第10讲 分式的乘除 分式的加减（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第10讲 分式的乘除 分式的加减 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分式的乘除 一、分式的乘法 1. 法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：（其中(b)、(d)均不为零）。 2. 步骤： · 先确定积的符号：若两个分式同号，则积为正；若异号，则积为负。 · 将分子、分母分别相乘，得到一个新的分式。 · 对新分式进行约分，化为最简分式或整式。约分的关键是找出分子和分母的公因式，通常先将分子、分母分解因式（如多项式分解因式），再约去公因式。 3. 注意事项： · 当分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，再进行乘法运算，这样便于约分，简化计算。 · 运算结果必须是最简分式或整式。 二、分式的除法 1. 法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数。用字母表示为：（其中(b)、(c)、(d)均不为零）。 2. 步骤： · 先将除法转化为乘法，即把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 · 确定积的符号（同乘法法则）。 · 分子、分母分别相乘，并进行约分，化为最简分式或整式。 3. 注意事项： · 除式是整式时，可以看作分母为1的分式，再求其倒数进行计算。例如，（）。 · 同样，当分子或分母是多项式时，先分解因式再运算。 三、分式的乘方 1. 法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方。用字母表示为：（其中(n)为正整数，）。 2. 注意事项： · 乘方时，分子、分母的每一项都要乘方，不能遗漏。 · 若分式本身带有负号，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。例如，，。 四、分式乘除混合运算 1. 运算顺序：按照从左到右的顺序依次进行，有括号的先算括号里面的。 2. 运算方法：将除法统一转化为乘法，再按照乘法法则进行计算，过程中可以逐步约分，也可以先将所有分子、分母相乘后再约分，但逐步约分通常更简便。 知识点2 ： 分式的加减 一、同分母分式的加减 1. 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：（其中）。 2. 步骤： · 分母不变，将分子相加减（注意分子是多项式时，要将分子用括号括起来，再进行加减运算，避免符号错误）。 · 对所得的分子进行化简（合并同类项等）。 · 将结果化为最简分式或整式。 3. 注意事项： · 若分子是多项式，加减时要注意各项的符号，尤其是减号后面的分子，要改变分子中每一项的符号。例如，。 二、异分母分式的加减 1. 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：（其中(b)、(d)均不为零）。 2. 通分的关键——确定最简公分母： · 取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。 · 取各分母中所有字母（或因式）的最高次幂作为最简公分母的字母（或因式）部分。 · 若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母。例如，分母分别为（分解为((x+2)(x-2))）和(x+2)，则最简公分母为((x+2)(x-2))。 3. 步骤： · 找出最简公分母。 · 将每个分式的分子、分母同时乘适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母。 · 按同分母分式的加减法则进行计算。 · 化简结果为最简分式或整式。 4. 注意事项： · 通分时，分子也要相应地乘同一个整式，以保证分式的值不变。 · 若分式的分子是多项式，通分后分子需要展开并合并同类项，再进行加减运算。 三、分式的混合运算 1. 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 2. 运算技巧： · 在运算过程中，能约分的先约分，能分解因式的先分解因式，以简化计算。 · 注意符号的变化，尤其是在减法和去括号时。 · 结果必须是最简分式或整式。 【题型1 分式的乘除混合运算】 例1．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解决本题的关键． 先把除法转化为乘法，再按分式的乘法法则计算． 【详解】解： ． 故选：B． 例2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】解：原式 ． 变式2．计算：当时， ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘除运算法则，同时结合因式分解进行约分，对原式进行转化、因式分解和约分等操作，得到化简结果的结论，即可解决分式的乘除运算问题． 【详解】解：． 故答案为：1． 变式3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 【题型2 分式乘除混合运算的实际应用】 例1．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项；设撕坏的部分为未知数（即 ■），根据图片信息列出方程，求解即可． 【详解】解：设撕坏的一角 ■，则原式可表示为： 故选A． 例2．如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出的代数式． 【详解】解： ， 故选：C． 变式1．一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的 ． 【答案】 【分析】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．设原长方形的长为，宽为，则原面积为；长增加后为，宽减少后为，新面积为，计算比值即可. 【详解】解：设原长方形的长为，宽为， ， ， ， ． 故答案为：． 变式2．在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港． 【答案】乙 【分析】本题考查了分式的运算的应用，读懂题意，熟练应用作差法比较大小是解题的关键． 分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法，比较时间的大小，得到结果． 【详解】解：∵甲船逆流航行1小时的路程为，甲返航时实际速度为， ∴甲返航时间为， ∵乙船逆流航行1小时的路程为，乙返航时实际速度为， ∴乙返航时间为， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 即乙船先返回港． 故答案为：乙． 变式3．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）． (1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克； (2)求出乙两次所购大米的平均单价？ (3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)乙所购买的大米的平均单价较低 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键． （1）甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到甲两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （2）乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到乙两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （3）二者相减比较大小即可． 【详解】（1）解：∵甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴甲的平均单价为：； 故答案为：； （2）解：乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴乙的平均单价为：； （3）解：乙所购买的大米的平均单价较低． 理由：， 因为是正数且， 所以，， 故， 即甲的平均单价大于乙的平均单价． 【题型3 同分母分式加减法】 例1．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．利用分母与 互为相反数的关系，将分式变形后合并计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴原式 = ， 故选：D． 例2．若，则□中的数是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，将左边分式拆解，化为一个常数与一个分式的和，即可确定□中的数，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴□中的数为， 故选：B． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算．由于两个分式的分母相同，直接合并分子进行运算． 【详解】解：（其中）． 故答案为：． 变式2．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同分母分式加减法，观察分母和互为相反数，通过通分和合并同类项进行化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的加减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型4 最简公分母与通分】 例1．分式 和 的最简公分母是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是对分母分解因式．各分式的分母分别为和，因此最简公分母是它们的乘积． 【详解】∵ 分式 和 的分母不同的因式有和， ∴ 最简公分母为． 故选：D． 例2．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 变式1．分式：的最简公分母是 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母． 最简公分母由各分母系数的最小公倍数和所有字母因式的最高次幂的积组成． 【详解】解：分母系数分别为3、2、5，其最小公倍数为30， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 变式2．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 【题型5 异分母分式加减法】 例1．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简． 将表达式中的各项通分后计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 变式1．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，首先将分母因式分解，然后通分，合并分子后约分得到结果，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式3．计算：． 【答案】0． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的加减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的加减法法则计算即可． 【详解】解：原式 【题型6 化简求值】 例1．若，则的值为（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，由已知条件得，代入 求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 例2．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是通过对已知条件变形得到，再代入待求式进行化简计算． 由已知条件 可得 ，代入所求表达式化简即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 代入所求式： ． 故选B． 变式1．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 将通分后，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 变式2．已知，且，则 【答案】或 【分析】本题考查分式的基本性质，换元法，分式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件出发，将原式分子分母同除以，变形为，设 ，将原式转化为关于 的方程，求解得到 的值，再将所求表达式进行相同的变形，将 的值代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 即， 设 ， 则原式变形为， ∴ ， ， 解得， 或 ， ； 当 时， ； 当 时， ． 故答案为：或． 变式3．先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，先计算括号里分式的减法，再将除法转化为乘法，计算分式的乘法，然后再算分式的减法，通过零指数幂，负整数指数幂求出的值，再代入求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵． ∴原式 ． 【题型7 分式的加减混合运算的实际应用】 例1．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式以及分式的加法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据题意可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，再相加即可． 【详解】解：甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队完成一项工程需天， 甲工程队的效率为，乙工程队的效率为， 两队共同工作一天完成这项工程的， 故选：D 例2．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水：吨， 故选C． 变式1．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 【答案】 【分析】本题考查分式运算的应用． 通过计算现在购买数量与原来购买数量的差，得到多买的盒数． 【详解】解：原来每盒售价元，500元可购买盒； 现在每盒售价元，500元可购买盒． 现在比原来多买盒． 故答案为：． 变式2．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度． 【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米， 则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时， 则她往返家里和图书馆的平均速度为， 故答案为：． 变式3．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 【题型8 分式恒等式】 例1．若，则常数和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，将方程左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴分子相等， ∴，解得， 故选：． 例2．已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，异分母分式加减法，构造二元一次方程组求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等式右边通分，根据等式两边相等，得到关于A、B的方程组求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 变式1．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 变式2．已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；先对等式右边进行通分化简，然后对照等式左右两边的分式即可列出方程组进行求解． 【详解】解：等式右边通分得到： ， 由于左边等于右边，且分母相同，所以有： 解得：，，，； 所以； 故答案为10． 变式3．已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 【题型9 分式中的新定义运算】 例1．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，把转化为分式的运算即可． 【详解】解：根据定义运算*，， ， 去分母得，， 代入得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x、y之间的关系，再整体代入． 例2．设，都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】A. 根据题中的新定义化简得：， ，不符合题意； B. ， ，不符合题意； C. ， ，符合题意； D. ， ，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，弄清题中的新定义是解题的关键． 变式1．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键． 根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 变式2．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减得出，再代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 变式3．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可； （2）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得， ． 【题型10 分式的倒数和差形式】 例1．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式变形求值，先将变为，然后分两种情况讨论：当时，，当时，，分别代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，不成立， 当时，， 则 ； 综上分析可知：的值为， 故选：B． 例2．已知 ，则值为（　　） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到，进而可得，求出，再将所求代数式变形得到即可答案． 【详解】解：∵，且根据题意有：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 变式1．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的求值，由已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ， ，即． ， ， 故答案为：6． 变式2．已知，， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值、平方根，熟练掌握运算法则和完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式求出的值，再结合判断的正负，进而求出的值． 【详解】解： 则． 已知，将其代入上式可得： 所以， 因为，那么， 所以． 故答案为：． 变式3．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ； （2）， ，即， ， ， ． 1．计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键． 两个分式分母相同，根据同分母的分式相加减法则进行计算即可． 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ 原式 = 1． 故选：A． 2．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对分式进行化简，再将给定的值代入计算． 【详解】解：①化简原式： 原式 ． ②代入求值： 当时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解和分式的乘除运算． 3．计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，掌握相关知识是解决问题的关键．先将分式除法转化为乘法后约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式分解和代数式求值，关键是通过因式分解应用分式减法公式确定参数值． 将分母 因式分解后，利用分式减法公式分解为 ，从而确定 和 的值，再计算 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 5．当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求分式的值，数字的变化规律，通过计算发现当时与当时所得的代数式的值和为是解题的关键． 根据当时，，当时，，可得，求和即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时所求的代数式的值为， 这些分式的值的和等于， 故选：D． 6．计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先将分式部分化简，再与后面的项合并即可． 【详解】解：原式   ． 故答案为：2． 7．如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的代数形式变形以及比例的性质，解决本题的关键是将分式进行变形求解． 由代入求解即可． 【详解】解：∵， 则． 故答案为：． 8．已知，则分式的值是 ． 【答案】 17 【分析】本题考查分式的计算及化简，根据已知条件 可得 ，再将所求分式拆分为 ，利用 代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 则 ． 故答案为：17． 9．已知实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，得到，然后代入所求表达式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴； 故答案为： 10．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，根据题意总结出规律是解题的关键．根据题意先总结规律，然后进行计算即可． 【详解】解：设，则 ∴， 原式 故答案为：． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 12．化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】圆圆的解答不正确，正确解答过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的减法，根据异分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解：圆圆的解答不正确，正确解答过程如下： 原式 ． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式运算法则． （1）对分母变形，然后按同分母分式加法法则计算即可； （2）对括号进行通分化简，然后利用除以一个数等于乘以该数的倒数，进行约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．分式化简求值：，其中x为满足的整数 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 15．【阅读学习】 若规定，则，例如：，则． 【初步运用】 （1）若，则______； 【拓展延伸】 （2）若，且，回答下列问题： ①若，求的值； ②当时，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】本题考查了新定义运算，理解即为的倒数是解题的关键． （1）根据新定义作答即可； （2）①根据新定义得到，根据完全平方公式变形求值即可； ②根据新定义得到，结合根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：若，则； 故答案为：； （2）①解：； ②解：， ∵，且， ∴， ∴． 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 分式的乘除 分式的加减 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分式的乘除 一、分式的乘法 1. 法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：（其中(b)、(d)均不为零）。 2. 步骤： · 先确定积的符号：若两个分式同号，则积为正；若异号，则积为负。 · 将分子、分母分别相乘，得到一个新的分式。 · 对新分式进行约分，化为最简分式或整式。约分的关键是找出分子和分母的公因式，通常先将分子、分母分解因式（如多项式分解因式），再约去公因式。 3. 注意事项： · 当分式的分子或分母是多项式时，应先分解因式，再进行乘法运算，这样便于约分，简化计算。 · 运算结果必须是最简分式或整式。 二、分式的除法 1. 法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数。用字母表示为：（其中(b)、(c)、(d)均不为零）。 2. 步骤： · 先将除法转化为乘法，即把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。 · 确定积的符号（同乘法法则）。 · 分子、分母分别相乘，并进行约分，化为最简分式或整式。 3. 注意事项： · 除式是整式时，可以看作分母为1的分式，再求其倒数进行计算。例如，（）。 · 同样，当分子或分母是多项式时，先分解因式再运算。 三、分式的乘方 1. 法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方。用字母表示为：（其中(n)为正整数，）。 2. 注意事项： · 乘方时，分子、分母的每一项都要乘方，不能遗漏。 · 若分式本身带有负号，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。例如，，。 四、分式乘除混合运算 1. 运算顺序：按照从左到右的顺序依次进行，有括号的先算括号里面的。 2. 运算方法：将除法统一转化为乘法，再按照乘法法则进行计算，过程中可以逐步约分，也可以先将所有分子、分母相乘后再约分，但逐步约分通常更简便。 知识点2 ： 分式的加减 一、同分母分式的加减 1. 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：（其中）。 2. 步骤： · 分母不变，将分子相加减（注意分子是多项式时，要将分子用括号括起来，再进行加减运算，避免符号错误）。 · 对所得的分子进行化简（合并同类项等）。 · 将结果化为最简分式或整式。 3. 注意事项： · 若分子是多项式，加减时要注意各项的符号，尤其是减号后面的分子，要改变分子中每一项的符号。例如，。 二、异分母分式的加减 1. 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：（其中(b)、(d)均不为零）。 2. 通分的关键——确定最简公分母： · 取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。 · 取各分母中所有字母（或因式）的最高次幂作为最简公分母的字母（或因式）部分。 · 若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母。例如，分母分别为（分解为((x+2)(x-2))）和(x+2)，则最简公分母为((x+2)(x-2))。 3. 步骤： · 找出最简公分母。 · 将每个分式的分子、分母同时乘适当的整式，使各分式的分母都化为最简公分母。 · 按同分母分式的加减法则进行计算。 · 化简结果为最简分式或整式。 4. 注意事项： · 通分时，分子也要相应地乘同一个整式，以保证分式的值不变。 · 若分式的分子是多项式，通分后分子需要展开并合并同类项，再进行加减运算。 三、分式的混合运算 1. 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 2. 运算技巧： · 在运算过程中，能约分的先约分，能分解因式的先分解因式，以简化计算。 · 注意符号的变化，尤其是在减法和去括号时。 · 结果必须是最简分式或整式。 【题型1 分式的乘除混合运算】 例1．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．计算：当时， ． 变式3．计算： (1)； (2)； 【题型2 分式乘除混合运算的实际应用】 例1．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 例2．如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（   ） A． B． C． D． 变式1．一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的 ． 变式2．在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为， 船先返回港． 变式3．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）． (1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克； (2)求出乙两次所购大米的平均单价？ (3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由． 【题型3 同分母分式加减法】 例1．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 例2．若，则□中的数是（    ） A． B． C． D．任意实数 变式1．计算： ． 变式2．化简的结果是 ． 变式3．计算：． 【题型4 最简公分母与通分】 例1．分式 和 的最简公分母是（    ）． A． B． C． D． 例2．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 变式1．分式：的最简公分母是 变式2．当时，的值是 ． 变式3．通分： (1)，； (2)，，． 【题型5 异分母分式加减法】 例1．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 例2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算的结果是 ． 变式2．计算： ． 变式3．计算：． 【题型6 化简求值】 例1．若，则的值为（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 例2．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 变式1．已知，则 ． 变式2．已知，且，则 变式3．先化简．再求值：，其中． 【题型7 分式的加减混合运算的实际应用】 例1．甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成这项工程的（   ） A． B． C． D． 例2．节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 变式1．某种商品，原来每盒标价为元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买 盒． 变式2．小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 变式3．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【题型8 分式恒等式】 例1．若，则常数和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．已知，其中A、B为常数，则的值为（    ） A．6 B．7 C． D． 变式1．已知，则 ． 变式2．已知，其中m，n，p，q为常数，则 ． 变式3．已知，，为常数，求的值． 【题型9 分式中的新定义运算】 例1．对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 例2．设，都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 变式2．对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 变式3．定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【题型10 分式的倒数和差形式】 例1．已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 例2．已知 ，则值为（　　） A．10 B．11 C．15 D．16 变式1．若，则 ． 变式2．已知，， ． 变式3．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 1．计算：（    ） A．1 B． C． D． 2．当时，的值为（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 4．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 5．当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 6．计算的结果是 ． 7．如果，则 ． 8．已知，则分式的值是 ． 9．已知实数，满足，则 ． 10．计算 ． 11．计算：． 12．化简：． 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 13．计算： (1) (2) 14．分式化简求值：，其中x为满足的整数 15．【阅读学习】 若规定，则，例如：，则． 【初步运用】 （1）若，则______； 【拓展延伸】 （2）若，且，回答下列问题： ①若，求的值； ②当时，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $