第14讲 几何初步，相交线与平行线（复习讲义，3考点14题型3重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“几何初步、相交线与平行线”核心考点，覆盖线与角的概念计算、相交线性质、平行线判定与性质等中考高频内容，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析及题型预测，形成“梳理-解析-训练”系统复习链，助力学生突破重点难点。 亮点在于分层设计与核心素养融合，如“线与角的旋转探索”培养几何直观，“平行线判定与性质综合”强化推理意识，配套基础到新趋势的分层练习。通过真题典例与变式训练，帮助学生高效掌握解题方法，教师可依托资料精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第四章 三角形 第14讲 几何初步，相交线与平行线 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 几何基础 题型01几何体的展开图 题型02点、线、面、体 题型03截一个几何体 题型04平面图形的认识 题型05直线、射线、线段 题型06角的概念及计算 命题点二 相交线 题型01相交线及其所成的角 题型02三线八角 命题点三 平行线 题型01平行线及画平行线 题型02平行公理及推论 题型03 平行线的判定 题型04平行线的性质定理 题型05平行线性质的应用 题型06平行线的判定与性质 05·重难突破·思维进阶难 34 突破一 线与角的旋转与探索 突破二 平行线及其判定 突破三 平行线性质综合 06·优题精选·练能提分 39 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直线、射线、线段的概念与计算 / / / 1. 理解直线、射线、线段的区别与联系；2. 掌握线段的和、差、中点的概念及计算；3. 理解“两点确定一条直线” “两点之间线段最短”的基本事实。 角的概念、度量与计算 北京卷T 7（余角计算） 北京卷T2（角的单位换算与大小比较） 北京卷T3,T6（角的计算） 1. 理解角的定义及表示方法，掌握角的度量单位换算；2. 理解余角、补角的概念及性质，能进行相关计算；3. 会借助三角尺、量角器进行角的作图与度量。 相交线（对顶角、邻补角） / / / 1. 识别对顶角、邻补角，掌握对顶角相等的性质；2. 能利用相交线的性质进行角度计算；3. 理解垂直是相交的特殊情况，掌握垂线的性质。 平行线的判定与性质 北京卷T14（平行线的性质） 北京卷T24（平行线的性质） 北京卷T14（平行线的性质应用） 1. 掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）；2. 掌握平行线的性质定理（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）；3. 能综合运用判定与性质进行角度计算和证明。 命题预测 1. 线段中点、余角补角的基础计算，侧重对基本概念的理解； 2. 平行线的判定与性质的综合应用，可能结合图形折叠、平移变换设置情境； 3. 命题的真假判断，大概率会结合后续几何章节的定理（如三角形内角和定理）进行考查。 考点一 几何初步 1. 点、线、面、角的基本概念 点：无大小，是几何图形的基本元素。 线：分为直线、射线、线段，三者区别如下： 图形 端点个数 延伸性 能否度量 直线 0个 向两端无限延伸 不能 射线 1个 向一端无限延伸 不能 线段 2个 不能延伸 能 面：分为平面和曲面，平面图形（如三角形）和立体图形（如正方体）的基础构成元素。 角：由两条有公共端点的射线组成的图形，公共端点为顶点，两条射线为边。 2. 核心性质与定理 直线性质：两点确定一条直线（中考常考应用，如植树时定直线）。 线段性质：两点之间，线段最短；连接两点的线段长度叫做两点间的距离。 线段中点：若点是线段的中点，则（角度计算、线段计算的基础）。 3. 角的分类与计算 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 - 直角 符号为“” 钝角 - 平角 两边成一条直线 周角 两边重合 角的度量单位：度（）、分（）、秒（），换算关系：，。 角平分线：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线；若平分，则。 易错点提示 混淆“两点间的距离”与“点到直线的距离”； 角的度分秒换算时，忽略60进制，误按10进制计算。 1．（2025·北京朝阳）下面立体图形中，是圆柱的为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 考点二 相交线 1. 对顶角与邻补角 对顶角：两条直线相交时，有公共顶点且两边互为反向延长线的角；性质：对顶角相等（中考高频考点，角度计算必用）。 邻补角：两条直线相交时，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的角；性质：邻补角互补（和为）。 2. 垂线的定义与性质 定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点为垂足。 核心性质： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂线段最短：直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 易错点提示 误认为“垂直于同一直线的两条直线互相平行”（需强调在同一平面内）； 混淆“垂线段”与“点到直线的距离”（距离是长度，垂线段是图形）。 1.（2025·北京海淀·一模）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 2．（2025·北京海淀）如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点三 平行线 1. 平行线的定义与平行公理 定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即，）。 2. 平行线的判定定理（由角定线） 这是中考核心考点，常结合角度计算考查，需熟练掌握： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 3. 平行线的性质定理（由线定角） 与判定定理互为逆用，综合题中高频出现： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 4. 三线八角 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，其中： 同位角：在截线同旁，被截两直线同侧（形如“”）； 内错角：在截线两侧，被截两直线之间（形如“”）； 同旁内角：在截线同旁，被截两直线之间（形如“”）。 易错点提示 忽略“三线八角”的前提是“两条直线被第三条直线所截”，单独两条直线无同位角等概念； 混淆平行线的“判定”与“性质”（判定：角线；性质：线角）； 应用平行公理推论时，忽略“直线外一点”的条件。 1.（2025·北京朝阳·一模）如图，，，相交于点，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京石景山·二模）如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京门头沟·二模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程： 已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点为圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线． 上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 命题点一 几何初步 ►题型01 几何体的展开图 1.正方体展开图误判：将“田”“凹”“七”字形及超过4个正方形一排的部分图形，误判为正方体展开图；混淆相对面与相邻面（如同一行隔一个的面是相对面，折叠后不相邻）。 2.圆柱/圆锥展开图匹配错误：圆柱展开图中，长方形的长未与底面圆周长对应，误将长方形的长等同于底面直径；圆锥展开图中，扇形弧长与底面圆周长不相等，导致无法围成圆锥。 3.棱柱展开图混淆：误将棱柱展开图的底面（多边形）与侧面（长方形）数量对应错误（n棱柱需n个长方形+2个n边形）；忽略底面多边形需在侧面长方形的同侧/异侧，导致折叠后底面无法闭合。 4.折叠方向与遮挡边误读：忽略展开图中虚线表示折叠后被遮挡的棱，误将虚线当作实线判断几何体形状；折叠时颠倒“里侧”与“外侧”，导致面的位置与标记不匹配。 5.无盖/无底几何体漏面：绘制或识别无盖正方体、圆柱等展开图时，漏减一个底面（如无盖正方体展开图是5个正方形，易画成6个）；计算表面积时误将展开图的所有面都计入。 6.展开图与几何体棱数、面数对应失误：折叠后忽略展开图中拼接的棱会重合，重复计算棱数；混淆展开图的“面数”与折叠后几何体的“面数”（如正方体展开图6个面，折叠后仍为6个面，无增减）。 7.实际折叠空间想象偏差：对不规则几何体（如棱台、圆台）的展开图判断失误，误将圆台展开图当作圆柱展开图；忽略展开图中面的连接顺序，导致无法还原立体图形。 【典例】（2024·北京门头沟·二模）某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，则该几何体是（    ） A．正方体 B．长方体 C．四棱锥 D．三棱柱 【变式1】（2024·北京·三模）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【变式2】（2025·北京丰台·一模）图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 题型02 点、线、面、体 1.概念属性误解：误将点当作有大小的图形（点无大小，仅表示位置）；误将直线/平面当作有边界的图形（二者均无限延展，无长度、面积限制）；混淆**射线与线段**的延伸性（射线一端无限延伸，线段无延伸性）。 2.表示方法错误：用两个大写字母表示点（点只能用一个大写字母，如点A，不能写点AB）；射线的端点与延伸方向混淆（射线AB以A为端点向B方向延伸，与射线BA不是同一条射线）。 3.几何关系混淆：错记“点动成线、线动成面、面动成体”的对应关系（如误说“线动成体”）；误判面与面相交的结果（平面与平面相交得直线，不是线段；曲面与平面相交可能得曲线）。 4.线的性质误用：忽略“两点确定一条直线”的前提，误以为一点能确定一条直线；计算线段长度时，漏看线段的和差关系（如点C在AB延长线上与在线段AB上的长度计算不同）。 5.面与体的判定偏差：误将圆柱的侧面当作平面（圆柱侧面是曲面）；混淆围成体的面的类型（球由一个曲面围成，正方体由六个平面围成）；判断截面形状时漏考虑切割角度（如正方体截面可呈五边形、六边形，易误判为最多四边形）。 6.动态生成过程误判：面动成体时，错选旋转轴（如长方形绕长旋转得圆柱，绕对角线旋转得不规则几何体，易混淆两种旋转结果）；忽略线动成面的方向（直线平移成平面，曲线平移成曲面，易误判平移后的图形类型）。 【典例】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体是（   ） A．圆柱 B．球 C．四棱柱 D．圆锥 【变式2】四边形是直角梯形，，，且，，把梯形分别绕直线，旋转一周，所得几何体的表面积分别为，，则 （平方单位）    ►题型03 截一个几何体 1.截面形状判断失误：误判正方体截面的边数上限（最多可截出六边形，易误认为最多四边形）；混淆圆柱不同切割方向的截面（横切为圆、竖切为长方形、斜切为椭圆，易将斜切截面误判为圆或平行四边形）；圆锥过顶点切割为三角形，不过顶点斜切为椭圆，易与圆柱截面混淆。 2.切割方向与截面关系混淆：忽略切割角度的影响，如正方体截得五边形/六边形需同时经过多个面，仅平行于面切割才得正方形/长方形；圆锥横切时，截面圆的半径随切割高度变化，易误认为半径恒定。 3.空心与实心几何体截面混淆：空心圆柱横切截面为“圆环”，易误判为“圆”；空心圆锥截切时，忽略内外两层曲面的交线，漏看截面的环形边界。 4.截面边数与几何体面数对应错误：未掌握“截面边数≤几何体面数”的规律，如三棱柱最多截出五边形，易错误认为能截出六边形；忽略截面与几何体的交线数量等于截面边数，导致边数统计偏差。 5.特殊切割场景漏判：正方体过体对角线的截面为长方形（非正方形），易误判为正方形；圆锥底面平行于水平面时，过底面圆心的竖切截面为等腰三角形，易忽略“等腰”属性或误判为直角三角形。 6.空间想象偏差致交线遗漏：忽略几何体被遮挡面与截面的交线，如截复杂多面体时，漏算截面与内部面的相交部分，导致截面形状少边或变形。 7.截面与切面概念混淆：误将“切面”（与曲面仅一个交点的平面）当作“截面”（与几何体多个面相交的平面），如球的切面是圆面，但球的截面无论怎么切都是圆，易混淆二者表述。 【典例】数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） A． B． C． D． 【变式1】如图，将图1中的正方体沿虚线剪去一角后得到图2，则图2的立体图形的三视图为（　　） A． B． C． D． 【变式2】用刀截一个正方体豆腐块，截面不可能是（   ） A．三角形 B．矩形 C．六边形 D．七边形 ►题型01 平面图形的认识 1.直线、射线、线段概念混淆：误将射线、线段当作可延伸图形（射线仅一端无限延伸，线段无延伸性）；例：认为“延长线段AB”与“延长射线AB”表述均正确，实则射线AB只能向B端延伸，不能说“延长射线AB”。 2.角的定义与表示错误：误将角的边当作有长度的线段（角的边是射线，无长度）；角的表示混淆，如同一顶点有多个角时，仅用一个顶点字母表示（如顶点O处有∠AOB、∠BOC，不能单写∠O）。 3.角的度量与关系误判：忽略余角、补角的“两个角”前提，误将三个角的和为90°/180°当作互余/互补；对顶角、邻补角识别错误，例：误将相交直线形成的非相邻角当作对顶角，或认为邻补角一定相等（邻补角和为180°，不一定相等）。 4.三角形分类与性质混淆：按角分类时，误将等腰直角三角形归为“直角三角形”外的单独类别（它既是直角三角形，也是等腰三角形）；忽略“三角形任意两边之和大于第三边”，例：认为3cm、4cm、7cm的线段可围成三角形（3+4=7，不满足三边关系）。 5.四边形性质判定失误：混淆平行四边形、矩形、菱形的判定条件，例：误将“一组对边平行”当作平行四边形判定依据（需两组对边分别平行或一组对边平行且相等）；认为“矩形的对角线互相垂直”（矩形对角线相等且平分，不一定垂直，菱形对角线才垂直）。 6.平行线相关易错点：混淆平行线的判定与性质（判定是由角的关系推平行，性质是由平行推角的关系）；同位角、内错角识别偏差，例：复杂图形中误将非被截线形成的角当作同位角，或认为“同位角一定相等”（仅两直线平行时同位角相等）。 7.圆的概念误解：误将弦与直径混淆（直径是过圆心的弦，弦不一定是直径）；混淆弧与半圆（半圆是弧的一种，弧分为优弧、劣弧、半圆，不能说“弧就是半圆”）；认为“圆的半径都相等”（需限定“同圆或等圆中”）。 8.图形计数遗漏/重复：数三角形、角、线段时，忽略组合图形中的隐含图形，例：数三角形时只算单个小三角形，漏算由多个小三角形组成的大三角形；数线段时漏算端点间的组合线段（如线段AB上有C、D两点，总线段数为6条，易误算为3条）。 【典例】（2025·北京昌平）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有 种． 【变式2】（2025·北京模拟）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（    ） A． B． C．4 D． ►题型05 直线、射线、线段 1.概念属性混淆：误认射线、直线有长度（二者无限延伸，无长度）；误认线段可延伸（线段有固定长度，无延伸性）；混淆端点数量（直线无端点、射线1个端点、线段2个端点），例：认为“射线有两个端点”。 2.表示方法错误：射线端点与延伸方向颠倒（射线AB以A为端点向B延伸，与射线BA不是同一条射线）；用单个大写字母表示线段或射线（线段、射线需用两个大写字母表示，直线可用一个小写字母或两个大写字母）。 3.作图与表述失误：错误表述“延长射线AB”（射线只能反向延长，应说“反向延长射线AB”）；延长线段时方向混淆（“延长线段AB”是向B端延伸，“延长线段BA”是向A端延伸）；画直线时标注端点（直线无端点，标注后易误认成线段）。 4.计数与计算偏差：数线段时漏算组合线段；过点画直线时忽略“两点确定一条直线”（过三点最多画3条直线，最少画1条，易误认成只能画1条）。 5.性质误用：误将直线、射线比较长短（只有线段可比较长度，直线和射线无限长，无法度量）；认为“过一点只能画一条直线”（过一点可画无数条直线，过两点才只能画一条）。 【典例】（2023·北京海淀·一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·北京朝阳）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【变式2】（2024·北京大兴）如图，圆柱的底面直径和高均为4，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是 （ ） A． B． C． D． ►题型06 角的概念及计算 1.概念属性误解：误将角的边当作有长度的线段（角的两边是射线，无限延伸无长度）；混淆平角、周角与直线、射线（平角是顶点和两边在同一直线的角，非直线；周角是两边重合的角，非射线），例：认为“平角就是一条直线”。 2.表示方法错误：同一顶点有多个角时，仅用单个顶点字母表示（如顶点O处有∠AOB、∠BOC，不能单写∠O）；射线顺序颠倒导致角表示错误（∠AOB与∠BOA是同一个角，但射线表述方向不影响角的本质，易误认成两个角）。 3.角的分类范围混淆：钝角定义记忆偏差（误将“大于90°的角”当作钝角，正确应为大于90°且小于180°）；忽略直角、平角、周角的固定度数（直角=90°、平角=180°、周角=360°），例：认为“180°的角是周角”。 4.度量操作与换算失误：量角器使用偏差（中心未对齐角的顶点、0°刻度线未对齐角的一边，或读错内外圈刻度，如把30°误读为150°）；度分秒换算忽略60进制。 5.余角、补角判定错误：忽略“两个角”的前提（误将三个角的和为90°/180°当作互余/互补）；未限定“同一个角或等角”，认为余角/补角一定相等（例：∠A的余角与∠B的余角相等，需满足∠A=∠B）；补角、余角计算漏减，例：求35°角的补角时误算为90°-35°=55°（正确应为180°-35°=145°）。 6.对顶角、邻补角混淆：误将相交直线形成的非相邻角当作对顶角（对顶角需顶点重合、两边互为反向延长线）；认为“邻补角一定相等”（邻补角和为180°，仅当两角均为90°时相等），例：误将∠AOB与∠COD当作对顶角（顶点不同，不满足对顶角条件）。 7.角的和差与折叠计算偏差：涉及角平分线时，漏算“平分后两角相等”的条件（例：OC平分∠AOB，误认为∠AOC=2∠BOC）；折叠问题中忽略重合角相等（折叠后对应角相等，易漏用此关系列等式）；三角板拼角误判度数（如30°与45°拼角可成75°或15°，易漏算其中一种）。 【典例】（2025·北京西城·二模）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·北京大兴·二模）如图，平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京西城·一模）如图，直线与相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 命题点二 相交线 ►题型01 相交线及其所成的角 1.对顶角概念与判定失误：误将“有公共顶点的角”当作对顶角，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件（如邻补角有公共顶点，但两边不互为反向延长线）；两条直线相交时，漏数对顶角对数（应为2对，易误算为4对）；忽略**对顶角相等**的性质，计算角度时未利用该等量关系简化运算。 2.邻补角与补角混淆：混淆邻补角和补角的区别，忽略邻补角“相邻且互补”的双重属性（补角仅需和为180°，无位置要求）；误认邻补角一定是直角（仅两直线垂直时，邻补角才为90°）；两条直线相交时，邻补角对数计算错误（应为4对，易与对顶角对数混淆）。 3.垂线相关概念误解：混淆垂线与垂线段（垂线是无限延伸的直线，垂线段是有长度的线段）；误将“点到直线的距离”等同于“两点间的距离”（点到直线的距离是垂线段的长度，两点间距离是线段长度）；忽略“在同一平面内”的前提，认为过一点有无数条直线与已知直线垂直（实际在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）。 4. 角度计算关系误用：计算相交线所成角时，漏用“邻补角和为180°”“对顶角相等”的核心关系；涉及垂线时，未联想到相交角为90°，导致角度推导受阻；多条直线相交于一点时，未按“对顶角、邻补角”分类计算，盲目累加角度。 5.垂直性质与判定混淆：混淆垂线的判定与性质（判定是“由角的关系推垂直”，如邻补角相等则两直线垂直；性质是“由垂直推角的关系”，如两直线垂直则所成角为90°）。 【典例】（2025·北京通州·一模）如图，直线、交于点，，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·北京·一模）如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京丰台·二模）如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型02 三线八角 三线八角识别偏差：同位角、内错角、同旁内角的识别中，未找准截线和被截线（这三类角由“两条被截直线+一条截线”构成）；误认“位置相同的角就是同位角”（需满足在截线同侧、被截直线同方向）；复杂图形中，漏认或错认角的类型（如将内错角当作同旁内角）；忽略“两直线平行”的前提，认为同位角、内错角一定相等，同旁内角一定互补（这些等量关系仅在两直线平行时成立）。 【典例】下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（     ） A．B． C． D． 【变式1】如图，如果，那么1的同旁内角等于 度． 【变式2】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（   ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“”表示对顶角相等 D．“”表示同角的余角相等 命题点三 平行线 题型01 平行线及画平行线 1.平行线定义前提遗漏：忽略“同一平面内”的核心条件，误将异面直线（不相交也不平行）当作平行线；混淆“不相交”与“平行”，认为空间中不相交的两条直线就是平行线（仅同一平面内成立）。 2.判定与性质混淆：颠倒平行线的判定与性质逻辑——判定是“由角的关系推平行”（如同位角相等→两直线平行），性质是“由平行推角的关系”（如两直线平行→内错角相等）；例：误将“两直线平行，同旁内角互补”用于判定两直线平行。 3.画平行线操作失误：用直尺和三角板画平行线时，三角板平移未紧贴直尺（导致同位角不相等，画出的直线不平行）；未借助工具凭直观画平行线，无法保证平行关系；画完后未验证（如用量角器测同位角是否相等），遗漏纠错步骤。 4.过点画平行线的误区：认为“过直线上一点能画一条平行线”（同一平面内，过直线上一点无法画已知直线的平行线，仅过直线外一点有且只有一条）；过直线外一点画平行线时，三角板的直角边与已知直线重合位置错误，导致平行方向偏差。 【典例】（2025·北京通州）如图，在三角形中，点是边上一点，过点画，交边于点．画，交边于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：． 【变式1】（2025·北京东城）如图，，点在边上，且不与点重合．按要求补全图形，并回答问题： (1)过点画直线； (2)点（异于点）在（1）中所画的直线上，则的度数是___________； (3)在（2）的条件下，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，且点与点的距离为4，则点的坐标为___________ 【变式2】（2025·北京平谷）如图，直线和直线相交于点，在直线上有一点，按要求画图并填空： (1)按要求画图： ①过点作，垂足为点； ②过点作．（在左侧，在右侧） (2)①请你写出图中与互余的角是___________，与互补的角是___________；（各写出一个即可） ②若，直接写出的度数：___________． 题型02 平行公理及推论 1.平行公理前提遗漏：忽略“同一平面内”的核心条件，误认为空间中过直线外一点也有且只有一条直线与已知直线平行（空间中存在异面直线，不满足平行公理）；遗漏“直线外一点”的限定，错误认为“过直线上一点能作一条直线与已知直线平行”（实际过直线上一点作的直线与已知直线重合或相交，无平行可能）。 2.平行公理表述偏差：混淆“有且只有一条”的两层含义，误记为“有一条”（遗漏唯一性）或“有无数条”（违背存在唯一性）；例：认为“过直线外一点可以画多条直线与已知直线平行”，忽略公理的唯一性约束。 3.平行公理推论前提忽视：推论“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，易忽略“同一平面内”的前提（空间中平行于同一直线的两条直线可能异面，不平行）；误将推论拓展到“垂直于同一直线的两条直线平行”，忽略同一平面内的限定条件（空间中垂直于同一直线的两条直线可能相交、异面）。 4.推论逻辑关系混淆：颠倒推论的因果关系，误将“两条直线互相平行”当作前提，推出“它们平行于同一条直线”（推论是由“都平行于第三条直线”推“两条直线平行”）。 5.多直线平行传递失误：三条及以上直线平行时，误用推论递推，忽略“两两都平行于同一直线”的要求。 6.公理与推论应用场景混淆：用平行公理解决多直线平行问题（公理仅针对“过一点与已知直线平行”），或用推论解决“过点作平行线”的问题（推论无“过点”的约束）。 【典例】（2025·北京大兴）已知直线与直线相交于两点，，点是直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． (1)直线与的位置关系是___________； (2)如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 【变式1】（2025北京密云）如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 【变式2】（2025·北京西城）如图1，直线，直线分别与，相交于点，．点，分别在，上，且在的同侧（）．点是直线上的动点（不与点，重合），连接，． (1)如图2，当点在线段上时，求证：； (2)在的内部作射线，使，在的内部作射线使，射线的反向延长线与射线相交于点． ①如图3，若，点在线段上，且，求的度数． ②若，点在直线上，用等式表示与的数量关系，直接写出结果． 题型03 平行线的判定 1.截线与被截线找错：忽略“两条直线被第三条直线所截”的前提，在复杂图形中误认截线（形成同位角、内错角、同旁内角的关键直线），错将无关直线当作截线；例：将不相交的两条直线当作被截线，导致角的类型判断错误，进而误用判定条件。 2.判定与性质逻辑颠倒：混淆平行线的判定和性质，误将“两直线平行→同位角相等”的性质结论，当作“同位角相等→两直线平行”的判定依据；例：已知两直线平行，却用角的相等关系反过来证明平行，逻辑因果倒置。 3.角的关系记忆混淆：记错判定所需的角的数量关系，如误将“同旁内角相等”当作判定条件（正确应为同旁内角互补）；或将内错角、同位角的位置关系记混，把非对应位置的角当作判定依据。 4.“垂直于同一直线”的前提遗漏：使用“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，忽略**同一平面内**的核心前提，误认为空间中垂直于同一直线的两条直线一定平行（实际空间中可能异面或相交）。 5.平行公理推论误用：运用“平行于同一条直线的两条直线平行”时，未确认两条直线是否都与第三条直线平行，直接推导平行关系；例：仅知道一条直线平行于第三条，就推出两条直线平行，缺少必要条件。 6.单一角关系误判平行：仅看到一对角相等或互补，未确认角的类型是否符合判定要求（如同位角、内错角），就判定两直线平行；例：将非同位角的两个相等角，当作判定平行的依据。 7.图形干扰导致误判：在多条直线相交的复杂图形中，漏看或错看角的位置关系，如被其他直线遮挡时，误判同位角不相等，或忽略角的等量代换关系（如对顶角相等转化后满足判定条件）。 【典例】（2024·北京通州）如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变式1】（2023·北京平谷）如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连结BC．求证：BC∥ON． 【变式2】（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，点在上，， 求作：点，使得点在的延长线上，且． 甲、乙两位同学尺规作图的方法如下： 甲：以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，点即为所求； 乙：以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，点即为所求． 上述两个作法中，可以判断出（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 题型04 平行线的性质定理 1.性质与判定逻辑颠倒：混淆“由平行推角的关系”的性质逻辑，与“由角的关系推平行”的判定逻辑，出现因果倒置错误。例：已知同位角相等，却错误使用“两直线平行，同位角相等”的性质来证明平行，实则应使用判定定理。 2.角的关系对应记忆错误：记错性质定理的角的数量关系，如误将“两直线平行，同旁内角相等”当作性质（正确应为**同旁内角互补**）；混淆内错角、同位角的性质表述，把内错角的互补关系、同位角的相等关系记混。 3.前提条件遗漏：忽略“**两条平行线被第三条直线所截**”的核心前提，在无截线或两直线不平行的情况下，盲目套用角的相等或互补关系。例：任意两条直线被截形成的同位角，直接判定为相等，忽略“平行”前提。 4.复杂图形中对应角找错：多条直线相交的复杂图形里，无法准确匹配“三线八角”的对应关系，错将非同位角、非内错角当作性质定理的适用对象。例：将不属于两条平行线被同一条截线所截的角，套用“内错角相等”的性质。 5.等量代换时推导失误：利用对顶角、邻补角等进行角的等量代换时，忽略代换的等价性，导致角的关系推导错误。 6.平行传递性与性质混用：将“平行于同一直线的两条直线互相平行”的推论，与平行线的性质定理混淆，用推论的平行关系直接推导角的关系，缺少“被第三条直线所截”的条件。 7.忽略空间与平面的区别：未限定“同一平面内”，将平面内的平行线性质套用在空间异面直线上，错误认为异面直线被截形成的角也满足相等或互补关系。 【典例】（2023·北京石景山·二模）如图，直线交于一点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·北京西城·一模）直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京门头沟·二模）如图，，平分，，的度数为（    ） A． B． C． D． 题型05 平行线性质的应用 1.前提条件缺失误用：应用性质时忽略“两直线平行”和“被第三条直线所截”的双重前提，在直线不平行或无公共截线的情况下，盲目套用“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”的结论。例：任意两条相交直线被截形成的角，直接用平行线性质计算角度。 2.性质与判定逻辑倒置：解题时混淆性质（由平行推角的关系）和判定（由角的关系推平行）的因果逻辑，出现“用角相等证平行，却引用平行线性质”的错误。 3.复杂图形中对应角匹配错误：多条直线相交的复杂图形里，无法准确锁定“三线八角”的对应关系，错将非平行线被截形成的角，或非同位/内错/同旁内角的角，当作性质适用对象。例：把分别属于两组不同直线被截的角，套用“内错角相等”计算。 4.同旁内角关系记忆混淆：将“两直线平行，同旁内角互补”记成“同旁内角相等”，导致角度计算出现根本性错误。 5.等量代换推导疏漏：结合对顶角、邻补角、角平分线等知识进行角度代换时，忽略代换的等价性，推导链条断裂或错误。 6.多组平行线角关系混淆：存在多组平行线时，未分清哪组平行线对应哪组角的关系，误用非对应组的平行线性质。 7.线段/射线平行的性质误用：遇到线段、射线平行的情况，忽略“线段/射线平行是指其所在直线平行”，未将图形延伸找截线和对应角，导致漏解或错解。例：两条平行线段被截，未延伸线段找完整的同位角，误判角的关系不成立。 【典例】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型06 平行线的判定与性质 1.逻辑关系颠倒：混淆判定（角的关系推平行）与性质（平行推角的关系）的因果逻辑。 2.三线八角识别错：截线、被截线区分不清，错将非对应角作为判定/性质依据。 3.角的关系记混：误把同旁内角“互补”记成“相等”，判定和性质均出错。 4.前提条件遗漏：判定漏“同一平面内”，性质漏“两直线平行”的核心前提。 5.多组平行线混用：多组平行线对应角的关系交叉套用，张冠李戴。 6.线段/射线平行失误：忽略线段、射线平行指所在直线平行，未延伸找对应角。 7.推论判定混淆：平行公理推论与角的判定条件混用，跳过关键逻辑推导。 【典例】（2024·北京朝阳·二模）如图，∠B=43°，∠ADE=43°，∠AED=72°，则∠C的度数为（    ） A．72° B．65° C．50° D．43° 【变式1】（2023·北京房山）如图，分别与交于点B，F，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 突破一 线与角的旋转与探索 【典例】（2024·北京·一模）阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？ （1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…… （2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表 点的个数 可作出直线条数 2 1= 3 3= 4 6= 5 10= …… …… n (3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即 （4）结论： 试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？ （1）分析： 当仅有3个点时，可作出 个三角形； 当仅有4个点时，可作出 个三角形； 当仅有5个点时，可作出 个三角形； …… （2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表） 点的个数 可连成三角形个数 3 4 5 …… n (3)推理：                             （4）结论： 点的个数 可构成三角形个数 3 1= 4 4= 5 10= n 点的个数 可构成三角形个数 3 1= 4 4= 5 10= n 【变式1】如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使得，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在点O处，使边在射线上，另一边在直线的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转． (1)在三角板旋转的过程中，当时，三角板旋转的角度为________； (2)当所在的射线恰好平分时，三角板旋转的角度为________； (3)若三角板绕点O按每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O按每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合时，同时停止运动，请计算三角板的直角边所在射线恰好平分时，三角板运动的时间． 【变式2】（2025·北京模拟）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 突破二 平行线及其判定 【典例】已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【变式】（2025·北京）如图，过点作直线分别与直线，相交于、两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，，其中、、满足． (1)_____________，_____________，_____________； (2)求证：； (3)过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合．作的角平分线交线段于点，直接写出与的数量关系__________________________． 突破三 平行线性质综合 【典例】（2024·北京顺义·二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式1】如图，直线//，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 【变式2】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，分别交于D，交于E．已知，，，求的值． 小明发现，过点E作，交延长线于点F，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知和矩形，与交于点G，，求的度数． 1．（2025·北京平谷·一模）如图，直线，直线交于点，交于点，平分交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B．点C在直线b上，且．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京昌平·二模）如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边和含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京顺义·二模）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京朝阳·二模）如图，直线和相交于点平分，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为 ； （2）小明骑行的最短距离为 ． 9．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 10．（2023·北京·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在复习三角形中线的相关知识时，李老师提出了以下问题： 如图①，在中，为中线，已知，求中线长的取值范围．小颖和小组交流后，通过倍长中线，将分散的条件迁移到同一个三角形中，利用三角形的边角关系顺利的解决了问题，下面是小颖的解题思路：延长至点，使，连接，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是． 任务： (1)如图②，在四边形中，，点为边的中点，且平分，则、、的数量关系是________； (2)如图③，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图④，是的中点，点在线段上，，若，直接写出的面积． 11．（2025·北京密云·一模）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 1．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 2．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1 和6，2和5，3 和4）放置于水平桌面上，如图 1．在图 2 中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是 ；连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的点数是 ． 3．（2023·北京·模拟预测）如图，四边形是一段矩形纸条，，点E为的中点．第一步，在边上找一点F，将纸条沿折叠，得到的图形如图②；第二步，在图②中的边上找一点G，将纸条沿折叠，得到的图形如图③，设．若折叠后，． （1） （用含有α的式子表示）； （2）当时，矩形纸条的面积为 ． 4．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 5．（2024·北京海淀）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP． （1）若α＝60°，k＝1， ①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数； ②直接写出PA、PQ的数量关系； （2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由． 6．（2023·北京门头沟·一模）已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点E在正方形内部时， ①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 1．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 4．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第14讲 几何初步，相交线与平行线 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 几何基础 题型01几何体的展开图 题型02点、线、面、体 题型03截一个几何体 题型04平面图形的认识 题型05直线、射线、线段 题型06角的概念及计算 命题点二 相交线 题型01相交线及其所成的角 题型02三线八角 命题点三 平行线 题型01平行线及画平行线 题型02平行公理及推论 题型03 平行线的判定 题型04平行线的性质定理 题型05平行线性质的应用 题型06平行线的判定与性质 05·重难突破·思维进阶难 56 突破一 线与角的旋转与探索 突破二 平行线及其判定 突破三 平行线性质综合 06·优题精选·练能提分 76 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 直线、射线、线段的概念与计算 / / / 1. 理解直线、射线、线段的区别与联系；2. 掌握线段的和、差、中点的概念及计算；3. 理解“两点确定一条直线” “两点之间线段最短”的基本事实。 角的概念、度量与计算 北京卷T 7（余角计算） 北京卷T2（角的单位换算与大小比较） 北京卷T3,T6（角的计算） 1. 理解角的定义及表示方法，掌握角的度量单位换算；2. 理解余角、补角的概念及性质，能进行相关计算；3. 会借助三角尺、量角器进行角的作图与度量。 相交线（对顶角、邻补角） / / / 1. 识别对顶角、邻补角，掌握对顶角相等的性质；2. 能利用相交线的性质进行角度计算；3. 理解垂直是相交的特殊情况，掌握垂线的性质。 平行线的判定与性质 北京卷T14（平行线的性质） 北京卷T24（平行线的性质） 北京卷T14（平行线的性质应用） 1. 掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）；2. 掌握平行线的性质定理（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）；3. 能综合运用判定与性质进行角度计算和证明。 命题预测 1. 线段中点、余角补角的基础计算，侧重对基本概念的理解； 2. 平行线的判定与性质的综合应用，可能结合图形折叠、平移变换设置情境； 3. 命题的真假判断，大概率会结合后续几何章节的定理（如三角形内角和定理）进行考查。 考点一 几何初步 1. 点、线、面、角的基本概念 点：无大小，是几何图形的基本元素。 线：分为直线、射线、线段，三者区别如下： 图形 端点个数 延伸性 能否度量 直线 0个 向两端无限延伸 不能 射线 1个 向一端无限延伸 不能 线段 2个 不能延伸 能 面：分为平面和曲面，平面图形（如三角形）和立体图形（如正方体）的基础构成元素。 角：由两条有公共端点的射线组成的图形，公共端点为顶点，两条射线为边。 2. 核心性质与定理 直线性质：两点确定一条直线（中考常考应用，如植树时定直线）。 线段性质：两点之间，线段最短；连接两点的线段长度叫做两点间的距离。 线段中点：若点是线段的中点，则（角度计算、线段计算的基础）。 3. 角的分类与计算 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 - 直角 符号为“” 钝角 - 平角 两边成一条直线 周角 两边重合 角的度量单位：度（）、分（）、秒（），换算关系：，。 角平分线：从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线；若平分，则。 易错点提示 混淆“两点间的距离”与“点到直线的距离”； 角的度分秒换算时，忽略60进制，误按10进制计算。 1．（2025·北京朝阳）下面立体图形中，是圆柱的为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查认识立体图形．圆柱是由上下两个平行且大小一样的圆面和一个侧面（曲面）组成的立体图形，直接根据圆柱体的几何特点解答即可． 【详解】解：根据圆柱的特点可知选项D中的图形是圆柱． 故选：D． 2．（2025·北京·模拟预测）如图，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了余角和补角，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 先根据，求出，再根据可得出的度数，继而可得出答案． 【详解】解：，， ， ． 故选：B． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设，则，，即得，再根据可求得，即得到，，，，，再根据线段中点的定义求出的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，，， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 考点二 相交线 1. 对顶角与邻补角 对顶角：两条直线相交时，有公共顶点且两边互为反向延长线的角；性质：对顶角相等（中考高频考点，角度计算必用）。 邻补角：两条直线相交时，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的角；性质：邻补角互补（和为）。 2. 垂线的定义与性质 定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条是另一条的垂线，交点为垂足。 核心性质： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂线段最短：直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 易错点提示 误认为“垂直于同一直线的两条直线互相平行”（需强调在同一平面内）； 混淆“垂线段”与“点到直线的距离”（距离是长度，垂线段是图形）。 1.（2025·北京海淀·一模）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角相等，邻补角的性质，角的和差运算，掌握“对顶角与邻补角的含义”是解本题的关键． 根据对顶角得出，然后结合图形求解即可 再利用角平分线的定义求解 再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，点到点的距离，根据以上知识点逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①线段的长是点到直线的距离，该选项说法错误； ②线段的长是点到直线的距离，该选项说法正确； ③三条线段中，最短，该选项说法正确； ④线段的长是点到点的距离，该选项说法错误； ∴正确的是②③， 故选：． 2．（2025·北京海淀）如图，直线和相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角、邻补角，由垂直的定义得到，由平角定义求出，由角平分线定义得到，由对顶角相等得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 考点三 平行线 1. 平行线的定义与平行公理 定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即，）。 2. 平行线的判定定理（由角定线） 这是中考核心考点，常结合角度计算考查，需熟练掌握： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 3. 平行线的性质定理（由线定角） 与判定定理互为逆用，综合题中高频出现： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 4. 三线八角 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，其中： 同位角：在截线同旁，被截两直线同侧（形如“”）； 内错角：在截线两侧，被截两直线之间（形如“”）； 同旁内角：在截线同旁，被截两直线之间（形如“”）。 易错点提示 忽略“三线八角”的前提是“两条直线被第三条直线所截”，单独两条直线无同位角等概念； 混淆平行线的“判定”与“性质”（判定：角线；性质：线角）； 应用平行公理推论时，忽略“直线外一点”的条件。 1.（2025·北京朝阳·一模）如图，，，相交于点，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，交于点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·北京石景山·二模）如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂直的定义． 由及，可求得，再由即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B 3．（2025·北京门头沟·二模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程： 已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点为圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线． 上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作角平分线，尺规作已知直线的平行线，平行线的性质，等边对等角的知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：C ． 命题点一 几何初步 ►题型01 几何体的展开图 1.正方体展开图误判：将“田”“凹”“七”字形及超过4个正方形一排的部分图形，误判为正方体展开图；混淆相对面与相邻面（如同一行隔一个的面是相对面，折叠后不相邻）。 2.圆柱/圆锥展开图匹配错误：圆柱展开图中，长方形的长未与底面圆周长对应，误将长方形的长等同于底面直径；圆锥展开图中，扇形弧长与底面圆周长不相等，导致无法围成圆锥。 3.棱柱展开图混淆：误将棱柱展开图的底面（多边形）与侧面（长方形）数量对应错误（n棱柱需n个长方形+2个n边形）；忽略底面多边形需在侧面长方形的同侧/异侧，导致折叠后底面无法闭合。 4.折叠方向与遮挡边误读：忽略展开图中虚线表示折叠后被遮挡的棱，误将虚线当作实线判断几何体形状；折叠时颠倒“里侧”与“外侧”，导致面的位置与标记不匹配。 5.无盖/无底几何体漏面：绘制或识别无盖正方体、圆柱等展开图时，漏减一个底面（如无盖正方体展开图是5个正方形，易画成6个）；计算表面积时误将展开图的所有面都计入。 6.展开图与几何体棱数、面数对应失误：折叠后忽略展开图中拼接的棱会重合，重复计算棱数；混淆展开图的“面数”与折叠后几何体的“面数”（如正方体展开图6个面，折叠后仍为6个面，无增减）。 7.实际折叠空间想象偏差：对不规则几何体（如棱台、圆台）的展开图判断失误，误将圆台展开图当作圆柱展开图；忽略展开图中面的连接顺序，导致无法还原立体图形。 【典例】（2024·北京门头沟·二模）某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，则该几何体是（    ） A．正方体 B．长方体 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】B 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，熟记长方体的展开图中平面图形的形状是解本题的关键，先根据要求画出其中1种展开图的形态，从而可得答案． 【详解】解：某几何体的展开图是由大小形状相等的两个正方形、四个长宽不等的矩形组成，如图， ∴则该几何体是长方体； 故选B 【变式1】（2024·北京·三模）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（    ） A．四棱锥 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】A 【分析】本题考查立体图形的平面展开图，涉及空间想象能力，熟记常见立体图形的平面展开图是解决问题的关键． 【详解】解：由题中图可知，这是四棱锥的侧面展开图， 故选：A． 【变式2】（2025·北京丰台·一模）图是某几何体的展开图，该几何体是（　　） A．长方体 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握立体图形的特点是关键． 根据图示，结合立体图形的特点即可求解． 【详解】解：根据图示，该几何体是圆锥， 故选：D ． 题型02 点、线、面、体 1.概念属性误解：误将点当作有大小的图形（点无大小，仅表示位置）；误将直线/平面当作有边界的图形（二者均无限延展，无长度、面积限制）；混淆**射线与线段**的延伸性（射线一端无限延伸，线段无延伸性）。 2.表示方法错误：用两个大写字母表示点（点只能用一个大写字母，如点A，不能写点AB）；射线的端点与延伸方向混淆（射线AB以A为端点向B方向延伸，与射线BA不是同一条射线）。 3.几何关系混淆：错记“点动成线、线动成面、面动成体”的对应关系（如误说“线动成体”）；误判面与面相交的结果（平面与平面相交得直线，不是线段；曲面与平面相交可能得曲线）。 4.线的性质误用：忽略“两点确定一条直线”的前提，误以为一点能确定一条直线；计算线段长度时，漏看线段的和差关系（如点C在AB延长线上与在线段AB上的长度计算不同）。 5.面与体的判定偏差：误将圆柱的侧面当作平面（圆柱侧面是曲面）；混淆围成体的面的类型（球由一个曲面围成，正方体由六个平面围成）；判断截面形状时漏考虑切割角度（如正方体截面可呈五边形、六边形，易误判为最多四边形）。 6.动态生成过程误判：面动成体时，错选旋转轴（如长方形绕长旋转得圆柱，绕对角线旋转得不规则几何体，易混淆两种旋转结果）；忽略线动成面的方向（直线平移成平面，曲线平移成曲面，易误判平移后的图形类型）。 【典例】将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的几何体是（   ） A．圆柱 B．球 C．四棱柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案． 【详解】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥． 故选：D． 【变式2】四边形是直角梯形，，，且，，把梯形分别绕直线，旋转一周，所得几何体的表面积分别为，，则 （平方单位）    【答案】 【分析】梯形分别绕直线，旋转一周所得的几何体的表面积的差就是和旋转一周形成的圆柱的侧面的差，据此求解即可． 【详解】解：梯形分别绕直线，旋转一周所得的几何体的表面积的差就是和旋转一周形成的圆柱的侧面的差，因此，绕直线旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：，绕直线旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，理解梯形分别绕直线，旋转一周所得的几何体的表面积的差就是和旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键． ►题型03 截一个几何体 1.截面形状判断失误：误判正方体截面的边数上限（最多可截出六边形，易误认为最多四边形）；混淆圆柱不同切割方向的截面（横切为圆、竖切为长方形、斜切为椭圆，易将斜切截面误判为圆或平行四边形）；圆锥过顶点切割为三角形，不过顶点斜切为椭圆，易与圆柱截面混淆。 2.切割方向与截面关系混淆：忽略切割角度的影响，如正方体截得五边形/六边形需同时经过多个面，仅平行于面切割才得正方形/长方形；圆锥横切时，截面圆的半径随切割高度变化，易误认为半径恒定。 3.空心与实心几何体截面混淆：空心圆柱横切截面为“圆环”，易误判为“圆”；空心圆锥截切时，忽略内外两层曲面的交线，漏看截面的环形边界。 4.截面边数与几何体面数对应错误：未掌握“截面边数≤几何体面数”的规律，如三棱柱最多截出五边形，易错误认为能截出六边形；忽略截面与几何体的交线数量等于截面边数，导致边数统计偏差。 5.特殊切割场景漏判：正方体过体对角线的截面为长方形（非正方形），易误判为正方形；圆锥底面平行于水平面时，过底面圆心的竖切截面为等腰三角形，易忽略“等腰”属性或误判为直角三角形。 6.空间想象偏差致交线遗漏：忽略几何体被遮挡面与截面的交线，如截复杂多面体时，漏算截面与内部面的相交部分，导致截面形状少边或变形。 7.截面与切面概念混淆：误将“切面”（与曲面仅一个交点的平面）当作“截面”（与几何体多个面相交的平面），如球的切面是圆面，但球的截面无论怎么切都是圆，易混淆二者表述。 【典例】数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，截一个几何体以及中心投影，掌握相关定义是解题的关键． 根据题意判断各选项得到的平面图形，得出结论即可． 【详解】解：A：得到的平面图形是扇形，故该选项不符合题意； B：得到的平面图形是矩形，故该选项不符合题意； C：得到的平面图形是圆形，故该选项不符合题意； D：得到的平面图形是正方形，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，将图1中的正方体沿虚线剪去一角后得到图2，则图2的立体图形的三视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的三视图，观察实物图，根据三视图的定义判定即可，注意虚线和实线的区别． 【详解】解：图2的立体图形的三视图为 故选：A． 【变式2】用刀截一个正方体豆腐块，截面不可能是（   ） A．三角形 B．矩形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用刀截一个正方体豆腐块，截面可能是三角形、矩形、六边形，不可能是七边形， 故选：D． ►题型01 平面图形的认识 1.直线、射线、线段概念混淆：误将射线、线段当作可延伸图形（射线仅一端无限延伸，线段无延伸性）；例：认为“延长线段AB”与“延长射线AB”表述均正确，实则射线AB只能向B端延伸，不能说“延长射线AB”。 2.角的定义与表示错误：误将角的边当作有长度的线段（角的边是射线，无长度）；角的表示混淆，如同一顶点有多个角时，仅用一个顶点字母表示（如顶点O处有∠AOB、∠BOC，不能单写∠O）。 3.角的度量与关系误判：忽略余角、补角的“两个角”前提，误将三个角的和为90°/180°当作互余/互补；对顶角、邻补角识别错误，例：误将相交直线形成的非相邻角当作对顶角，或认为邻补角一定相等（邻补角和为180°，不一定相等）。 4.三角形分类与性质混淆：按角分类时，误将等腰直角三角形归为“直角三角形”外的单独类别（它既是直角三角形，也是等腰三角形）；忽略“三角形任意两边之和大于第三边”，例：认为3cm、4cm、7cm的线段可围成三角形（3+4=7，不满足三边关系）。 5.四边形性质判定失误：混淆平行四边形、矩形、菱形的判定条件，例：误将“一组对边平行”当作平行四边形判定依据（需两组对边分别平行或一组对边平行且相等）；认为“矩形的对角线互相垂直”（矩形对角线相等且平分，不一定垂直，菱形对角线才垂直）。 6.平行线相关易错点：混淆平行线的判定与性质（判定是由角的关系推平行，性质是由平行推角的关系）；同位角、内错角识别偏差，例：复杂图形中误将非被截线形成的角当作同位角，或认为“同位角一定相等”（仅两直线平行时同位角相等）。 7.圆的概念误解：误将弦与直径混淆（直径是过圆心的弦，弦不一定是直径）；混淆弧与半圆（半圆是弧的一种，弧分为优弧、劣弧、半圆，不能说“弧就是半圆”）；认为“圆的半径都相等”（需限定“同圆或等圆中”）。 8.图形计数遗漏/重复：数三角形、角、线段时，忽略组合图形中的隐含图形，例：数三角形时只算单个小三角形，漏算由多个小三角形组成的大三角形；数线段时漏算端点间的组合线段（如线段AB上有C、D两点，总线段数为6条，易误算为3条）。 【典例】（2025·北京昌平）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方形的性质，根据长方形的对角线把长方形的面积平分求解即可． 【详解】解：∵是长方形的对角线， ∴，故选项A正确，不符合题意； 由题意，四边形和四边形均为长方形， ∵、分别是长方形、长方形的对角线， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； 不能证明，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 【变式1】如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有 种． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键．可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】解： 由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此各剪刀都得到边长为的边，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． 在每个图形上各剪一刀，如图所示：   拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 共3种方法， 故答案为：． 【变式2】（2025·北京模拟）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作于点，过点作于点，由七巧板的特点可得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1，由，得出，由平行线分线段成比例定理的推论求出的长度，进而即可得出答案． 【详解】解：如图2，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，都是等腰直角三角形，，，，与之间的距离为1， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 与之间的距离， 故选：D． 【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，掌握七巧板的特点，正方形的性质，平行线分线段成比例定理的推论是解决问题的关键． ►题型05 直线、射线、线段 1.概念属性混淆：误认射线、直线有长度（二者无限延伸，无长度）；误认线段可延伸（线段有固定长度，无延伸性）；混淆端点数量（直线无端点、射线1个端点、线段2个端点），例：认为“射线有两个端点”。 2.表示方法错误：射线端点与延伸方向颠倒（射线AB以A为端点向B延伸，与射线BA不是同一条射线）；用单个大写字母表示线段或射线（线段、射线需用两个大写字母表示，直线可用一个小写字母或两个大写字母）。 3.作图与表述失误：错误表述“延长射线AB”（射线只能反向延长，应说“反向延长射线AB”）；延长线段时方向混淆（“延长线段AB”是向B端延伸，“延长线段BA”是向A端延伸）；画直线时标注端点（直线无端点，标注后易误认成线段）。 4.计数与计算偏差：数线段时漏算组合线段；过点画直线时忽略“两点确定一条直线”（过三点最多画3条直线，最少画1条，易误认成只能画1条）。 5.性质误用：误将直线、射线比较长短（只有线段可比较长度，直线和射线无限长，无法度量）；认为“过一点只能画一条直线”（过一点可画无数条直线，过两点才只能画一条）。 【典例】（2023·北京海淀·一模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】解：甲、乙位于直线的两侧， 根据两点之间线段最短，连接甲、乙两点，与直线交于点，点即为所求； 故选：A． 【点睛】本题考查两点之间线段最短的公理，解题的关键是分析题中两点的位置是在直线的同侧还是异侧，在异侧连接两点即可，在同侧需做其中一点的对称点再连接． 【变式1】（2024·北京朝阳）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【答案】C 【分析】根据题意按顺序列举即可解题． 【详解】解：这只小虫子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、ABPFE、APBCDE、APDE、APE、APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE，共14种， 故选：C． 【点睛】本题考查排列与组合问题，是常见考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（2024·北京大兴）如图，圆柱的底面直径和高均为4，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆柱底面直径AB、母线BC均为4cm，S为BC的中点， ∴圆柱底面圆的半径是2cm，BS=2cm， ∴ AB =×2π×2=2π， 如图所示： 连接AS，在Rt△ABS中， 故选A． ►题型06 角的概念及计算 1.概念属性误解：误将角的边当作有长度的线段（角的两边是射线，无限延伸无长度）；混淆平角、周角与直线、射线（平角是顶点和两边在同一直线的角，非直线；周角是两边重合的角，非射线），例：认为“平角就是一条直线”。 2.表示方法错误：同一顶点有多个角时，仅用单个顶点字母表示（如顶点O处有∠AOB、∠BOC，不能单写∠O）；射线顺序颠倒导致角表示错误（∠AOB与∠BOA是同一个角，但射线表述方向不影响角的本质，易误认成两个角）。 3.角的分类范围混淆：钝角定义记忆偏差（误将“大于90°的角”当作钝角，正确应为大于90°且小于180°）；忽略直角、平角、周角的固定度数（直角=90°、平角=180°、周角=360°），例：认为“180°的角是周角”。 4.度量操作与换算失误：量角器使用偏差（中心未对齐角的顶点、0°刻度线未对齐角的一边，或读错内外圈刻度，如把30°误读为150°）；度分秒换算忽略60进制。 5.余角、补角判定错误：忽略“两个角”的前提（误将三个角的和为90°/180°当作互余/互补）；未限定“同一个角或等角”，认为余角/补角一定相等（例：∠A的余角与∠B的余角相等，需满足∠A=∠B）；补角、余角计算漏减，例：求35°角的补角时误算为90°-35°=55°（正确应为180°-35°=145°）。 6.对顶角、邻补角混淆：误将相交直线形成的非相邻角当作对顶角（对顶角需顶点重合、两边互为反向延长线）；认为“邻补角一定相等”（邻补角和为180°，仅当两角均为90°时相等），例：误将∠AOB与∠COD当作对顶角（顶点不同，不满足对顶角条件）。 7.角的和差与折叠计算偏差：涉及角平分线时，漏算“平分后两角相等”的条件（例：OC平分∠AOB，误认为∠AOC=2∠BOC）；折叠问题中忽略重合角相等（折叠后对应角相等，易漏用此关系列等式）；三角板拼角误判度数（如30°与45°拼角可成75°或15°，易漏算其中一种）。 【典例】（2025·北京西城·二模）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B．  【变式1】（2025·北京大兴·二模）如图，平分，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再根据角平分线得到，由求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·北京西城·一模）如图，直线与相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余，对顶角相等，角度的和差计算，理解互余，对顶角相等是关键． 根据对顶角相等得到，由角的互余得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 命题点二 相交线 ►题型01 相交线及其所成的角 1.对顶角概念与判定失误：误将“有公共顶点的角”当作对顶角，忽略“两边互为反向延长线”的核心条件（如邻补角有公共顶点，但两边不互为反向延长线）；两条直线相交时，漏数对顶角对数（应为2对，易误算为4对）；忽略**对顶角相等**的性质，计算角度时未利用该等量关系简化运算。 2.邻补角与补角混淆：混淆邻补角和补角的区别，忽略邻补角“相邻且互补”的双重属性（补角仅需和为180°，无位置要求）；误认邻补角一定是直角（仅两直线垂直时，邻补角才为90°）；两条直线相交时，邻补角对数计算错误（应为4对，易与对顶角对数混淆）。 3.垂线相关概念误解：混淆垂线与垂线段（垂线是无限延伸的直线，垂线段是有长度的线段）；误将“点到直线的距离”等同于“两点间的距离”（点到直线的距离是垂线段的长度，两点间距离是线段长度）；忽略“在同一平面内”的前提，认为过一点有无数条直线与已知直线垂直（实际在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）。 4. 角度计算关系误用：计算相交线所成角时，漏用“邻补角和为180°”“对顶角相等”的核心关系；涉及垂线时，未联想到相交角为90°，导致角度推导受阻；多条直线相交于一点时，未按“对顶角、邻补角”分类计算，盲目累加角度。 5.垂直性质与判定混淆：混淆垂线的判定与性质（判定是“由角的关系推垂直”，如邻补角相等则两直线垂直；性质是“由垂直推角的关系”，如两直线垂直则所成角为90°）。 【典例】（2025·北京通州·一模）如图，直线、交于点，，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等，首先根据垂直的定义可知，根据对顶角相等可得，再根据角的和与差可得：． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1】（2025·北京·一模）如图，直线，直线交于，过点作，交直线于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，掌握平行线的性质是关键． 根据垂直的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 【变式2】（2025·北京丰台·二模）如图，点在直线上，．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义．由题意易得，，进而可求解． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型02 三线八角 三线八角识别偏差：同位角、内错角、同旁内角的识别中，未找准截线和被截线（这三类角由“两条被截直线+一条截线”构成）；误认“位置相同的角就是同位角”（需满足在截线同侧、被截直线同方向）；复杂图形中，漏认或错认角的类型（如将内错角当作同旁内角）；忽略“两直线平行”的前提，认为同位角、内错角一定相等，同旁内角一定互补（这些等量关系仅在两直线平行时成立）。 【典例】下列各图中，∠1和∠2 不是同位角的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，熟练掌握同位角的特征是解题的关键．根据同位角的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意 B. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； C. 与有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，不符合题意； D. 与的一边不在同一条直线上，不是同位角，符合题意． 故选：． 【变式1】如图，如果，那么1的同旁内角等于 度． 【答案】100 【分析】本题考查同旁内角的概念，对顶角的性质，由于，利用对顶角的性质求出，而就是的同旁内角，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴的同旁内角等于 故答案为：100． 【变式2】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（   ） A．“”表示邻补角的定义 B．“”表示同旁内角互补 C．“”表示对顶角相等 D．“”表示同角的余角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，同角的补角相等，根据邻补角互补可得，，则由等角的补角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，“”表示邻补角的定义，“”表示同角的补角相等， 故选：A． 命题点三 平行线 题型01 平行线及画平行线 1.平行线定义前提遗漏：忽略“同一平面内”的核心条件，误将异面直线（不相交也不平行）当作平行线；混淆“不相交”与“平行”，认为空间中不相交的两条直线就是平行线（仅同一平面内成立）。 2.判定与性质混淆：颠倒平行线的判定与性质逻辑——判定是“由角的关系推平行”（如同位角相等→两直线平行），性质是“由平行推角的关系”（如两直线平行→内错角相等）；例：误将“两直线平行，同旁内角互补”用于判定两直线平行。 3.画平行线操作失误：用直尺和三角板画平行线时，三角板平移未紧贴直尺（导致同位角不相等，画出的直线不平行）；未借助工具凭直观画平行线，无法保证平行关系；画完后未验证（如用量角器测同位角是否相等），遗漏纠错步骤。 4.过点画平行线的误区：认为“过直线上一点能画一条平行线”（同一平面内，过直线上一点无法画已知直线的平行线，仅过直线外一点有且只有一条）；过直线外一点画平行线时，三角板的直角边与已知直线重合位置错误，导致平行方向偏差。 【典例】（2025·北京通州）如图，在三角形中，点是边上一点，过点画，交边于点．画，交边于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查平行线判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）按要求画出图形即可； （2）先根据平行线的性质得到，进而得到，根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：∵ （已知） ∴（两条直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两条直线平行） 【变式1】（2025·北京东城）如图，，点在边上，且不与点重合．按要求补全图形，并回答问题： (1)过点画直线； (2)点（异于点）在（1）中所画的直线上，则的度数是___________； (3)在（2）的条件下，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，且点与点的距离为4，则点的坐标为___________ 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查作图—复杂作图、坐标与图形性质、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质画图即可． （2）当点A在点P的左侧时，可得；当点A在点P的右侧时，可得，进而可得答案． （3）当点A在点P的左侧时，可得点A的坐标为，即；当点A在点P的右侧时，可得点A的坐标为，即，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求． （2）解：当点A在点P的左侧时， ∵直线， ∴； 当点A在点P的右侧时， ∵直线， ∴． 综上所述，的度数是或． 故答案为：或． （3）解：当点A在点P的左侧时， ∵点P的坐标为，点A与点P的距离为4， ∴点A的坐标为，即； 当点A在点P的右侧时， ∵点P的坐标为，点A与点P的距离为4， ∴点A的坐标为，即． 综上所述，点A的坐标为或． 故答案为：或． 【变式2】（2025·北京平谷）如图，直线和直线相交于点，在直线上有一点，按要求画图并填空： (1)按要求画图： ①过点作，垂足为点； ②过点作．（在左侧，在右侧） (2)①请你写出图中与互余的角是___________，与互补的角是___________；（各写出一个即可） ②若，直接写出的度数：___________． 【答案】(1)见解析 (2)①（或；（或或或；② 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、作已知直线的垂线，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据垂线的定义画图即可．②结合平行线的判定画图即可． （2）①根据余角、补角的定义计算即可得解；②根据平行线的性质结合垂线的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②如图，直线即为所求． （2）解：①图中与互余的角是，． 与互补的角是，，，． 故答案为：（或；（或或或． ②， ． ， ， ． 故答案为：． 题型02 平行公理及推论 1.平行公理前提遗漏：忽略“同一平面内”的核心条件，误认为空间中过直线外一点也有且只有一条直线与已知直线平行（空间中存在异面直线，不满足平行公理）；遗漏“直线外一点”的限定，错误认为“过直线上一点能作一条直线与已知直线平行”（实际过直线上一点作的直线与已知直线重合或相交，无平行可能）。 2.平行公理表述偏差：混淆“有且只有一条”的两层含义，误记为“有一条”（遗漏唯一性）或“有无数条”（违背存在唯一性）；例：认为“过直线外一点可以画多条直线与已知直线平行”，忽略公理的唯一性约束。 3.平行公理推论前提忽视：推论“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，易忽略“同一平面内”的前提（空间中平行于同一直线的两条直线可能异面，不平行）；误将推论拓展到“垂直于同一直线的两条直线平行”，忽略同一平面内的限定条件（空间中垂直于同一直线的两条直线可能相交、异面）。 4.推论逻辑关系混淆：颠倒推论的因果关系，误将“两条直线互相平行”当作前提，推出“它们平行于同一条直线”（推论是由“都平行于第三条直线”推“两条直线平行”）。 5.多直线平行传递失误：三条及以上直线平行时，误用推论递推，忽略“两两都平行于同一直线”的要求。 6.公理与推论应用场景混淆：用平行公理解决多直线平行问题（公理仅针对“过一点与已知直线平行”），或用推论解决“过点作平行线”的问题（推论无“过点”的约束）。 【典例】（2025·北京大兴）已知直线与直线相交于两点，，点是直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． (1)直线与的位置关系是___________； (2)如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)平行 (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理； （1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）过点H作，根据平行公理可得，进而得到，，然后根据角的和差解答即可； （3）画出图形，分两种情况仿照（2）的解答过程得到结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：平行； （2）解：，理由为： 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， （3）解：或． 理由为： 当点F在CD上靠近N左侧时， 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 当点F在CD上靠近N右侧时， 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025北京密云）如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①见解析② (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，垂直的定义，平角，正确作出图形是解题的关键． （1）①根据题意作图，即可解答；②理由如下：过点P作，有，继而求出可得到，则，即可解答． （2）过点P作，有，先求出 则有，，即可解答． 【详解】（1）解：①作图如图 ②理由如下： 过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． （2）过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴． 【变式2】（2025·北京西城）如图1，直线，直线分别与，相交于点，．点，分别在，上，且在的同侧（）．点是直线上的动点（不与点，重合），连接，． (1)如图2，当点在线段上时，求证：； (2)在的内部作射线，使，在的内部作射线使，射线的反向延长线与射线相交于点． ①如图3，若，点在线段上，且，求的度数． ②若，点在直线上，用等式表示与的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)见解析； (2)；或． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，平行公理推论，掌握平行线的性质是解题的关键． （）过作，则有，然后利用平行线的性质即可求解； （）过点作，由，则，，设， 则，然后利用平行线的性质即可求解； 分点在点左侧，且在延长线与交点的左侧；点在点左侧，且在延长线与交点的右侧，当点线段上时，当点线段延长线上时四种情况分析即可． 【详解】（1）证明：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图， ∵， ∴，， 设， 则， ∴， ∵， ∴, ∵， 由（）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，点在点左侧，且在延长线与交点的左侧， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴； 如图，点在点左侧，且在延长线与交点的右侧， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点线段上时， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴； 当点线段延长线上时，此时射线的反向延长线与射线无交点， 综上可知：或． 题型03 平行线的判定 1.截线与被截线找错：忽略“两条直线被第三条直线所截”的前提，在复杂图形中误认截线（形成同位角、内错角、同旁内角的关键直线），错将无关直线当作截线；例：将不相交的两条直线当作被截线，导致角的类型判断错误，进而误用判定条件。 2.判定与性质逻辑颠倒：混淆平行线的判定和性质，误将“两直线平行→同位角相等”的性质结论，当作“同位角相等→两直线平行”的判定依据；例：已知两直线平行，却用角的相等关系反过来证明平行，逻辑因果倒置。 3.角的关系记忆混淆：记错判定所需的角的数量关系，如误将“同旁内角相等”当作判定条件（正确应为同旁内角互补）；或将内错角、同位角的位置关系记混，把非对应位置的角当作判定依据。 4.“垂直于同一直线”的前提遗漏：使用“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，忽略**同一平面内**的核心前提，误认为空间中垂直于同一直线的两条直线一定平行（实际空间中可能异面或相交）。 5.平行公理推论误用：运用“平行于同一条直线的两条直线平行”时，未确认两条直线是否都与第三条直线平行，直接推导平行关系；例：仅知道一条直线平行于第三条，就推出两条直线平行，缺少必要条件。 6.单一角关系误判平行：仅看到一对角相等或互补，未确认角的类型是否符合判定要求（如同位角、内错角），就判定两直线平行；例：将非同位角的两个相等角，当作判定平行的依据。 7.图形干扰导致误判：在多条直线相交的复杂图形中，漏看或错看角的位置关系，如被其他直线遮挡时，误判同位角不相等，或忽略角的等量代换关系（如对顶角相等转化后满足判定条件）。 【典例】（2024·北京通州）如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为： （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】= 【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD与△ABC为直角三角形，则推出AD∥BC，从而利用平行线间的距离处处相等得到，从而推出结论即可． 【详解】由题意，，，， ∵， ∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°， 同理，对于△ABC，也满足， ∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°， ∴∠BAD+∠ABC=180°， ∴AD∥BC， ∵平行线间的距离处处相等， ∴， ∴， 即：， 故答案为：=． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，以及平行线的判断与性质，熟练运用勾股定理的逆定理推出平行线是解题关键． 【变式1】（2023·北京平谷）如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连结BC．求证：BC∥ON． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形的性质可得BC＝AO＝CO，进而可得∠MOG＝∠CBO，再结合角平分线定义可得∠NOG＝∠CBO，然后可根据平行线的判定定理得到结论． 【详解】证明：∵OG平分∠MON， ∴∠MOG＝∠NOG， ∵AB⊥OG于点B． ∴∠ABO＝90°， ∵C为线段OA中点， ∴BC＝AO＝CO， ∴∠MOG＝∠CBO， ∴∠NOG＝∠CBO， ∴BC∥ON． 【点睛】本题考查直角三角形的性质和平行线的判定，在直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半. 【变式2】（2025·北京大兴·二模）已知：如图，在中，点在上，， 求作：点，使得点在的延长线上，且． 甲、乙两位同学尺规作图的方法如下： 甲：以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，点即为所求； 乙：以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，点即为所求． 上述两个作法中，可以判断出（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，甲乙两种方法度正确．甲利用三角形中位线定理证明即可；乙利用同位角相等两直线平行证明即可． 【详解】解：甲乙两种方法度正确． 理由：甲：由作图可知， ∴点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴； 乙：由作图可知， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型04 平行线的性质定理 1.性质与判定逻辑颠倒：混淆“由平行推角的关系”的性质逻辑，与“由角的关系推平行”的判定逻辑，出现因果倒置错误。例：已知同位角相等，却错误使用“两直线平行，同位角相等”的性质来证明平行，实则应使用判定定理。 2.角的关系对应记忆错误：记错性质定理的角的数量关系，如误将“两直线平行，同旁内角相等”当作性质（正确应为**同旁内角互补**）；混淆内错角、同位角的性质表述，把内错角的互补关系、同位角的相等关系记混。 3.前提条件遗漏：忽略“**两条平行线被第三条直线所截**”的核心前提，在无截线或两直线不平行的情况下，盲目套用角的相等或互补关系。例：任意两条直线被截形成的同位角，直接判定为相等，忽略“平行”前提。 4.复杂图形中对应角找错：多条直线相交的复杂图形里，无法准确匹配“三线八角”的对应关系，错将非同位角、非内错角当作性质定理的适用对象。例：将不属于两条平行线被同一条截线所截的角，套用“内错角相等”的性质。 5.等量代换时推导失误：利用对顶角、邻补角等进行角的等量代换时，忽略代换的等价性，导致角的关系推导错误。 6.平行传递性与性质混用：将“平行于同一直线的两条直线互相平行”的推论，与平行线的性质定理混淆，用推论的平行关系直接推导角的关系，缺少“被第三条直线所截”的条件。 7.忽略空间与平面的区别：未限定“同一平面内”，将平面内的平行线性质套用在空间异面直线上，错误认为异面直线被截形成的角也满足相等或互补关系。 【典例】（2023·北京石景山·二模）如图，直线交于一点，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得，根据平行线的性质可得，根据对顶角相等可得． 【详解】解：如图， ，， ， ∴， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了垂线的定义，平行线的性质，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式1】（2024·北京西城·一模）直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据平行线的性质得到，再由邻补角互补即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ， ∵， ∴， 由题意得，直尺的两边平行， ∴， ∴， 故选D． 【变式2】（2024·北京门头沟·二模）如图，，平分，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据“两直线平行，同位角相等”得，根据角平分线定义得，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 题型05 平行线性质的应用 1.前提条件缺失误用：应用性质时忽略“两直线平行”和“被第三条直线所截”的双重前提，在直线不平行或无公共截线的情况下，盲目套用“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”的结论。例：任意两条相交直线被截形成的角，直接用平行线性质计算角度。 2.性质与判定逻辑倒置：解题时混淆性质（由平行推角的关系）和判定（由角的关系推平行）的因果逻辑，出现“用角相等证平行，却引用平行线性质”的错误。 3.复杂图形中对应角匹配错误：多条直线相交的复杂图形里，无法准确锁定“三线八角”的对应关系，错将非平行线被截形成的角，或非同位/内错/同旁内角的角，当作性质适用对象。例：把分别属于两组不同直线被截的角，套用“内错角相等”计算。 4.同旁内角关系记忆混淆：将“两直线平行，同旁内角互补”记成“同旁内角相等”，导致角度计算出现根本性错误。 5.等量代换推导疏漏：结合对顶角、邻补角、角平分线等知识进行角度代换时，忽略代换的等价性，推导链条断裂或错误。 6.多组平行线角关系混淆：存在多组平行线时，未分清哪组平行线对应哪组角的关系，误用非对应组的平行线性质。 7.线段/射线平行的性质误用：遇到线段、射线平行的情况，忽略“线段/射线平行是指其所在直线平行”，未将图形延伸找截线和对应角，导致漏解或错解。例：两条平行线段被截，未延伸线段找完整的同位角，误判角的关系不成立。 【典例】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式1】如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 【变式2】汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由反射后的光线均平行于地面，可得，由三角形外角的性质可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， 反射后的光线均平行于地面， ， ，， ． 故选C． 题型06 平行线的判定与性质 1.逻辑关系颠倒：混淆判定（角的关系推平行）与性质（平行推角的关系）的因果逻辑。 2.三线八角识别错：截线、被截线区分不清，错将非对应角作为判定/性质依据。 3.角的关系记混：误把同旁内角“互补”记成“相等”，判定和性质均出错。 4.前提条件遗漏：判定漏“同一平面内”，性质漏“两直线平行”的核心前提。 5.多组平行线混用：多组平行线对应角的关系交叉套用，张冠李戴。 6.线段/射线平行失误：忽略线段、射线平行指所在直线平行，未延伸找对应角。 7.推论判定混淆：平行公理推论与角的判定条件混用，跳过关键逻辑推导。 【典例】（2024·北京朝阳·二模）如图，∠B=43°，∠ADE=43°，∠AED=72°，则∠C的度数为（    ） A．72° B．65° C．50° D．43° 【答案】A 【分析】由同位角相等判定两直线平行，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵∠B=43°，∠ADE=43°， ∴∠B=∠ADE ∴DE∥BC ∴∠C=∠AED=72° 故选：A 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，题目比较简单，掌握相关性质定理正确推理是解题关键． 【变式1】（2023·北京房山）如图，分别与交于点B，F，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，则有，进而根据三角形外角的性质可求解问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 【变式2】（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 【答案】(1)①；②，，理由见详解 (2)补全图形见详解，②的结论还成立，证明见详解 【分析】（1）①证明，得出，则可得出结论； ②连接，，证明，得出，，则可得出结论； （2）根据题意补全图形，证明，得出，，则可得出结论． 【详解】（1）解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 突破一 线与角的旋转与探索 【典例】（2024·北京·一模）阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？ （1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…… （2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数Sn发现：如下表 点的个数 可作出直线条数 2 1= 3 3= 4 6= 5 10= …… …… n (3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即 （4）结论： 试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？ （1）分析： 当仅有3个点时，可作出 个三角形； 当仅有4个点时，可作出 个三角形； 当仅有5个点时，可作出 个三角形； …… （2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn，发现：（填下表） 点的个数 可连成三角形个数 3 4 5 …… n (3)推理：                             （4）结论： 【答案】（1）1，4，10 （2） 点的个数 可构成三角形个数 3 1= 4 4= 5 10= n （3）见解析（4）结论：Sn= ． 【分析】（1）根据给的点数一一查出三角形即可； （2）根据引例学习，仿照引例解法，先定点，再定形的方法，3个点先取第一个点，三点任意一个有3种，第二个点从剩下的两点任取一个有2种，第三个点只有1种，三角形有3×2×1个，会出现重复现象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一种三角形，由此得出，根据此法可得出4、5、…、n个点的结论； （3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有n种方法，取第二个点有（n-1）种取法，取第三个点（n-2）种取法，所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但同一个三角形重复6次，再除以6即可； （4）根据（3）即可得出结论． 【详解】解：（1）当仅有3个点时，三点分别为A、B、C、可作1个三角形△ABC； 当有4个点时，四点分别为A、B、C、D可作4个三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD； 当有5个点时五点分别为A、B、C、D、E，可作10个三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE． 故答案为1,4,10． （2）填表如下： 点的个数 可构成三角形个数 3 1= 4 4= 5 10= n （3）推理：平面上有n个点，过不在同一条直线上的三个点可以确定一个三角形，取第一个点有n种方法，取第二个点有（n-1）种取法，取第三个点（n-2）种取法， 所以一共可以作n（n-1）（n-2）个三角形，但同一个三角形重复6次， 故应除以6， 即Sn= ． （4）结论：Sn= ． 【点睛】本题考查图形规律探索，阅读理解，仔细阅读，抓住点与线的规律，拓展点与三角形的规律，是学习的质的飞跃，本题难度不大，是培养逻辑思维的好题． 【变式1】如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使得，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在点O处，使边在射线上，另一边在直线的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转． (1)在三角板旋转的过程中，当时，三角板旋转的角度为________； (2)当所在的射线恰好平分时，三角板旋转的角度为________； (3)若三角板绕点O按每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O按每秒的速度顺时针旋转，当与射线重合时，同时停止运动，请计算三角板的直角边所在射线恰好平分时，三角板运动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】（1）根据，求出旋转角即可； （2）根据，利用补角性质求出，根据所在的射线恰好平分，得出，再求出旋转角即可； （3）设三角板运动的时间为t秒，当平分时，根据的一半与旋转角相等，列方程，当平分时，根据的一半与旋转角相等，列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵在射线上，三角板绕点О按顺时针方向旋转，， 旋转角， 三角板旋转的角度为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵所在的射线恰好平分， ∴， ∴旋转角， 故答案为：； （3）解：设三角板运动的时间为t秒，则，， 当平分时，，如图： ， 解得； 当平分时，，如图： ， 解得； 综上可知，三角板运动的时间为秒或秒． 【点睛】本题考查旋转的性质，补角的性质，角平分线定义，图形中的角度计算，一元一次方程的应用，熟练运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式2】（2025·北京模拟）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）按要求补全图形，即可求解； （2）延长至点G，使，连接，证明≌得出相等的边和角，假设，表示出相关的角，证明≌，即可得出结论； （3）取的中点O，与的交点为H，连接，得出当A、H、O三点共线时，最小，画出图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解： ，证明如下： 如图，延长至点G，使，连接，则， 点F是线段的中点， ， 在与中， ， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ； （3）解：如图所示，取的中点O，与的交点为H，连接， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ∴， ， ， 当A、H、O三点共线时，最小，如下图， 此时，， 的最小值为， 由勾股定理得， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定及性质，勾股定理，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间线段最短找出线段取得最小值的条件是解题的关键． 突破二 平行线及其判定 【典例】已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（2025·北京）如图，过点作直线分别与直线，相交于、两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，，其中、、满足． (1)_____________，_____________，_____________； (2)求证：； (3)过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合．作的角平分线交线段于点，直接写出与的数量关系__________________________． 【答案】(1)80，140，140 (2)详见解析 (3)或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性和二次方的非负性，求出x、y、z的值即可； （2）过P作，根据平行线的判定和性质证明，利用平行公理求出最后结果即可； （3）分三种情况：当点Q在线段上时，当点Q在点M的左侧时，当点Q在点E的右侧时，分别画出图形，作出辅助线求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得：，，， 故答案为：80；140；140． （2）证明：如图，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． （3）解：当点Q在线段上时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 当点Q在点M的左侧时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 即； 当点Q在点E的右侧时，过点S作，，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，，， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， 即； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，非负数的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，画出图形，作出辅助线，数形结合． 突破三 平行线性质综合 【典例】（2024·北京顺义·二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意描述作图即可； （2）根据旋转可得，证明，，根据平行线分线段成比例和得出，即可证明； （3）过点作交于点，证明，得出，从而证明，再根据且，得出，，，从而证明，即可求解； 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）． 证明：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 即， ， ， ， ， ， 【变式1】如图，直线//，点，，在上，点，在上，连接，交于点，和的角平分线交于点，直线分别交直线，于，两点． (1)如果，，求的度数； (2)请猜想和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当，时，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，当正好旋转一周时两者同时停止运动．设运动时间为（单位：秒），直接写出当，分别与的其中一条边平行时，运动时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作直线根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，进而根据，即可求解； （2）猜想：，过点作，设，，进而分别表示出，即可求解； （3）根据垂直的定义，，得出，根据，得出，由（2）可得，则，进而分5种情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作直线， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想：，理由如下， 过点作，如图所示， ∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， 设，，     ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴； ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到，同时将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到， ∴； ①当时，如图所示， ∴， ∴， 解得：； ②如图所示，当时，延长交于点， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③如图所示，当在上，则， ∴， 解得：， 此时， ∴， 而， ∴， ∴， ④当时， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，． 【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，角平分线的定义，旋转的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，分别交于D，交于E．已知，，，求的值． 小明发现，过点E作，交延长线于点F，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知和矩形，与交于点G，，求的度数． 【答案】； 【分析】根据作图及给出的条件可证四边形是平行四边形，从而证明到，，可转化为线段，并可以发现在直角中，利用勾股定理即可求出长度；解决问题中，可以根据矩形和平行四边形的性质对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，根据，把这三条线段可转化为的三边，进而证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质，即可获解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 解决问题：连接，，如图． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法． 1．（2025·北京平谷·一模）如图，直线，直线交于点，交于点，平分交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由两直线平行，同旁内角互补得，再运用角平分线的定义，得，最后由两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：B 2．（2025·北京·模拟预测）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B．点C在直线b上，且．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，先利用等腰三角形的性质可得，然后再利用平行线的性质可得． 【详解】解：，， ， ∵， ， 故选A． 3．（2025·北京昌平·二模）如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线性质的应用，根据两直线平行，同位角相等得，再根据补角的定义可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·北京海淀·模拟预测）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边和含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角和补角、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键． 先根据已知条件和互为余角的定义求出，再根据对顶角的性质求出，最后根据外角的性质即可解答． 【详解】解：如图所示： 由题意可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（2025·北京顺义·二模）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形中角的和差计算，由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2025·北京朝阳·二模）如图，直线和相交于点平分，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线和邻补角．熟练掌握其定义，是解题的关键． 根据角平分线的定义得，根据邻补角定义得 ． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：B． 7．已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由角平分线定义可得，然后通过角平分线定义可得，所以，最后由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 8．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为 ； （2）小明骑行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：（1）根据图示计算的路线距离为； 故答案为：       （2）找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故答案为：. 9．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）先得出，结合，，故，再整理得的度数， （2）延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．结合，得证是的中位线，平分．由角平分线的性质得，，运用三角形内角和得出，再根据等角对等边，则，然后证明，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，． ∴是的中位线，平分． ∴，． ∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（2023·北京·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在复习三角形中线的相关知识时，李老师提出了以下问题： 如图①，在中，为中线，已知，求中线长的取值范围．小颖和小组交流后，通过倍长中线，将分散的条件迁移到同一个三角形中，利用三角形的边角关系顺利的解决了问题，下面是小颖的解题思路：延长至点，使，连接，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是． 任务： (1)如图②，在四边形中，，点为边的中点，且平分，则、、的数量关系是________； (2)如图③，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图④，是的中点，点在线段上，，若，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长与的延长线交于点P，证明得，根据直线平行的性质和角平分线可得，由此得，由此可得； （2）延长交的延长线于点P，证明得，根据直线平行的性质和角平分线可得，得，从而可得； （3）延长交的延长线于点，证明得，根据及直线平行的性质得，从而得，从而可得，根据即可求出；过点作于点，在中，，根据即可得到答案． 本题考查了三角形全等的判定与性质、直线平行的性质、三角形中等角对等边的性质、特殊角的三角函数值等，作出合适的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长与的延长线交于点P， ， ， 为的中点， ， 在和中，， ， ， 平分， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于点P， ， ， 为的中点， ， 在和中，， ， ， 平分， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交的延长线于点， ∵是的中点， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，在中，， ， ． 11．（2025·北京密云·一模）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)若，求的大小（用含的式子表示）； (3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键； （1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）如图2，连接交于点，延长交于点，证明，得出，可得，、是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：补全图形，如图1， （2）解：，， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，连接交于点，延长交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， 、、是等腰直角三角形， ∴，，， 设，， ，， ， ． 1．（2024·北京·模拟预测）对于条直线，满足，，则这条直线最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，直线相交的交点个数问题．熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 由，可知从1到的条直线平行，由，可知从到的30条直线交于一点，则剩余条直线最多可以有个交点，设从1到的条平行直线为A组，从到的30条直线为B组，剩余条直线为C组，分别求出A组直线与B组直线、A组直线与C组直线、B组直线与C组直线最多的交点个数，然后求和计算即可． 【详解】解：∵， ∴从1到的条直线平行， ∵， ∴从到的30条直线交于一点， ∴剩余条直线最多可以有个交点， 设从1到的条平行直线为A组，从到的30条直线为B组，剩余条直线为C组， 则A组直线与B组直线交点最多为个，A组直线与C组直线交点最多为个，B组直线与C组直线交点最多为个， ∴这条直线最多有个交点， 故答案为：． 2．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1 和6，2和5，3 和4）放置于水平桌面上，如图 1．在图 2 中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是 ；连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的点数是 ． 【答案】 3 6 【详解】试题分析：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以2015÷3=671......2，所以连续完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是3，连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的点数是6．故答案为3，6． 考点：规律型． 3．（2023·北京·模拟预测）如图，四边形是一段矩形纸条，，点E为的中点．第一步，在边上找一点F，将纸条沿折叠，得到的图形如图②；第二步，在图②中的边上找一点G，将纸条沿折叠，得到的图形如图③，设．若折叠后，． （1） （用含有α的式子表示）； （2）当时，矩形纸条的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等可得，再根据由折叠的性质得到，，然后根据平行线的性质分别得出，，从而可得 （2）先由折叠的性质得出，，，再利用平行线的性质得到，结合由（1）得，得到关于的方程求解，再利用含有角的直角三角形的性质得出，再根据矩形的性质得出，，，然后利用勾股定理求得，再利用四边形是菱形，接着利用菱形的性质、勾股定理求出，进而求得、，然后利用线段的和求得，进而求得，最后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长、交于点I ，， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可知：，， 又， ， ， ， ， ， 即 （2）将图形沿展开，连结交于点J， 则，，， ， ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 由（1）知， ， 四边形是菱形， ，， ，， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， 又点E为的中点， ． 矩形纸条的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，折叠的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 5．（2024·北京海淀）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP． （1）若α＝60°，k＝1， ①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数； ②直接写出PA、PQ的数量关系； （2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①详见解析；②PA=PQ．（2）存在，使得②中的结论成立． 【分析】（1）①如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°； ②根据①中得结论：∠PAC＝∠PQC＝30°，则PA＝PQ； （2）存在k=，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△PAD≌△PQC（SAS）．可得结论． 【详解】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD， ∵∠ACM＝60°， ∴△ADC为等边三角形． ∴∠DAC＝60°． ∵C为AB的中点，Q为BC的中点， ∴AC＝BC＝2BQ． ∵BQ＝CP， ∴AC＝BC＝CD＝2CP． ∴AP平分∠DAC． ∴∠PAC＝∠PAD＝30°． ②∵△ADC是等边三角形， ∴∠ACP＝60°， ∵PC＝CQ， ∴∠PQC＝∠CPQ＝30°， ∴∠PAC＝∠PQC＝30°， ∴PA＝PQ； （2）存在，使得②中的结论成立． 证明：过点P作PC的垂线交AC于点D． ∵∠ACM＝45°， ∴∠PDC＝∠PCD＝45°． ∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°． ∵，， ∴CD＝BQ． ∵AC＝BC， ∴AD＝CQ． ∴△PAD≌△PQC（SAS）． ∴PA＝PQ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属于中考常考题型． 6．（2023·北京门头沟·一模）已知正方形和一动点E，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点E在正方形内部时， ①依题意补全图1； ②求证：； (2)如图2，当点E在正方形外部时，连接，取中点M，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②证明，根据全等三角形对应边相等得出结果即可； （2）连接、，延长，使，连接，延长交于点G，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：①依题意补全图1，如图所示： ②∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 连接、，延长，使，连接，延长交于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，   ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 1．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见解析；（2）50 【分析】本题考查轴对称图形的性质，尺规作图——作垂直平分线，作角平分线，平行线的性质，读懂题意是解题的关键． （1）任务一：连接，作的垂直平分线m，过点P作直线m的垂线，交边于点A，以点A为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，则点为所求； 任务二：作出与所成夹角的角平分线，即为折痕； （2）根据三等分线得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 4．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $