第2章 实数的初步认识全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）新八年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 新教材苏科版七年级下实数单元提高卷，24题覆盖选择（10题）、填空（6题）、解答（8题），通过华罗庚立方根方法、新定义“青一区间”等创新题，考查抽象能力、推理意识与创新意识，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|算术平方根、实数关系（如第2题集合关系图）|结合期中/模拟题，考查概念辨析| |填空题|6/30|平方根立方根计算（如第11题已知x+y求平方根）|注重基础与易错点结合| |解答题|8/80|新定义（20题“对称数”）、实际应用（22题街心花园改造）、剪拼问题（24题正方形拼接）|通过阅读材料（21题）、跨学科情境（22题），培养几何直观与应用意识，贴合核心素养要求|

第2章 实数的初步认识全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26七年级下·四川泸州·期中）下列说法中，错误的是（　　） A．的算术平方根是 B．和的立方根都与本身相同 C．的平方根为 D．的平方根是 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐一判断各选项即可得到错误结论． 【详解】解：A、的算术平方根是，A正确，不符合题意； B、和的立方根都与本身相同，B正确，不符合题意； C、，4的平方根为，即的平方根为，原说法错误，C符合题意； D、的平方根是，D正确，不符合题意． 2．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较．熟练掌握无理数大小的估算，实数的大小比较法则，是解题的关键． 根据无理数的估算方法以及被开方数的大小逐项进行分析即可得． 【详解】A．∵， ∴，A正确，故该选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴，即，B不正确，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∴，C正确，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 即，D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 7．（2026·福建厦门·三模）在如图所示的数轴上，将表示的点向左平移个单位长度，平移后的点可能是（     ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，再根据数轴上点的平移规律（左减右加）求出平移后的数值范围，最后结合数轴上各点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的点向左平移个单位长度， ∴平移后的点表示的数为，即 观察数轴可知，点 M 在 1 与 2 之间，即平移后的点可能是点 M． 8．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 9．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，设，若，则的值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．55 【答案】B 【分析】根据的定义，推导 时的取值范围，计算相同对应的项数和部分和，逐步累加得到总和为时的． 【详解】根据定义，若 ，则 ，即 ，满足条件的共有 个，每个项的值为，这部分的和为 ． 逐步累加计算： 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为，对应最大； 当，和为，累计和为 ，对应最大； ，还差 ，下一项时， ，累加后总和为 ，符合要求， ． 故选：B. 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 12．已知，则的立方的平方根是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查立方根、平方根、非负数的性质，根据当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0，求得，，再求的立方的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴的立方， ∴的立方的平方根是． 故答案为：． 13．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）在实数：中，负无理数有___________个． 【答案】2 【分析】先化简题目中各实数，再根据负无理数的定义（即小于的无理数）逐个判断，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是开方开不尽的数，属于无理数，且，因此是负无理数； 是正整数，属于正有理数，不符合要求； ，是分数，属于负有理数，不符合要求； ，是开方开不尽的数，属于无理数，且，因此是负无理数； ，是正整数，属于正有理数，不符合要求． 综上，负无理数共有个． 14．已知，其中是整数，，则的相反数为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，实数的性质，先根据无理数的估算方法得到，则可得到，据此求出的值，再根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，， ∴， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 15．（2026·重庆北碚·二模）若实数，同时满足，，则的值是___________． 【答案】 【分析】先求出，从而可得，再结合得出或，由①②可得，解得，此时，由①③可得，此方程组无解；从而即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 由①②可得，解得，此时， 由①③可得，此方程组无解； 综上所述，的值是． 16．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26七年级下·辽宁大连·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根、算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算； （2）根据去括号法则、算术平方根的定义及实数的性质将原式化简，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和；的立方根为． (1)求a，b的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义求解即可； （2）先计算出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得， 的立方根为， ， ； （2）解：，， ， 的算术平方根为3． 19．（8分）（25-26七年级下·重庆·期中）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 20．（10分）（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 【答案】(1) (2)是关于7的对称数 【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可． （2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可． 【详解】（1）解：∵数与是关于的对称数， ∴， ． ∴． （2）解：是关于7的对称数，理由如下： ， ∵；， ∴， ∴与是关于7的对称数． 21．（10分）（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 22．（12分）（25-26七年级下·陕西安康·期中）随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所．为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为的长方形街心花园进行改造，计划开辟一个面积为的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地．已知该街心花园的长与宽之比为． (1)求该街心花园的周长是多少？ (2)请通过计算说明该改造方案是否可行．（取3） 【答案】(1) (2)该改造方案不可行，理由见解析 【分析】（1）设该街心花园的长为，宽为，根据题意列出方程，利用算术平方根求解即可； （2）设栽种银杏树的圆形区域的半径为，根据题意得，确定，再由实数的比较方法即可判断． 【详解】（1）解：设该街心花园的长为，宽为． 根据边长与面积的关系，得， ， ． 由边长的实际意义，得． ，． 该街心花园的周长为； （2）解：设栽种银杏树的圆形区域的半径为． 根据半径与面积的关系，得， ． 由半径的实际意义，得． 栽种银杏树的圆形区域的直径为．      ， ． ． 该改造方案不可行． 23．（12分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，求出，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解： ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， 即， 的“青一区间”为， ， 即， ， 综上所述，， 为正整数， ∴； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 得， 即 ， ∴ 的算术平方根为， ∵ ∴， 的算术平方根的“青一区间”是． 24．（12分）（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）（1）如图1，小明同学用两个大小相同的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．大正方形的面积是，则大正方形纸片的边长是______，小正方形纸片的边长是______； （2）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长与宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； （3）如图2，现有一张由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，请你尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，不重叠，且无空隙．如果可以，请在图2左边的纸片上用虚线画出分割方法，并在右边的网格（网格中的小正方形边长都为1）中用实线画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点（即虚线的交点）上，然后求出所得大正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1），；（2）不能，理由见解析；（3）可以，图形见解析，正方形的边长为 【分析】本题考查了平方根的实际应用，无理数的估算； （1）利用正方形的面积等于边长的平方求解即可； （2）设长方形长为，宽为，利用长方形的面积为求出，再与大正方形边长比较大小即可； （3）由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，分割这张纸片拼接成一个大正方形，则正方形的边长为，据此拼接即可． 【详解】解：（1）∵大正方形的面积是， ∴大正方形纸片的边长是 ，小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， 故答案为：，； （2）设长方形长为，宽为， 由题意可得， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴长方形长为，宽为， ∵， ∴， ∴长方形的长比大正方形的边长大， ∴不能裁剪出满足条件的长方形； （3）裁剪和拼接如下图： ∵由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，分割这张纸片拼接成一个大正方形， ∴大正方形面积为5， ∴所得大正方形的边长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26七年级下·四川泸州·期中）下列说法中，错误的是（　　） A．的算术平方根是 B．和的立方根都与本身相同 C．的平方根为 D．的平方根是 2．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 4．（2025·宁夏·模拟预测）比较下列各组数的大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2026·福建厦门·三模）在如图所示的数轴上，将表示的点向左平移个单位长度，平移后的点可能是（     ）． A．点 B．点 C．点 D．点 8．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）定义表示不超过的最大整数，如，，设，若，则的值为（    ） A．48 B．49 C．50 D．55 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．若，求的平方根是___________． 12．已知，则的立方的平方根是 ___________． 13．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）在实数：中，负无理数有___________个． 14．已知，其中是整数，，则的相反数为_________． 15．（2026·重庆北碚·二模）若实数，同时满足，，则的值是___________． 16．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若与互为相反数，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26七年级下·辽宁大连·期中）计算： (1) (2) 18．（8分）（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和；的立方根为． (1)求a，b的值． (2)求的算术平方根． 19．（8分）（25-26七年级下·重庆·期中）实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 20．（10分）（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 21．（10分）（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 22．（12分）（25-26七年级下·陕西安康·期中）随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游玩休憩场所．为了提升居住环境水平，某区准备对一个面积为的长方形街心花园进行改造，计划开辟一个面积为的圆形区域栽种银杏树，其余部分为活动场地．已知该街心花园的长与宽之比为． (1)求该街心花园的周长是多少？ (2)请通过计算说明该改造方案是否可行．（取3） 23．（12分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 24．（12分）（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）（1）如图1，小明同学用两个大小相同的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．大正方形的面积是，则大正方形纸片的边长是______，小正方形纸片的边长是______； （2）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长与宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由； （3）如图2，现有一张由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，请你尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，不重叠，且无空隙．如果可以，请在图2左边的纸片上用虚线画出分割方法，并在右边的网格（网格中的小正方形边长都为1）中用实线画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点（即虚线的交点）上，然后求出所得大正方形的边长；如果不可以，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $