沏出来时茶水温度为75℃，等茶水温度降至55℃时饮用口感最佳．已知空气温度为25℃，则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果保留一位小数，参考数值：，，） 【答案】(1)； (2)8.6分钟 【解题思路】（1）将代入和即可求解； （2）根据题意，得到，，，代入函数的解析式，结合对数的运算公式，即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知， ，得，即， 所以； （2）设刚沏出来的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感， 由题意可知，，，， 所以，即， 所以 ， 所以刚沏出来的茶水大约需要放置8.6分钟才能达到最佳饮用口感． 19．（24-25高一上·吉林·期中）某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的 (1)求每年捕捞的鱼的数量的百分比. (2)到今年为止，该水库已捕捞了多少年? (3)今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年? 【答案】(1) (2)3年. (3)9年. 【解题思路】（1）设每年捕捞的鱼的数量的百分比为x，根据题意建立等量关系计算即可； （2）设到今年为止该水库已捕捞t年，根据题意建立方程，解指数方程即可； （3）设今年之后，最多还能捕捞n年，根据题意建立不等式，由指数函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意可得，即，解得， 则每年捕捞的鱼的数量的百分比为. （2）设到今年为止该水库已捕捞t年，则，所以， 所以，解得， 即到今年为止，该水库已捕捞了3年. （3）设今年之后，最多还能捕捞n年， 则n年后，水库里鱼的剩余数量为. 题意可得，则， 所以，解得， 故今年之后，最多还能捕捞9年. 20．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）美国政府一边嘴上说着“一个中国”，一边源源不断地向台湾输出武器，中国的抗议早已习以为常.是的，抗议过，反对过，但最后总被无视.既然如此，那就来点“硬核”的.2024年11月，中国商务部出手，《两用物项出口管制清单》横空出世，对稀土金属和核心民用科技和军用科技关键金属进行全面出口管制.镓是一种具有重要应用价值的金属元素，被广泛应用于制造各种电子元件，应用于计算机､通讯､自动化等领域，用于医学诊断和治疗，用于制作精密仪器零部件等.镓金属不是多么贵重的金属，世界上并不存在所谓的镓矿石，镓是伴生矿，而且含量很低，一般常见于铝矿石中.所以要想提炼镓金属，就得大搞特搞氧化铝工厂.某地有一处可提炼金属镓的铝矿石基地，探明的铝矿石储存量为吨，计划每年开采一些铝矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该矿已经开采了12年，在此期间铝矿石开采的总量为吨. (1)求该铝矿石基地每年的矿石开采率； (2)为了避免破坏当地的生态环境，也为子孙后代留下足够的矿产资源，铝矿石基地的矿石至少要保留吨不进行开采，则该矿今后最多还能开采多少年？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设该铝矿每年的开采率为，根据题意可得，求解即可； （2）根据已知题意列不等式，由指数函数的单调性求解即可. 【解答过程】（1）设该铝矿每年的开采率为， 铝矿石开采的总量为吨，则剩余的铝矿石为吨， 所以，即， 解得， 故该铝矿每年的开采率为； （2）该铝矿今后继续开采年后，剩余的铝矿石为吨， 由题意知，，即， 得，即， 因为是减函数，所以，得， 所以该铝矿今后最多还能开采年. 题型五 对数函数模型的应用 21．（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为，可得，利用对数的运算求解即可. 【解答过程】（1）由题可得：， 所以 （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为， 所以，， 所以，即， 解得：， 所以地震每增加1级，则能量约是原来的倍. 22．（24-25高二下·浙江温州·期中）科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少？ (2)若雄性候鸟的飞行速度为 ，雌性候鸟的飞行速度为 ，那么此时雄性候鸟每分钟的耗氧量是雌性候鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 【答案】(1) ． (2)9倍． 【解题思路】（1）将所给数据代入题干所给解析式中，由对数的运算性质计算可得； （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，代入解析式，两式作差得到，即可求出. 【解答过程】（1）将代入函数式可得：， 故此时候鸟飞行速度为 ． （2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为， 依题意可得：，两式相减可得：，于是． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍. 23．（24-25高一上·湖南·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. (1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； (2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 【答案】(1) (2)9倍 【解题思路】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解； （2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解. 【解答过程】（1）由题意可得：，解得，所以. （2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为， 则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为， 因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则， 化简得， 则，即，可得， 所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍. 24．（24-25高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 【答案】(1) (2)天狼星、牛郎星、织女星 (3)该恒星距地球的距离大于光年（答案不唯一，符合题意即可） 【解题思路】（1）由题意可得：，结合题意圆求解即可； （2）整理可得，结合题意分析求解即可； （3）根据题意可得，进而分析即可. 【解答过程】（1）设太阳、天狼星的视星等是，亮度分别为， 由题意可知：，可得， 所以太阳与天狼星的亮度之比为. （2）因为，可得， 则随着增大而增大， 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 由表可知：由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星， 所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星. （3）若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则， 可知， 所以该恒星距地球的距离大于光年. 25．（24-25高一上·北京·期末）2024年1月11日，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功，引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射，刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录，进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度增加，求该火箭在技术和材料改进前的质量比. （两问结果均保留一位小数，参考数据：） 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）将给定数据代入公式计算即得； （2）利用给定信息列出不等式求解． 【解答过程】（1）依题意，； （2）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速率至少增加， 则，即， ，， 所以， 所以该火箭在技术和材料改进前的质量比为. 题型六 函数模型的选择问题 26．（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 【答案】(1)选②，理由见解析，函数解析式为 (2)分钟 【解题思路】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①③,代入数据②中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【解答过程】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以. （2）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 27．（24-25高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 【答案】(1)答案见解析 (2)240 【解题思路】（1）结合各组数据发现对称性质选择模型，待定系数法求解可得； （2）依题意函数，分段求解范围并比较可得最值. 【解答过程】（1）选择模型②. 理由如下：由题意知，，且为正整数. 由表格数据可知，不恒为常数，在直线上， 其余三对数据点关于直线对称， 模型①，由已知数据可知，对称轴为轴， 当时，单调递增，不满足三对数据点关于直线对称； 模型③，当时，是增函数；当时，是减函数， 不论取何值，数据的对称性都不符合； 模型②，， 故的图象关于直线对称， 因此较模型①③，更适合题意，故选择此模型. ，代入两组数据对应点， 得，，解得. 则（，为正整数）， 验证知，其他组数据对应点也在此函数图象上. （2）由题意得， ， （i）当，且为正整数时，； 在单调递减，； （ii）当，且为正整数时， ， 在单调递增，； 又，所以当时，取最大值. 综上所述，第4天该景区国庆期间日营业收入最多，最大值为万元. 28．（2025·福建三明·模拟预测）为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 【答案】(1)． (2)年 【解题思路】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解． （2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数的公式，即可求解． 【解答过程】（1）若选择模型， 则，解得， 故函数模型为． 若选择模型， 则，解得，， 故函数模型为． （2）把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择模型更合适． 令，可得， 两边取对数可得， 即， 所以， 至少到年月底蒲草覆盖面积能达到． 29．（24-25高一上·广东广州·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 2 3 4 5 6 8 4 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个. 【答案】(1); (2). 【解题思路】（1）根据函数的增长速度可求解； （2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解. 【解答过程】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小， 而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大， 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大， 故选择函数. （2）由题意可得，解得， 所以. 令，解得. 故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个. 30．（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【答案】(1)选择③；， (2)预计平台建立年后会员数超过千人 【解题思路】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果. 【解答过程】（1）解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢 所以，选择③， 代入表格中的前三个点可得：，解得：， 所以，函数解析式为，． （2）解：由（1）可知：，则． 所以，，则 ． 所以，预计平台建立年后会员数超过千人. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $