专题30 三角函数中参数的求解方法（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题30 三角函数中参数的求解方法 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、φ的取值和最值问题 类型二、三角函数图像变换与ω 类型三、三角函数对称性与ω 类型四、三角函数单调性与ω 类型五、三角函数最值与ω 类型六、三角函数零点（方程根）与ω 类型七、结合零点、对称轴、单调性等综合性问题求参 压轴专练 类型一、φ的取值和最值问题 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性． （1）对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数； （2）对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 【技巧方法】 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． （3）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 例1．已知函数在区间单调递增，则的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数的单调性结合为正弦函数递增区间的子区间求解即可； 【解析】由正弦函数的单调递增区间为，， 所以， 因为在区间单调递增， 所以，解得，， 因为，所以， 故选：A. 变式1-1．已知函数的图象关于对称，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象的对称性可得，由此结合范围求出值. 【解析】由题意得， 则，即， 又，所以当时，. 故选：A. 变式1-2．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的奇偶性，分别验证命题的充分性以及必要性，即可得到结果. 【解析】由题意可得，由是偶函数可得， 且，当时，，当时，， 所以由是偶函数可得或，故充分性不满足； 当时，可得为偶函数，故必要性满足； 所以"是偶函数"是""的必要不充分条件. 故选：B 变式1-3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平移得出函数的解析式，再结合函数为奇函数且即可求出. 【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得到 因为是奇函数，所以， 又因为，所以. 故选：B. 变式1-4．设函数，将函数的图像向左平移φ（）个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则φ的最小值是___________ 【答案】 【分析】根据平移变换得，根据为偶函数可得结果. 【解析】向左平移φ（）个单位长度， 得到函数 因为为偶函数，所以，， 所以，， 因为，所以时，取最小值. 故答案为：. 变式1-5．设，，若不等式对也成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先由题设结合正弦函数性质得，再结合正弦函数的单调性性质即可得解. 【解析】由题可得，且对任意成立， 又时，， 所以即， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故答案为：. 类型二、三角函数图像变换与ω 1、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； 2、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； 3、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 【技巧方法】 1.平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2.平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3.平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4.平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5.平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中 例2．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平移变换得到曲线的解析式，再由奇偶性得到方程，求出，得到最小值. 【解析】由题意知，曲线为， 又关于轴对称，则，解得． 又，故当时，的最小值为． 故选：C 变式2-1．已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件： 【答案】B 【分析】以为整体，结合正弦函数对称性解得，进而根据包含关系分析充分、必要条件. 【解析】若存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称， 因为，且，则， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 变式2-2．将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数图像的变换即可求解. 【解析】由题意得， 又 所以， 所以，， 又因为，所以的最小值为. 故选：A. 变式2-3．若函数满足，则 . 【答案】3 【分析】根据对称性可得关于对称，即可得，可得，进而可求解. 【解析】因为函数满足，故函数关于对称， 所以，且，即，则. 又，故当时，.故. 故答案为：3 变式2-3．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为__________- 【答案】 【分析】首先根据函数的性质求的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解. 【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 函数的图象关于直线对称， 所以，得, 所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为. 故答案为： 类型三、三角函数对称性与ω 1.的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2.函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 3、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 【技巧方法】 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值 例3．已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（  ） A．3 B．9 C．3或9 D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的的取值为或9，分类讨论验证单调性即可得结论. 【解析】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称，则①． 由知的图象关于点对称，则②． ②①得，令，则， 结合可得或9． 当时，代入①得，又，所以， 此时，因为，故在上单调递增，符合题意； 当时，代入①得，，又，所以， 此时，因为， 故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去． 综上，的值为3． 故选：A. 变式3-1．函数的部分图象如下图所示，若在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知函数过点，所以，即，又， 所以或，依题意可得， 若则靠近轴的最大值的横坐标不可能为负数，故舍去； 所以，即， 因为，所以． 又，的图象如下所示： 要使函数在区间恰有一条对称轴和一个对称中心， 则，解得，即的取值范围是. 故选：C． 变式3-2．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 画出的图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则， 解得. 故选：A 变式3-3．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴，所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 类型四、三角函数单调性与ω 【技巧方法】 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 例4．若函数在区间上是减函数，且，，，则（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】，由题意求得和，两式相减，得到，进而求得的值. 【解析】由函数， 因为，所以， 又因为在区间上是减函数， 所以，， 两式相减，可得，因为，所以. 故选：C. 变式4-1．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的零点和单调区间求解即可. 【解析】函数， 函数的一个零点是，故，, 所以， 在上单调，则， 故，解得， 且，故， 结合 故 故选：B 变式4-2．把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内有唯一一个对称中心，且在区间上单调递增，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象变换结论求，由条件根据单调性性质列不等式求的可能范围，再结合对称中心性质列不等式确定对称中心可能位置，列不等式求求结论. 【解析】由题意得． 因为在上单调递增，则由，得， 所以，解得． 又在内有唯一一个对称中心，所以由，得， 结合，得，且, 所以对称中心的横坐标可能为或 当时，解得； 当时，无解， 所以的取值范围为， 故选：A． 变式4-3．已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】由题意得，问题转化成函数在上单调递增，接着由正弦函数性质可得，解该不等式组即可得解. 【解析】因为，所以， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 而，，所以由正弦函数性质得， 解得，则的最大值为. 故答案为：. 变式4-4．已知函数（，）在区间上单调，且满足，，则所有满足题意的的取值之和为 ． 【答案】4 【分析】由题意的图象关于点中心对称和关于直线对称，根据对称性列式得，再根据单调性得，然后按照，，分别求解对应的函数，根据正弦函数的性质验证单调性，即可求出所有满足题意的，即可得解. 【解析】因为，所以的图象关于点中心对称， 因为，所以的图象关于直线对称， 所以，则，即， 由函数在上单调，得，即， 所以，即，解得，而，故或1或2． 当时，，则，， 结合，得，此时， 当时，， 因为在上单调递增， 故在上单调递增，满足题意； 当时，，则，， 结合，得，此时， 当时，， 因为在上不单调， 故在上不单调，此时不合题意； 当时，，则，， 结合，得，此时， 当时，， 因为在上单调递增，故在上单调递增，满足题意． 综上，或，所以所有满足题意的的取值之和为4． 故答案为：4 类型五、三角函数最值与ω 三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 例5．若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由范围求得的范围，由条件建立不等式，解得实数的取值范围. 【解析】根据题意， 由于，可得： 由于函数恰好有5个最大值，4个最小值， 则，解得 故选：B. 变式5-1．若函数，的值域为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由范围求得的范围，由条件建立不等式，解得实数的取值范围. 【解析】根据题意可知若，则可得； 显然当时，可得， 由的值域为，利用三角函数图像性质可得， 解得，即的取值范围是. 故选：D 变式5-2．已知函数，且，则满足在区间上的最大值为的的取值的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先计算出，分、、三种情况讨论，结合图形和方程的解与图象的交点个数之间的关系求解即可. 【解析】由，得，所以， 因为，有， 因为，所以. 当时，. 若，，此时的最大值为，所以， 画出的图象，如图， 由图可知，函数图象在上没有交点，所以方程在上无解； 若，，此时的最大值为1， 所以，解得，不符合题意； 若，，此时的最大值为，所以， 画出的图象，如图， 由图可知，函数图象在上有一个交点，所以方程在上仅有一个解； 所以的个数为1. 故选：A. 变式5-3．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 . 【答案】 【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可. 【解析】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 变式5-4．将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】函数的最小正周期为， 将函数向右平移后的解析式为， 由，可得， 要使得平移后的图象有个最高点和个最低点，则需：，解得． 故答案为：. 类型六、三角函数零点（方程根）与ω 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值 例6．设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】由图像的变换可得，利用的图像关于原点求解即得；利用零点的定义结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【解析】由题意可得， 因为的图像关于原点对称，所以，即， 当时，； ，则，有且仅有两个零点， 则，解得， 故答案为：（答案不唯一）； 变式6-1．已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【解析】由，得， 由，得，由在上有三个零点， 得在上有三个根，则，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 变式6-2．（多选）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．则下列说法正确的是（  ） A.的图象关于点对称；   B.在内恰有5个最值点； C.在内单调递减；          D的取值范围是． 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可. 【解析】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象， 所以函数的解析式为：， 当时，， 因为函数在上有且只有5个零点，， 所以，解得， 因为，， 所以当时，，此时解不等式组，得， 当时，，即， 此时不等式组的解集为空集，故D正确； A：因为，所以的图象关于点对称， 故本命题是真命题； B：因为，所以， 又因为，所以，而， 即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题； C：因为，所以， 又因为，所以，而，故本命题是假命题； 故选：AD. 变式6-3．若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，求得，可得，分别对取值将所得结果求并集求得答案. 【解析】由得，得． 令，零点和在区间内，则且， 即且，化简得， 由，得，所以为大于1的整数． 易得当时，；当时，； 当时，；当时，， 可得当时，，且当时，， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 类型七、结合零点、对称轴、单调性等综合性问题求参 研究函数性质的基本策略: （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域 【技巧方法】 通过研究函数的图像与性质，建立关于参数的不等关系式，进一步求解得出参数的范围． 例7．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的伸缩可得函数解析式，再利用整体法判断零点及单调性情况，可得不等式，解不等式即可得解. 【解析】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 设， 当时，， 由函数在上恰有两个零点， 则，解得， 又当，， 则，， 函数在上单调递增， 所以，解得， 综上所述， 故选：C. 变式7-1．（多选）已知，若，使得，则的可能取值为（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由辅助角公式可得，后由图象可得范围，即可得答案. 【解析】，因为，使得， 所以， 令，作出函数在上的图象，如图所示： ①当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为， 此时取得最小值，，所以； ②当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为， 此时取得最大值，. 则，故只有BC选项满足条件. 故选：BC．    变式7-2．函数在区间上单调，其中为正整数，，且．写出曲线的一个对称中心的坐标： ；若为奇函数，则 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先根据单调性得出，进而得出对称中心；方法一：再根据单调性得出周期范围进而得出，再计算得出参数即可；方法二：根据三角函数对称中心间距离与周期的关系得出，再计算得出参数即可. 【解析】因为，所以在函数的同一个单调区间上， 又，所以， 所以曲线的一个对称中心是点. 方法一：因为在区间上单调， 所以的最小正周期，即，所以， 又为正整数，所以． 当时，， 因为点为曲线的一个对称中心， 所以，又，所以． 若为奇函数，则， 由，得，不符合题意，舍去． 当时，，因为点为曲线的一个对称中心， 所以，又，所以． 若为奇函数，则， 当时，，符合题意．所以若为奇函数，则． 方法二：由为奇函数，可知函数图象的一个对称中心是点， 两个对称中心之间的距离为的最小正周期， 所以，即， 由得，所以，所以， 当时，，因为点为曲线的一个对称中心， 所以，又，所以． 若为奇函数，则， 当时，，符合题意．所以若为奇函数，则． 故答案为：；. 变式7-3．已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为 . 【答案】6 【解析】由函数相邻两条对称轴之间的距离为，得，故. 又因为，即， 所以或，所以或， 因为，所以， 故， 因为，故，结合正弦函数的图象可知， 函数在上的零点个数为6. 故答案为：6. 1.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（  ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】D 【分析】根据周期性求出，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质判断即可. 【解析】依题意，又，所以，解得， 所以， 又函数过点，所以，所以， 又，所以， 所以，故A、B错误； 又，所以不是的对称轴，故C错误； ，所以是图象的一个对称中心，故D正确. 故选：D 2.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得表达式，先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围. 【解析】由函数的部分图象可知，， 因为，所以， 又，所以，解得， 由可得，所以， 将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，令，由，可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图像在上有两个交点， 即与在上有两个交点， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 3.将函数的图象向左平移个单位长度得到数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可. 【解析】 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到数的图象，所以， 则，所以， 由图像可得，所以， 又，所以， 又，所以. 故选：C. 4.已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【解析】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故选：B. 5.已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【解析】设函数的最小正周期为，因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故选：B. 6.（多选）已知函数的图象关于直线对称，且函数的图象向右平移个单位长度之后与原来的图象重合，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数图象的平移变换可得或，再结合函数的对称轴，即可求得的值，即得答案. 【解析】函数的图象向右平移个单位长度之后得到了函数的图象， 由两函数图象完全重合知，所以. 又，故或. 又函数的图象关于直线对称， 当时，，则， 又，故； 当时，，则， 又，故. 故选：BD 7.（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ） A． B． C．函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 D． 【答案】ABD 【分析】A由图象可确定，即可判断选项正误；BD验证是否满足选项描述即可判断选项正误；C解方程，验证相邻根的差值即可判断选项正误. 【解析】由图可得，， ，因，取， 对于A，，故A正确； 对于B，， 则， ， 即，故B正确； 对于C，令 或，得或，其中， 分别取，得相邻的三个根为， 则相邻根的差值即的图象与直线的相邻两交点间的距离为或，故C错误； 对于D，， ， 则，故D正确. 故选：ABD 8.（多选） 已知函数的部分图象如图所示，，，，则（  ） A． B． C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时， 【答案】ABD 【分析】A选项，由图象可得，从而求出；B选项，由计算出，解得；C选项，求出，根据得到C错误；D选项，得到，数形结合得到，解得，D正确. 【解析】A选项，由图象可知和为相邻的两个最大值点和最小值点， 设的最小正周期为，则，故， 又，故，A正确； B选项，因为，所以， 因为，所以，解得，B正确； C选项，， 故， 由于，故， 显然不为奇函数，C错误； D选项，时，， 在上恰有4个零点，故， 解得，D正确. 故选：ABD 9.已知函数的一个单调减区间为，则 ， . 【答案】 2 / 【分析】根据三角函数的单调性和周期性等图象性质易得结果. 【解析】由题意，周期，所以， 此时， 当时，可得， 则，解得， 又，所以. 故答案为：2；. 10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】先初步确定的解析式，根据确定满足的条件，得到的最小值. 【解析】因为. 又因为的图象关于点对称，所以， 即，所以，，且. 所以的最小值为：3 故答案为：3 11.已知函数的图像向左平移后得到的图像关于对称，在上具有单调性，则的最大值为__________ 【答案】16 【分析】由函数的图象向左平移后得到，然后由函数的图象关于对称，确定的关系，再根据在上具有单调性，由即可求解. 【解析】把函数的图象向左平移后得到， 因为的图象关于对称，所以，即， 因为在上具有单调性，且的对称中心为 所以，且，解得， 所以的最大值为. 故答案为：16. 12.已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 【答案】 2 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【解析】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 又，， 综上所述：，. 故答案为：2，. 13.已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 【答案】；（2） 【解析】（1）函数的最大值是2，,函数的周期， 即， ，且，或， 当时，，当时，，满足条件； 当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，所以舍去， 所以函数； （2），得， ，解得：， 或，解得：， 函数在区间上只有4个零点， 这四个零点应是，，，， 那么的最大值应是第5个零点，即， 所以的最大值是. 14.已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 【答案】(1)条件选择见解析，;(2) 【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式； （2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案. 【解析】（1）若选①②： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以． 因为，所以，所以函数的解析式为； 若选①③： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以，即，因为，所以． 所以函数的解析式为； 若选②③： 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以， 因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以即， 因为，所以，所以函数的解析式为； （2）把的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到， 即，由得， 因为在区间上的最大值为2， 所以在区间上的最大值为1， 所以，所以，所以的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 三角函数中参数的求解方法 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、φ的取值和最值问题 类型二、三角函数图像变换与ω 类型三、三角函数对称性与ω 类型四、三角函数单调性与ω 类型五、三角函数最值与ω 类型六、三角函数零点（方程根）与ω 类型七、结合零点、对称轴、单调性等综合性问题求参 压轴专练 类型一、φ的取值和最值问题 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性． （1）对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数； （2）对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． 【技巧方法】 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． （3）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 例1．已知函数在区间单调递增，则的取值范围（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知函数的图象关于对称，则（  ） A． B． C． D． 变式1-2．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 变式1-4．设函数，将函数的图像向左平移φ（）个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则φ的最小值是___________ 变式1-5．设，，若不等式对也成立，则的取值范围是 ． 类型二、三角函数图像变换与ω 1、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； 2、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； 3、y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 【技巧方法】 1.平移后与原图象重合 思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数； 思路2：平移前的函数=平移后的函数. 2.平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数. 3.平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 4.平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-； 5.平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中 例2．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件： 变式2-2．将函数的图象向右平移个单位，到得函数的图象，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 变式2-3．若函数满足，则 . 变式2-3．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为__________- 类型三、三角函数对称性与ω 1.的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2.函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 3、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 【技巧方法】 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值 例3．已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（  ） A．3 B．9 C．3或9 D． 变式3-1．函数的部分图象如下图所示，若在区间恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 类型四、三角函数单调性与ω 【技巧方法】 已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半， 即，求得 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围； 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围. 例4．若函数在区间上是减函数，且，，，则（  ） A． B．1 C． D．2 变式4-1．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（ ） A． B． C． D． 变式4-2．把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内有唯一一个对称中心，且在区间上单调递增，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式4-3．已知，函数在上单调递增，则的最大值为 . 变式4-4．已知函数（，）在区间上单调，且满足，，则所有满足题意的的取值之和为 ． 类型五、三角函数最值与ω 三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 例5．若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数，的值域为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数，且，则满足在区间上的最大值为的的取值的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-3．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 . 变式5-4．将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 类型六、三角函数零点（方程根）与ω 利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案. 【技巧方法】 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值 例6．设函数． ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 变式6-1．已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．则下列说法正确的是（  ） A.的图象关于点对称；   B.在内恰有5个最值点； C.在内单调递减；          D的取值范围是． 变式6-3．若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ． 类型七、结合零点、对称轴、单调性等综合性问题求参 研究函数性质的基本策略: （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域 【技巧方法】 通过研究函数的图像与性质，建立关于参数的不等关系式，进一步求解得出参数的范围． 例7．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式7-1．（多选）已知，若，使得，则的可能取值为（  ） A． B． C． D． 变式7-2．函数在区间上单调，其中为正整数，，且．写出曲线的一个对称中心的坐标： ；若为奇函数，则 ． 变式7-3．已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为 . 1.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（  ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 2.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 3.将函数的图象向左平移个单位长度得到数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（  ）． A． B． C． D． 4.已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（多选）已知函数的图象关于直线对称，且函数的图象向右平移个单位长度之后与原来的图象重合，则的值可以为（  ） A． B． C． D． 7.（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ） A． B． C．函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 D． 8.（多选） 已知函数的部分图象如图所示，，，，则（  ） A． B． C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时， 9.已知函数的一个单调减区间为，则 ， . 10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点对称，则的最小值为 . 11.已知函数的图像向左平移后得到的图像关于对称，在上具有单调性，则的最大值为__________ 12.已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 13.已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 14.已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $