专题11分式的乘除与加减寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题11分式的乘除与加减寒假预习讲义 1.理解分式乘除法的法则，能准确表述法则并说明依据； 2.熟练掌握分式乘除法的运算，能正确进行分式与分式、分式与整式的乘除运算； 3.会进行分式的乘方运算，理解分式乘方的法则； 4.能解决与分式乘除相关的简单求值问题，注意运算过程中分式有意义的条件。 预习必备 知识点梳理 1.分式乘法法则 2.分式除法法则 3.分式的乘方 4.分式的加减 5.分式的混合运算 常考题型 精讲精炼 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 7.通分 8.最简公分母 9.异分母分式加减法 10.整式与分式相加减 11.分式加减混合运算 12.分式加减的实际应用 13.分式加减乘除混合运算 14.分式化简求值 15.由分式恒等式求分子分母 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.分式的乘方法则】 核心公式：×（b0，d0） 关键要点： 1.分式乘分式，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母； 2.计算前先观察，能约分的先约分（分子、分母的公因式约去），再计算，简化运算； 3.若有整式（如x、2a+3），把整式看成分母为 1 的分式再计算，例：x×=×=​【知识点02.分式的除法法则】 核心公式：×（b0，c0，d0） 关键要点： 1.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 2.除法转乘法后，遵循分式乘法的所有规则（先约分再计算）； 3.注意运算顺序：有括号先算括号内，无括号从左到右依次计算。 【知识点03.分式的乘方】 核心公式：()n（b0，n为正整数） 关键要点： 1.分式乘方，分子、分母分别乘方； 2.乘方与乘除混合运算：先算乘方，再算乘除； 3.符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负， 【知识点04.分式的加减】 一、同分母分式的加减 核心公式：±（c0） 关键要点： 1.同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； 2.分子相加减时，若分子是多项式，要给分子加括号，再去括号合并同类项 3.计算结果需化为最简分式或整式。 二.异分母分式的加减 1. 核心步骤：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算 2. 通分的关键：找最简公分母 最简公分母的确定方法 1 取各分母所有因式的最高次幂作为公分母的因式； 2 若分母是多项式，先因式分解，再找最简公分母； 3 最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。 3. 异分母分式加减公式 ±（b0，d0） 【知识点05.分式的混合运算】 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的（小括号→中括号）； 运算技巧： 1 加减运算中，若分母为多项式，优先因式分解，便于通分和约分； 2 乘除运算中，因式分解后约分能大幅简化计算； 3 计算过程中，可灵活运用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）。 【题型1.分式乘法】 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解决问题．约分为最简分式即可． 【详解】解：． 故选：C． 【跟踪专练1】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除运算，因式分解，掌握算理是解决问题的关键．将分子、分母进行因式分解，约分为最简分式即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【答案】C 【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意． 【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意； B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意； C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意； D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简． 【题型2.分式除法)】 【典例】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是正确解答此题的关键． 原式利用分式除法法则变形成乘法，约分即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算；设“□”中的式子为，把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【详解】解：设“口”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 【跟踪专练2】若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且且 【分析】根据使分式有意义的条件：分式的分母不能为0求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，，， ∴x的取值范围是且且． 故答案为：且且． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的运算法则，熟知运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后根据分式的性质约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【题型4.分式乘方】 【典例】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算，需应用分式乘方的法则：分子、分母分别乘方，并正确处理负号即可. 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，再约分即可得到答案. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式的乘方运算，分式的除法运算，掌握分式的乘方与除法运算的运算法则是解本题的关键. 【跟踪专练2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【跟踪专练1】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据幂的乘方计算，再根据分式的乘除法法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【跟踪专练2】下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 【跟踪专练1】计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是关键；直接把分子相减，分母不变即可求解． 【详解】解：原式， 故选：A． 【跟踪专练2】在计算时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则⊗表示的式子为 ． 【答案】m 【分析】根据题意可得，求出即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：m． 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算的运算法则是解题的关键． 【题型7.通分】 【典例】分式与通分后的结果是 ． 【答案】， 【分析】根据分式通分的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴分式， 分式． 故答案为，． 【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法． 【跟踪专练1】对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 【跟踪专练2】当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8.最简公分母】 【典例】分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故选：C ． 【跟踪专练1】分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【详解】解： ∴最简公分母为， 故答案为：． 【跟踪专练2】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【题型9.异分母分式加减法】 【典例】计算的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，先将分式通分，然后对分式进行加减运算． 【详解】 故选：C． 【跟踪专练1】已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减求得，再代入求值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据分式的乘除法、分式的加减法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选B． 【题型10.整式与分式相加减】 【典例】化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】/ 【分析】根据分式的加减法进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练2】若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 【题型11.分式加减混合运算】 【典例】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】计算分式加法可得，当a大于5时，，从而可得P与Q的大小关系． 【详解】解： 当a大于5时， 故选：A 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握是解题的关键． 【跟踪专练2】如果，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【题型12.分式加减的实际应用】 【典例】小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度． 【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米， 则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时， 则她往返家里和图书馆的平均速度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，将分式的分子、分母同时减1，得到分式，新分式的值在原分式的值上（    ） A．有所增大 B．不变 C．有所减小 D．无法比较 【答案】C 【分析】先把进行化简，再根据进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即，， 分式的分子、分母都减去1后所得的分式的值减小了． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是 ． 【答案】 【分析】先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解． 【详解】解：由题意得： “丰收1号”的单位面积产量为：， “丰收2号”的单位面积产量为：， ∴ ， 即高的单位面积产量比低的单位面积产量多． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解． 【题型13.分式加减乘除混合运算】 【典例】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，先通分计算括号中的分式，然后，计算乘法，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故选：． 【跟踪专练2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则化简即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式混合运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键． 【题型14.分式化简求值】 【典例】已知：，则代数式的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，设，则，，再代入求值化简即可． 【详解】解：设，则，， 所以， 故选：B． 【跟踪专练1】如果，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】该题主要考查分式的化简及求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键．先将原分式进行化简，然后将已知式子变形代入求解即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 【跟踪专练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的减法，分母不变，分子相减，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 【题型15.由分式恒等式求分子分母】 【典例】若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 【跟踪专练1】若，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除法混合运算，分式的混合运算顺序：先算乘方、再算乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里的．注意  ①分式的运算与分数的运算一样，一是注意符号；二是结果必须化到最简形式． （1）根据分式乘方和乘法运算法则计算即可； （2）根据分式乘方和乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，根据平方差公式和分式的运算法则求解即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 3．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确化简对应的分式是解题的关键． （1）先把对应分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可； （2）先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算乘方，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 4．先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 5．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是正确理解“和谐分式”的定义． 对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），先将原式化简为，再根据和谐分式的定义整理为，然后讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式． 故答案为：①③④． （2）， 故答案为∶． （3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式的乘除与加减寒假预习讲义 1.理解分式乘除法的法则，能准确表述法则并说明依据； 2.熟练掌握分式乘除法的运算，能正确进行分式与分式、分式与整式的乘除运算； 3.会进行分式的乘方运算，理解分式乘方的法则； 4.能解决与分式乘除相关的简单求值问题，注意运算过程中分式有意义的条件。 预习必备 知识点梳理 1.分式乘法法则 2.分式除法法则 3.分式的乘方 4.分式的加减 5.分式的混合运算 常考题型 精讲精炼 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 7.通分 8.最简公分母 9.异分母分式加减法 10.整式与分式相加减 11.分式加减混合运算 12.分式加减的实际应用 13.分式加减乘除混合运算 14.分式化简求值 15.由分式恒等式求分子分母 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.分式的乘方法则】 核心公式：×（b0，d0） 关键要点： 1.分式乘分式，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母； 2.计算前先观察，能约分的先约分（分子、分母的公因式约去），再计算，简化运算； 3.若有整式（如x、2a+3），把整式看成分母为 1 的分式再计算，例：x×=×=​【知识点02.分式的除法法则】 核心公式：×（b0，c0，d0） 关键要点： 1.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 2.除法转乘法后，遵循分式乘法的所有规则（先约分再计算）； 3.注意运算顺序：有括号先算括号内，无括号从左到右依次计算。 【知识点03.分式的乘方】 核心公式：()n（b0，n为正整数） 关键要点： 1.分式乘方，分子、分母分别乘方； 2.乘方与乘除混合运算：先算乘方，再算乘除； 3.符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负， 【知识点04.分式的加减】 一、同分母分式的加减 核心公式：±（c0） 关键要点： 1.同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； 2.分子相加减时，若分子是多项式，要给分子加括号，再去括号合并同类项 3.计算结果需化为最简分式或整式。 二.异分母分式的加减 最简公分母的确定方法 1 取各分母所有因式的最高次幂作为公分母的因式； 2 若分母是多项式，先因式分解，再找最简公分母； 3 最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。 ±（b0，d0） 【知识点05.分式的混合运算】 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的（小括号→中括号）； 运算技巧： 1 加减运算中，若分母为多项式，优先因式分解，便于通分和约分； 2 乘除运算中，因式分解后约分能大幅简化计算； 3 计算过程中，可灵活运用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）。 【题型1.分式乘法】 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】化简： ． 【跟踪专练2】若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ） A．1 B．x C． D．4 【题型2.分式除法)】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】若有意义，则x的取值范围是 ． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】计算分式结果是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【跟踪专练1】 ． 【跟踪专练2】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【题型4.分式乘方】 【典例】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算 ． 【跟踪专练2】下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】在计算时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则⊗表示的式子为 ． 【题型7.通分】 【典例】分式与通分后的结果是 ． 【跟踪专练1】对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】当时，的值是 ． 【题型8.最简公分母】 【典例】分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】分式的最简公分母是 ． 【跟踪专练2】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【题型9.异分母分式加减法】 【典例】计算的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【跟踪专练1】已知，则 ． 【跟踪专练2】已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型10.整式与分式相加减】 【典例】化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】若，则的值为 ． 【题型11.分式加减混合运算】 【典例】化简： 【跟踪专练1】已知分式，，当a大于5时，P与Q的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】如果，那么 ， ． 【题型12.分式加减的实际应用】 【典例】小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 【跟踪专练1】已知，将分式的分子、分母同时减1，得到分式，新分式的值在原分式的值上（    ） A．有所增大 B．不变 C．有所减小 D．无法比较 【跟踪专练2】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是 ． 【题型13.分式加减乘除混合运算】 【典例】化简： ． 【跟踪专练1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的结果是 ． 【题型14.分式化简求值】 【典例】已知：，则代数式的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练1】如果，那么的值为 ． 【跟踪专练2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型15.由分式恒等式求分子分母】 【典例】若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】若，求的值为 ． 【跟踪专练2】若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 1．计算： (1)； (2)． 2．计算：． 3．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 4．先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 5．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 6．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $