第10章 三角恒等变换（复习课件）数学苏教版必修第二册

单元复习课件 第10章 三角恒等变换 苏教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.夯实公式基础：理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导逻辑，熟记二倍角公式、降幂公式等核心恒等变换公式，能准确区分公式的适用条件。 2.熟练变换运算（重点）：掌握三角恒等变换的常用方法（如角的拆分、公式逆用、弦切互化等），能灵活运用公式进行三角函数的化简、求值与证明。 3.突破综合应用（难点）：结合三角函数的性质，利用恒等变换解决与周期、最值、单调性相关的问题；能将实际问题中的数量关系转化为三角表达式，通过变换求解。 4.提升数学素养：体会化归思想、换元思想在三角变换中的应用，通过归纳不同题型的变换策略，建立三角公式与三角函数性质的知识联系。 单元学习目标 三角函数 单位圆中两向量的数量积 两角和与差的余弦 两角和与差的 余弦公式 两角和与差的 正弦公式 两角和与差的 正切公式 二倍角公式、降幂公式、辅助角公式 三角恒等变换的应用 单元知识图谱 一、两角和与差的三角函数公式 1 两角差的余弦公式 图10.1-1 推导：如图10.1-1,设向量 , ,则 . 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有 . 所以可得 . 考点串讲 2 两角和的余弦公式 推导：在两角差的余弦公式中，用 代替 ，就可以得到 . 一、两角和与差的三角函数公式 特别提醒 1.公式中的 ， 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 如： . 2.要掌握公式的逆用，如 . 考点串讲 一、两角和与差的三角函数公式 3 两角和的正弦公式 推导：运用两角差的余弦公式 和诱导公式，有 4 两角差的正弦公式 推导：在两角和的正弦公式中,用 代替 ，就可以得到 . . 考点串讲 5 两角和的正切公式 . 推导：利用公式和 ， 有 . 6 两角差的正切公式 . 推导： . 一、两角和与差的三角函数公式 考点串讲 ; ; ; ; ; . 正切公式的变形 一、两角和与差的三角函数公式 考点串讲 和角公式与差角公式 ,,统称为和角公式，,, 统称为差角公式,它们 之间具有紧密的联系（有时可以互相转化），这种联系可用框图形式表示，如图 10.1-2所示. 一、两角和与差的三角函数公式 考点串讲 二、化一公式（辅助角公式） 1 辅助角公式 对教材第82页【问题与探究】的深挖 . 2 辅助角公式的推导 . 令,,则 , 其中角 的终边所在象限由,的符号确定，角 的值由 确定或由 和 共同确定. 考点串讲 二、化一公式（辅助角公式） 3 常见辅助角结论 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） ; （6） . 考点串讲 三、二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 倍角公式 简记符号 正弦 余弦 正切 其中，公式 还可以变形为 , . 说明 以上这些公式都叫作倍角公式.这里的“倍角”,实际上专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名称时，“三”字等不能省去. 考点串讲 倍角公式的变形 （1）倍角公式的逆用 ,, . . , . （2）配方变形 . （3）因式分解变形 . 二、化一公式（辅助角公式） 考点串讲 （4）升幂公式 ； . （5）降幂公式 ； ； ； . 倍角公式的变形 二、化一公式（辅助角公式） 考点串讲 三、积化和差、和差化积公式 积化和差公式 （1）和 两边相加得 , 即 ①. 类似地，和 两边相减，可得 ②. 考点串讲 （2）和 两边相加，可得 ③. 和 两边相减，可得 ④. 公式①②③④中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函 数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 三、积化和差、和差化积公式 考点串讲 和差化积公式 在积化和差的公式中，如果令 , ,那么, .把 , 的值代入积化和差公式 ,就有 ,所以,把 , 换 成 , ，就有 ⑤, 同样可得 ⑥, ⑦, ⑧. 公式⑤⑥⑦⑧中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角 函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 三、积化和差、和差化积公式 考点串讲 题型一、两角和与差的三角函数公式 （1）已知,,则 的值为_ ___. 【解析】,, , , . _ ___. 【解析】 . 题型剖析 题型一、两角和与差的三角函数公式 [教材改编P64 例1](2025·甘肃省嘉峪关市第一中学月考)设 , 是方 程的两个根，则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 【解析】由根与系数的关系得, ，所以 . 题型剖析 题型一、两角和与差的三角函数公式 计算 的值为( ) A A. B. C. D. 【解析】 ． 求下列各式的值： （1） ; （2） . 【解析】 . 【解析】 . 变式训练 题型二、化一公式（辅助角公式） 计算： ( ) C A.0 B. C. D.2 【解析】原式 . 题型剖析 (2024·全国甲卷)函数在， 上的最大值是___. 2 【解析】由题意知，当 时， ，,，于是,，故在， 上 的最大值为2. 题型二、化一公式（辅助角公式） 题型剖析 (全国乙卷)函数 的最小正周期和最大值分别是( ) C A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【解析】因为函数 ， （【难点突破】逆用两角和的正弦公式进行化简） 所以函数的最小正周期 ，最大值为 . 题型二、化一公式（辅助角公式） 变式训练 题型三、给角求值、给值求值 求下列各式的值： （1） ； 【解析】原式 . （2） ； 【解析】原式 （两角和正切公式的变形式） . . . 题型剖析 （3） ; 【解析】原式 . （4） . 【解析】 ,又 ,所以 ,所以 . 同理可得 ， 所以原式 . 求下列各式的值： 题型三、给角求值、给值求值 题型剖析 已知，且 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 给什么得 什么 给出 ， 的范围与两个三角函数值，可以判断三角函数式中角的范 围. 求什么想 什么 观察所求三角函数值的角，思考所求角与所给角的关系，通过拼、凑角 将所求角向所给角转化，不同名的三角函数通过诱导公式转化. 差什么找 什么 利用两角和与差的三角函数公式分解所求式，其中未知的三角函数值可 利用同角三角函数关系求解，给正弦求余弦，给余弦求正弦. 题型三、给角求值、给值求值 题型剖析 【解析】因为，所以 ， 因为，所以 ，（确定角的范围，为确定三角函数值的符号做 准备） 因为，所以 , 因为，所以 .（由同角三角函数的关系求余弦值） 所以 . 题型三、给角求值、给值求值 题型剖析 (2025·江苏省南京市第一中学月考)已知， ，且 ，，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】，， . ， . ，， . ， . 题型三、给角求值、给值求值 变式训练 题型四、二倍角公式应用 已知，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 已知,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】（ ）（注意诱导公式在角度转 化中的作用.）（ ）（注意诱导公式在角度转化中的作用.） . . . . . 题型剖析 题型四、二倍角公式应用 命题探源 连乘式求值问题 （此处是对教材第74页习题10.2第8题的深挖） 求值： . 名师点评 方法1通过添加一个正弦值，即可逐次逆用二倍角公式求值.方法2称为配 对法，即通过给每一个余弦值配对，逆用二倍角公式，观察目标式中各角之间的关 系特征，问题的一般化结论为：… . 题型剖析 题型四、二倍角公式应用 【解析】 原式 （分子、分母再乘以 ,是为逐次逆用二倍角公式作准备） . 设原式, , 则 由于,故 . 题型剖析 给值求角 (2025·江西省南昌中学月考)已知, ,且 , ,则 ( ) C A. B.或 C. D.或或 题型四、二倍角公式应用 题型剖析 【解析】,且 , , , , . ,且, , , 【明易错】若不由 , 的正负性，进一步缩小 的范围，而仅由 , 得,就会得到错误答案：-或或 又， . . . 题型四、二倍角公式应用 题型剖析 _ __. 【解析】 原式 . 原式 . 题型四、二倍角公式应用 变式训练 ［教材改编P77 T1］ _ _. 【解析】 . ［教材改编P76例1］函数 的最小值是____. 【解析】 ， . 题型五、和差化积、积化和差 题型剖析 下列关系式中正确的有____（填序号）. ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ . ⑤ 【解析】①右边应是 ， ②右边应是 ， ③右边应是 ， ④应是 , ⑤正确. 题型五、和差化积、积化和差 变式训练 在中， ，则此三角形的形状是( ) C A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 ， ， ， ，即,则 ， ， . 故此三角形为直角三角形. 题型六、三角恒等变换在三角形中的应用 题型剖析 已知在中，，求证： 是直角三角形. 【解析】 在中， ， . 利用和差化积公式，得 , （由二倍角公式可得） , 显然,故 , . . 题型六、三角恒等变换在三角形中的应用 变式训练 两边平方，得 , 即 , ， ，即或 ． , 是三角形的内角，故必有一个为直角， 是直角三角形． 名师点评 本题条件中没有边的关系，就从角入手，证明有一个角是直角，或者有两 个角互余. 题型六、三角恒等变换在三角形中的应用 变式训练 题型七、三角函数最值 若，求函数的最值及取得最值时相应的 的值. 题型剖析 【解析】 ， 令，则 . ， ， . 从而原函数化为 ， 问题转化为求关于的一元二次函数在区间 上的最值. 显然，由二次函数的性质知,当，即 时函数取得最小 值,为 ； 当，即时函数取得最大值,为 . 题型七、三角函数最值 题型剖析 已知函数 . 求 的最小正周期和最小值; 【解析】,故的最小正周期为 ,最小值为 . 题型七、三角函数最值 题型剖析 题型七、三角函数最值 求函数 的最小值，并判断 其单调性. 【解析】 . 因为，所以，所以，，当 ，即 时，取得最小值，最小值为 . 因为在，上是单调递增的，所以在， 上单调递减. 变式训练 题型八、与三角函数图象性质的综合应用 [多选题](2025·江苏省南通市天星湖中学月考)已知函数 ，则( ) AC A.函数 为偶函数 B.曲线的对称轴为 ， C.在区间， 上单调递增 D.的最小值为 题型剖析 【解析】 ， 即 . 对于A， ，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，曲线的对称轴方程为 ， ，即 ， ，故B错误； 对于C，当，，即，时， 单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则 ， 所以，，故D错误．故选 ． 题型八、与三角函数图象性质的综合应用 题型剖析 (2025·湖南省常德市临澧县第一中学月考)已知函数 ，若在区间，上有且仅有3个零点且 的图象在区间，上有2条对称轴，则 的取值范围是( ) D A., B., C., D., 【解析】函数 ， 因为，所以 ， 由于函数在区间，上有且仅有3个零点且的图象在区间， 上有2 条对称轴， 题型八、与三角函数图象性质的综合应用 变式训练 题型八、与三角函数图象性质的综合应用 结合函数 的图象，可知 ，整理得， ． 【解析】函数 ， 因为，所以 ， 由于函数在区间，上有且仅有3个零点且的图象在区间， 上有2 条对称轴， 变式训练 1.利用积化和差公式化简 的结果为( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 针对训练 2.已知 ，且，则 的值为( ) D A.3 B.2 C. D. 【解析】， . 又 ， ， . 针对训练 3. ( ) A. B.1 C. D.2 【解析】原式 . 针对训练 4.已知,，则 的值为__. 【解析】 ， ， ，， ． 针对训练 5.已知， ， ，则 _ __. 【解析】将两个等式两边平方可得 两式相加可得， . ,，即 ， 代入，得 ， . . 针对训练 6.函数 的最大值为( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】，因为 ，所 以当时，取得最大值，且 . 针对训练 7.［多选题］ 已知函数 ,则下列判断正确的是 ( ) AC A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于直线 对称 C.函数的图象关于点对称 D.函数的图象关于点 对称 【解析】 ，则 ，即函数的图象关于直线 对称，故A正确，D 错误； ，则函数的图象不关于直线 对称，故B错误； ，即的图象关于点对称，故C正确.故选 . 针对训练 8.(2025·广西百色市开学考试)在中，，，分别是角，， 的对边，若 ，则 的形状是____________． 等腰三角形 【解析】在中， ， ， ，即，， ，故 为等腰三角形. 针对训练 9.若,，则 _ ____, __. 【解析】因为，所以 ，所以 ，其 中,.所以 ，，所以 ， ，所以， .因为 ，所以 . 针对训练 10.设函数 . （1）求函数 的最小正周期； 【答案】由已知得 ，故所求的最小 正周期 . （2）求函数在, 上的最大值. 【答案】 ， 因为，故当,即时，函数 取得最大值,最 大值为 . 针对训练 本章我们重点学习了两组三角恒等式：和角公式、倍角公式，并以它们为工具，研究了三角函数式的化简、计算、恒等式的证明等问题．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，其中，既有从已知到未知的化归（如由余弦的差角公式，推出其余的和或差角 公式等），也有从一般到特殊的化归（如从和角公式推出倍角公式）．有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路． 课堂总结 感谢聆听! $