专题9同底数幂的乘法（7知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材浙教版）

专题9 同底数幂的乘法 （7知识点+7题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 2 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 3 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 3 【题型4 幂的乘方运算】 4 【题型5 幂的乘方的逆用】 4 【题型6 积的乘方运算】 5 【题型7 积的乘方的逆用】 5 【解答题5道】 6 1. 理解同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，掌握法则的推导过程，明确法则适用条件。 2. 能熟练运用三个运算法则进行简单的幂的运算，包括正向计算和逆向运用。 3. 会结合科学记数法，运用同底数幂乘法法则解决实际计算问题，提升运算能力。 4. 通过法则推导和题型练习，体会转化、归纳的数学思想，培养逻辑推理和规范解题的习惯。03 知识•梳理 知识点1：同底数幂的乘法法则 1. 法则内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 字母表示：（其中，、都是正整数）。 3. 关键说明：① 底数必须相同（如，底数都是2；若底数不同，需先转化为同底数，再计算）；② 指数相加，而非相乘；③ 底数可以是具体的数、单项式或多项式；④ 法则可推广到多个同底数幂相乘：（，、、为正整数）。 知识点2：同底数幂乘法的逆用 1. 逆用公式：（其中，、都是正整数）。 2. 核心用途：将一个幂拆分为两个同底数幂的乘积，用于简化计算、求未知指数或代数式的值。 知识点3：幂的乘方法则 1. 法则内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 字母表示：（其中，、都是正整数）。 3. 关键区分：幂的乘方是“指数相乘”，同底数幂乘法是“指数相加”，切勿混淆（如，而）。 知识点4：幂的乘方的逆用 1. 逆用公式：（其中，、都是正整数）。 2. 核心用途：将一个幂转化为幂的乘方形式，用于简化计算、比较幂的大小或求值。 知识点5：积的乘方法则 1. 法则内容：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 字母表示：（其中、，是正整数）。 3. 推广应用：多个因式的积的乘方，同样适用法则：（、、，为正整数）。 知识点6：积的乘方的逆用 1. 逆用公式：（其中、，是正整数）。 2. 核心用途：将两个（或多个）同指数的幂的乘积，转化为积的乘方，简化计算（尤其适用于底数互为倒数或易凑整的情况）。 知识点7：科学记数法与同底数幂乘法的结合 1. 科学记数法形式：（其中，是整数）。 2. 计算方法：两个用科学记数法表示的数相乘，先将前面的系数相乘，再将10的幂相乘（运用同底数幂乘法法则），最后整理成规范的科学记数法形式。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 解题思路： 1. 判断是否为同底数幂，不同底数先转化（注意符号）。 2. 遵循“底数不变，指数相加”法则计算。 检验底数不为0、指数为正整数，规避符号错误。 易错点：① 混淆“指数相加”与“指数相乘”；② 忽略底数的符号（如，而非）；③ 底数不同时强行运用法则。 【典例1】．若，则的值是（   ） A．50 B．500 C．250 D．2500 跟随训练1-1．已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 跟随训练1-2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-3．已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 解题思路： 1. 判断是否为同底数幂，不同底数先转化（注意符号）。 2. 遵循“底数不变，指数相加”法则计算。 3. 检验底数不为0、指数为正整数，规避符号错误。 易错点：① 系数相乘后，未调整到的范围；② 10的幂相乘时，指数计算错误。 【典例2】．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 跟随训练2-1．某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 跟随训练2-3．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作25秒可执行的运算次数用科学记数法表示为_________次． 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 解题思路： 1. 确定逆用，结合已知条件拆分指数。 2. 代入已知值计算，求未知指数需利用“同底数幂相等则指数相等”。 易错点：指数拆分不符合已知条件，导致无法代入计算；忽略底数不为0的前提。 【典例3】．已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 跟随训练3-1．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 跟随训练3-2．已知，，则（ ） A．5 B．1 C．6 D．8 跟随训练3-3．若，则__________． 【题型4 幂的乘方运算】 解题思路： 1. 识别幂的乘方题型，明确适用法则。 2. 按“底数不变，指数相乘”，多层运算从内到外计算。 3. 注意底数符号的乘方规律（奇负偶正）。 易错点：① 混淆幂的乘方与同底数幂乘法（如将算成，正确应为）；② 多层幂的乘方计算时，顺序错误；③ 符号判断失误。 【典例4】．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 跟随训练4-2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-3．计算______． 【题型5 幂的乘方的逆用】 解题思路： 1. 确定逆用，结合已知拆分指数。 2. 代入求值或转化为同指数幂，比较大小。 易错点：指数拆分不合理，无法结合已知条件；忽略底数的正负性对结果的影响。 【典例5】．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 跟随训练5-2．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-3．若，，则______． 【题型6 积的乘方运算】 解题思路： 1. 识别积的乘方题型，明确适用法则。 2. 将每个因式（含系数）分别乘方，注意符号。 3. 将所得幂相乘，整理为最简形式。 易错点：① 漏乘某个因式的乘方（如算成，漏算）；② 系数乘方计算错误；③ 符号判断失误。 【典例6】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-3．计算：________． 【题型7 积的乘方的逆用】 解题思路： 1. 确认幂的指数相同，逆用。 2. 将底数相乘，转化为积的乘方形式计算。 易错点：① 指数不同时强行逆用公式；② 底数相乘时符号错误；③ 忽略系数的乘方。 【典例7】．的计算结果为（   ） A． B． C．3 D．4 跟随训练7-1．（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-3．若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【解答题5道】 【典例8】．已知，，且，求的值． 跟随训练8-1．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 跟随训练8-2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 跟随训练8-3．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 跟随训练8-4．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 05 过关•检测 1．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．四个数，，，中最小的数是（    ） A． B． C． D． 3．已知单项式串：，，，，…，，其中为非负整数，为正整数．规定：，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，，中任选4个，存在7种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取10个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中五个单项式的积等于另外五个单项式的积． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 5．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．计算：______． 7．计算的结果为________． 8．已知实数、、存在数量关系，求________． 9．已知，则________． 10．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有_______． 11．计算：． 12．已知，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 13．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 14．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 15．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 同底数幂的乘法 （7知识点+7题型+过关检测） 【题型1 同底数幂相乘】 2 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 3 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 5 【题型4 幂的乘方运算】 6 【题型5 幂的乘方的逆用】 7 【题型6 积的乘方运算】 8 【题型7 积的乘方的逆用】 9 【解答题5道】 11 1. 理解同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，掌握法则的推导过程，明确法则适用条件。 2. 能熟练运用三个运算法则进行简单的幂的运算，包括正向计算和逆向运用。 3. 会结合科学记数法，运用同底数幂乘法法则解决实际计算问题，提升运算能力。 4. 通过法则推导和题型练习，体会转化、归纳的数学思想，培养逻辑推理和规范解题的习惯。03 知识•梳理 知识点1：同底数幂的乘法法则 1. 法则内容：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 字母表示：（其中，、都是正整数）。 3. 关键说明：① 底数必须相同（如，底数都是2；若底数不同，需先转化为同底数，再计算）；② 指数相加，而非相乘；③ 底数可以是具体的数、单项式或多项式；④ 法则可推广到多个同底数幂相乘：（，、、为正整数）。 知识点2：同底数幂乘法的逆用 1. 逆用公式：（其中，、都是正整数）。 2. 核心用途：将一个幂拆分为两个同底数幂的乘积，用于简化计算、求未知指数或代数式的值。 知识点3：幂的乘方法则 1. 法则内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 字母表示：（其中，、都是正整数）。 3. 关键区分：幂的乘方是“指数相乘”，同底数幂乘法是“指数相加”，切勿混淆（如，而）。 知识点4：幂的乘方的逆用 1. 逆用公式：（其中，、都是正整数）。 2. 核心用途：将一个幂转化为幂的乘方形式，用于简化计算、比较幂的大小或求值。 知识点5：积的乘方法则 1. 法则内容：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 字母表示：（其中、，是正整数）。 3. 推广应用：多个因式的积的乘方，同样适用法则：（、、，为正整数）。 知识点6：积的乘方的逆用 1. 逆用公式：（其中、，是正整数）。 2. 核心用途：将两个（或多个）同指数的幂的乘积，转化为积的乘方，简化计算（尤其适用于底数互为倒数或易凑整的情况）。 知识点7：科学记数法与同底数幂乘法的结合 1. 科学记数法形式：（其中，是整数）。 2. 计算方法：两个用科学记数法表示的数相乘，先将前面的系数相乘，再将10的幂相乘（运用同底数幂乘法法则），最后整理成规范的科学记数法形式。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 解题思路： 1. 判断是否为同底数幂，不同底数先转化（注意符号）。 2. 遵循“底数不变，指数相加”法则计算。 检验底数不为0、指数为正整数，规避符号错误。 易错点：① 混淆“指数相加”与“指数相乘”；② 忽略底数的符号（如，而非）；③ 底数不同时强行运用法则。 【典例1】．若，则的值是（   ） A．50 B．500 C．250 D．2500 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 跟随训练1-1．已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 跟随训练1-2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式是8个相加，可得，可化为，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 跟随训练1-3．已知，那么关于之间满足的等量关系是__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将拆分为，代入已知幂的形式，对比指数即可得到等量关系． 【详解】解：， ， 可得， 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加， 得， 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 解题思路： 1. 判断是否为同底数幂，不同底数先转化（注意符号）。 2. 遵循“底数不变，指数相加”法则计算。 3. 检验底数不为0、指数为正整数，规避符号错误。 易错点：① 系数相乘后，未调整到的范围；② 10的幂相乘时，指数计算错误。 【典例2】．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的乘法运算，根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，已知月球远地点距离为米，计算乘积后将结果整理为正确的科学记数法形式即可． 【详解】解：． 跟随训练2-1．某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将工作时间的单位由分钟换算为秒，再计算总运算次数，最后转化为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 分钟秒， ∴ 工作分钟的总时间为秒， 则计算总运算次数． 跟随训练2-2．若某种火箭的飞行速度是米/秒，若火箭飞行秒，那么火箭飞行的距离是________米．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查路程问题及科学记数法等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其知识点；根据距离公式，距离等于速度乘以时间，将速度和时间用科学记数法表示后相乘，并化简为标准的科学记数法形式. 【详解】解：火箭飞行的距离为速度乘以时间，即 由于科学记数法要求数字部分在1到10之间，因此将15表示为 ， 故答案为：. 跟随训练2-3．某芯片每秒可执行100亿次运算，它工作25秒可执行的运算次数用科学记数法表示为_________次． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，幂的运算，先计算芯片工作25秒的总运算次数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：芯片每秒执行100亿次运算，即次运算， ∴工作25秒，总运算次数为， ∴， 故答案为：． 【题型3 同底数幂乘法的逆用】 解题思路： 1. 确定逆用，结合已知条件拆分指数。 2. 代入已知值计算，求未知指数需利用“同底数幂相等则指数相等”。 易错点：指数拆分不符合已知条件，导致无法代入计算；忽略底数不为0的前提。 【典例3】．已知，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．36 【答案】B 【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形后，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂乘法法则可得：， ∵ ，， ∴ ，即选项B符合题意． 跟随训练3-1．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 跟随训练3-2．已知，，则（ ） A．5 B．1 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 跟随训练3-3．若，则__________． 【答案】6 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将变形为，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则得 将，代入得， ． 【题型4 幂的乘方运算】 解题思路： 1. 识别幂的乘方题型，明确适用法则。 2. 按“底数不变，指数相乘”，多层运算从内到外计算。 3. 注意底数符号的乘方规律（奇负偶正）。 易错点：① 混淆幂的乘方与同底数幂乘法（如将算成，正确应为）；② 多层幂的乘方计算时，顺序错误；③ 符号判断失误。 【典例4】．如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∴， ∴． 跟随训练4-1．若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】先将所求式子的底数统一为2，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则变形，结合已知等式代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴ . 跟随训练4-2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据乘法的意义化简括号内a个a相加的和，再利用幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：原式． 跟随训练4-3．计算______． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：． 【题型5 幂的乘方的逆用】 解题思路： 1. 确定逆用，结合已知拆分指数。 2. 代入求值或转化为同指数幂，比较大小。 易错点：指数拆分不合理，无法结合已知条件；忽略底数的正负性对结果的影响。 【典例5】．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方的逆运算法则，将三个数化为指数相同的形式（指数都为11），再通过比较底数大小得到原数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 跟随训练5-1．已知，则等于（   ） A．5 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据，结合，再进一步可得答案． 【详解】解：∵根据幂的运算法则可得，，且， 又∵，， ∴． 跟随训练5-2．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方性质，将三个数化为同指数的幂，再通过比较底数大小判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：首先将a，b，c变形为指数相同的幂，50、75、100的最大公约数为25． ∵， ， ， 又∵，指数， ∴，即． 跟随训练5-3．若，，则______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴． 【题型6 积的乘方运算】 解题思路： 1. 识别积的乘方题型，明确适用法则。 2. 将每个因式（含系数）分别乘方，注意符号。 3. 将所得幂相乘，整理为最简形式。 易错点：① 漏乘某个因式的乘方（如算成，漏算）；② 系数乘方计算错误；③ 符号判断失误。 【典例6】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 跟随训练6-1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 跟随训练6-2．下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A：，结果是，符合题意； B：，结果不是，不符合要求； C：，结果不是，不符合要求； D：，结果不是，不符合要求． 跟随训练6-3．计算：________． 【答案】 【分析】根据积的乘方进行计算即可． 【详解】解：． 【题型7 积的乘方的逆用】 解题思路： 1. 确认幂的指数相同，逆用。 2. 将底数相乘，转化为积的乘方形式计算。 易错点：① 指数不同时强行逆用公式；② 底数相乘时符号错误；③ 忽略系数的乘方。 【典例7】．的计算结果为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题利用积的乘方的逆运算简化计算，拆分出同指数的幂后逐步计算即可． 【详解】解： ． 跟随训练7-1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先拆分指数，再逆用积的乘方解答，然后合并同指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 跟随训练7-2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 跟随训练7-3．若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【详解】解：． 【解答题5道】 【典例8】．已知，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及其逆用、积的乘方的逆用、幂的乘方运算法则，得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 跟随训练8-1．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 跟随训练8-2．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据积的乘方公式和幂的乘方逆运算求解即可； （2）根据积的乘方公式的逆用求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， 解得． 跟随训练8-3．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是________． (2)若，求的值． (3)比较大小：已知，，，，则，，，的大小关系是什么？（提示：如果，为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算的逆运算，是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）利用幂的乘方，以及同底数的乘法法则进行求解即可； （3）先将各数化为同指数的形式，再比较底数的大小即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， 解得． （3）解：，， ，， 又∵， ， ． 跟随训练8-4．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 05 过关•检测 1．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】A：根据幂的乘方法则：，可得 ，该选项计算错误，不符合题意； B：根据积的乘方法则：，可得 ，该选项计算错误，不符合题意； C：根据同底数幂乘法法则：，可得 ，该选项计算正确，符合题意； D：根据合并同类项法则，同类项合并时系数相加，字母与指数不变，可得 ，该选项计算错误，不符合题意； 2．四个数，，，中最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察四个幂的指数，可得55，44，33，22的最大公约数是11，利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，再比较底数大小即可得到结果． 【详解】解：∵； ； ； ， 又∵， ∴， ∴是四个数中最小的数． 3．已知单项式串：，，，，…，，其中为非负整数，为正整数．规定：，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，，中任选4个，存在7种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取10个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中五个单项式的积等于另外五个单项式的积． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法与代数式求值，根据单项式乘法的性质，两个单项式乘积相等等价于对应指数和相等，据此逐个判断三个说法即可． 【详解】解：①当时， ，为正整数， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 存在多组解，因此不能推出，，故①错误． ②若满足，由可得， 问题转化为：在（）中，找出所有不重复的不同数对，使得数对的和相等， 列举计算得： 和为：共1种情况； 和为：共1种情况； 和为：共3个不同数对，任选2组，共3种情况； 和为：共1种情况； 和为：共1种情况； 总计种，故②正确． ③若五个单项式的乘积等于另外五个单项式的乘积，则所有10个指数的总和为偶数，（因为总和等于两倍的五个指数的和）， 设10个相邻单项式的指数为， 总和为， 是偶数，是奇数， 总和是奇数，不可能是偶数，因此不存在满足条件的情况，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 4．2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用亿的换算关系即可得到结果。 【详解】解：∵亿， 又， ∴元可表示为951亿元． 5．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左右两侧分别化简为同底数幂的形式，再根据同底数幂相等则指数相等，得到与的关系式． 【详解】解：∵左边为个相加， ∴左边， 又，可得左边； ∵右边为个相乘，可得右边， ∵， ∴． 6．计算：______． 【答案】 【分析】先根据同底数幂的乘法法则计算乘法运算，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：． 7．计算的结果为________． 【答案】 【详解】解：． 8．已知实数、、存在数量关系，求________． 【答案】144 【分析】先利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将进行变形，转化为含和的形式，再代入，计算． 【详解】解：∵， ∴． 9．已知，则________． 【答案】81 【分析】由得到，再利用同底数幂的乘方运算法则将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 10．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有_______． 【答案】③④ 【分析】先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现，为正整数， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴为偶数，故①不符合题意； ∵ ∴，， ∴，故②不符合题意； ∵，为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， ∴当，，，时最小， ∴的最小值是；故③符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴n值最小为11，故④符合题意； 故正确的有③④． 11．计算：． 【答案】． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 12．已知，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)72 (2)1024 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则把原式变形为，然后把，代入计算即可； （2）先利用积的乘方法则把原式变形为，再逆用幂的乘方法则把原式变形为，然后把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 13．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)81 (2)32 【分析】（）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 14．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 15．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $