第11讲 分式方程（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第11讲 分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 注意：分式方程必须满足两个条件：①是方程；②分母中含有未知数。例如：、是分式方程，而（分母不含未知数）、（整式方程）不是分式方程。 知识点2 ：分式方程的解法 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，具体步骤如下： 1. 去分母：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程。 · 最简公分母的确定：取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积。例如，方程的最简公分母是。 · 注意：常数项也要乘最简公分母，避免漏乘。 2. 解整式方程：按照整式方程（如一元一次方程）的解法求解，得到整式方程的解。 3. 验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0，则是原分式方程的解；若公分母为0，则是增根，原分式方程无解。 · 增根产生的原因：去分母时，方程两边同乘了一个可能为0的整式，导致整式方程的解可能使原分式方程的分母为0，从而无意义。 知识点3：分式方程的增根 1. 定义：使分式方程分母为0的根叫做分式方程的增根。 2. 性质：增根是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解。 3. 验根方法：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母的值为0，则为增根；否则为原方程的解。 知识点4 ：分式方程的应用 列分式方程解决实际问题的步骤与列整式方程类似，关键是找到等量关系，注意检验： 1. 审题：明确题意，找出已知量和未知量。 2. 设未知数：根据题意设适当的未知数（直接设或间接设）。 3. 列方程：根据等量关系列出分式方程。 · 常见等量关系：路程=速度×时间；工作总量=工作效率×工作时间；浓度=溶质质量/溶液质量等。 4. 解方程：按分式方程的解法求解。 5. 检验： · 检验所求根是否为增根； · 检验解是否符合实际意义（如时间、长度不能为负数）。 6. 作答：写出完整的答案。 知识点5 ：典型例题 例1：解方程。 解：去分母，两边同乘，得， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 解得。 验根：当时，$x(x-3) = 9×6 = 54 ≠ 0$， ∴原方程的解为。 例2：若分式方程有增根，求$m$的值。 解：去分母，两边同乘$(x-1)(x+2)$，得， 化简得，即。 ∵原方程有增根，∴最简公分母$(x-1)(x+2) = 0$， 解得增根为或。 当时，； 当时，（此时原方程化为，去分母得，，无解，故不合题意，舍去）。 ∴。 【题型1 分式方程的定义】 例1．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．掌握其定义是解题关键． 【详解】解：①；分母中不含有未知数，故①不是分式方程； ②；分母中含有未知数，故②是分式方程； ③；分母中含有未知数，故③是分式方程； ④．分母中不含有未知数，故④不是分式方程． 故选：． 例2．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 变式1．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 变式2．有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程． 变式3．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（）（）（）（）（）是分式方程；（）（）是整式方程． 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】（1）是分式方程； （2）是整式方程； （3）是分式方程； （4）是分式方程； （5）是分式方程； （6）是整式方程； （7）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键． 【题型2 列分式方程】 例1．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 例2．小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“路程、速度、时间的关系（时间路程速度）”并统一单位是解题的关键．先表示出路线一、路线二的行驶时间，再根据“路线一用时路线二用时分钟（换算为小时）”列方程． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 变式1．一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据大水管的直径是小水管的2倍，得出大水管的横截面积是小水管的4倍，从而大水管的注水速度为小水管的4倍；注水过程分为两个阶段：第一阶段用小水管注水一半容积，时间；第二阶段用大水管注水剩余一半容积，时间；总时间等于两阶段时间之和． 【详解】解：设小水管注水速度为， 则注水一半容积为， 大水管的直径是小水管的2倍，因此横截面积是小水管的4倍，注水速度也为小水管的4倍，即， 第一阶段注水时间：， 第二阶段注水时间：， 总时间， 故答案为：． 变式2．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 变式3．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 【答案】(1)从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间 (2)开往乙地列车的速度为千米/时，从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时；表格见解析 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键； （1）根据题意“从A市到甲、乙两地所需时间相同”，可得到等量关系； （2）列出代数式填表即可； （3）根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：∵从A市到甲、乙两地所需时间相同． ∴等量关系为：从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间； （2）解：设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，则开往乙地列车的速度为千米/时； 则从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时； 列表格如下： 目的地 距离（千米） 速度（千米/时） 时间（小时） 甲地 400 x 乙地 350 （3）解：根据等量关系可列方程：． 【题型3 解分式方程】 例1．方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，通过观察分母关系，将方程化简为整式方程求解，并验证分母不为零，即可得到答案． 【详解】解：， 原方程可化简为：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是原方程的解． 故选：C． 例2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解法是正确解答此题的关键，注意要检验． 将分母因式分解后通分，转化为整式方程求解，并检验分母不为零． 【详解】解： 原方程化为， 两边同乘，得． ∴， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为， 故选：B． 变式1．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，方程两边同时乘，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，再检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 变式2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握其解法是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，然后求解并检验． 【详解】解：方程两边同时乘以 ，得 ， 移项得 ，即 ， 经检验， 时原方程分母均不为零，符合题意， 故原方程的解为 ． 故答案为： ． 变式3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解： ， 两边都乘以，得 ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解：， 两边都乘以，得 ， ， ， ， 检验：当时，， 因此是原方程的增解， 所以原方程无解． 【题型4 分式方程的应用——和差倍分问题】 例1．甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设乙数为，则甲数为，丙数为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 例2．某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 变式1．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，设十位上的数字为x，则个位数字为，根据这两位上数字的倒数和是列出方程即可． 【详解】解：设十位上的数字为x，则个位数字为， 根据题意得，． 故答案为：． 变式2．一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把． 【答案】200 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一次购进这种太阳伞x把，则第二次购进这种太阳伞把，根据第二批每把太阳伞比第一批贵了4元列出方程求解即可． 【详解】解：设第一次购进这种太阳伞x把，则第二次购进这种太阳伞把， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴第一次购进这种太阳伞200把， 故答案为：200． 变式3．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食 (2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克，根据甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少建立方程求解即可； （2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食，根据甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了千克， 由题意得 解得， ， 答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食； （2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运千克粮食， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食． 【题型5 分式方程的应用——成像问题】 例1．凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机等．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，用表示，其中表示焦距，表示物距，表示像距．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 例2．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．利用分式的基本性质，把等式（）变形即可求解． 【详解】解：（）， ， ， 故选：C． 变式1．照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整来使成像清晰．用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式求值，读懂题意是解决问题的关键． 根据题意，将已知焦距和物体距离代入公式计算即可得到答案． 【详解】解：当，时， 代入，得， 则 ， ， 故答案为：． 变式2．相机成像运用的物理公式是：，表示相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示像到镜头的距离，若，则 ．（用表示） 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握异分母分式的加减是解题的关键． 利用分式的运算法则，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． （1）根据题意列得关于v的分式方程，解方程并检验即可； （2）将代入原式，将其通分并整理后即可求得答案． 【详解】（1）解：  ，代入得： ， 即， 所以， 经检验，是分式方程的解且符合实际， 答：拍摄时胶片到镜头的距离是． （2）当时，， 所以， 解得． 【题型6 分式方程的应用——工程问题】 例1．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷，根据题意列出分式方程即可求解． 【详解】解：设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷， 根据题意得，， 故选：A． 例2．甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 由题意得乙队需天，根据工作总量为1，甲效率为，乙效率为，则合作效率之和为，合作6天完成，列方程即可． 【详解】解：由题意得，甲效率为， ∵甲比乙少用5天， ∴乙队单独工作需天， ∴乙效率为， ∴两队合作效率为， 由题意可得，． 故选：C． 变式1．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，通过设甲、乙、丙单独完成工程所需天数，利用工作效率与工作时间的关系，推导出的表达式，进而计算给定分式的值． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、天， 根据题意，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙、丙合作所需天数为， 所以， 整理得， 于是， 因此， 同理，，， 所以， 给定表达式 ． 故答案为：． 变式2．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 变式3．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【答案】(1)这项工程的规定时间是30天 (2)甲、乙两队合作完成该工程需要18天 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意列方程即可解答； （2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是30天； （2）解：由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 由题意得，（天）， 答：甲、乙两队合作完成该工程需要18天． 【题型7 分式方程的应用——行程问题】 例1．《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。设规定时间为天，则慢马用时天，快马用时天，根据快马速度是慢马速度的2倍列方程即可. 【详解】解：慢马速度，快马速度，且快马速度慢马速度， ∴ ， 故选：A. 例2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 变式1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程解决应用题，理解题意建立等量关系是关键． 由题意可得，快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：快马所需的时间为天，则快马速度为里/天，慢马所需的时间为天， 则慢马速度为里/天，根据快马的速度是慢马的2倍可得方程： ， 故答案为：． 变式2．某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是，根据整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，列出分式方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设整治后车辆通过该路段的平均时间是，则整治前车辆通过该路段的平均时间是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，但不符合题意，舍去， 答：整治后车辆通过该路段的平均时间是． 故答案为：． 变式3．深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时 【分析】设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时，由此列式求解即可本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 【题型8 分式方程的应用——浓度问题】 例1．现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 例2．将浓度为的酒精稀释为浓度为的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将浓度为的酒精，稀释为的酒精，酒精质量不变，根据稀释后浓度为列出方程即可． 【详解】解：根据稀释前后酒精的质量不变，可表示出稀释后的酒精的浓度， 列方程为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列分式方程，找准题目的等量关系式解答本题的关键． 变式1．医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 设需要加水，根据稀释前后酒精质量不变，列出方程求解． 【详解】初始酒精质量为 ． 加水后总质量为 ，酒精质量不变，浓度为 ，即 解方程得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 故需要加水． 故答案为：． 变式2．一小包柠檬茶冲剂，用180克开水可冲泡成浓度为10%的饮料，这包柠檬茶冲剂有 克. 【答案】20 【分析】设这包柠檬茶冲剂有x克，根据百分比，可得关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设这包柠檬茶冲剂有x克，根据题意，得 10%， 解得x=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． 变式3．某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀浓度是用于环境消杀浓度的2倍．取原液加水稀释用于衣物消杀，再取原液加水稀释用于环境消杀．按相应浓度稀释后发现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少．求该消毒液用于环境消杀的浓度．（浓度=原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位） 【答案】该消毒液用于环境消杀的浓度为 【分析】消毒液用于环境消杀的浓度为，则用于衣物消杀的浓度为，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：消毒液用于环境消杀的浓度为，则用于衣物消杀的浓度为 由题意可得： 解得： 经检验是分式方程的解． 答：该消毒液用于环境消杀的浓度为． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键． 【题型9 分式方程的应用——经济问题】 例1．某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用；根据题目中的等量关系列出对应的方程是解题关键． 根据题意，第一次购买x杯奶茶花费15元，单价为元/杯；第二次购买时，单价降低1元，即元/杯，购买数量增加2杯，即杯，总花费减少1元，即14元，据此列方程并变形，与选项对比． 【详解】∵ 第二次单价为元/杯，数量为杯，总花费为元， ∴ 方程为， 变形得， 即． 故选：B． 例2．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 变式1．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台，根据总费用和台数可得单价，再根据双目显微镜单价是单目显微镜单价的 倍列方程． 【详解】解：设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台． 单目显微镜的单价为 元，双目显微镜的单价为 元． 根据题意，双目显微镜的单价是单目显微镜单价的 倍， 即． 故答案为：． 变式2．某商品利润是32元，利润率为，则此商品的进价是 ． 【答案】200 【分析】该题考查了分式方程，根据利润率的定义，利润率利润进价，已知利润为32元，利润率为，可通过公式变形求进价． 【详解】解：设进价为元， 由利润率公式得， 即． 解得：． 故答案为：200． 变式3．临近元旦，某水果店新上架了奇异果和草莓进行销售．已知顾客购买3千克奇异果与购买4千克草莓的花费之和为270元，购买5千克奇异果与购买2千克草莓的花费之和为240元． (1)求奇异果和草莓每千克的售价各是多少元？ (2)为了吸引顾客，该水果店决定将水果降价销售，其中每千克草莓的降价金额是每千克奇异果降价金额的1.5倍，小明花了175元购买奇异果，300元购买草莓，两种水果一共购买了15千克，求每千克奇异果的降价金额是多少元？ 【答案】(1)奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元； (2)每千克奇异果的降价金额是5元 【分析】此题考查了分式方程和二元一次方程组的应用，正确列出方程和方程组是解题的关键． （1）设奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元，顾客购买3千克奇异果与购买4千克草莓的花费之和为270元，购买5千克奇异果与购买2千克草莓的花费之和为240元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设每千克奇异果的降价金额是元，则每千克草莓的降价金额是元，两种水果一共购买了15千克，据此列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元， 则 解得 答：奇异果每千克的售价是元，草莓每千克的售价是元； （2）设每千克奇异果的降价金额是元，则每千克草莓的降价金额是元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 答：每千克奇异果的降价金额是5元． 【题型10 分式方程的无解问题】 例1．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，分式方程无解即方程有增根，分母为零的情况，化简方程后，解出x关于m的表达式，当解为增根时方程无解即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程：， 两边同乘（假设）： ， ∴， 即， 由于分母，当时方程有增根，无解， ∴， 解得， 故当时方程无解， 故选D． 例2．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：原方程， 又， ， 方程化为，即， 两边同乘得，， 整理得，， ， ， 当时，， 方程无解的情况： ①当时，方程化为，即，矛盾，无解； ②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，， 综上，或时方程无解． 故选：． 变式1．当 时，方程会产生增根． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根． 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分母为零的根，令分母得，代入整式方程求解． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 得整式方程， 整理得． 当增根时， 代入得， 解得． 故答案为：． 变式2．若关于的方程无解，则的取值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解分式方程，通过去分母将分式方程化为整式方程，根据方程无解的条件（整式方程无解或解为增根）求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 可得：， 整理可得：， 移项、合并同类项得：， 当即时，方程无解； 当时， 解得， 若解为增根则：， 可得：， 解得：； ， ； 当或时方程无解． 故答案为或． 变式3．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【答案】(1)或4 (2)且 【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答； （2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值． 本题考查了分式方程的解法，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】（1）由原方程，得， ①整理，得， 当即时，原方程无解； ②当分母即时，原方程无解， 故， 解得， 综上所述，或4； （2）由（1）得到， 当时．， 解得， 由（1）知：时，原方程无解； 所以综上所述，且． 【题型11 分式方程的解为正负数】 例1．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零，列出不等式求解． 【详解】∵ ， 去分母得，， ∴ ，且，即． ∵ 解是正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，， 故选：C． 例2．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 变式1．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握解分式方程． 先解分式方程，再根据分式方程解为负数即可得解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项得，， 该分式方程有解，且解为负数， ，， ，， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 变式2．如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：方程去分母得， 解得． ∵方程的解为非负数， ∴， 解得． 又，即， ∴， 解得． ∴的取值范围为且， 故答案为：且． 变式3．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值，求出分式方程的解，根据解是非负数结合分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：去分母，得， 解得． ∵分式方程的解是非负数， ∴． 解得． 又∵， ∴ ∴m的取值范围是且． 【题型12 分式方程的规律】 例1．一列数（n是正整数，其中，均为非零数）满足规律：从第二个数起，每一数都等于与它相邻两数之积，如下列说法： ①若，则； ②若，则； ③已知，若前3个数中任意一个为1，则M化简后的常数项为675或676． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查规律探索，对于说法①，根据题意分别计算出，，，的值，即可判断正误；对于说法②，根据题意可求得，据此即可判断正误；对于说法③，序列呈周期性，分，，三种情况讨论即可． 【详解】根据题意可知，其中为正整数，且． 当，时， 因为，所以． 同理可求得，，． 所以． 所以①正确． 根据题意可知，． 因为，可得，变形得． 当时，． 当时，． 所以②错误． 根据题意可知 ，，，，，，． 上述序列具有周期性，周期为，前项中完整周期数：． 当时，，常数项为676． 当时， ，常数项为675． 当，则， ，常数项为675． 综上所述，常数项为或． 所以③正确． 综上，正确个数为． 故选：B 例2．有个依次排列的代数式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，依此类推，下面四个结论中正确的个数为（    ） ①方程的实数解为； ②； ③第2024项； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①根据题意探索出，的规律，然后由得到，因式分解得到，进而求解即可判断①；根据题意表示出，然后因式分解即可判断②；根据将代入即可判断③；首先表示出，然后因式分解得到，然后分离常数得到，然后根据为整数，得到的值为，，，，然后分别求解即可判断④． 【详解】解：由题意可知：，， ∴，， ∴，， ∴，， ， ，， 当， 即， ∴， ∴， ∴或或， 解得：或，故①错误； ∴ ，故②正确； ∵， ∴第2024项，故③正确； ， 为整数，且值为整数， 的值为奇数，且是的因数， 的值为，，，， 的值为，，，， 整数的取值共个，故④正确． 综上，正确的有②③④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式运算，因式分解，分式的化简，数字规律探究，掌握以上知识点是解答本题的关键． 变式1．观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解 ．（用含n的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程，根据题目材料，找出分式方程解的规律是解决本题的关键．通过观察给定方程的解的规律，发现对于方程 ，其解为或，将待解方程中的视为整体，应用上述规律求解即可 【详解】解：，其中， 令，则方程化为， 根据规律，该方程的解为或， 代入，得或，即或， 故答案为：或 变式2．观察下列等式：，，，根据以上规律，求出分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的规律运算，合理分析规律是解题的关键． 根据规律的运算方式化简方程运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解； 故答案为：． 变式3．已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： (1)关于x的方程的解为 ； (2)关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； (3)关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查分式方程的解，掌握题干中方程的特征和方程的解是解题的关键： （1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知：，利用完全平方公式变形计算即可； （3）将方程变形为，得到，进而得到，再根据是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴关于x的方程的解为，； （2）由题意可知：， ∴； （3）， ， ∵关于x的方程的两个解是， ∴， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴或，是5的约数， ∴或， ∵为整数， ∴或． 1．方程的解的情况是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程的能力，观察式子确定最简公分母为．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：∵ ，且分母 ，即， ∴ 两边同乘，得， ∴ ， 经检验，时分母，符合题意． ∴ 方程的解为 ． 故选D． 2．某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设购买机器人的数量为x套，根据无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元，列出方程即可． 【详解】解：设购买机器人的数量为x套，则购买无人机的数量为套，根据题意得： ． 故选：B． 3．把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程变形后，两边乘以最简公分母化简得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得， 去分母得， 故选：D． 4．题目“关于x的方程的解是非负数，求符合条件的负整数a的值．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、丙的答案合在一起才完整 C．甲、乙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 将原方程去分母得，解得，由解为非负数得，且分母不为零，故，即，因此符合条件的负整数为和，结合题意即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 由于解为非负数，则，即， 又因为，则，即， 根据为负整数得或， 因此甲和丙的答案合在一起完整， 故选：B． 5．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程的分母， ∴两边同乘，得， 化简得， 移项得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验：恒成立， 检验：，解得，即， ∴且， 故选：A． 6．请写出一个根为的分式方程： ． 【答案】 【详解】中，当 时，左边为，右边为， 等式成立，且分母在时值为， 是分式方程的根． 故答案为：． 7．如果是关于的分式方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查已知分式方程的解求参数的值．将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解：是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得： 故答案为：． 8．甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程．设甲每天做个娃娃，则乙每天做个娃娃，根据“甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同”列出方程，即可作答． 【详解】解：设甲每天做个娃娃，则乙每天做个娃娃， 根据题意得：． 故答案为：． 9．已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，将原方程去分母并解得的值，然后根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：原方程去分母并整理得：， 解得： 原方程的根是负数， 且， 解得：且， 故答案为：且． 10．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1或6 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 当，即时，方程无解； 当，即时，由分式方程无解，得到或， 把代入得：； 把代入得：， 综上，的值为或1或6． 故答案为：或1或6． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，关键是利用了转化的思想，把分式方程化为整式方程，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到y的值，经检验，该方程无解． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程无解． 12．已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 【答案】顺水航行的速度是． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是分析题意，找到等量关系列出方程. 设轮船在静水中的速度为，根据“轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间”，列出方程，即可求解. 【详解】解：设轮船在静水中的速度为． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以． 答：顺水航行的速度是． 13．为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 【答案】60米 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确找到等量关系． 通过设原计划每天铺设管道长度为未知数，根据实际效率提高和提前完成的时间差建立方程，求解得到原计划每天铺设长度，进而求出实际每天铺设长度． 【详解】解：设原计划每天铺设排水管道x米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 实际每天铺设米 答：实际每天铺设排水管道60米． 14．小红家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：    油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量：    电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：元 已知燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.52元． (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶费用为________；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车每千米的行驶费用． 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为0.64元，新能源车每千米行驶费用为0.12元 【分析】本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程是解题的关键． （1）根据燃油车油箱容积和油价计算总费用，再除以续航里程得到每千米费用代数式即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，求出m，再将m的值代入和中，即可求出这两款车的每千米行驶费用． 【详解】（1）解：燃油车油箱容积，油价8元，总费用为元，续航里程， 故每千米行驶费用为元， 故答案为：． （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 15．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解题的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式化简，代入求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ， 或， ，； （2）“十字分式方程”的两个解分别为，， ，， ． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 注意：分式方程必须满足两个条件：①是方程；②分母中含有未知数。例如：、是分式方程，而（分母不含未知数）、（整式方程）不是分式方程。 知识点2 ：分式方程的解法 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，具体步骤如下： 1. 去分母：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程。 · 最简公分母的确定：取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积。例如，方程的最简公分母是。 · 注意：常数项也要乘最简公分母，避免漏乘。 2. 解整式方程：按照整式方程（如一元一次方程）的解法求解，得到整式方程的解。 3. 验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0，则是原分式方程的解；若公分母为0，则是增根，原分式方程无解。 · 增根产生的原因：去分母时，方程两边同乘了一个可能为0的整式，导致整式方程的解可能使原分式方程的分母为0，从而无意义。 知识点3：分式方程的增根 1. 定义：使分式方程分母为0的根叫做分式方程的增根。 2. 性质：增根是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解。 3. 验根方法：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母的值为0，则为增根；否则为原方程的解。 知识点4 ：分式方程的应用 列分式方程解决实际问题的步骤与列整式方程类似，关键是找到等量关系，注意检验： 1. 审题：明确题意，找出已知量和未知量。 2. 设未知数：根据题意设适当的未知数（直接设或间接设）。 3. 列方程：根据等量关系列出分式方程。 · 常见等量关系：路程=速度×时间；工作总量=工作效率×工作时间；浓度=溶质质量/溶液质量等。 4. 解方程：按分式方程的解法求解。 5. 检验： · 检验所求根是否为增根； · 检验解是否符合实际意义（如时间、长度不能为负数）。 6. 作答：写出完整的答案。 知识点5 ：典型例题 例1：解方程。 解：去分母，两边同乘，得， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 解得。 验根：当时，$x(x-3) = 9×6 = 54 ≠ 0$， ∴原方程的解为。 例2：若分式方程有增根，求$m$的值。 解：去分母，两边同乘$(x-1)(x+2)$，得， 化简得，即。 ∵原方程有增根，∴最简公分母$(x-1)(x+2) = 0$， 解得增根为或。 当时，； 当时，（此时原方程化为，去分母得，，无解，故不合题意，舍去）。 ∴。 【题型1 分式方程的定义】 例1．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 例2．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②；③；④． 变式2．有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 变式3．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【题型2 列分式方程】 例1．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 例2．小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 变式1．一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为 ． 变式2．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为 ． 变式3．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 【题型3 解分式方程】 例1．方程的解为（　　） A． B． C． D． 例2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 变式1．分式方程的解是 ． 变式2．方程的解为 ． 变式3．解方程： (1) (2) 【题型4 分式方程的应用——和差倍分问题】 例1．甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例2．某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，这两位上数字的倒数和是，求这个两位数．设十位上数字为x，依题意可列方程 ． 变式2．一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把． 变式3．随着科技的发展，人工智能在生活中越来越普及．物流园某仓库运用甲、乙两种机器人搬运粮食共，甲种机器人搬运的粮食总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少． (1)甲、乙两种机器人各搬运粮食多少千克？ (2)若甲种机器人每小时搬运的粮食是乙种机器人的倍，结果甲种机器人完成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时，则两种机器人每小时分别搬运多少粮食？ 【题型5 分式方程的应用——成像问题】 例1．凸透镜在我们的生活中有着广泛的应用，如照相机等．凸透镜成像公式也称高斯成像公式，用表示，其中表示焦距，表示物距，表示像距．已知，，则（    ） A． B． C． D． 例2．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 变式1．照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整来使成像清晰．用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是 ． 变式2．相机成像运用的物理公式是：，表示相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示像到镜头的距离，若，则 ．（用表示） 变式3．照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰． (1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？ (2)当时，求的值． 【题型6 分式方程的应用——工程问题】 例1．为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 例2．甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 变式1．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的倍，则的值是 ． 变式2．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 变式3．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【题型7 分式方程的应用——行程问题】 例1．《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 例2．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出关于的分式方程为 ． 变式2．某市交通部门对一条长的主干道进行综合整治，整治后该路段车辆通行的平均速度提高了，车辆通过该路段的平均时间比整治前少．那么整治后车辆通过该路段的平均时间是 ． 变式3．深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【题型8 分式方程的应用——浓度问题】 例1．现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 例2．将浓度为的酒精稀释为浓度为的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 变式1．医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水 ． 变式2．一小包柠檬茶冲剂，用180克开水可冲泡成浓度为10%的饮料，这包柠檬茶冲剂有 克. 变式3．某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀浓度是用于环境消杀浓度的2倍．取原液加水稀释用于衣物消杀，再取原液加水稀释用于环境消杀．按相应浓度稀释后发现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少．求该消毒液用于环境消杀的浓度．（浓度=原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位） 【题型9 分式方程的应用——经济问题】 例1．某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 变式1．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为 ． 变式2．某商品利润是32元，利润率为，则此商品的进价是 ． 变式3．临近元旦，某水果店新上架了奇异果和草莓进行销售．已知顾客购买3千克奇异果与购买4千克草莓的花费之和为270元，购买5千克奇异果与购买2千克草莓的花费之和为240元． (1)求奇异果和草莓每千克的售价各是多少元？ (2)为了吸引顾客，该水果店决定将水果降价销售，其中每千克草莓的降价金额是每千克奇异果降价金额的1.5倍，小明花了175元购买奇异果，300元购买草莓，两种水果一共购买了15千克，求每千克奇异果的降价金额是多少元？ 【题型10 分式方程的无解问题】 例1．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 例2．已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 变式1．当 时，方程会产生增根． 变式2．若关于的方程无解，则的取值为 ． 变式3．已知关于x的方程：． (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【题型11 分式方程的解为正负数】 例1．如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 例2．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 变式1．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 变式2．如果关于的方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 变式3．已知关于x的分式方程的解是非负数，求m 的取值范围． 【题型12 分式方程的规律】 例1．一列数（n是正整数，其中，均为非零数）满足规律：从第二个数起，每一数都等于与它相邻两数之积，如下列说法： ①若，则； ②若，则； ③已知，若前3个数中任意一个为1，则M化简后的常数项为675或676． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 例2．有个依次排列的代数式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，依此类推，下面四个结论中正确的个数为（    ） ①方程的实数解为； ②； ③第2024项； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 变式1．观察下列方程： 可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4，利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程 （n为正整数）解 ．（用含n的代数式表示） 变式2．观察下列等式：，，，根据以上规律，求出分式方程的解是 ． 变式3．已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： (1)关于x的方程的解为 ； (2)关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； (3)关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 1．方程的解的情况是（    ） A． B． C． D． 2．某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 3．把分式方程化为整式方程正确的是（ ） A． B． C． D． 4．题目“关于x的方程的解是非负数，求符合条件的负整数a的值．”对于其答案，甲答：；乙答：；丙答：．则正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、丙的答案合在一起才完整 C．甲、乙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整 5．若关于x的分式方程有解，则k需满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．请写出一个根为的分式方程： ． 7．如果是关于的分式方程的解，则的值是 ． 8．甲做240个娃娃与乙做320个娃娃所用的时间相同，已知两人每天共做100个娃娃，若设甲每天做x个娃娃，则可列方程 ． 9．已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 10．关于的分式方程无解，则的值为 ． 11．解方程： (1)； (2)． 12．已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 13．为了改善城市交通环境，提升居民出行品质，某市启动了“城市道路综合提升工程”．在工程实施过程中，一工程队负责一段全长为6千米的排水管道铺设任务．为确保工程早日投入使用，施工时提高了工作效率，实际每天铺设的长度比原计划多，这样不仅加快了进度，还比原计划提前20天完成了全部任务．问：实际每天铺设排水管道多少米？ 14．小红家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车油箱容积：    油价：8元 续航里程： 每千米行驶费用：________元 新能源车电池容量：    电价：1元 续航里程： 每千米行驶费用：元 已知燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.52元． (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶费用为________；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车每千米的行驶费用． 15．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $