精品解析：甘肃省平凉市庄浪县集团校期末联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025－2026第一学期八年级期末质量监测 数学试卷 考生注意本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. 纳米 D. 微云人工智能 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 分解因式a2b-b3结果正确的是 A. b（a+b）（a-b） B. b（a-b）2 C. b（a2-b2） D. b（a+b）2 4. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5. 如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度． A. 60 B. 90 C. 100 D. 105 6. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 7. 如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 对于任意正整数m，多项式都能被（ ） A. 8整除 B. m整除 C. 整除 D. 整除 10. 一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11. 点关于y轴对称的点的坐标为________． 12. 我国科研团队制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为______． 13. 如图，与关于直线对称，若，，则_________． 14. 已知，则_____． 15. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____ ． 16. 如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤， 17. （1）化简：； （2）因式分解：． 18. 解分式方程． （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知点． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C三点，并顺次连结； （2）请画出关于x轴的对称图形； （3）若内有一点P的坐标为，则中与点P关于x轴的对称的点的坐标是 ． 21. 如图，已知AD=BC，AC=BD． （1）求证：△ADB≌△BCA； （2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由． 22. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． （1）求每套A型健身器材的价格； （2）若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 23. 已知的三边长分别为，其中． （1）当为偶数时，求的值； （2）当为等腰三角形时，求的周长． 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为______． （2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 25. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得： am＋an＋bm＋bn＝a(m＋n)＋b(m＋n)．这时，由于a(m＋n)＋b(m＋n)中又有公因式(m＋n)，于是可提出(m＋n)，从而得到(m＋n)(a＋b)，因此有： am＋an＋bn＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）ab－ac＋bc－b2＝(ab－ac)＋(bc－b2)＝a(b－c)－b(b－c)＝ ． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：x2y－4y－2x2＋8． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 27. 综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026第一学期八年级期末质量监测 数学试卷 考生注意本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A. B. C. 纳米 D. 微云人工智能 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，C不是轴对称图形，D是轴对称图形， 故选： 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意；； D．，故选项正确，符合题意；． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算性质是解答本题的关键． 3. 分解因式a2b-b3结果正确的是 A. b（a+b）（a-b） B. b（a-b）2 C. b（a2-b2） D. b（a+b）2 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先进行提取公因式b，然后再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】原式=b() =b(a+b)(a-b)． 故选A 4. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0可得，且，求出答案即可． 【详解】∵分式， ∴，且， 解得． 故选：D． 5. 如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长交于，那么图中的度数是（ ）度． A. 60 B. 90 C. 100 D. 105 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键． 根据三角形的外角的性质（三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和）解决此题． 【详解】解：由题意得， ，， ． 故选：． 6. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图（1）阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为，宽为，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 图（2）中阴影部分为矩形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 故选：D． 7. 如图，，点在线段上．若，，则的周长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质，由题意得，推出，得是等边三角形，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，即； ∴是等边三角形， ∴的周长为：； 故选：B 8. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本做题，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由作图可得平分，，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，，故C正确； ∴，故A正确， ∵， ∴，故D正确； 和不一定相等，故B错误， 故选：B． 9. 对于任意正整数m，多项式都能被（ ） A. 8整除 B. m整除 C. 整除 D. 整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． 利用平方差公式将多项式分解，再提取公因式，判断即可． 【详解】解： ， ∴对于任意正整数，能被整除． 故选：A． 10. 一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解顺风和逆风的速度是解题关键．根据题意，无人机顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时，再根据“顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等”列分式方程即可． 【详解】解：一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时， 则顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时， 由题意得：， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11. 点关于y轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进行求解即可． 【详解】点关于y轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 12. 我国科研团队制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，与关于直线对称，若，，则_________． 【答案】35°##35度 【解析】 【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于180°可得． 【详解】∵△ABC与△DEF关于直线l对称， ∴∠A＝∠D＝65°，∠B＝∠E＝80°， ∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣80°＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题考查轴对称的性质与三角形的内角和，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和． 14. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘法公式计算之后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的计算，能够熟练计算乘积是解题关键． 15. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____ ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程增根的条件，先将方程化简，合并同分母分式，然后去分母化为整式方程，增根为使分母为零的根，即，代入整式方程求m即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：，即， ∵方程有增根， ∴增根为， 把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 16. 如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤， 17. （1）化简：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了化简多项式，平方差公式，完全平方公式，提取公因式法分解因式，掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键． （1）根据平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类项即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18. 解分式方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键． （1）方程两边乘，再化简求解，检验即可； （2）方程两边乘，再化简求解，检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边乘，得， 整理，得：， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序． 先算括号内的式子，然后算除法即可将所求式子化简，再将m的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 当时，原式 ． 20. 已知点． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C三点，并顺次连结； （2）请画出关于x轴的对称图形； （3）若内有一点P的坐标为，则中与点P关于x轴的对称的点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，坐标系中描点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先根据，描出点 A，B，C这三点，并顺次连结，即可作答． （2）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，得出，即可作答． （3）根据轴对称的性质，且内有一点P的坐标为，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：依题意，先描出点 A，B，C这三点，并顺次连结． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵内有一点P的坐标为， 则中与点P关于x轴的对称的点的坐标是． 21. 如图，已知AD=BC，AC=BD． （1）求证：△ADB≌△BCA； （2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据SSS定理推出全等即可； （2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB． 【详解】（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，AD=BC，AB=BA，BD=AC， ∴△ADB≌△BCA（SSS）； （2）解：OA=OB，理由如下： ∵△ADB≌△BCA， ∴∠ABD=∠BAC， ∴OA=OB． 【点睛】本题考查了三角形的全等判定，全等三角形的性质，等角对等边，解决此题的关键是能正确两个三角形全等． 22. 在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式．为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有A、B两种型号的健身器材可供选择．已知每套B型健身器材的价格比每套A型健身器材的价格多万元，用6万元购买A型健身器材的数量与用9万元购买B型健身器材的数量相等． （1）求每套A型健身器材的价格； （2）若市政府计划采购这两种健身器材共15套，总费用不超过20万元，则购买A型健身器材最少多少套？ 【答案】（1）每套A型健身器材的价格是1万元； （2）购买A型健身器材最少5套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每套A型健身器材的价格是x万元，则每套B型健身器材的价格是万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套A型健身器材的价格是1万元； 【小问2详解】 设购买A型健身器材m套，则购买B型健身器材套，依题意得：． 解得：． 答：购买A型健身器材最少5套． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 23. 已知的三边长分别为，其中． （1）当为偶数时，求的值； （2）当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】（1） 4或6 （2） 12 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，结合为偶数即可得到答案； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【小问1详解】 解：∵的三边长分别为，其中， ∴， 即， ∴当为偶数时，或6； 【小问2详解】 解：当为等腰三角形时， ∵， ∴或， 当时，三角形的三边为2，2，5， 由于，此时不能构成三角形，故此种情况须舍去； 当时，三角形的三边为5，5，2，满足三角形的三边关系， 此时的周长． 24. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为______． （2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2）2或 （3）8 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的 关系是解决问题的前提． （1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案； （2）由（1） 的结论，进行应用即可； （3）设两个正方形的边长为a，b，得出a+b= 8，a2+b=32，根据完全平方公式计算出的值即可． 【小问1详解】 解：图2，大正方形的边长为，因此面积为， 小正方形的边长为，因此面积为，每个长方形的长为a，宽为b， 由面积之间的关系可得，， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）得，， 即， ∴或； 【小问3详解】 设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ，， 由于，两正方形的面积和，因此，， ∵，即， ， ∴阴影部分的面积为． 25. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 为直角三角形． ， ， ，， ， ． 26. 第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得： am＋an＋bm＋bn＝a(m＋n)＋b(m＋n)．这时，由于a(m＋n)＋b(m＋n)中又有公因式(m＋n)，于是可提出(m＋n)，从而得到(m＋n)(a＋b)，因此有： am＋an＋bn＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）ab－ac＋bc－b2＝(ab－ac)＋(bc－b2)＝a(b－c)－b(b－c)＝ ． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：x2y－4y－2x2＋8． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（b-c）（a-b）； （2）（y-2）（x+2）（x-2）； （3）这个三角形为等边三角形， 理由如下： ∵a2+2b2+c2=2b（a+c）， ∴a2+2b2+c2-2ba-2bc=0， ∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0， ∴（a-b）2+（b-c）2=0， ∵（a-b）2≥0，（b-c）2≥0， ∴a-b=0，b-c=0， ∴a=b=c， ∴这个三角形是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）提取b-c即可； （2）先分组，用提公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出a=b=c，则可得出答案． 【详解】解：（1）a（b-c）-b（b-c） =（b-c）（a-b）． 故答案为：（b-c）（a-b）； （2）x2y-4y-2x2+8 =（x2y-4y）-（2x2-8） =y（x2-4）-2（x2-4） =（y-2）（x2-4） =（y-2）（x+2）（x-2）； （3） 略 【点睛】本题考查分组因式分解，等边三角形的定义．能理解题意，掌握分组分解法是解题关键． 27. 综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中， ， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $