第05讲 同底数幂的乘法 单项式的乘法（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第05讲 同底数幂的乘法 单项式的乘法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念 · 定义：底数相同的幂称为同底数幂。例如：与、与（其中(a)为字母，可代表任意数或式子）。 · 关键点：判断是否为同底数幂需同时满足“底数相同”，指数可以不同。如与不是同底数幂（底数分别为3和2）。 2. 同底数幂的乘法法则 · 法则内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为：（其中，(m)、(n)为正整数）。 · 推导过程：根据乘方的意义，表示(m)个(a)相乘，表示(n)个(a)相乘，因此（共(m+n)个(a)），即。 · 扩展应用：当有多个同底数幂相乘时，法则依然适用，例如：（(m)、(n)、(p)均为正整数，）。 3. 注意事项 · 底数的取值范围：法则中，若，则无意义，且当指数为0时需单独讨论（后续学习），现阶段默认底数非零。 · 符号问题：若底数为负数，需注意符号的处理。例如：；若底数互为相反数，需先转化为同底数幂，如（注意与的区别，前者底数为2，后者底数为-2）。 · 与合并同类项的区别：同底数幂相乘是“指数相加”，而同类项合并是“系数相加，字母和指数不变”。例如：（乘法），（合并同类项）。 知识点2 ： 单项式的乘法 1. 单项式的概念回顾 · 定义：由数与字母的积组成的代数式称为单项式（单独的一个数或一个字母也称为单项式）。例如：(3x)、、(7)（常数项）、(m)等。 · 构成要素：单项式由系数和字母部分组成，系数是单项式中的数字因数（包括符号），字母部分是所有字母及其指数的乘积。例如：的系数是(-5)，字母部分是。 2. 单项式乘法法则 · 法则内容：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 · 步骤分解： 1. 系数相乘：将两个单项式的系数相乘，注意符号（同号得正，异号得负）。 2. 同底数幂相乘：对于相同的字母，按照“同底数幂的乘法法则”（底数不变，指数相加）进行计算。 3. 单独字母处理：只在一个单项式中出现的字母，直接将其连同指数写在积中。 · 公式表示：若有单项式和（其中(k)、(l)为系数，(a)、(b)、(c)为字母，(m)、(n)、(p)、(q)为正整数），则。 3. 示例解析 · 例1：计算 · 系数相乘： · 同底数幂相乘：， · 结果： · 例2：计算 · 系数相乘： · 同底数幂相乘：， · 结果： · 例3：计算 · 系数相乘： · 同底数幂相乘： · 单独字母：和(p)只在一个单项式中出现，直接保留 · 结果：. 注意事项 · 系数的符号：相乘时需先确定积的符号，遵循“负负得正，正负得负”的原则。 · 指数为1的情况：字母的指数为1时通常省略不写，但计算时需注意，例如，所以。 · 结果的规范：单项式的结果一般按字母顺序排列（通常按英文字母顺序），系数为带分数时需化为假分数，例如不能写成。 · 与多项式乘法的区别：单项式乘法是“系数相乘、同底数幂指数相加”，而多项式乘法需用分配律展开（后续学习），现阶段仅需掌握单项式之间的乘法。 【题型1 同底数幂的乘法】 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．若，则 ． 变式2．计算： ． 变式3．计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型2 同底数幂的乘法逆用】 例1．已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．若，，则的值为（   ） A．2 B．12 C．8 D．6 变式1．，则的值为 ． 变式2．若，，则 ； 变式3．已知，求的值． 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 例1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 例2．电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 变式1．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是 米．（用科学记数法表示） 变式2．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为 米． 变式3．中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【题型4 幂的乘方】 例1．计算（   ） A． B． C． D． 例2．如果，那么的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．已知，则 ， ． 变式2．已知，则的值为 ． 变式3．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【题型5 幂的乘方逆用】 例1．如果，，则的值是（   ） A．12 B．14 C．36 D．72 例2．已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 变式1．比较大小：（用“”连接） 变式2．若，则的值为 ． 变式3．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【题型6 积的乘方】 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．计算的结果为 ． 变式3．逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【题型7 积的乘方逆用】 例1．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 例2．计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 变式1．计算： ． 变式2．已知，，则的值为 ． 变式3．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【题型8 单项式乘单项式】 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 变式1．定义新运算：，则的运算结果为 变式2．计算： 变式3．计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 【题型9 单项式乘多项式】 例1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．若，则的值为 ． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【题型10 单项式乘多项式的应用】 例1．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 变式1．正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；（要化简哟） 变式2．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 变式3．如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 4．已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．计算： ． 7．计算： ． 8．已知，则 ． 9．若，，则 ． 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为 （用含a的代数式表示）． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 13．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 14．规定∶ ． (1)求的值； (2)若 ，求x的值． 15．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 同底数幂的乘法 单项式的乘法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念 · 定义：底数相同的幂称为同底数幂。例如：与、与（其中(a)为字母，可代表任意数或式子）。 · 关键点：判断是否为同底数幂需同时满足“底数相同”，指数可以不同。如与不是同底数幂（底数分别为3和2）。 2. 同底数幂的乘法法则 · 法则内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为：（其中，(m)、(n)为正整数）。 · 推导过程：根据乘方的意义，表示(m)个(a)相乘，表示(n)个(a)相乘，因此（共(m+n)个(a)），即。 · 扩展应用：当有多个同底数幂相乘时，法则依然适用，例如：（(m)、(n)、(p)均为正整数，）。 3. 注意事项 · 底数的取值范围：法则中，若，则无意义，且当指数为0时需单独讨论（后续学习），现阶段默认底数非零。 · 符号问题：若底数为负数，需注意符号的处理。例如：；若底数互为相反数，需先转化为同底数幂，如（注意与的区别，前者底数为2，后者底数为-2）。 · 与合并同类项的区别：同底数幂相乘是“指数相加”，而同类项合并是“系数相加，字母和指数不变”。例如：（乘法），（合并同类项）。 知识点2 ： 单项式的乘法 1. 单项式的概念回顾 · 定义：由数与字母的积组成的代数式称为单项式（单独的一个数或一个字母也称为单项式）。例如：(3x)、、(7)（常数项）、(m)等。 · 构成要素：单项式由系数和字母部分组成，系数是单项式中的数字因数（包括符号），字母部分是所有字母及其指数的乘积。例如：的系数是(-5)，字母部分是。 2. 单项式乘法法则 · 法则内容：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 · 步骤分解： 1. 系数相乘：将两个单项式的系数相乘，注意符号（同号得正，异号得负）。 2. 同底数幂相乘：对于相同的字母，按照“同底数幂的乘法法则”（底数不变，指数相加）进行计算。 3. 单独字母处理：只在一个单项式中出现的字母，直接将其连同指数写在积中。 · 公式表示：若有单项式和（其中(k)、(l)为系数，(a)、(b)、(c)为字母，(m)、(n)、(p)、(q)为正整数），则。 3. 示例解析 · 例1：计算 · 系数相乘： · 同底数幂相乘：， · 结果： · 例2：计算 · 系数相乘： · 同底数幂相乘：， · 结果： · 例3：计算 · 系数相乘： · 同底数幂相乘： · 单独字母：和(p)只在一个单项式中出现，直接保留 · 结果：. 注意事项 · 系数的符号：相乘时需先确定积的符号，遵循“负负得正，正负得负”的原则。 · 指数为1的情况：字母的指数为1时通常省略不写，但计算时需注意，例如，所以。 · 结果的规范：单项式的结果一般按字母顺序排列（通常按英文字母顺序），系数为带分数时需化为假分数，例如不能写成。 · 与多项式乘法的区别：单项式乘法是“系数相乘、同底数幂指数相加”，而多项式乘法需用分配律展开（后续学习），现阶段仅需掌握单项式之间的乘法。 【题型1 同底数幂的乘法】 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，直接计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 结果为 ． 故选D． 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据乘方的定义确定a个a相乘的结果，再根据幂的乘方运算法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴结果为， 故选：B． 变式1．若，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用同底数幂相乘的法则，将指数相加，再代入已知条件计算． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， ∵ ， ∴． 故答案为：81． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，运用同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：原式， 故答案为：． 变式3．计算下列各题，结果用幂的形式表示． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键. （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【题型2 同底数幂的乘法逆用】 例1．已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，利用这一法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ ． 故选：D． 例2．若，，则的值为（   ） A．2 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的逆用，利用指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 故选：C． 变式1．，则的值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则的逆用，逆用同底数幂的乘法法则将转化为后代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：6． 变式2．若，，则 ； 【答案】10 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用． 逆用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 变式3．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键． 逆用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 【题型3 用科学记数法表示数的乘法】 例1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 例2．电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查幂的乘法，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】解：依题意得． 故选：C． 变式1．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是 米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查路程问题及科学记数法等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其知识点；根据距离公式，距离等于速度乘以时间，将速度和时间用科学记数法表示后相乘，并化简为标准的科学记数法形式. 【详解】解：火箭飞行的距离为速度乘以时间，即 由于科学记数法要求数字部分在1到10之间，因此将15表示为 ， 故答案为：. 变式2．光在真空中的速度约是米/秒，某天文台测出某天体射出的光到达地球大约需要秒，则该天体与地球的距离约为 米． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的实际应用，熟练掌握运算法则，根据题意列关系式是解题的关键．根据公式“距离速度时间”，然后根据同底数幂相乘等于底数不变，指数相加的原则进行计算，最终再把结果用科学记数法，其中的形式表示即可． 【详解】解：有题意可知，该天体与地球的距离为（米）． 故答案为：． 变式3．中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法． 用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】解：（次）， 答：它工作3小时可进行次运算． 故答案为： 【题型4 幂的乘方】 例1．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键；直接应用幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 例2．如果，那么的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 变式1．已知，则 ， ． 【答案】 5 25 【分析】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘这一法则是解题的关键． 根据指数运算规则，由已知条件 推导出 ，进而求解 和 ． 【详解】解：∵ ， ∴， 且 ． 故答案为 ：，． 变式2．已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件中的指数和进行计算是解题的关键． 将和化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则和已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 由已知 得 ， ∴． 故答案为：． 变式3．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型5 幂的乘方逆用】 例1．如果，，则的值是（   ） A．12 B．14 C．36 D．72 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质，熟练掌握“幂的乘方公式、同底数幂的乘法公式”是解题的关键．利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算性质，将转化为含、的形式，再代入求值． 【详解】∵， ， ∴， 故选：D． 例2．已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．128 【答案】B 【分析】本题考查指数运算，由方程可得，将和化为以2为底的幂形式，利用指数运算法则计算表达式值，关键是将底数统一为 2，利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．比较大小：（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和有理数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．通过幂的乘方将指数化为相同形式，然后比较底数的大小． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 变式2．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知幂的乘积形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 变式3．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 【题型6 积的乘方】 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 变式3．逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 【题型7 积的乘方逆用】 例1．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． 逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 例2．计算的值等于（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方法则的逆用，同底数幂乘法法则的逆用，将化为分数，利用同底数幂相乘的逆运算以及积的乘方的逆运算进行化简，计算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：B 变式1．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式2．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法运算，根据，，得到，进而得到，推出，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式3．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 【题型8 单项式乘单项式】 例1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解：， 故选A． 例2．若，则的值为（    ） A．－16 B．－8 C．－4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，整体思想，正确计算是解题的关键． 先利用积的乘方，单项式乘单项式法则简化表达式后，再利用整体思想将已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ , 又 ∵ , ∴ , ∴ . 故选：A． 变式1．定义新运算：，则的运算结果为 【答案】/ 【分析】本题考查整式的运算，根据新运算的定义，将 和 分别替换为 和 ，列出算式，利用单项式乘以单项式的法则，以及合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：由定义 ，得 ， 故答案为 ． 变式2．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了指数运算和单项式乘法，解题的关键是注意运算顺序和同底数幂的乘法法则．先计算指数部分，再运用同底数幂的乘法法则进行运算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，同底数幂乘法和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型9 单项式乘多项式】 例1．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，单项式乘以多项式等于单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的结果相加，根据此法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则，是解题的关键．应用分配律将单项式与多项式相乘即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算法则及整体代入的数学思想．将原式展开，利用已知条件进行代入计算． 【详解】解：原式， 由，得， ∴原式． 故答案为：2． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 【题型10 单项式乘多项式的应用】 例1．如图，四边形与是两个边长分别为m，n的正方形，则阴影部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意， ； 故选A． 例2．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，单项式乘以多项式的应用，用代数式表示所拼成的长方形的长与宽，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：拼成的长方形的长为，宽为， 所以面积为． 故选：D． 变式1．正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积 ；（要化简哟） 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，单项式乘多项式．阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，由此列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． （1） （用含，的代数式表示）； （2）若，三角形的面积为，则 ． 【答案】 32 【分析】本题考查了列代数式，整式乘法的应用，求代数式的值等知识，正确表示出相图形的面积是解题的关键． （1）由即可求解； （2）利用即可求解． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：； （2） ． 故答案为：32． 变式3．如图是一套房子的平面图，尺寸如图： (1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ (2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)96平方米 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减法与求值，依据题意，正确列出代数式是解题关键． （1）将房子各区域的面积相加即可； （2）将x、y的值代入（1）的结论即可得房子的面积． 【详解】（1）解：这套房子的总面积为： ， （平方米）， 答：这套房子的总面积为平方米； （2）解：当米，米时， 房子的面积（平方米）， 答：房子的面积为96平方米． 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键．依据同底数幂的乘法法则计算，得出结果后匹配选项． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式乘以单项式，需将系数相乘，同底数幂相乘时，底数不变指数相加，据此写出答案即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 【详解】解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 4．已知，则用含、的式子可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法逆用，利用已知条件，将分解为 ，再应用指数法则转化为含和的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 5．如图1，《燕几图》可以说是中国家具史上第一部组合家具的设计图．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，七张桌面的宽都相等．如图2给出了《燕几图》中名称为“磐矩”的桌面拼合方式（用其中的六张桌子），若设每张桌面的宽为x，“磬矩”桌面的总面积为S，则S与x之间的关系可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，然后表示出小桌、中桌，大桌的长；得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 【详解】解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍， 则小桌的长是，中桌的长，大桌的长，根据题意得 ， 故选：C． 6．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查指数运算法则，具体涉及积的乘方和幂的乘方法则的应用．通过分别对底数中的各部分进行乘方运算，即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为 ． 7．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．根据法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 8．已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 将代数式 展开为 ，然后利用已知条件 代入计算即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴ ． 故答案为：10． 9．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，根据幂的运算法则可得，再将，代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， 将，代入，可得． 故答案为：28． 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，运算结果可以表示为 （用含a的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，根据题意可得运算结果可以表示为：． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得：， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ∴“2”上边的数是，“20”右边的数表示4，上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：∵ （2） （3） （4） 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘法法则是关键． 根据单项式的运算法则逐题计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 13．明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 14．规定∶ ． (1)求的值； (2)若 ，求x的值． 【答案】(1)243 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确理解题目中给出的式子，正确计算是解答本题的关键． （1）根据题意把写成的形式，算出最后结果即可； （2）根据给出的式子，表示出，而，根据等式算出最后结果即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶∵， ∴ ∴， 解得． 15．如图，用7张长为，宽为的长方形纸片互不重叠地放在长方形区域内，设边的长为，未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为（正值）． (1)若，则的值为多少时？ (2)对于下列两个问题，先回答，再通过“数学运算”说明理由； ①（1）中的值每增加的值增加（或减少）多少？ ②若，能赋予一个值使得的值不随的值的变化而变化吗？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，单项式乘以多项式与图形面积． （1）如图，标注图形各顶点，，，，，再利用建立方程求解即可． （2）①结合（1）可得：，进一步分析即可； ②先表示，，，，可得，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，标注图形各顶点， 由题意可得：， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为， ∴， 解得：． （2）解：①结合（1）可得： ， ∴（1）中的值每增加的值增加． ②∵， ∴，，，， ∵未被覆盖的两个区域（阴影）的面积差为： ， ∵的值不随的值的变化而变化， ∴， 解得：． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $