第09讲 分式的意义 分式的基本性质（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第09讲 分式的意义 分式的基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分式的意义 1. 分式的定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的代数式叫做分式。其中，A称为分式的分子，B称为分式的分母。 · 关键点：分母必须含有字母，且分母的值不能为0，否则分式无意义。 2. 分式有意义、无意义、值为0的条件 · 有意义：分母； · 无意义：分母； · 值为0：分子且分母（二者需同时满足）。 3. 分式与整式的区别 · 整式的分母中不含字母（如3x、），而分式的分母中必须含有字母（如、）。 知识点2 ：分式的基本性质 1. 基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 · 数学表达式：，（其中M是不等于0的整式）。 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 · 即：。 3. 约分 · 定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 · 步骤： 1. 分解分子、分母的因式（分子、分母为多项式时）； 2. 找出分子、分母的公因式； 3. 约去公因式，化为最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。 · 注意：约分时，分子、分母必须是乘积形式，且约去的是公因式（若分子或分母为多项式，需先因式分解）。 4. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的最终结果必须是最简分式或整式。 【题型1 整式与分式】 例1．下列式子中，分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的判定，分式判定的关键是分母中含有字母，常数分母或整式不是分式． 根据分式的定义，分母中必须含有字母的式子才是分式．分析各选项分母是否含有字母． 【详解】解：∵ 分式要求分母中含有字母， A．分母为2，不含字母，不符合题意； B．分母为，含有字母x和y，符合题意； C．分母为π，不含字母，不符合题意； D．无分母，不是分式，不符合题意． 故选：B． 例2．下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，涉及知识点：分式是分母中含有字母的式子（注意π是常数）．根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断每个式子即可． 【详解】∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式． ∴分式有3个． 故选：C． 变式1．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 变式2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 【答案】 ①④⑤ ②③⑥ 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义解答即可． 【详解】解：分式为，，；整式为，，． 故答案为：①④⑤；②③⑥ 变式3．下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【答案】，，，是整式，，，是分式 【分析】本题考查整式与分式，根据整式和分式的定义判断：整式是分母中不含字母的式子，包括单项式和多项式；分式是分母中含有字母的式子． 【详解】解：是多项式，是整式； 的分母不含字母，是多项式，是整式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式； 是单项式，是整式； 的分母含字母，是分式； 综上，，，，是整式，，，是分式． 【题型2 分式有、无意义、值为零】 例1．要使分式有意义，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，即分母不等于零．根据分式有意义的条件可得分母 ，即可得解． 【详解】解：分式有意义， 分母 ，解得． 故选：A． 例2．如果分式无意义，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，要使无意义，只需令分母，求解x的值即可. 【详解】解：∵分式无意义时，分母为零， ∴， 解得. 故选：D． 变式1．若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，因此解分子方程并验证分母不为0即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子， 解得：， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴分式的值为0时，． 故答案为：． 变式2．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，由分式值为零的条件，得分子为零且分母不为零，即且，解得，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 得分子，即，解得或， 分母， 所以， 因此， 当时， ， 故答案为：． 变式3．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1)当时，分式有意义 (2)当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 【题型3 用分式表示数】 例1．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 例2．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出一个人每天的工作量是，则个人一天的工作是：，则完成这件工作所要的天数即可表示出来． 【详解】． 故选：C 【点睛】本题主要考查了列代数式，把总工作量当作1，正确表示出一个人每天的工作量是解决本题的关键． 变式1．把的盐溶在的水中，那么在这种盐水中的含盐量为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解． 【详解】解：在这种盐水中的含盐量为：， 故答案为：． 变式2．千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示 元／千克． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为元／千克， 故答案为：． 变式3．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)两种小麦的单位面积产量分别是多少？ (2)试说明哪种小麦的单位面积产量高． 【答案】(1)“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为 (2)“丰收2号”单位面积产量高 【分析】本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． 【详解】（1）解：由题意得，“丰收1号”单位面积产量为， “丰收2号”单位面积产量为． （2）解：且， ，，， ， ． “丰收2号”单位面积产量． 【题型4 分式的求值】 例1．设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 例2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，根据结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 变式1．已知，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查分式求值：利用已知比例关系，将所求分式变形为含的表达式，再代入计算． 【详解】解：由，得， 又， ∴． 故答案为：． 变式2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式变形求解比值即可． 【详解】解：由两边同时除以得， 故答案为：． 变式3．已知x，y满足．求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，根据非负性求出的值，将分式化简后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式． 【题型5 最简分式】 例1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式要求分子与分母没有公因式；选项A有公因数2，选项B有公因式，选项D有公因式，选项C分子分母无公因式，故C为最简分式． 【详解】解：A选项中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式； B选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； C选项中分子分母无公因式，是最简分式； D选项中分子分解为 ，与分母有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：C． 例2．下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的概念和因式分解，分析分子和分母是否有公因式是解题关键． 根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式是最简分式，分别检查各选项是否能约分． 【详解】解：对于选项，分子为，分母为，在实数范围内不可分解，且与无公因式，不能约分，是最简分式； 对于选项，，可以约分，不是最简分式； 对于选项，分子，分母，，可以约分，不是最简分式； 对于选项，分子和分母都有公因式，，可以约分，不是最简分式． 故选：A． 变式1．化简分式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练应用分式的基本性质是解答此题的关键． 按照分式的基本性质对分式进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 变式2．将分式化为最简分式，所得结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是最简分式，掌握分式的约分法则是解题的关键．先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式3．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 【题型6 约分】 例1．下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 例2．若，下列分式化简后等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是明确分式的分子分母需同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值才不变． 【详解】解：A、分式的分子分母同时加2，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； B、分式的分子分母同时减3，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； C、当、时，（因），此选项不符合题意； D、分式的分子分母同时除以（），得，此选项符合题意． 故选：D． 变式1．分解因式： ；约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法和公式法的综合运用，约分．对于因式分解部分，先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可；对于约分部分，分别简化系数和字母的指数． 【详解】解：因式分解：； 约分：． 故答案为：；． 变式2．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键；将分子和分母分别因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 变式3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的约分，涉及因式分解等知识，掌握分式的性质和约分运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母提公因式，再约分即可； （2）先将分子分母因式分解，再约分即可； （3）先将分子因式分解，再约分即可； （4）先将分子分母因式分解，再约分即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型7 分式的基本性质】 例1．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变 D．扩大8倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键．将x和y都扩大2倍后代入分式，化简新分式并与原分式比较即可． 【详解】解：∵ x和y都扩大2倍， ∴新分式为 ， ∴新分式是原分式的4倍，即分式的值扩大4倍． 故选：A． 例2．如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 变式1．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题关键．将分式中的和同时扩大2倍后，新分式是原分式的2倍，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则新分式为， 故答案为：． 变式2．若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，当和同时扩大为原来的倍时，设，，然后代入即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设，，则新分式为 ， 故答案为：． 变式3．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍. 【题型8 分式的分子分母的最高次项（各项系数）化为正（整 ）数】 例1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 例2．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 变式1．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分母变为相反数，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）． 故答案为： 变式2．不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）分式的分子和分母同时乘以6，进行计算即可； （2）分式的分子和分母同时乘以100，进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 变式3．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 【答案】①； ②；（2）①；  ② 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． （1）①根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可；根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可． （2）①约去分子分母的公因式即可；②约去分子分母的公因式即可. 【详解】解：（1）①； ②； （2）①； ②. 【题型9 分式整体代入计算】 例1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，实数的运算，根据完全平方公式的变形可得，再开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 例2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 变式1．已知，的值是 ． 【答案】2049 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知条件式可知，，则可求出，进而推出；把所求式子变形为，进一步变形可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2049． 变式2．已知实数x满足，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，分式的求值． 由等式的性质得到，进而计算即可． 【详解】解：由得， ． 【题型10 分式中的规律】 例1．已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，根据题意，可以写出前几项的值，即可发现数字的变化特点，从而可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， …， 由上可得，上面的数据，每三个为一个循环， ∵， ∴． 故选：C． 例2．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数． 【详解】解：一组数为 ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， ∴第个数为：， 故选：C． 变式1．已知（且），，，…，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查式子规律，根据已知式子，找准规律是解决问题的关键． 根据前面几个式子的化简结果，得到规律是计算结果是以、、为循环节进行循环，由，即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， 计算结果是以、、为循环节进行循环， ， ， 故答案为：． 变式2．对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算： ． 【答案】​​​​​​​ 【分析】本题考查分式化简求值及规律，根据，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 变式3．阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律，正确找出规律是解题的关键． （1）仿照题干中的例子进行计算即可； （2）观察（1）中的式子，用表示出该规律即可 （3）根据（2）中得到的规律将所求式子展开，观察发现，第一项和最后一项除外，中间的所有项都会相互抵消，据此进行计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题干，结合（1）中的算式，可以观察得到规律为： 对于任意正整数，都有， 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 则 ． 1．下列式子中，不是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A项分母含字母，是分式； B项分母含字母和，是分式； C项分母是3，不是字母，不是分式； D项分母含字母，是分式； 故选：C． 2．下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零数或式子，分式的值不变．根据这一性质，检查各选项是否符合． 【详解】解：A、分子和分母同时加2，不是同时乘以或除以2，不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B、分子和分母同时平方，不是同时乘以或除以同一个数或式子（不为0），不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； C、当时，式子不成立，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选：D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则分别计算判断即可． 【详解】A∶∵，∴A正确； B∶∵，∴B错误； C∶∵，∴C错误； D∶∵，∴D错误． 故选：A． 4．若分式的值为0，则x的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母． 解得． 当时，分母，分式无意义，舍去． 当时，分母，符合题意． ∴． 故选C． 5．已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的规律性问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，每项的乘积为常数，总项数为，恰好是的倍数，因此总乘积为的奇数次幂，结果为． 【详解】∵， ， ， ， ∴序列周期为， 每项乘积：， ∵， ∴． 故选：D． 6．若分式有意义，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键，根据分式有意义的条件得到，解得即可得到答案. 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴解得：. 故答案为：. 7．写出一个与相等的分式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质的应用． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，来构造一个相等的分式． 【详解】解：由分式的基本性质，将的分子和分母同时乘以2，得到， 由于乘以的整式2不为零，因此分式的值不变， 故与相等， 故答案为：（答案不唯一）． 8．约分： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．通过寻找分子和分母的公因式进行约分即可． 【详解】解：分子和分母的公因式为， 给分子和分母同时除以得原式． 故答案为：． 9．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，即，据此把和代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 10．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、约分等知识点，灵活运用平方差公式对分母因式分解是解题的关键． 先用平方差公式对分母因式分解，然后约分化简，最后将、代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 11．当，时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，分式约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，原分式的分子、分母分别乘以即可求解．理解并掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：． 13．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）将分子分母约去公因式即可； （2）分子先因式分解，再约去公因式即可； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 14．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 15．【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 【答案】(1)不能 (2)此时倒出的总水量为 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把代入后进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 这水不可以倒完． 故答案为：不能； （2）解：当时，， ∴此时倒出水的总量为． （3）解：由题可知：． ． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 分式的意义 分式的基本性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：分式的意义 1. 分式的定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的代数式叫做分式。其中，A称为分式的分子，B称为分式的分母。 · 关键点：分母必须含有字母，且分母的值不能为0，否则分式无意义。 2. 分式有意义、无意义、值为0的条件 · 有意义：分母； · 无意义：分母； · 值为0：分子且分母（二者需同时满足）。 3. 分式与整式的区别 · 整式的分母中不含字母（如3x、），而分式的分母中必须含有字母（如、）。 知识点2 ：分式的基本性质 1. 基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 · 数学表达式：，（其中M是不等于0的整式）。 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 · 即：。 3. 约分 · 定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 · 步骤： 1. 分解分子、分母的因式（分子、分母为多项式时）； 2. 找出分子、分母的公因式； 3. 约去公因式，化为最简分式（分子与分母没有公因式的分式）。 · 注意：约分时，分子、分母必须是乘积形式，且约去的是公因式（若分子或分母为多项式，需先因式分解）。 4. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的最终结果必须是最简分式或整式。 【题型1 整式与分式】 例1．下列式子中，分式是（   ） A． B． C． D． 例2．下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 变式2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 变式3．下列各式，哪些是整式，哪些是分式？ ，，，，，，． 【题型2 分式有、无意义、值为零】 例1．要使分式有意义，那么应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 例2．如果分式无意义，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式1．若分式的值为0，则 ． 变式2．若，则 ． 变式3．对于分式． (1)当取什么值时，分式有意义？ (2)当取什么值时，分式的值为零？ 【题型3 用分式表示数】 例1．春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 例2．某防疫封控小区进行全员核酸筛查，计划m个人a天完成任务，照这样计算，若减少n个人时，完成工作所要的天数是（    ） A． B． C． D． 变式1．把的盐溶在的水中，那么在这种盐水中的含盐量为 ． 变式2．千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示 元／千克． 变式3．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)两种小麦的单位面积产量分别是多少？ (2)试说明哪种小麦的单位面积产量高． 【题型4 分式的求值】 例1．设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 例2．若，则（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，则 ． 变式2．已知，则的值为 ． 变式3．已知x，y满足．求的值． 【题型5 最简分式】 例1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 变式1．化简分式： ． 变式2．将分式化为最简分式，所得结果是 ． 变式3．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【题型6 约分】 例1．下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 例2．若，下列分式化简后等于的是（　　） A． B． C． D． 变式1．分解因式： ；约分： ． 变式2．化简： ． 变式3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 分式的基本性质】 例1．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大4倍 B．扩大2倍 C．不变 D．扩大8倍 例2．如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 变式1．已知分式的值为，如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值为 ． 变式2．若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为 ． 变式3．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ 【题型8 分式的分子分母的最高次项（各项系数）化为正（整 ）数】 例1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 例2．不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 变式1．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 变式2．不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： （1） ； （2） ． 变式3．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 【题型9 分式整体代入计算】 例1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 例2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知，的值是 ． 变式2．已知实数x满足，那么 ． 变式3．若，求的值． 【题型10 分式中的规律】 例1．已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 例2．按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知（且），，，…，，则的值为 ． 变式2．对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算： ． 变式3．阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，， (1)依照上述规律，则可列式_________，_________． (2)用含的式子表示你发现的规律：__________________． (3)求式子的值． 1．下列式子中，不是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若分式的值为0，则x的值为（ ） A．0 B．1 C． D． 5．已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 6．若分式有意义，则n的取值范围是 ． 7．写出一个与相等的分式： ． 8．约分： ． 9．如果，那么 ． 10．若，，则的值为 ． 11．当，时，求的值． 12．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 13．约分： (1)； (2)； (3)． 14．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 15．【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 (1)容器中的水 （填“能”或“不能”）倒完； (2)若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； (3)当，时，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $