8.1 平行四边形（题型专练，7基础&3提升题型+培优）数学新教材苏科版八年级下册

8.1 平行四边形 题型一 利用平行四边形的性质求线段长 1． C 2． B 3． C 4． A 题型二 利用平行四边形的性质求角度 1． C 2． D 3． 105° 4． 108 题型三 利用平行四边形的性质求周长 1． B 2． C 3． 32 4． 18 题型四 利用平行四边形的性质求面积 1． D 2． A 3． 4 4． 44 题型五 证明线段相等 1． 见解析 2． 见解析 3． 见解析 4． 见解析；45° 题型六 求坐标 1． C 2．（﹣3，1）或点（1，﹣1）或点（3，1） 3．（﹣2，﹣1） 4．（2，﹣4） 题型七 利用平行四边形的性质证明 1． 见解析 2． 见解析 3． 见解析 4． 见解析 题型一 平行四边形的判定与性质 1． 见解析；40° 2． 130°；见解析 3． 见解析；16 4． AM∥NC；HC＝BC． 题型二 平行四边形中的动点问题 1． 2秒或3秒 2． 3． （1）6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8；（2）t＝2或t 4．（1）见解析；（2） 或t＝12 题型三 与平行四边形相关的探究问题 1． S1+S2S． 2．（1）DE+DF＝AB．（2）DE﹣DF＝AB 3．（1）；S1＝S2；（2）S3S；（3）S′+S″S；（4）S△PBD＝4． 4．（1）S△DCM50；（2）S△DCM50；（3）S△DCM＝50； 拓展推广：阴影部分的面积aa＝a；实践应用：700m2． 1． C． 2． D． 3．（2，2）或（﹣2，10）． 4．（1）见解析；（2）AD＝5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 平行四边形 题型一 利用平行四边形的性质求线段长 1．平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　） A．8cm和14cm B．10cm 和14cm C．18cm和20cm D．10cm和34cm 2．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（　　） A．10 B．5 C． D．2 题型二 利用平行四边形的性质求角度 1．▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠C的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A．80° B．40° C．70° D．140° 3．已知平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝30°，则∠C＝　　 ． 4．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，AB＝BE，作DF⊥AE于点F，若∠ADF＝54°，则∠B的度数为　　 °． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 1．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，BC＝7cm，BD＝10cm，AC＝6cm，则△AOD 的周长为（　　） A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm 2．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，若BE＝4，AB＝6，则▱ABCD的周长是（　　） A．28 B．30 C．32 D．34 3．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则平行四边形ABCD的周长为 　　 ． 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是9cm，则平行四边形ABCD的周长是 　　 cm． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 2．如图，▱ABCD对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别与AC、BD交于点E、F．若▱ABCD的面积为80，则图中阴影部分的面积是（　　） A．40 B．41 C．42 D．43 3．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　 ． 4．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 　　 cm2． 题型五 证明线段相等 1．已知如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝CE．求证：BF＝DE． 2．如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．求证：AE＝DF． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 4．已知▱ABCD中，点E为BC上一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线交于点F，连BD． （1）如图1，求证：CE＝CF； （2）如图2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数． 题型六 求坐标 1．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 2．若以A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为　 　 3．如图，已知▱ABCD中的A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为 　 　 ． 4．如图，▱ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣2，4），则点C的坐标是　 　 ． 题型七 利用平行四边形的性质证明 1．如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF＝AC，求证：四边形AFBD是平行四边形． 2．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F是BD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 3．如图，AC∥DB，且AC＝2DB，E是AC的中点．求证：四边形BDEC是平行四边形． 4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 题型一 平行四边形的判定与性质 1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF．连结AF，交BC于点H，连结EC． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形； （2）若∠F＝∠D＝70°，求∠CHF的度数． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC延长线上一点，BE＝CD，连接AE交CD于点F，连接AC、BF、DE． （1）若∠DAE＝65°，求∠BAD的度数； （2）已知BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 3．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接CE，若CE平分∠DCB，CF＝2，DE＝3，求▱ABCD的周长． 4．如图，已知点M、N分别为▱ABCD的边CD、AB的中点，连接AM、CN． （1）判断AM、CN的位置关系，并说明理由； （2）过点B作BH⊥AM于点H，交CN于点E，连接CH，判断线段CB、CH的数量关系，并说明理由． 题型二 平行四边形中的动点问题 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？ 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？ 3．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　 ；CQ＝ 　 ；QE＝ 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿AC方向以4cm/S的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/S的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是tS（0＜t＜15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由 题型三 与平行四边形相关的探究问题 1．已知：如图，点P为▱ABCD内一点，△PAB、△PCD的面积分别记为S1、S2，▱ABCD的面积记为S，试探究S1+S2与S之间的关系． 2．如图1所示， （1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由． （2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由． 3．我们知道：平行四边形的面积＝（底边）×（这条底边上的高）． 如图，四边形ABCD都是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，设它的面积为S． （1）如图①，点M为AD上任意一点，则△BCM的面积S1＝　　 S， △BCD的面积S2与△BCM的面积S1的数量关系是 ． （2）如图②，设AC、BD交于点O，则O为AC、BD的中点，试探究△AOB的面积与△COD的面积之和S3与平行四边形的面积S的数量关系． （3）如图③，点P为平行四边形ABCD内任意一点时，记△PAB的面积为Sˊ，△PCD的面积为S″，平行四边形ABCD的面积为S，猜想得Sˊ、S″的和与S的数量关系式为 ． （4）如图④，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，求△PBD的面积． 4．理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点． （1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝　　 ； （2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝　　 ； （3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝　　 ； 拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由． 实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积． 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝13，BC＝10，GF＝5，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．36 C．30 D．24 2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 　 　 ． 4．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交CD于点G，若AD∥BC，AE＝CF． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 平行四边形 题型一 利用平行四边形的性质求线段长 1．平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可以是（　　） A．8cm和14cm B．10cm 和14cm C．18cm和20cm D．10cm和34cm 【分析】根据平行四边形的性质得出AO＝COAC，BO＝DOBD，在每个选项中，求出AO、BO的值，再看看是否符合三角形三边关系定理即可． 【解答】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝COAC，BO＝DOBD， A、AO＝4cm，BO＝7cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+BO＜AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； B、AO＝5cm，BO＝7cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+BO＝AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； C、AO＝9cm，BO＝10cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+BO＞AB，AB+AO＞BO，OB+AB＞AO，符合三角形三边关系定理，故本选项正确； D、AO＝5cm，BO＝17cm， ∵AB＝12cm， ∴在△AOB中，AO+AB＝BO，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边关系定理和平行四边形性质的应用，注意：平行四边形的对角线互相平分． 2．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝10，AE，DF分别平分∠DAB，∠ADC，那么EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．以上都不对 【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合角平分线的定义可求得BE＝AB、CD＝CF，再由线段的和差可求得EF． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC＝10， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝BA＝3， 同理CF＝CD＝3， ∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝10﹣3﹣3＝4， 故选：B． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得AB＝BE＝CF是解题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，结合角平分线的性质推出∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，得到AE＝AB＝3，即可求出DE＝DF＝AD﹣AE＝5﹣3＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF， ∴AE＝AB＝3， ∴DF＝DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2， 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（　　） A．10 B．5 C． D．2 【分析】利用平行四边形的对角线互相平分得，BO＝DO，再在Rt△ABO中利用勾股定理求出BO，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AC＝6， ∴，BO＝DO， ∵AC⊥AB， ∴三角形ABO是直角三角形， 在直角三角形ABO中，由勾股定理得：， ∴BD＝2BO＝10， 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型二 利用平行四边形的性质求角度 1．▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠C的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，再由∠A：∠B＝1：2可求出∠A的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C， ∵∠A：∠B＝1：2， ∴∠A180°＝60°， ∴∠C＝60°． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键． 2．如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（　　） A．80° B．40° C．70° D．140° 【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝80° ∴∠A＝∠C＝40°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝140°， 故选：D． 【点评】此题考查了平行四边形的性质解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：对角相等，邻角互补． 3．已知平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝30°，则∠C＝　　 ． 【分析】首先根据平行四边形的性质可知：AD∥BC，∠A＝∠C，再根据平行线的性质求出∠A+∠B＝180°，再有∠A﹣∠B＝30°，可计算出∠A的度数，进而得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A﹣∠B＝30°， ∴∠A＝105°， 故答案为：105°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是做题的关键． 4．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，AB＝BE，作DF⊥AE于点F，若∠ADF＝54°，则∠B的度数为　　 °． 【分析】由DF⊥AE于点F，得∠AFD＝90°，而∠ADF＝54°，则∠DAE＝90°﹣∠ADF＝36°，由平行四边形的性质得BC∥AD，则∠BEA＝∠DAE＝36°，因为AB＝BE，所以∠BAE＝∠BEA＝36°，求得∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠BEA＝108°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵DF⊥AE于点F， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝54°， ∵∠DAE＝90°﹣∠ADF＝36°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE＝36°， ∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA＝36°， ∴∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠BEA＝108°， 故答案为：108． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，求得∠BEA＝∠DAE＝36°是解题的关键． 题型三 利用平行四边形的性质求周长 1．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，BC＝7cm，BD＝10cm，AC＝6cm，则△AOD 的周长为（　　） A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm 【分析】利用平行四边形的性质求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝7cm，OA＝OCAC＝3cm，OD＝OBBD＝5cm， ∴△AOD的周长＝AD+AO+OD＝7+3+5＝15（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 2．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，若BE＝4，AB＝6，则▱ABCD的周长是（　　） A．28 B．30 C．32 D．34 【分析】由平行四边形的性质得AB＝DC＝6，AD∥BC，再证∠CDE＝∠CED，则CD＝CE＝6，进而得出BC的长，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6， ∴AB＝DC＝6，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CD＝CE＝6， ∴BC＝BE+EC＝4+6＝10， ∴▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝2×（10+6）＝32． 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证得CD＝CE＝6是解此题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，DE＝4，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则平行四边形ABCD的周长为 　　 ． 【分析】由平行四边形的性质可得ADBC，AD＝BC＝10，由平行线的性质和角平分线的性质可得AB＝AE，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC＝10， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6， ∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝（10+6）×2＝32， 故答案为：32． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，找到AB＝AE并求出AB的长是解决本题的关键． 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是9cm，则平行四边形ABCD的周长是 　　 cm． 【分析】由平行四边形的性质推出OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB，由线段垂直平分线的性质得到DE＝BE，因此△DCE的周长＝DC+BC＝9cm，即可得到平行四边形ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB， ∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴DE＝BE， ∴△DCE的周长＝DC+CE+DE＝CD+CE+BE＝DC+BC＝9cm， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×9＝18（cm）． 故答案为：18． 【点评】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由平行四边形的性质推出OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB，由线段垂直平分线的性质推出DE＝BE． 题型四 利用平行四边形的性质求面积 1．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论． 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．如图，▱ABCD对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别与AC、BD交于点E、F．若▱ABCD的面积为80，则图中阴影部分的面积是（　　） A．40 B．41 C．42 D．43 【分析】根据平行四边形的性质得到OA＝OC，AB∥CD，推出∠DCA＝∠CAB，∠CFE＝∠AEF，证△CFO≌△AEO，得出△CFO的面积等于△AEO的面积，再求解即可． 【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ∴S△AEO＝S△CFO， ∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半， ∵▱ABCD的面积是80， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定． 3．如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是 　　 ． 【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影S四边形ABCD． 【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等），要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系． 4．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，则阴影部分的面积为 　　 cm2． 【分析】作出辅助线EF，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解． 【解答】解：如图，连接EF ∵△ADF与△DEF同底等高， ∴S△ADF＝S△DEF， 即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF， 即S△APD＝S△EPF＝17cm2， 同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27cm2， ∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2． 故答案为：44． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形的面积，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 题型五 证明线段相等 1．已知如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝CE．求证：BF＝DE． 【分析】根据平行四边形的性质得出四边形FBED是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出答案． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AF＝CE， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， ∴FD＝BE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴BF＝DE． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定定理． 2．如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．求证：AE＝DF． 【分析】由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD∥BC，再由角平分线的定义和平行线的性质得到∠DCE＝∠DEC，则DE＝CD，同理可得AF＝AB，由此即可证明结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEC， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴DE＝CD， 同理可得AF＝AB， ∴AF＝DE， ∴AF﹣EF＝DE﹣EF，即AE＝DF． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用AAS证明△ADF与△ACE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠ACE， ∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFD＝90°， 在△ADF与△ACE中， ， ∴△ADF≌△ACE（AAS）， ∴AE＝DF． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答． 4．已知▱ABCD中，点E为BC上一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线交于点F，连BD． （1）如图1，求证：CE＝CF； （2）如图2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数． 【分析】（1）由平行线的性质和等腰三角形的性质可求∠CEF＝∠F，可得CE＝CF； （2）连接CM，BM，由等腰直角三角形的性质可得CM＝EM，CM⊥EF，∠DCM＝135°，证明△BEM≌△DCM（SAS），得BM＝DM，∠EMB＝∠CMD，由等腰直角三角形的性质可求∠BDM＝45°． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠F＝∠BAE， ∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠F， ∴CE＝CF； （2）解：连接CM，BM， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ECF＝90°， ∵M是EF的中点，CE＝CF， ∴CM＝EM，CM⊥EF，∠DCM＝135°， ∵BE＝CD，∠BEM＝∠DCM＝135°，CM＝EM， ∴△BEM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝DM，∠EMB＝∠CMD， ∴∠BMD＝90°， ∴△BMD是等腰直角三角形， ∴∠BDM＝45°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 题型六 求坐标 1．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（　　） A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3）， ∴DC∥AB，DC＝AB＝5， ∴点C的横坐标＝5+2＝7，纵坐标＝点D的纵坐标＝3， 即点C的坐标是（7，3）， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键． 2．若以A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为　 　 【分析】首先画出平面直角坐标系，根据A、B、C三点的坐标找出其位置，然后再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形找出D的位置，进而可得答案． 【解答】解：如图， ∴点D坐标（﹣3，1）或点（1，﹣1）或点（3，1） 故答案为：（﹣3，1）或点（1，﹣1）或点（3，1）． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3．如图，已知▱ABCD中的A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为 　 　 ． 【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝4，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵A（﹣1，2），D（3，2）， ∴AD＝4＝BC， ∵C（2，﹣1）， ∴B（﹣2，﹣1）， 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．如图，▱ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣2，4），则点C的坐标是　 　 ． 【分析】根据题意OB＝OD，OA＝OC，A和C关于点O对称，即可得到点C的坐标． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC（平行四边形的性质）， ∵A点坐标为（﹣2，4），A和C关于点O对称， ∴根据坐标与图形的性质得，点C的坐标是（2，﹣4）． 故答案为：（2，﹣4）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型七 利用平行四边形的性质证明 1．如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF＝AC，求证：四边形AFBD是平行四边形． 【分析】由矩形ABCD的性质，得出AD∥FB，AD＝BC，AB⊥FC，再由等腰三角形的性质得到AD＝FB，进而推出结论． 【解答】∵四边形ABCD矩形， ∴AD∥FB，AD＝BC，AB⊥FC， ∵AF＝AC， ∴FB＝BC， ∴AD＝FB， ∴四边形AFBD是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定和性质是解题的关键． 2．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F是BD上的点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA＝OC，OB＝OD；然后结合已知条件证得OE＝OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键． 3．如图，AC∥DB，且AC＝2DB，E是AC的中点．求证：四边形BDEC是平行四边形． 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【解答】证明：∵E是AC的中点． ∴AC＝2CE， ∵AC＝2DB， ∴2DB＝2CE， ∴CE＝DB， ∵AC∥DB， ∴根据平行四边形的性质，四边形BDEC是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，关键是平行四边形判定定理的应用． 4．如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由全等三角形的判定定理ASA证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论． 【解答】证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF． ∴AE＝CF． ∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD． 在△ABE与△CDF中， ． ∴△ABE≌△CDF（ASA）． ∴AB＝CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 题型一 平行四边形的判定与性质 1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上，且BE＝DF．连结AF，交BC于点H，连结EC． （1）求证：四边形EAFC是平行四边形； （2）若∠F＝∠D＝70°，求∠CHF的度数． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AE∥CF，求得AE＝CF得到四边形EAFC是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到∠B＝∠D，AF∥EC，求得∠DCE＝∠F＝70°，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AE∥CF， ∵BE＝DF， ∴BE﹣AB＝DF﹣CD， 即AE＝CF， ∴四边形EAFC是平行四边形； （2）解：∵四边形EAFC是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AF∥EC， ∴∠DCE＝∠F＝70°， ∵∠D＝∠F＝70°， ∴∠DAH＝∠D＝70°， ∴∠CHF＝40°． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC延长线上一点，BE＝CD，连接AE交CD于点F，连接AC、BF、DE． （1）若∠DAE＝65°，求∠BAD的度数； （2）已知BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB＝65°，求出∠BAE＝∠AEB＝65°，根据∠BAD＝∠BAE+∠DAE得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF（ASA），根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出结论即可． 【解答】（1）解：AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB＝65°， ∵BE＝CD， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠AEB＝65°， ∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝130°； （2）证明：∵AB＝BE，BF⊥AE， ∴AF＝EF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF， ∴四边形ACED是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． 3．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接CE，若CE平分∠DCB，CF＝2，DE＝3，求▱ABCD的周长． 【分析】（1）通过“ED＝FB，ED∥FB”证得四边形BEDF是平行四边形； （2）证∠DEC＝∠DCE，则CD＝DE＝3，再由平行四边形的性质得BF＝DE＝3，AB＝DC＝3，则AE+DE＝2+3＝5．接下来由平行四边形的周长公式作答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB． ∵AE＝CF， ∴AD﹣AE＝CB﹣CF， ∴ED＝FB． ∵ED∥FB， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵AD∥CB， ∴∠DEC＝∠BCE， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE＝∠BCE， ∴∠DCE＝∠DEC， ∴DC＝DE＝3． ∴AB＝DC＝3， ∴AE＝CF＝2， ∴AD＝AE+DE＝2+3＝5． ∴AB+DC+CB+AD＝3+3+5+5＝16， ∴平行四边形ABCD的周长是16． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 4．如图，已知点M、N分别为▱ABCD的边CD、AB的中点，连接AM、CN． （1）判断AM、CN的位置关系，并说明理由； （2）过点B作BH⊥AM于点H，交CN于点E，连接CH，判断线段CB、CH的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ANMC，进而利用平行四边形的判定得出答案； （2）利用三角形中位线定理的推论得出HE＝EB，以及利用平行线的性质得出NC⊥HB，再利用线段垂直平分线的性质得出答案． 【解答】解：（1）AM∥NC， 理由：∵点M、N分别为▱ABCD的边CD、AB的中点， ∴AB＝CD，MC＝AN，AB∥CD， ∴ANMC， ∴四边形ANCM是平行四边形， ∴AM∥NC； （2）BC＝HC， 理由：∵AM∥NC，AN＝BN， ∴BE＝HE， ∵BH⊥AM， ∴EB⊥NE， ∴NC垂直平分HB， ∴HC＝BC． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定以及平行线的性质等知识，得出HE＝BE是解题关键． 题型二 平行四边形中的动点问题 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？ 【分析】分别利用①当BQ＝AP时以及②当CQ＝PD时，列方程得出答案． 【解答】解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t， PD＝9﹣t． ∵AD∥BC， ①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形． 即6﹣2t＝t， 解得t＝2． ②当CQ＝PD时， 四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t， 解得：t＝3． 所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【点评】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】设经过t秒，根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P，D，Q，B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝10cm，AD∥BC， ∵要使以点P，D，Q，B为顶点组成平行四边形， ∴只需DP＝BQ， ∵点Q从点C到点B需要10÷2.5＝4（s），点P从A到D需要10÷1＝10（s）， 分为以下情况： 当0＜t≤4时，即点Q的运动路线在C﹣B时， 由题意，得：10﹣2.5t＝10﹣t， 解得：t＝0，此时不符合题意； ②当4＜t≤8时，点Q的运动路线在C﹣B﹣C时， 由题意，得：2.5t﹣10＝10﹣t， 解得：； ③当8＜t≤10时，点Q的运动路线在C﹣B﹣C﹣B时， 由题意，得：10﹣（2.5t﹣20）＝10﹣t， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用． 3．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）线段PD＝ 　 ；CQ＝ 　 ；QE＝ 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，得PD＝6﹣AP，BE＝CE＝8，则QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，而CQ＝2t，AP＝t，则PD＝6﹣t；若点Q与点E重合，则2t＝8，求得t＝4；若点P与点D重合，则t＝6，所以当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，于是得到问题的答案； （2）由PD∥QE，可知当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，再分两种情况讨论，一是当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t；二是当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，解方程求出相应的t值即可． 【解答】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD＝6﹣AP，BE＝CEBC＝8， ∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动， ∴AP＝t， ∴PD＝6﹣t； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动， ∴CQ＝2t， 若点Q与点E重合，则2t＝8， 解得t＝4； 若点P与点D重合，则t＝6， 当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t， 当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8， 故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8． （2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上， ∴PD∥QE， ∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形， 当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t， 解得t＝2； 当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8， 解得t， 综上所述，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题重点考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿AC方向以4cm/S的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/S的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是tS（0＜t＜15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由 【分析】（1）由题意得：CD＝4t，AE＝2t，∠C＝30°，根据即可求证； （2）分类讨论①∠EDF＝90°，②∠DEF＝90°两种情况，画出图形即可求解． 【解答】（1）证明：由题意得：CD＝4t，AE＝2t，∠DFC＝90°， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°， ∵， ∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形； （2）解：①∠EDF＝90°时，如图所示： 则DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C＝30°， ∴， 由（1）得：AD＝AC﹣CD＝60﹣4t， ∴， 30﹣2t＝2t， 4t＝30， 解得：； ②∠DEF＝90°时，如图所示： 由（1）可得：AD∥EF， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∴∠AED＝30°， ∴ ∴， 60﹣4t＝t， 5t＝60， 解得：t＝12； 综上所述：或t＝12，△DEF为直角三角形． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：30度角所对的直角边是斜边的一半，涉及了平行四边形的判定与性质，熟记相关结论即可． 题型三 与平行四边形相关的探究问题 1．已知：如图，点P为▱ABCD内一点，△PAB、△PCD的面积分别记为S1、S2，▱ABCD的面积记为S，试探究S1+S2与S之间的关系． 【分析】过P点做一条平行AB的直线EF，可得S1的面积是平行四边形ABEF的一半，S2是平行四边形EFDC的一半，继而可得出S1+S2S． 【解答】答：S1+S2S． 证明：过P点作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， 则S1S▱ABEF，S2S▱EFDC， ∵S▱ABEF+S▱EFDC＝S， ∴S1+S2S． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形对边平行的性质． 2．如图1所示， （1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由． （2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由． 【分析】（1）由DE∥AC，DF∥AB，证明四边形AEDF是平行四边形，则DE＝AF，再推导出∠FDC＝∠C，则DF＝CF，所以DE+DF＝AF+CF＝AC＝AB； （2）类比（1）中的方法，证明DE＝AF，∠FDC＝∠FCD，则DF＝CF，所以DE﹣DF＝AF﹣CF＝AC＝AB． 【解答】解：（1）DE+DF＝AB， 理由：如图1，∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠FDC＝∠B， ∴∠FDC＝∠C， ∴DF＝CF， ∴DE+DF＝AF+CF＝AC， ∴DE+DF＝AB． （2）DE﹣DF＝AB， 理由：如图2，∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠FDC＝∠B，∠FCD＝∠ACB， ∴∠FDC＝∠FCD， ∴DF＝CF， ∴DE﹣DF＝AF﹣CF＝AC， ∴DE﹣DF＝AB． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明四边形AEDF是平行四边形及DF＝CF是解题的关键． 3．我们知道：平行四边形的面积＝（底边）×（这条底边上的高）． 如图，四边形ABCD都是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，设它的面积为S． （1）如图①，点M为AD上任意一点，则△BCM的面积S1＝　　 S， △BCD的面积S2与△BCM的面积S1的数量关系是 ． （2）如图②，设AC、BD交于点O，则O为AC、BD的中点，试探究△AOB的面积与△COD的面积之和S3与平行四边形的面积S的数量关系． （3）如图③，点P为平行四边形ABCD内任意一点时，记△PAB的面积为Sˊ，△PCD的面积为S″，平行四边形ABCD的面积为S，猜想得Sˊ、S″的和与S的数量关系式为 ． （4）如图④，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，求△PBD的面积． 【分析】（1）设▱ABCD中BC边上的高为h1，CD边上的高为h2，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据O为AC、BD的中点，故可得出S3＝S△AOB+S△CODS△ABDS△BCD（S△ABD+S△BCD）S； （3）设▱ABCD中CD边上的高为h2，△PAB中AB边上高为h3，△PCD中CD边上的高为h4，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据S△PBD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PCD﹣S△BCD即可得出结论． 【解答】解：（1）设▱ABCD中BC边上的高为h1，CD边上的高为h2， ∵S▱ABCD＝BC•h1＝CD•h2＝S， S△BCMBC•h1S，S△BCDCD•h2S， ∴S1S，S1＝S2（或相等）． 故答案为：；S1＝S2； （2）S3S 理由：∵O为AC、BD的中点， ∴S3＝S△AOB+S△CODS△ABDS△BCD（S△ABD+S△BCD）S； （3）设▱ABCD中CD边上的高为h2，△ABP中AB边上高为h3，△PCD中CD边上的高为h4， ∵AB∥CD， ∴h3+h4＝h2， ∴S△PAB+S△PCDAB•h3CD•h4AB（h3+h4）AB•h2S，即S′+S″S； 故答案为：S′+S″S； （4）∵S△PAB+S△PCDS＝S△BCD，S△PAB＝3，S△PBC＝7， ∴S△PBD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝S△PBC+S△PCD﹣S△BCD，即S△PBD＝7+（S﹣3）S＝7﹣3＝4． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． 4．理论探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上一点． （1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM＝　　 ； （2）如图2，当点M与B与A均不重合时，S△DCM＝　　 ； （3）如图3，当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM＝　　 ； 拓展推广：如图4，平行四边形ABCD的面积为a，E、F分别为DC、BC延长线上两点，连接DF、AF、AE、BE，求出图中阴影部分的面积，并说明理由． 实践应用：如图5是我市某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行于DC、AD，它们相交于点O，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域MQD（连接DM、QD、QM，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积． 【分析】（1）（2）（3）根据等底等高的三角形的面积等于平行四边形的面积的一半进行解答； 拓展推广：先求出两阴影部分的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半，然后相加即可得解； 实践应用：先根据等高平行四边形的面积比等于底边的比求出平行四边形POND的面积，然后根据题目信息求出三块空白部分的面积，再利用平行四边形ABCD的面积减去空白部分的面积即可． 【解答】解：（1）设点M到CD的距离等于h，则平行四边形ABCD的面积＝CD•h＝100， S△DCMCD•h100＝50； （2）与（1）同理可得S△DCM100＝50； （3）与（1）同理可得S△DCM100＝50； 拓展推广： 根据（1）的结论，S△ABES▱ABCDa， S△ADFS▱ABCDa， ∴阴影部分的面积aa＝a； 实践应用： 设平行四边形POND的面积为x， 则， 解得x＝525， 根据前面信息，S△AMD（525+300）＝412.5， S△MBQ400＝200， S△CDQ（525+700）＝612.5， ∴三角形区域的面积＝300+400+700+525﹣412.5﹣200﹣612.5＝1925﹣1225＝700m2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，读懂题意，根据题目信息找出平行四边形的面积与三角形的面积的关系是解题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC＝AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝13，BC＝10，GF＝5，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．36 C．30 D．24 【分析】连接EO，EG，OF，依据EO是△ABC的中位线，即可得出EO∥BC，EOBC＝5，进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论． 【解答】解：如图所示，连接EO，EG，OF， ∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O， ∴O是AC的中点， 又∵E是AB边的中点， ∴EO是△ABC的中位线， ∴EO∥BC，EOBC＝5， 又∵GF＝5， ∴EO＝GF， ∴四边形EOFG是平行四边形， ∴S△EOP+S△FGPS四边形EOFG＝S△EOG， 又∵EO∥BG， ∴S△EOG＝S△EOB， ∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB， ∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO， ∵AC＝AB＝13，BC＝10， ∴等腰△ABC中BC边上的高为12， ∴S△ABC60， ∵O是AC的中点， ∴S△ABOS△ABC60＝30， ∴阴影部分的面积为30， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分． 2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由ABBC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB•AC；根据ABBC，OBBD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OEBC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO∠AEC＝60°． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， ∵∠ABE＝∠ADC＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝AE， ∵ABBC， ∴BEBC， ∴BE＝CE＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°， ∴∠ECA＝30°， ∴∠CAD＝∠ECA＝30°， 故①正确； ∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°， ∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°， ∴AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB•AC， 故②正确； AB⊥OA， ∴OB＞AB， ∴OB≠AB， 故③错误； ∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC， ∴∠EAC＝∠ACE＝30°， ∴AE＝CE， ∴BE＝CE， ∵OA＝OC， ∴OEABBC， 故④正确； ∵△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， ∴∠AEC＝120°， ∵CE＝AE，OA＝OC， ∴∠AEO＝∠CEO∠AEC＝60°， 故⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． 3．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 　 　 ． 【分析】先根据A，B两点求出AB的函数解析式，根据CD＝2可得出P点横坐标是2或﹣2，进而求得点P的坐标． 【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意得， ， ∴， ∴y＝﹣2x+6， ∵C（﹣1，4），D（﹣3，4）， ∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2， ∵PQ∥CD，PQ＝CD＝2， ∴点P的横坐标为：2或﹣2， 当xP＝2时，y＝﹣2×2+6＝2， ∴P（2，2）， 当xP＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+6＝10， ∴P（﹣2，10）， 故答案为：（2，2）或（﹣2，10）． 【点评】本题考查了平行四边形性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 4．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交CD于点G，若AD∥BC，AE＝CF． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长． 【分析】（1）证明△DAE≌△BCF，可得AD＝CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明BG＝BC，然后根据勾股定理可得CG，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（ASA）， ∴AD＝CB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠DAH＝∠BCG， AB∥CD， ∴∠CGB＝∠GBA， ∵∠DAH＝∠GBA， ∴∠CGB＝∠BCG， ∴BG＝BC， 在Rt△CFB中， ∵BF＝BG﹣FG＝BC﹣2，CF＝4， ∴BC2＝BF2+CF2， ∴BC2＝（BC﹣2）2+42， ∴BC＝5． ∴AD＝BC＝5． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAE≌△BCF． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $