专题02 三角恒等变换（期末真题汇编，江苏专用）高一数学下学期

专题02 三角恒等变换 4大高频考点概览 考点01两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 考点02二倍角公式的应用 考点03三角恒等变换与三角函数的性质结合应用 考点04 三角恒等变换的综合应用 ( 考点 01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 应用 )1．（24-25高一下·江苏盐城·期末），，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，均为锐角，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，，则________. 12．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，若，是关于的方程的两个实根，则________. 13．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，则的值为______． 14．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 15．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. ( 地 城 考点 02 二倍角公式的应用 )1．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则__________. 10．（24-25高一下·江苏连云港·期末）若，且，则______. 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（）的所有零点为，则_________，所有零点的正切值的乘积为_________. 12．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 13．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 14．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 15．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，． (1)求； (2)若，求的值． ( 地 城 考点 0 3 三角恒等变换与三角函数的性质 )1.（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）函数，下列结论正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）下列说法正确的有（   ） A． B． C．将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 D．若函数在上有且仅有4个最值，则的范围是 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若，则实数的取值范围是_____________. 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是__________. 5.（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.    6．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知向量，，函数． (1)求的最小值 (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 7．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知向量，，且． (1)若，求x的值； (2)若，求函数的最大值． 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知函数（其中）的最小正周期为. (1)若，求的值； (2)已知，求的值. 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，，设函数. (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，，求周长的取值范围. 10．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知向量，设函数． (1)求函数的对称中心； (2)求函数在上的值域． 11．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知，函数的最小值为0． (1)求常数m的值； (2)求函数的图象的对称中心． 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，，. (1)若，求m； (2)若，，求的最大值和最小值． 13．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知函数． (1)若，求的最大值和最小值； (2)设为锐角，且，求的值． ( 地 城 考点 0 4 三角恒等变换的综合应用 )1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列四个选项中，计算结果是的选项为（） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）把函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在内两根分别为，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）下列各式中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏徐州·期末）（多选）在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，且，，求的值． 10．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，，，. (1)求，的值； (2)求的值. 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知， (1)若，求与夹角的余弦值； (2)若，求的值. 12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量与向量共线且，求的值. 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)令，若，求的值. 14．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，已知直线，是之间的一个定点，过作的垂线分别交于两点，，分别是上的两个动点（均在的右侧）．设，，的周长和面积分别为和． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换 4大高频考点概览 考点01两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 考点02二倍角公式的应用 考点03三角恒等变换与三角函数的性质结合应用 考点04 三角恒等变换的综合应用 ( 考点 01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 应用 )1.【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】 / 11．【答案】 12．【答案】0 13．【答案】 14．【答案】(1)(2) 15．【答案】(1) (2)， ( 考点 02 二倍角公式的应用 ) 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】BCD 8．【答案】ABD 9．【答案】/ 10．【答案】 11．【答案】 2 12．【答案】(1) (2) 13．【答案】(1) (2) 14．【答案】(1) (2)或 15．【答案】(1) (2) ( 考点 0 3 三角恒等变换与三角函数的性质 ) 1.【答案】AD 2．【答案】ABC 3．【答案】 4．【答案】 5.【答案】/ 6．【答案】(1) (2) 7．【答案】(1) (2) 8．【答案】(1) (2) 9．【答案】(1)，(2)(3) 10．【答案】(1) (2) 11．【答案】(1) (2) 12．【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为－. 13．【答案】(1)； (2) ( 考点 0 4 三角恒等变换的综合应用 ) 1．【答案】D 2．【答案】C 3. 【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】ABD 7．【答案】BCD 8．【答案】ABD 9．【答案】(1)，(2) 10．【答案】(1)，；(2). 11．【答案】(1)(2) 12．【答案】(1)；(2). 13．【答案】(1)或(2) 14．【答案】(1)；(2). 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角恒等变换 4大高频考点概览 考点01两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用 考点02二倍角公式的应用 考点03三角恒等变换与三角函数的性质结合应用 考点04 三角恒等变换的综合应用 ( 考点 01 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 应用 )1．（24-25高一下·江苏盐城·期末），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和、差的余弦公式化简求值，结合同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】由题意得，， 所以， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式及和角的正弦公式求解即得. 【详解】函数，由，得， 由，得，则，， 所以 . 故选：A 3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【详解】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，均为锐角，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得，然后结合两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意， 又因为，，所以， 所以. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正弦公式逆用即可求解. 【详解】. 故选：B. 7．（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结论． 【详解】， ， ， ， 故选：D． 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：B. 9．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正切计算可得. 【详解】. 故选：B. 10．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 【答案】 / 【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得. 【详解】因为，，两式平方相加得， ， 整理得，即. 由，得，由，得， 所以， 展开化简整理得，即. 故答案为：；. 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，，则________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再结合角的范围及同角公式求解. 【详解】由及，得， 由，得，而，则， 由，，得. 故答案为： 12．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，若，是关于的方程的两个实根，则________. 【答案】0 【分析】先根据题意，利用韦达定理及和两角和的正切公式得出；再根据三角形内角和性质求出，进而可求解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以由韦达定理可得：， 则. 又因为， 所以. 又因为,， 所以， 则. 故答案为：. 13．（24-25高一下·江苏苏州·期末）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】利用同角公式及差角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得，又， 则， 所以 . 故答案为： 14．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理先计算出，再由正切和角公式计算出的值； （2）分析 的范围，得到的范围，结合求解出的值. 【详解】（1）因为，是方程的两根， 所以； 由正切和角公式：. （2）因为，，所以. 又因为，所以. 15．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用商数关系和平方关系列式求解； （2）由，利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，即， 又，所以. （2）. 因为，所以， 故. 因为，所以. 所以 ( 地 城 考点 02 二倍角公式的应用 ) 1．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式，将逐步转化到，利用倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得. 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式及诱导公式即可求得. 【详解】 ，所以，所以， 故. 故选：D 5．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确. 故选：B 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及和差角公式化简得解. 【详解】 . 故选：A. 7．（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据结合求得，，由计算可判断A；由计算可判断B；由计算可判断C；直接计算可判断D. 【详解】因为，且，， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，由诱导公式得两边平方结合二倍角正弦公式求解；对B，由二倍角正切公式求解判断；对C，由诱导公式结合二倍角正弦公式求解；对 D，根据二倍角正切公式求解判断. 【详解】对于A，， 又，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由， 所以，得，故D正确. 故选：ABD. 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据，结合二倍角公式，诱导公式化简求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·江苏连云港·期末）若，且，则______. 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（）的所有零点为，则_________，所有零点的正切值的乘积为_________. 【答案】 2 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，由求出，再求出对应正切即可得解. 【详解】依题意，，由，得， 解得，而函数在上单调递减，又， 因此函数的零点有2个，即； ， ， 所以. 故答案为：2； 12．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，，再代入计算可得； （2）首先求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， ， 所以. （2）因为， 所以， 所以， 所以； 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 13．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接使用两角差的正切公式展开已知等式后计算即可； （2）方法一：使用二倍角公式化简所求式子后弦化切，代入正切值即可；方法二：根据正切值，结合同角三角函数关系式，先算出正弦值和余弦值，然后代入所求式子. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）方法一： 因为， 分母不能为0，故， 所以， 即. 方法二： 由得角的终边在第一象限或第三象限， （）当角的终边在第一象限时， 由得， 所以， 所以； （）当角的终边在第三象限时， 由得， 所以， 所以. 综上所述，. 14．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二倍角公式求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值； （2）求出，分、两种情况讨论，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式即可求出的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则， 所以， ， 因此，. （2）因为，，所以， 若，则， 此时 ，合乎题意； 若，则， 此时 ，合乎题意. 综上所述，或. 15．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知，． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和差角公式化简可得，结合同角三角函数的基本关系可得结果. （2）根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角差的正弦公式可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以，即，故. （2）由，得，且， 所以. 因为，所以， 由得， 所以， 所以. ( 地 城 考点 0 3 辅助角公式的应用 ) 1．（25-26高一上·江苏·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和差公式辅助角公式，结合角的范围即可求解. 【详解】 ， 所以.又因为， ，所以，. 故选：B 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用正弦函数对称轴的性质求出的表达式，再结合函数在给定区间上的单调性确定的值，进而得到函数的表达式，最后求出的表达式. 【详解】函数图像关于对称，说明在时成立，解得：， 函数在上单调递增，说明在该区间内满足正弦函数的单调递增条件， 所以且， 则当时，解得：， 结合和，得到； 将代入原函数，得到， 则. 故选：A. 40．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差的正余弦公式，再结合诱导公式，以及辅助角公式，化简求值. 【详解】由条件等式可知，， 则， ，则， ， . 故选：D 41． 42．（24-25高一下·四川成都·期中）（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据二倍角的正、余弦公式计算即可判断AB；根据两角差的正切公式计算即可判断C；根据同角的商数关系和辅助角公式计算即可判断D. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 所以，故C正确； D：，故D错误. 故选：BC 43．（24-25高一上·江苏连云港·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】整理可得，换元令，解得，即可得判断AB；可知为方程的两根，进而可得，即可判断CD. 【详解】因为， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去） 所以，，故A错误，B正确； 可知为方程的两根， 由解得， 可知或， 可得，故C正确； 或，故D错误； 故选：BC. 44．（23-24高一上·江苏南通·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有4个零点 D．把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数的最值可得A；利用正弦型函数的单调性计算可得B；令，研究其在上的根的个数即可得C；得到平移后的图象后，借助正弦函数的对称轴即可得D. 【详解】 ， 对A：由，则的最大值为，故A正确； 对B：当时，， 由不是函数的单调递增区间， 故不在上单调递增，故B错误； 对C：令，则， 则当时，有解：、、 、， 故在上有4个零点，故C正确； 对D：把的图象向右平移个单位长度后， 可得， 当时，， 由是函数的对称轴， 故关于直线对称，故D正确. 对选：ACD. 45． ( 地 城 考点 0 4 三角恒等变换与三角函数的性质 ) 1.（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）函数，下列结论正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 【答案】AD 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，画出函数图象或整体思想分析可判断选项A，B；方程根的个数问题转化为函数图象交点个数问题可判断选项C；利用同角三角函数的关系化简函数解析式可判断选项D． 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时，， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）（多选）下列说法正确的有（   ） A． B． C．将函数的图象向左平移单位得到函数的图象 D．若函数在上有且仅有4个最值，则的范围是 【答案】ABC 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解判断A；根据同角三角函数的基本关系、辅助角公式、二倍角公式、诱导公式求解判断B；根据函数的平移求解判断C；根据余弦函数的性质求解判断D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，将函数的图象向左平移单位得到 ，故C正确； 对于D，当时，， 因为函数在上有且仅有4个最值， 所以，解得， 则的范围是，故D错误. 故选：ABC 3．（25-26高一上·江苏盐城·期末）若，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】利用正弦的和角公式合成，然后再利用三角函数值域的求法可得答案. 【详解】原式可化为， 由于， 所以 解得 因此，实数的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由降幂公式及辅助角公式可得函数的解析式，由，得，由零点的个数，可得，可求的取值范围. 【详解】 ， 由，时，， 在有且仅有三个零点，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5.（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.    【答案】/ 【分析】设，利用正弦定理求得，将的面积表示出来，利用三角恒等变换化成正弦型函数，根据正弦函数的图象性质即可求得面积最大值. 【详解】设,则，因，则，， 在中，由正弦定理，，解得, 故的面积为: ， 因，则，故当时，即时，的面积取得最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知向量，，函数． (1)求的最小值 (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简计算得到，从而求出最小值； （2）换元得到有解，其中，利用函数单调性得到，从而得到实数a的取值范围. 【详解】（1） ， 故的最小值为． （2）令，则有解，即有解， 因为时，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取最小值；当时，取最大值3，即， 因为有解，所以实数a的取值范围为． 7．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知向量，，且． (1)若，求x的值； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算、模的坐标表示及三角恒等变换列方程可得，进而求解即可； （2）根据平面向量的数量积的坐标表示可得，再根据三角恒等变换化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，， 则， 所以， 则， 则，即， 由，则，所以，即. （2）， 则 ， 由，则， 则，则， 所以函数的最大值为. 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知函数（其中）的最小正周期为. (1)若，求的值； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由两角差正弦公式和周期化简并求出解析式，再结合题设、诱导公式、商数关系和两角差的正切公式即可求解； （2）先由题设依次求出和，再结合和两角和正弦公式即可求解. 【详解】（1）， 因为，所以，则， 所以. 因为，所以原式. （2）因为，所以， 因为，所以，则， 所以. 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知向量，，设函数. (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 【详解】（1） 故最小正周期为. （2）因为，由，则， 所以， 则 ； （3）因为，又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长 ， 由为锐角三角形,可得， 因为都在上单调递增， 所以在上单调递减， 即 所以的取值范围为. 10．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知向量，设函数． (1)求函数的对称中心； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，再求其对称中心即可； （2）根据条件求出整体角的范围，结合正弦函数的图象，即得函数的值域. 【详解】（1）， 由，可得， 故函数的对称中心为. （2）由，可得， 由正弦函数的图象可得， 故函数在上的值域为. 11．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知，函数的最小值为0． (1)求常数m的值； (2)求函数的图象的对称中心． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式化简，再求出，即可求出常数m的值； （2）由（1）可得，令，即可求出函数的图象的对称中心. 【详解】（1）， 因为，所以，所以. （2）由（1）可得：， 令，则， 所以函数的图象的对称中心为. 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，，. (1)若，求m； (2)若，，求的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)最大值为，最小值为－. 【分析】（1）根据两向量垂直的坐标关系运算得解； （2）利用三角恒等变换化简，再根据的范围可求得的范围，结合正弦函数性质可求得最值. 【详解】（1）由，可得，解得. （2）， ，， 当，即时，的最大值为， 当，即时，的最小值为. 13．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知函数． (1)若，求的最大值和最小值； (2)设为锐角，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行恒等变换，再根据定义域，求出值域，求出最大值和最小值. （2）根据同角三角函数的平方关系，和两角和的余弦公式，求出的余弦值，判断角的值. 【详解】（1）由题意得， 当时，， 所以的最大值是2，最小值是. （2）则，同理， 由，得， 因为为锐角，所以，则. ( 地 城 考点 0 5 三角恒等变换的综合应用 ) 1．（25-26高一上·江苏盐城·期末）下列四个选项中，计算结果是的选项为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式与和差角公式，逐一计算即可. 【详解】对于A：， 故A错误； 对于B：， 故B错误； 对于C：， 故C错误； 对于D：由， 代入得：， . 故D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义即可求值，再结合二倍角公式，即可作出判断. 【详解】由题意可得：，故A错误； ，故B错误； 由，可得，故C正确； ，故D错误； 故选：C 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）把函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在内两根分别为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数的解析式，再根据的对称性求，即可得的值. 【详解】因为 . 其中为锐角，且. 当. 因为方程在内两根分别为， 根据正弦函数的对称性可得， 所以. 所以. 故选：A 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由角的定义和三角函数定义得，接着由诱导公式得，再由两角和余弦公式即可计算求解. 【详解】角的终边按逆时针方向旋转后落在射线上， 则， 则. 故选：A 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件，利用和角的正弦公式和同角三角关系式化成，再利用和角的正切公式求得，运用基本不等式和正切函数的单调性即可. 【详解】因，则， 代入中，整理得：， 显然都不可能是直角（否则等式不成立），故得， 于是， 由上式易知均为锐角，则，故有， 因，当且仅当时等号成立， 即时，取得最大值为，又，故角的最大值为. 故选：A. 6．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）（多选）下列各式中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用二倍角公式即可验证A，利用诱导公式和余弦的和差公式即可验证B，将利用和差公式即可验证C，利用辅助角公式和诱导公式即可验证D. 【详解】由，故选项A错误； 由，故选项B正确； 由 ，故选项C正确； 由 ，故选项D正确； 故选：BCD 8．（24-25高一下·江苏徐州·期末）（多选）在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出. 【详解】对于选项A： 因为， 所以① ②， 所以，所以A正确； 对于选项B： 因为，. 所以，即，所以B正确； 对于选项C： 因为，所以. 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为，. 又，所以， 化简得，所以解得. 又是锐角，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知，，函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，且，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据向量数量积运算求出的表达式，再利用三角函数公式化简，进而求出最小正周期和对称中心； （2）先根据已知条件求出和的值，再结合的值求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值. 【详解】（1）已知，，函数． ∴ ，                         即，∴函数的最小正周期为，               令，得， ∴函数的对称中心为． （2）由（1）知， 则，得， ∵，∴．                      ∵，∴， ∵，∴．   ∴ ，                                        又，∴． 10．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，，，. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示计算可得，结合的范围利用同角三角函数的关系式计算可得，利用切化弦结合两角和差的正、余弦公式计算可得； （2）利用同角三角函数的关系式计算得，再将变形成两角和，利用两角和的正弦公式计算即可得解. 【详解】（1），. ，， 又，. ，则. 由，可得， 即，所以. 又，. . （2）由（1）可知，， ，，则. 所以 . 11．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知， (1)若，求与夹角的余弦值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出坐标，由，求得，根据向量夹角公式求解； （2）由两向量平行的坐标关系求得，又，结合诱导公式和二倍角余弦公式求解. 【详解】（1）由题：， 所以 ，解得， 所以， 所以. （2），解得， ， 故. 12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量与向量共线且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角余弦公式化简得，利用两角和的正弦公式结合同角三角函数的关系式及二倍角正弦公式，由求得，由此可得，即可得解； （2）利用向量共线的坐标运算确定，利用二倍角公式计算得，结合求出，再利用两角和正弦公式计算即可. 【详解】（1）由题意，， 因为，则， 两边平方可得，即， 又因为，所以，即，所以，所以. 所以，. （2）由题意，向量与向量共线，则， 因为，且，所以， 则. 由，可得， 又，所以. 故. 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知函数 (1)若，求的值； (2)令，若，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，再根据已知角的范围求值即可； （2）先求得，根据条件运用诱导公式化简求得的正弦、余弦的值，最后借助于和角的正弦公式计算即得. 【详解】（1）由函数 ， 由，可得， 因，则，从而或， 解得或. （2）因， 则， ， 因为，所以， 则，， 则 14．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，已知直线，是之间的一个定点，过作的垂线分别交于两点，，分别是上的两个动点（均在的右侧）．设，，的周长和面积分别为和． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出，再利用与的关系，结合换元法求出最小值. （2）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出，再利用三角恒等变换，结合正弦函数单调性求出最小值. 【详解】（1）依题意，当时，， 在和中，， 则， 因此， 令，， 则，函数在上单调递减，， 所以当时，取得最小值. （2）当时，， 在和中，， 则， 而， 则，因此当时，， 所以当时，取得最小值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $