第06讲 多项式的乘法 乘法公式 （寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第06讲 多项式的乘法 乘法公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 多项式的乘法 1. 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式表示： 若((a + b)(m + n))，则展开为，即(am + an + bm + bn)。 2. 计算步骤 （1）用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，确保不重不漏； （2）将所有乘积项相加，合并同类项（若有）。 3. 示例 · 计算((x + 2)(x + 3))： 解：。 · 计算((2a - b)(a + 2b))： 解：。 4. 注意事项 （1）每一项相乘时，需注意符号：同号得正，异号得负； （2）若多项式中某一项为负数，需将符号与该项一同参与乘法运算； （3）合并同类项是化简结果的关键步骤，需确保同类项的系数相加正确。 知识点2 ：乘法公式 （一）平方差公式 1. 公式内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式表示： 。 2. 结构特征 （1）左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（(a)），另一项互为相反数（(b)与(-b)）； （2）右边：相同项的平方减去相反项的平方（）。 3. 示例 · 计算((3x + 2)(3x - 2))： 解：。 · 计算((-m + n)(-m - n))： 解：（将(-m)视为“相同项”，(n)与(-n)为“相反项”）。 4. 注意事项 （1）公式中的(a)和(b)可以是数、字母或多项式； （2）若两项的符号不满足“一同一反”，则不能直接使用平方差公式，需先调整符号或按多项式乘法法则展开。 （二）完全平方公式 1. 公式内容 （1）两数和的平方：； （2）两数差的平方：。 2. 结构特征 （1）左边：二项式的平方（）； （2）右边：三项式，即“首平方，尾平方，积的2倍中间放”（符号与左边二项式的符号相同）。 3. 示例 · 计算： 解：。 · 计算： 解：。 4. 常见错误提醒 · 避免漏写中间项：，正确结果需包含(2ab)； · 注意符号：的中间项为(-2ab)，而非(+2ab)。 （三）公式的灵活运用 1. 公式的逆用 · 平方差公式逆用：（用于因式分解，后续学习）； · 完全平方公式逆用：，。 2. 较复杂算式的简便计算 · 计算((x + y + z)(x + y - z))： 解：将((x + y))视为整体，用平方差公式： 。 · 计算： 解：将(102)拆分为(100 + 2)，用完全平方公式： 。 3. 注意事项 · 当式子结构与公式不完全一致时，可通过“补项”“拆项”或“整体代换”转化为公式形式； · 计算后需检查结果是否合并同类项，确保最简。 【题型1 多项式乘多项式】 例1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．计算： ． 变式2．计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 变式3．计算： (1)； (2)． 【题型2 化简求值】 例1．已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．化简： 变式2．化简的结果是 ． 变式3．化简求值 (1)，其中． (2)，其中． 【题型3 多项式中不含某项、与某项无关】 例1．如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 例2．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 变式1．已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 变式2．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 变式3．已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【题型4 解方程——多项式乘法】 例1．若实数x满足方程，则（   ） A． B． C． D． 例2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 变式1．方程的解为 ． 变式2．方程的解是 ． 变式3．解方程：． 【题型5 运用平方差公式进行运算】 例1．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形中正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，，则的值为 ． 变式2．计算： ． 变式3．探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【题型6 运用完全平方公式进行运算】 例1．若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 例2．若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 变式1．已知，则 ． 变式2．已知（，均为常数），则 ． 变式3．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【题型7 平方差公式与几何图形】 例1．将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 变式1．如图，分割图甲中的长方形，变换到图乙中正方形的阴影部分的位置，在这个拼接方案中，可以验证的数学公式是 ． 变式2．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则 （填“”、“”或“”）． 变式3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。 (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【题型8 完全平方公式与几何图形】 例1．图，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例2．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 变式1．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30．下列说法正确的有 ． ①正方形A和B的面积和是34； ②图2中新的正方形的面积是64； ③正方形A和B的面积差是4； ④正方形A的边长是5． 变式2．如图，两个正方形的边长分别为a，b（）．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 变式3．【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【题型9 完全平方式】 例1．若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．若是完全平方式，则k的值是(    ) A． B． C． D． 变式1．（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 变式2．（1）若是一个完全平方式，则k的值是 ． （2）若关于x的多项式是完全平方式，则 ． 变式3．【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【题型10 杨辉三角】 例1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，请计算展开式的系数和是（　　） A． B． C． D． 例2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B． C．6 D． 变式1．观察“杨辉三角”给出了展开式的系数规律，下列说法正确的是 ． ①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，； ②当，时，代数式的值为； ③展开式第项的系数是； ④展开式中所有系数之和为． 变式2．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 若……，请根据上述规律，写出的值等于 ． 变式3．阅读下列材料，解答下面的问题： 杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出两项多项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应两项多项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数1、2、1是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数1、3、3、1是杨辉三角中第四行的四个数．根据这个规律，试解决下列问题： （1）试写出下一个展开式： _________________________________． （2）求的展开式． （3）若，求的值． 1．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 4．已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 5．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 7．定义一种新的运算：规定，则 ． 8．设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 9．若是一个完全平方式，则a的值为 ． 10．的个位数字为 ． 11．计算：． 12．运用乘法公式计算： (1)； (2)． 13．先化简，再求值：，其中，． 14．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 15．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； (3)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； (4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 多项式的乘法 乘法公式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 多项式的乘法 1. 多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式表示： 若((a + b)(m + n))，则展开为，即(am + an + bm + bn)。 2. 计算步骤 （1）用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，确保不重不漏； （2）将所有乘积项相加，合并同类项（若有）。 3. 示例 · 计算((x + 2)(x + 3))： 解：。 · 计算((2a - b)(a + 2b))： 解：。 4. 注意事项 （1）每一项相乘时，需注意符号：同号得正，异号得负； （2）若多项式中某一项为负数，需将符号与该项一同参与乘法运算； （3）合并同类项是化简结果的关键步骤，需确保同类项的系数相加正确。 知识点2 ：乘法公式 （一）平方差公式 1. 公式内容 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式表示： 。 2. 结构特征 （1）左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（(a)），另一项互为相反数（(b)与(-b)）； （2）右边：相同项的平方减去相反项的平方（）。 3. 示例 · 计算((3x + 2)(3x - 2))： 解：。 · 计算((-m + n)(-m - n))： 解：（将(-m)视为“相同项”，(n)与(-n)为“相反项”）。 4. 注意事项 （1）公式中的(a)和(b)可以是数、字母或多项式； （2）若两项的符号不满足“一同一反”，则不能直接使用平方差公式，需先调整符号或按多项式乘法法则展开。 （二）完全平方公式 1. 公式内容 （1）两数和的平方：； （2）两数差的平方：。 2. 结构特征 （1）左边：二项式的平方（）； （2）右边：三项式，即“首平方，尾平方，积的2倍中间放”（符号与左边二项式的符号相同）。 3. 示例 · 计算： 解：。 · 计算： 解：。 4. 常见错误提醒 · 避免漏写中间项：，正确结果需包含(2ab)； · 注意符号：的中间项为(-2ab)，而非(+2ab)。 （三）公式的灵活运用 1. 公式的逆用 · 平方差公式逆用：（用于因式分解，后续学习）； · 完全平方公式逆用：，。 2. 较复杂算式的简便计算 · 计算((x + y + z)(x + y - z))： 解：将((x + y))视为整体，用平方差公式： 。 · 计算： 解：将(102)拆分为(100 + 2)，用完全平方公式： 。 3. 注意事项 · 当式子结构与公式不完全一致时，可通过“补项”“拆项”或“整体代换”转化为公式形式； · 计算后需检查结果是否合并同类项，确保最简。 【题型1 多项式乘多项式】 例1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 例2．若，则代数式的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值． 根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．计算： (1)已知，则 ． (2)若，则 ． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，计算多项式乘多项式，型多项式乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先将待求式子展开，再整体代入求值； （2）先将已知式子中等号右边的式子展开，与左边比较后得出m，n的值，再代入待求式子求值． 【详解】（1）解：， 整理得①， 又②， 将①代入②可得， 故答案为∶． （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为∶． 变式3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 化简求值】 例1．已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，多项式乘多项式．直接展开表达式 ，并代入已知条件和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式； 故选A． 变式1．化简： 【答案】 【分析】根据多项式的乘法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． 变式2．化简的结果是 ． 【答案】4x+5 【分析】首先按多项式乘以多项式法则求出（x+1）（x-5），然后加减运算． 【详解】解：x2-（x+1）（x-5） =x2-x2+4x+5 =4x+5． 故答案为：4x+5． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，比较简单，要牢牢掌握运算法则． 变式3．化简求值 (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用单项式乘以多项式的运算法则，整式的加减混合运算化简，代入求值即可； （2）运用多项式乘以多项式的运算法则，整式的加减混合运算化简，代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的四则混合运算法则，代入求值的方法是解题的关键． 【题型3 多项式中不含某项、与某项无关】 例1．如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查已知多项式乘积不含某项求字母的值． 计算与的乘积，令一次项系数为零，即可得的值． 【详解】解：, ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， 解得． 故选：C． 例2．若代数式的值与的取值无关，则常数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，解一元一次方程，正确理解多项式与取值无关的意义是解题的关键．先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项化简已知的代数式，再根据代数式的值与无关，则的系数必须为零，列方程并解方程即可得解． 【详解】解： ， 代数式的值与无关， ， 解得． 故选：C． 变式1．已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 变式2．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 变式3．已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； （2）原式 ， ． 【题型4 解方程——多项式乘法】 例1．若实数x满足方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先根据已知条件推出，，再把所求式子改写成，进一步变形得到，据此去括号化简即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选D． 例2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算多项式乘以多项式，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 变式1．方程的解为 ． 【答案】 【分析】将方程整理成一般式，再进一步求解可得． 【详解】解：， 2x²-5x-2x²-12x+14=0， -5x-12x+14=0， -17x+14=0， 解得：x=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 变式2．方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：化简得， 去括号，合并同类项可得16x=48， 解得x=3 故答案为：x=3． 变式3．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法和一元一次方程的解法；先利用整式乘法把方程化简为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解： 【题型5 运用平方差公式进行运算】 例1．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据平方差公式的结构特征，需将原式变形为相同两项的和与差相乘的形式，即，从而判断正确选项． 【详解】解：∵ 平方差公式要求形式为，   ∴． 故选：D． 例2．下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【详解】由平方差公式为， 选项A: ，不符合； 选项B: ，不符合； 选项C: ，符合； 选项D: ，不符合． 故选：C． 变式1．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用．利用平方差公式，将已知条件进行转化计算是解题的关键． 利用平方差公式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过乘以构造平方差公式，逐步简化计算即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 变式3．探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 【题型6 运用完全平方公式进行运算】 例1．若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 例2．若，则k的值是（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 展开右边的完全平方式，与左边多项式比较系数求k． 【详解】解：∵， 又∵=， ∴， 比较x项系数得：， 故选：C． 变式1．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 根据完全平方公式得到，然后代入所求表达式直接计算． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 变式2．已知（，均为常数），则 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，求完全平方式中的字母系数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 展开左边完全平方式，根据多项式恒等条件，比较对应项系数，得到关于t和k的方程，求解t后代入求k． 【详解】解：左边，右边， 所以， 所以，， 由， 解得：或， 当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：10或． 变式3．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)t的值为7或-9 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，要熟练掌握、、间的关系． （1）根据公式进行变形即可求得答案； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （3）根据公式进行变形，将和看作整体代入即可求得答案． 【详解】（1）解：， ． ， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， 或， 解得或， 即的值为或． （3）解：， 而， ， ， ． 【题型7 平方差公式与几何图形】 例1．将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式． 【详解】解：题图①中，题图②中阴影部分为一个平行四边形，底为、高为， ∴， ∴． 故选：A． 例2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，设，，则，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：设，，则，， 所以 ． 故选：C． 变式1．如图，分割图甲中的长方形，变换到图乙中正方形的阴影部分的位置，在这个拼接方案中，可以验证的数学公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，涉及长方形与正方形的面积计算，解题的关键是通过分析图形拼接前后的面积关系，将几何图形的面积转化为代数表达式，利用“面积相等”建立等量关系，从而验证平方差公式．根据图甲长方形面积与图乙阴影部分面积相等回答即可. 【详解】解：图甲的面积：， 图乙的结构：大正方形边长为，面积为； 小正方形边长为，面积为；阴影部分的面积为， ， 故答案为：． 变式2．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．比较与的大小，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了整式运算在几何图形中的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故答案为：． 变式3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。 (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查平方差公式的意义和应用． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）利用（1）的结论，把写成两个式子相乘的形式，把代入计算，即可得的值； （3）利用（1）的结论，对原式进行变形，写成便于约分的形式，计算即可． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为． （3）解：． ． 【题型8 完全平方公式与几何图形】 例1．图，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是理解阴影部分的面积大正方形的面积四个小长方形的面积． 阴影部分的面积大正方形的面积四个小长方形的面积，四个小长方形的面积图中的长、宽的长方形的面积，图中的大正方形的面积，化简后求得阴影的面积． 【详解】解：方法一： 图中四个长方形的面积的和图的长方形的面积， 图的大正方形的面积， 图中阴影部分的面积＝图的大正方形的面积﹣图中四个长方形的面积的和， 即， ， ， ； 方法二： 图中阴影部分是正方形，且四个边长都是， 阴影部分的面积． 故选：． 例2．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 变式1．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30．下列说法正确的有 ． ①正方形A和B的面积和是34； ②图2中新的正方形的面积是64； ③正方形A和B的面积差是4； ④正方形A的边长是5． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1中阴影部分是一个边长为的正方形，图2中新的正方形是一个边长为的正方形，根据正方形面积计算公式可得，据此可求出，和的值，进一步可得的值，再解方程组求出a、b的值，据此逐一判断可得答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A和B的面积和是34，故①正确； ∴， ∴图2中新的正方形的面积是64，故②正确； ∵，且， ∴， ∴， ∴正方形A的边长是5，故④正确； ∵， ∴正方形A和B的面积差是16，故③错误； 故答案为：①②④． 变式2．如图，两个正方形的边长分别为a，b（）．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题考查完全平方公式的应用，用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：14． 变式3．【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【答案】（1）20；（2）；（3）6 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1），，而， ， 故答案为：20； （2）设， 由题意得， ， ， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意知， ，即， 长方形的面积为8， ， ， ， ， 正方形的边长为6． 【题型9 完全平方式】 例1．若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 例2．若是完全平方式，则k的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式．通过将表达式与完全平方式展开后的形式比较系数，确定的值． 【详解】解：由题意，得 ∴ 故选：D． 变式1．（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 36 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36，． 变式2．（1）若是一个完全平方式，则k的值是 ． （2）若关于x的多项式是完全平方式，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式； （1）由完全平方公式得，即可求解； （2）由得，由完全平方公式即可求解； 掌握完全平方公式和是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得：或； 故答案：或； （2）由题意得 ， 是完全平方式， ； 故答案：． 变式3．【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【答案】（1）①③；（2）或；（3），，， 【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）可将给出的两项看作完全平方式的前两项或第一项和第三项，分别求得第三项和第二项，而给出的二项式的两项本身都是完全平方式，还可去掉其中一项，由此即可得解． 本题考查完全平方公式，完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ②， ③ ， ④　． ∴是完全平方式的有①③． 故答案为：①③． （2）∵和都是完全平方式， ∴， ∴， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 【题型10 杨辉三角】 例1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，请计算展开式的系数和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是认真观察杨辉三角，找到系数和的规律． 【详解】解：由杨辉三角得： 的展开式各项的系数和为：， 的展开式各项的系数和为：， 的展开式各项的系数和为：， 的展开式各项的系数和为：， 的展开式各项的系数和为：， …… 根据以上规律得：的展开式各项的系数和为， 当时，的展开式各项的系数和为：． 故选：A． 例2．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，即可确定展开后的各项系数，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知：每个数等于上方两数之和， ∴的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1， ∴的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1， ∴展开后的各项系数为：1，，15，，15，，1． ∵含项的b是奇数次方， ∴含项的系数是． 故选：B． 【点睛】本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键． 变式1．观察“杨辉三角”给出了展开式的系数规律，下列说法正确的是 ． ①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，； ②当，时，代数式的值为； ③展开式第项的系数是； ④展开式中所有系数之和为． 【答案】①③④ 【分析】观察“杨辉三角”的特点，找到系数间的规律，再求解． 【详解】解：①“杨辉三角”第六排数字依次是：，，，，，，故①是正确的； ②当，时，代数式，故②是错误的； ③展开式第项的系数是，故③是正确的； ④展开式中所有系数之和为，故④是正确的； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了完全平方公式，找到展开式的系数之间的关系是解题的关键． 变式2．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 若……，请根据上述规律，写出的值等于 ． 【答案】2 【分析】令时，，进一步可得结论． 【详解】解：∵…… ∴当时， …… = ∴ ∴ 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解答本题的关键． 变式3．阅读下列材料，解答下面的问题： 杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出两项多项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应两项多项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数1、2、1是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数1、3、3、1是杨辉三角中第四行的四个数．根据这个规律，试解决下列问题： （1）试写出下一个展开式： _________________________________． （2）求的展开式． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】（1）根据已知图形和样例即可得出； （2）利用整体的思想，先按公式展开后，再计算即可得出； （3）利用赋值法，令x=1代入，即可得出； 【详解】解：（1）根据已知图形及样例规律可得： ， 故答案为： （2）， =， （3）∵， 令x=1，得： ， 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，也考查了规律型问题的解决方法，学会运用整体的思想，转化的思想解决问题时解题的关键． 1．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，掌握乘法法则是关键；通过展开左边多项式，并比较等式两边对应项的系数，得到关于m和n的方程，求解后计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴对应系数相等， 即，， 由得：， 代入，得， ∴． 故选：A． 4．已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 5．有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由丙得知：， 故选：． 6．一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 7．定义一种新的运算：规定，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算，进而根据平方差公式进行简便运算，即可求出值． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 9．若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方式的结构特征，常数项为16，可确定一次项系数的可能值，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为16， ∴一次项系数应满足，即， 当时，解得， 当时，解得； 故a的值为1或； 故答案为1或． 10．的个位数字为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 【详解】解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算，积的乘方，解题关键是掌握上述知识点． （1）先用平方差公式得到，再利用完全平方公式展开即可； （2）先用平方差公式得到，再用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算及求值，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据单乘多，多除以单的运算法则先化简，再代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 14．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 15．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； (3)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； (4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)方法1：；方法2： (3) (4)17 【分析】本题考查了代数式的几何意义，完全平方公式的应用，用两种不同的方法表示同一图形的面积是解题的关键． （1）直接写出阴影部分的正方形的边长即可； （2）按题目要求回答即可； （3）根据（2）问中的两个结论用等式表示出来即可； （4）结合图形，通过图形拼补即可表示出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图1中每个小长方形的长为宽为，图2中阴影正方形的边长是小长方形长与宽的差，即， 故答案为：； （2）解：方法1：直接用正方形面积公式，边长为，面积为； 方法2：大正方形面积减去4个小长方形面积．大正方形边长为，面积为；4个小长方形面积为,因此阴影面积为； 故答案为：，； （3）解：由阴影面积的两种表示方法，可得：； 故答案为：； （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则 ， ， ∵， ∴， ， ∴阴影部分面积． 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $