10.3 几个三角恒等式（4知识点+9题型+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 10.3几个三角恒等式 风内容导航一预习三步曲 第一步：导 串知识识框架；思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测稳是升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 串知识·识框架 sinacosβ=l/2[sin(a-β)+sin(a+β)] cosasinB=l/2[sin(a+β)-sin(a-β)] 积化和差公式 cosacosβ=1/2[cos(a-β)+cos(a+β] sinasinB=l/2[cos(a-β)-cos(a+β)] sina+sinB=2sin(a+β)/2cos(a-β)/2 sina-sinβ=2cos(a+p)/2sin(a-β)/2 几个三角恒等式 和差化积公式 cosa+cosβ=2cos(a+)/2cos(a-β)/2 cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2sin(a-β)/2 半角公式、万能公式 辅助角公式 02 析教材·学知识 ☑知识点1： 积化和差公式 sina.cosB=-[sin(a-B)+sin(a+B)] cosa-sinB-[sinl@+B-sin(a-B cosac=coB sin@sinB-cos@-B)-cos+ 1/10 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 注意： 将三角函数的乘积化成和差，便于计算。在计算的时候要小心不要漏掉系数2 另外要注意符号。把积化 成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算。 即学即练 ☑知识点2： 和差化积公式 sina+sinB=2sinco;sina-sinB=2cossin 2 2 2 2 cosa+cos B=2cos+BcosB:cosa-cosB=-2sinsin 2 2 注意： 应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致。一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化 简。 即学即综 (2025高三·全国·专题练习)cos72°-cos36的值为() A.3-25 B.z c D.3+25 巴知识点3：半角公式、万能公式 1、半角公式 ①sina=2sin2cos2 @casa=cs9-sm8=2cos号-1=1-2sin号 2 2 2 tan- ③tana=- 1-tana ④tang=,sina=1-cosa 21+C0S0 sing 2、万能公式：利用I=an号表示sina,Gosa,onc的有理形式。 t=tan sina=2t cosa=1-t2 2t 1+t2 1+t2, tanq= 1-t 注意： 2/10 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方。利用半角公式求值的时候注意角的象限。 万能公式：主要用于将三角问题完全代数化，可以用在求最值与范围的问题中。 即学即练 2026高三全回专圈练习)已知cm0-有且20<030，则m月-（） A.- 5 B.V3 3 c.- √6 √6 3 D. 3 ☑知识点4： 辅助角公式 1、asina+bcosa=a2+b2sin(ia+φ)i(其中sinφ= Vd+b c0s0= a+b”tan2之 2、 辅助角公式在求最值的问题时常会用到，如遇到y=sx+也 型，通过变形可得 ccosx+d yccosx--asinx-=b-yd,利用辅助角公式可得sinx+0= b-yd VycP+a2 ,然后根据三角函 数取值范围讨论y的范围。 注意： 通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。 即学即练 (24-25高二下·安微宣城期末)已知V3 sina+cosa=2,则tana=() A.3 B.5 C. D 3 3 -5 03 练题型·强知识 3/10 命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 题型五给角求值 题型一积化和差公式的应用 题型六给值求值 题型二和差化积公式的应用 几个三角恒等式 题型七给值求角 题型三半角公式与万能公式 题型八三角恒等变换的求值与求证 题型四辅助角公式的应用 题型九三角恒等变换的应用 题型一积化和差公式的应用 例1.(25-26高一上，全国·课前预习)下列计算正确的是() A.c0s45°cos150=1+V5 4 B.sin45°sin150=1-V3 4 C.sin45°cos150=1+V5 D.cos45°sin15=V3-l 【变式11】（2526商三上湖北黄冈期中)函数=c0o: 3在0，上的单调递减区间为_一 【变式1.2】(2025高三全国专题练习)已知c0s日=} 【变式1.3】2025高三·全国.专题练习)函数y=sinxcos 3t,x∈0， 的值域是一。 题型二和差化积公式的应用 例2.(24-25高一下·河南南阳·期末)已知锐角x满足sin3x-sinx>0,则x的取值范围为() A.0, π元 D.43 ππ 6 4 C.63 【变式2.1】（24-25高一下-四川成都期末)在A1BC中，若4-B=等 F3,且sinA+sinB=1,则cosc= () 1 A.3 B c 7 D.9 【变式2.2】(2025湖南邵阳·模拟预测)函数fx=cos3x-cos2x在区间-兀，2π的零点个数为() A.6 B.7 C.8 D.9 【变式2.3】(24-25高二上·上海·月考)已知sin(a+B)sina-B)=2m(m≠0)，则cos2a-cos2B= 4/10 命学科网 www.zxxk .com 让教与学更高效 题型三半角公式与万能公式 1+sina 例3.(25-26高一上山东济南·月考)化简 1-sina 的结果是() 1+sina V1-sina 2 2sina 2sina A. B C 2cosa cosa D cosa sina cosa 1 【变式3.1】(2025高三·全国专题练习)若a是第一象限角，且cosa=3,则cos2的值是() 3 A. B. 3 3 C. 3 D.±6 【变式3.2】 (24-25高-下-江苏南通月考)若sina=a cosa=b,则tan 的值为() A.1+b B. 1-b C. 1-b 1-b a a V1+6 D.1+b 1 【交式3】2425高-下江苏盐城期中)设a专0s75 sin7°，b= 2tan12° 1-cos50° 2 +tan212’c=y 2 则 有() A.c<b<a B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 题型四辅助角公式的应用 例4.(24-25高一下云南保山期末)当x=0时，函数fx)=5sinx-12cosx取得最小值，则cos0=() 12 B.一13 c. D.- 【变式4.1】(24-25高一下-江苏南京期中)已知cosa+5sma=号，则cs2u+爱的值是（) 17 B. 25 C. 21 D.25 【变式4.2】 （2425高-下云昆明期末)若f=sin2x+cs2x的图象关于x=a对称，则fa+} () A.-1 B.0 C.1 D.√ 【变式4.3】(24-25高一下，甘肃白银期末)函数y=V3sin3x-cos3x的图象的相邻两条对称轴之间的距离 为() A子 B. C. D.元 题型五给角求值 5/10 命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2π 例5.(2425高一下-江苏苏州月考)求值：an亏sn sin- 5 √3tanl0°-1 【变式5.1】(2025湖南永州·模拟预测) 的值为() sinl0° A.2 B.4 C.-2 D.-4 【变式5.2】（多选）(24-25高一下江苏镇江·月考)下列等式正确的是() A.(1+tanl8)(1+tan27）=2 B.√1+cos4=√2cos2 1 3 C.4sin18°cos36°=l D. =1 sin10°cos10° 【安式53】(25上全国专习水生：后mo行 题型六给值求值 例6(2526商三上山东济南期中)已知sn任小5则网2x+引 【变】(256高=上广东期肿)已知ma-君}则m个a引 【废式62】(256有-上伞@课后作业)已知m[日+um任6ae经 则sin2a=一 【变式6.3】 (24-25高-下-江苏盐城期中)若cosa+cosB=2cos(a-B)=-4,其中a,B∈(0，元，则 sina+sinB=() A.5 2 B √6 C.5 D. 2 4 题型七给值求角 例7.(24-25高一下四川内江·期中)己知au,B∈(0，π)，且tanu、tanB是方程x2-3x-2=0的两根，则 a+B的值为() A B. 3π C. 7π D.4 1 【变式7.1】（24-25高-下-江苏扬州期中)已知0<a<号，号<B<2,tana= 芳，则 ,sinB=_2 a+B的值为 【安式721(2425高-下满就减汉月考)已知a0引若n经+2加+e-吾引-0，则一 【变式7.3】(24-25高一上广东深圳期末)已知 6/10 命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 a∈(0，π，B∈(0，l,sin(a+B)=2 cos(a-B,tana+tanB=3,则&+B=（） 4 A π B.4 题型八三角恒等变换的求值与求证 例8.(24-25高一下辽宁期中)已知sinasinB≠0，且sin(a-P)=2 sinasinB,证明： 1 (1)tanB tanc =2: 2+fj=icos年+a-B 【变式8.1】(25-26高一上·全国课前预习)证明下列等式成立. (1)sina cosa cos2a-sin2a)=sin4a: 4 cos(a-B)-cos(@+B)=1: (2) 2sina sin B +2sina cosa =v2sin a+ (3) sina +cosa 【变式8.2】(2025高三·全国.专题练习)在△ABC中，求证：sin2A+sinB+sin2C-2 cos Acos Bcos C=2, 【变式8.3】(2024高一下·上海专题练习)(1)证明：(cosa-cosB}+sina-sinB}=4sin2aE, 29 (2)化简： cosa+ osa) 题型九三角恒等变换的应用 例9.(2024高一下·江苏·专题练习)如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为 90的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST 上，相邻两边CQ,CR正好落在正方形的边BC,CD上，求矩形停车场POCR面积的最大值和最小值. D R C S Q TB 7/10 命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2元 【变式9.1】(24-25高一下甘肃白银期末)如图，已知扇形oP0的半径为2，面积为3，C是扇形弧上 的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形（点A、B在半径OP上，点D在半径OQ上）· 0 D BP (1)求弧PQ的长. (2)记∠POC=a,当a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积： 【变式9.2】（24-25高一上云南昆明：期未)如图，在扇形0P0中，半径Op-1,圆心角∠P00-号 3C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=x,矩形ABCD的面积为f(x). D A (1)求fx: (2)求f(x的最大值及此时x的值： 3)诺f(≥6-5 6，求的取值范围 【变式9.3】(24-25高一上·河北邯郸期末)如图，在平面直角坐标系中，锐角8的始边与x轴的非负半轴 重合，终边与单位圆O交于点P,过P作圆O的切线交x轴的正半轴于M(m,0),交y轴的正半轴于 W(0,n. N(0,n) M(,0) x 8/10 命学科网 www.zxxk .com 让教与学更高效 (I)用8表示△QW的面积，并求其最小值： (2)当8变化时，△QWN的周长是否有最小值？若有，求出最小值：若没有，说明理由. 过关测·稳提升 1.(24-25高三下·安徽安庆·月考)c0 2+c0s4+c0s6 7 的值为() B. 3 4 C._v3 4 D.3 5 2.(2025高三·全国：专题练习)若cos'a-csB=5,则sin(a-B)sin(a+例=一 3.(2025江西南昌·二模)已知a、B终边不重合，sina-3cosβ=sinB-3cosa,则tan(a+B)=() A.2 B.3 c 3 D.4 4.(24-25高一下辽宁大连期中)计算下列各式值，其结果为1的有() 2sin80°-sin20 A.sin50°1+√3tanl0° B. c0s20° C.(1+tan18)(1+tan27o） D.4sin18°cos36° π1 5. (2025·四川泸州·一模)若tan 242，则sin2a=（） 12 24 12 A.- 25 B.- 25 C.25 D,对 6.(25-26高三上四川广安月考)已知a'B满是sin(2a+)= =12,cos(a+B)sina= 4，则sinB值为 () 1 1 A.2 B.12 C. D. () B.月 3π C.4 D.元 8。（24-25高-下-上海徐汇开学考试)在AMBC中，若sn8simC=cos 2,则△4BC一定是（) A.等腰三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 9/10 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 tana-B)+tanβ 9.(24-25高一下江西萍乡期末)(1)求证：1-ana-B)anB sin2a 1+cos2a 2)已知n1a+趴片，g-5,求n(a-月的省. 1 10,如图，在扇形0P0中，半径0P=小圆心角∠PO0=a,且cosa= ,(0<a 2),C是扇形弧上 的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=O，,当矩形ABCD的面积S取得最大值时，sin0的值为 () Q A B P A. B. 25 D. 310 5 10/10 10.3 几个三角恒等式 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1： 积化和差公式 注意： 将三角函数的乘积化成和差，便于计算。在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号。把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算。 （2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据积化和差公式求解即可. 【详解】因为 ，所以， 故答案为：. 知识点2： 和差化积公式 注意： 应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致。一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简。 （2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和差化积公式可得，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】原式 . 故选：C. 知识点3 ： 半角公式、万能公式 1、半角公式 ①； ②； ③ ； ④ 2、万能公式：利用表示的有理形式。 ； 注意： 半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方。利用半角公式求值的时候注意角的象限。 万能公式：主要用于将三角问题完全代数化,可以用在求最值与范围的问题中。 （2026高三·全国·专题练习）已知，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解. 【详解】因为，则，, 由半角公式可得. 故选：B 知识点4： 辅助角公式 1、 （其中）． 2、 辅助角公式在求最值的问题时常会用到，如遇到型，通过变形可得,利用辅助角公式可得,然后根据三角函数取值范围讨论y的范围。 注意： 通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。 （24-25高二下·安徽宣城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式结合正弦函数性质得到，再结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得， 由诱导公式得，故B正确. 故选：B 积化和差公式的应用 例1. （25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 【变式1-1】 （25-26高三上·湖北黄冈·期中）函数在上的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用积化和差公式并结合整体代入法求解单调递减区间即可. 【详解】由积化和差公式得 ， 令，解得， 当时，，则在上的单调递减区间为. 故答案为： 【变式1-2】 （2025高三·全国·专题练习）已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】由三角恒等变换化简表达式得，代入即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 【变式1-3】 2025高三·全国·专题练习）函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】先利用积化和差公式化简函数解析式，再利用正弦函数的性质求值域. 【详解】因为 ． 又，所以，所以， 所以. 故答案为： 和差化积公式的应用 例2. （24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B 【变式2-1】 （24-25高一下·四川成都·期末）在中，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案. 【详解】由和差化积公式： ，又注意到， 则. 故选：A 【变式2-2】 （2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 【变式2-3】 （24-25高二上·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】先由积化和差公式对已知式化简，再利用三角降幂公式化简代入计算即得. 【详解】由， 可得 ， 则. 故答案为：. 半角公式与万能公式 例3. （25-26高一上·山东济南·月考）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设结合同角三角函数平方和公式和倍角公式即可转化化简. 【详解】由题 . 故选：D 【变式3-1】 （2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【详解】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 【变式3-2】 （24-25高一下·江苏南通·月考）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倍角公式化简得出即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 【变式3-3】 （24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 辅助角公式的应用 例4. （24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角恒等变换，化简得到，由得到和的关系，从而得解 【详解】 其中，，， 依题意得，，， ，，，， ， 故选：C． 【变式4-1】 （24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以． 故选：C 【变式4-2】 （24-25高一下·云南昆明·期末）若的图象关于对称，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式化简得，根据对称轴求出的值，将代入解出的值. 【详解】根据辅助角公式得：， 因为的图象关于对称， 所以，解得即， 则. 故选：B 【变式4-3】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简；再利用正弦型函数的性质可求解. 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：B. 给角求值 例5. （24-25高一下·江苏苏州·月考）求值： ． 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：1 【变式5-1】 （2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 【变式5-2】 （多选）（24-25高一下·江苏镇江·月考）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】拆角后由两角差的正切公式可判断A；由二倍角的余弦公式结合余弦值可得B错误；由二倍角的正弦公式和诱导公式可得C正确；由二倍角的正弦和辅助角公式可得D错误. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC 【变式5-3】 （2025高三上·全国·专题练习）求值： ． 【答案】 【分析】方法一：根据正弦的二倍角公式可得原式，结合诱导公式求解； 方法二：令原式乘以，再结合正弦二倍角公式求解即可． 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 给值求值 例6. （25-26高三上·山东济南·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以 由 ， 故答案为： 【变式6-1】 （25-26高二上·广东·期中）已知，则 . 【答案】/0.28 【分析】由，利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】. 答案为：##0.28 【变式6-2】 （25-26高一上·全国·课后作业）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式，结合范围，由已知条件求. 【详解】由正弦平方差公式得， 所以，所以. 因为，所以. 故答案为： 【变式6-3】 （24-25高一下·江苏盐城·期中）若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 给值求角 例7. （24-25高一下·四川内江·期中）已知，，且、是方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理，结合两角和的正切公式，即可求解，结合角的范围，即可求解. 【详解】由条件可知，，，且， 所以不妨设，则，，则 ，所以. 故选：C 【变式7-1】 （24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 【变式7-2】 （24-25高一下·湖北武汉·月考）已知，若，则 【答案】 【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得，即可求角的大小. 【详解】由， 所以，又， 所以，而， 所以. 故答案为： 【变式7-3】 （24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 三角恒等变换的求值与求证 例8. （24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式8-1】 （25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式8-2】 （2025高三·全国·专题练习）在中，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【详解】左边 . ∴原等式成立. 【变式8-3】 （2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 三角恒等变换的应用 例9. （2024高一下·江苏·专题练习）如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 【答案】最小值为；最大值为. 【分析】连接AP，设，通过三角函数将PQCR面积表示出来，再根据θ取值范围找出面积最值. 【详解】如图，连接AP，设，延长RP交AB于M， 则，. 所以，. 所以 ， 令，则. 所以. 故当时，有最小值； 当时，有最大值. 【变式9-1】 （24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知扇形的半径为，面积为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形（点、在半径上，点在半径上）. (1)求弧的长. (2)记，当取何值时，矩形的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1) (2)，最大面积为. 【分析】（1）根据扇形的面积公式可求出的值，再利用扇形的弧长公式可求得弧的长； （2）将、用的表达式加以表示，并结合三角恒等变换化简得出矩形面积的表达式，再利用正弦型函数的基本性质可求得矩形面积的最大值. 【详解】（1）由已知得，解得，则弧的长为. （2）在中，，，在中，， 所以，. 设矩形的面积为， 则 . 由，得， 所以当，即时，. 故当时，矩形的面积最大，最大面积为. 【变式9-2】 （24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并写出该函数的定义域； （2）由可求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （3）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 【变式9-3】 （24-25高一上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P，过P作圆O的切线交x轴的正半轴于，交y轴的正半轴于 (1)用表示的面积，并求其最小值； (2)当变化时，的周长是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由. 【答案】(1)，，1 (2)有， 【分析】（1）由题意可得：，，则直线MN的方程为，然后求解即可； （2）由题意可得：的周长为，然后结合三角函数最值的求法求解． 【详解】（1）由题意可得：，， 则直线MN的方程为， 则，，则，， 又，则时， 的面积取最小值1； （2）由题意可得：的周长为， 令， 则，则的周长为， 即当变化时，的周长有最小值，且最小值为 1．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【详解】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】根据积化和差公式及二倍角公式即可得解. 【详解】已知积化和差公式 则 ． 故答案为：. 3．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 4．（24-25高一下·辽宁大连·期中）计算下列各式值，其结果为1的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式一一判断即可. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：因为， 所以， 所以 ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：AD 5．（2025·四川泸州·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，联立，解出的值，再利用诱导公式以及倍角公式即得. 【详解】令 ，则 ， 由 ，可得 ，进而 ， 因此，， 利用诱导公式，， 联立 ，解得： 或. 当时， ， ， 则， 代入得； 当时， ， ， . 故选：B 6．（25-26高三上·四川广安·月考）已知，满足 ，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，结合两角和的正弦公式求出，再根据，展开后即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 而，故， 故， 故选：B 7．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 8．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 9．（24-25高一下·江西萍乡·期末）（1）求证：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用两角和的正切公式以及二倍角的正弦、余弦公式可证得结论成立； （2）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）等式左边， 等式右边，即左边右边，故等式成立． （2）由，可得：， 解得，， 即． 10．如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $