第07讲 整式的化简 同底数幂的除法 整式的除法（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第07讲 整式的化简 同底数幂的除法 整式的除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：整式的化简 核心思路：整式化简是通过合并同类项和去括号法则，将整式化为最简形式。 1. 去括号法则： · 括号前是“+”号，去掉括号后，括号内各项符号不变； · 括号前是“-”号，去掉括号后，括号内各项符号都要改变（“+”变“-”，“-”变“+”）。 · 若括号前有数字因数，需用该因数分别乘以括号内每一项，再去括号。 例如：。 2. 合并同类项： · 同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）。 · 合并同类项时，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 例如：上式中，，化简结果为。 3. 化简步骤：先去括号（若有多层括号，可从内向外或从外向内逐层去括号），再合并同类项，最终结果中不再有同类项和括号。 知识点2 ： 同底数幂的除法 核心公式：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，m、n为正整数，且m > n）。 1. 公式推导： 例如：。 2. 特殊情况： · 零指数幂：任何非零数的0次幂等于1，即（）。 例如：，(-3)^0 = 1，但无意义。 · 负整数指数幂：（，p为正整数）。 例如：，。 3. 注意事项： · 底数$a$不能为0，否则除法无意义； · 指数相减时，若$m < n$，结果为负指数幂，需转化为正指数幂的倒数。 知识点3 ：整式的除法 类型1：单项式除以单项式 · 法则：将系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 · 步骤： 1. 系数相除：商的系数 = 被除式系数 ÷ 除式系数（注意符号）； 2. 同底数幂相除：按“同底数幂的除法”法则，底数不变，指数相减； 3. 单独字母：被除式中单独含有的字母，直接作为商的因式。 例如：。 类型2：多项式除以单项式 · 法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 · 公式：（）。 · 示例：。 注意事项： · 多项式的每一项都包括前面的符号，相除时需注意符号运算； · 若除式为负单项式，各项符号需相应改变； · 除不尽的项需保留，结果中不能有剩余的除法运算。 【题型1 整式四则混合运算】 例1．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 例2．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 变式1．已知，则代数式的值为 ． 变式2．若，则 ． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【题型2 同底数幂相除】 例1．若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 例2．若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 变式1． ．（结果用幂的形式表示） 变式2．如果，且，，那么 ． 变式3．计算： (1)． (2)． (3)． 【题型3 同底数幂相除的逆用】 例1．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 例2．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 变式1．若，，则代数式 ． 变式2．计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 变式3．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【题型4 零次幂与负次幂】 例1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 例2．计算，正确的是（    ） A． B． C． D．100 变式1．计算： ． 变式2．若，则整数x的值为 ． 变式3．计算∶ (1) (2) 【题型5 科学记数法】 例1．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 例2．在侵袭人类的诸多病毒中，某新型冠状病毒因其相对较大的体积而引人关注．其直径大约为0.000000132米，基因组包含约3万个碱基，是目前已知病毒中基因组较为庞大的一种．将0.000000132用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式1．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ． 变式2．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为 ． 变式3．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6 单项式除以单项式】 例1．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．计算： ． 变式3．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型7 多项式除以单项式】 例1．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 变式2．某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是 ． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【题型8 整式乘除混合运算】 例1．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．设是一个整式，且，则 ． 变式2．若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为 ． 变式3．先化简，再求值：，其中，． 【题型9 多项式中的规律】 例1．计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．观察：，，，，…．根据你发现的规律可知，若，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 变式1．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 变式2．阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 变式3．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【题型10 新定义问题】 例1．对于任意有理数m，n，现用“▲”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（    ） A． B． C． D． 例2．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 变式1．对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 变式2．新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么 ． 变式3．阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空： ① ， ② ， ③ ； (2)求证：； (3)拓展运用：计算． 1．研究发现，2025年某品牌瓶装水中，每升含24万个纳米级微塑料，单个纳米级微塑料直径约0.0000035米，该直径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 6．计算： ． 7．比较大小： （填“”、“”或“”）． 8．若，，则 ． 9．学习情境·墨迹污染  如图，乐乐的作业本不小心被墨水遮住了一部分，留下一道残缺不全的题目（），请你帮他推测出括号内被遮住的内容是 ． 10．如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 11．计算： (1)； (2)． 12．计算：． 13．某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 14．先化简，再求值：，其中，． 15．对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 整式的化简 同底数幂的除法 整式的除法 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：整式的化简 核心思路：整式化简是通过合并同类项和去括号法则，将整式化为最简形式。 1. 去括号法则： o 括号前是“+”号，去掉括号后，括号内各项符号不变； o 括号前是“-”号，去掉括号后，括号内各项符号都要改变（“+”变“-”，“-”变“+”）。 o 若括号前有数字因数，需用该因数分别乘以括号内每一项，再去括号。 例如：。 2. 合并同类项： o 同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）。 o 合并同类项时，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 例如：上式中，，化简结果为。 3. 化简步骤：先去括号（若有多层括号，可从内向外或从外向内逐层去括号），再合并同类项，最终结果中不再有同类项和括号。 知识点2 ： 同底数幂的除法 核心公式：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，m、n为正整数，且m > n）。 1. 公式推导： 例如：。 2. 特殊情况： o 零指数幂：任何非零数的0次幂等于1，即（）。 例如：，(-3)^0 = 1，但无意义。 o 负整数指数幂：（，p为正整数）。 例如：，。 3. 注意事项： o 底数$a$不能为0，否则除法无意义； o 指数相减时，若$m < n$，结果为负指数幂，需转化为正指数幂的倒数。 知识点3 ：整式的除法 类型1：单项式除以单项式 法则：将系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 步骤： 1. 系数相除：商的系数 = 被除式系数 ÷ 除式系数（注意符号）； 2. 同底数幂相除：按“同底数幂的除法”法则，底数不变，指数相减； 3. 单独字母：被除式中单独含有的字母，直接作为商的因式。 例如：。 类型2：多项式除以单项式 法则：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 公式：（）。 示例：。 注意事项： 多项式的每一项都包括前面的符号，相除时需注意符号运算； 若除式为负单项式，各项符号需相应改变； 除不尽的项需保留，结果中不能有剩余的除法运算。 【题型1 整式四则混合运算】 例1．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 例2．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式乘多项式，代数求值等知识点，解题的关键是熟练掌握整式乘法的法则． 将代数式展开后，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解： 已知 ，，代入得： ， 故选：B． 变式1．已知，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题的关键． 先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可． 【详解】， 由题意知，， 原式． 代数式的值为4． 故答案为：4． 变式2．若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据平方差公式，多项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型2 同底数幂相除】 例1．若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 例2．若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的除法是解题的关键． 根据指数运算法则，将所求表达式转化为已知值的除法运算． 【详解】解：∵，， ∴， 于是． 故选：A． 变式1． ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法运算，先分别计算 和 ，再利用同底数幂的除法法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．如果，且，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用幂的乘方法则化简 ，再根据同底数幂的除法法则得到指数，由指数相等得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 故答案为：2． 变式3．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型3 同底数幂相除的逆用】 例1．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 例2．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 变式1．若，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的运算，利用指数运算的性质，将 转化为同底数幂的除法形式，再结合幂的乘方进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 【答案】 27 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，则，再根据可得答案； （3）可求出，则，据此可得答案． 【详解】解：（1），， 故答案为：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，，， ． 【题型4 零次幂与负次幂】 例1．的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的性质，即任何非零数的零次幂等于1． 由结合零指数幂的性质即可求解． 【详解】解：∵ 时，， ∴ ． 故选：． 例2．计算，正确的是（    ） A． B． C． D．100 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，利用负指数幂的定义，将原式转化为其倒数的正指数幂形式，再计算平方值即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，先根据运算法则计算各项，再求和． 【详解】解：， 故答案为． 变式2．若，则整数x的值为 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂．分三种情况，结合零指数幂，负整数指数幂解答即可． 考虑方程 中整数 的取值，需分析指数为0时底数非0的情况和底数为1的情况，同时排除负指数无解的情形． 【详解】解：当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，不满足题意； 当时，，此时，满足题意； 综上所述，整数x的值为0或2． 故答案为：0或2． 变式3．计算∶ (1) (2) 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算： （1）先计算零次幂、绝对值、算术平方根、负整数次幂，再进行加减运算； （2）先计算完全平方、平方差、单项式乘多项式，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 科学记数法】 例1．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：． 故选B． 例2．在侵袭人类的诸多病毒中，某新型冠状病毒因其相对较大的体积而引人关注．其直径大约为0.000000132米，基因组包含约3万个碱基，是目前已知病毒中基因组较为庞大的一种．将0.000000132用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 变式1．“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了科学记数法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （2）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （3）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （4）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型6 单项式除以单项式】 例1．的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 例2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的除法运算，解题的关键是掌握单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行运算． 根据单项式除法法则，将系数相除，同底数幂分别相除，再把结果相乘，计算得出结果后匹配选项． 【详解】解：，对应选项A． 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式除以单项式等知识，“单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式﹒”，据此计算即可求解﹒ 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及幂的乘方、单项式的乘法和除法，根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握单项式除以单项式法则、单项式乘以多项式法则、多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则是解题的关键． （1）根据单项式除以单项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多单项式法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型7 多项式除以单项式】 例1．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式除以单项式． 将多项式除以单项式，转化为每一项分别除以该单项式计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 例2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的除法，直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】解：． 故选：A． 变式1．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据三角形的面积公式列出式子，然后进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的面积为，一条边长为， ∴这条边上的高为， 故答案为：． 变式2．某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知这个多项式为， 则正确计算结果为， 故答案为：． 变式3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，求一个数的算术平方根，零指数幂，先根据完全平方公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【题型8 整式乘除混合运算】 例1．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据除数=被除数÷商，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； 根据整式的运算法则依次计算判断即可求解； 【详解】A、，原式计算错误； B、，原式计算错误； C、，计算正确； D、，原式计算错误； 故选：C 变式1．设是一个整式，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据整式除法的意义，被除数等于除数乘以商，通过分配律计算即可． 【详解】由题意可得： 故答案为：． 变式2．若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的运算，掌握相关运算法则、正确列式是解题的关键． 根据题意可得，利用除法运算中被除数、除数和商的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ． 故答案为：． 变式3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式混合运算法则进行化简，再将数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型9 多项式中的规律】 例1．计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法的规律发现与应用，解题关键在于发现与多项式相乘时的消去规律． 先计算前三个式子结果分别为，，，得出规律，再根据规律计算即可． 【详解】解：； ； ； … ； 则， 即； ，则， 即， ∴， ∴． 故选：A． 例2．观察：，，，，…．根据你发现的规律可知，若，则的值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题属于多项式乘法规律探究类题目，根据已知等式和规律，可得出左边乘积等于，从而求出的值，再通过指数运算求． 【详解】解：根据规律，， 又已知该式等于， ∴， ∴， ∴． 故选B 变式1．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 变式2．阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据给定的等式规律，，其中为多项式中最高次项的指数，直接应用此规律； （2）令，利用规律将求和部分化简，再计算表达式值． 【详解】解：（1）由规律可知，， 此处，故， 故答案为：； （2）根据规律，， 即， 故原式， 故答案为：． 变式3．观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 【题型10 新定义问题】 例1．对于任意有理数m，n，现用“▲”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，根据新运算，可以对代数式化简，本题得以解决． 【详解】解：， ， 故选：A． 例2．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 变式1．对于任意有理数 a、b 现用“☆”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，涉及完全平方公式，整式的加减运算，正确理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再化简计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 变式2．新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 变式3．阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空： ① ， ② ， ③ ； (2)求证：； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)①6；②3；③0 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）利用对数的定义，即可求解； （2）设，，则，，可得，从而得到，即可求证； （3）根据对数的定义，代入即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴； ②∵ ∴； ③∵ ， ∴； （2）设，，则，， ∴， 由对数的定义得． 又∵ ∴； （3） ． 【点睛】本题主要考查了幂的运算，同底数幂相除，明确题意，理解对数的定义是解题的关键． 1．研究发现，2025年某品牌瓶装水中，每升含24万个纳米级微塑料，单个纳米级微塑料直径约0.0000035米，该直径用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，负指数的绝对值等于原数中第一个非零数字在小数点后的位数． 【详解】解：， 故选：B． 2．计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，根据系数相除、同底数幂相除时，底数不变，指数相减的法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，单项式的除法． 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 4．已知，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负指数、平方和零指数幂的计算，注意零指数幂的底数不能为零，根据运算法则分别计算的值，再比较大小． 【详解】∵  ， ， ， ∴， 即． 故选：C． 5．已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解决本题的关键是熟练掌握运算法则并正确计算． 将多项式中的每一项分别除以单项式，并利用指数法则简化即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则，分别计算两个式子的值，再比较大小即可． 本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． 8．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算法则，准确的计算是解决本题的关键． 逆用幂的运算法则，将表示为，进而得出，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 9．学习情境·墨迹污染  如图，乐乐的作业本不小心被墨水遮住了一部分，留下一道残缺不全的题目（），请你帮他推测出括号内被遮住的内容是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据题意计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10．如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查圆柱体和长方体的体积，整式运算的实际应用，根据圆柱体和长方体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，长方体容器的宽为． 故答案为： 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂运算和多项式除法： （1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算方法即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数幂、零次幂、有理数的乘方，根据以上进行计算即可求解． 【详解】解： ． 13．某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键； （1）根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：数据用科学记数法表示为； （2）解：由（1）可知：． 14．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的乘除和代数式，先计算小括号和除法，再计算中括号，化简后，代入即可． 【详解】解： ， 将，代入，得 原式． 15．对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是“和谐有理数对”，理由见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐有理数对”的定义逐一判断即可； （2）根据“和谐有理数对”的定义列出算式，再等量代换，即可得出答案； （3）根据“和谐有理数对”的定义列出代数式，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“和谐有理数对”， ∵，， ∴不是“和谐有理数对”， 故答案为：； （2）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是“和谐有理数对”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $