数学一模保分卷03（北京专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

: 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 .: : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第一部分（选择题共40分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设全集U={-3,-1,0,1,2,3},集合S={-3,0,1},T={0,1,2},则C,(SnT)等于() A.0B.{-3,-1,01,2}C.{-3-1,2,3}D.{-1,2,3 2.若复数z=a+ aeR)是纯虚数，则a= 1 1 A. B.1 C.- D.-1 、 3.若(-3x少的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为() : A.16 B.-16 C.32 D.-32 : 4.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是() : A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>c, 则1<1 a-c b-c 拟 : C.若a<b<c<0,则bb+c D.若a>b,则a2>b aa+c 5.已知a,万为非零向量，则“存在实数2，使a=”是a+=d+"的() : A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 : 6.已知双曲线c:y a24 =1(a>0)的渐近线方程为y=±2x,则a的值为() A.1 B.√ C.22 D.4 7.为得到函数y=2+1的图象，只需把函数y=2的图象上的所有点() A.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位 试题第1页（共4页） .: .: ©学科网·学易金卷做概德：就限？是鲁” C.向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D.向右平移2个单位，再向下平移2个单位 8.已知数列{a}的各项均为整数，4=-2,43=4，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数 列，则4= A.8 B.16 C.64 D.128 9.己知直线：x-2y+5=0与圆x2+y2=9交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两 点，则CD=() A.√2 B.2W5 c.22 D.5 10.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T,,tni后的温度是 T, 则T-T。=(T,-T) 其中T。表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯88℃的咖啡放在24℃ 的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20mi,那么降温到35C大约需要（参考数据： 1g11≈1.04，lg2≈0.30）(） A.24min B.25 min C.26min D.27min 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分 11.若抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-2,则卫=」 12.已知直线x=-工为函数f()=cosox+- (o>0)图象的一条对称轴，则满足条件的一个o的取值 6 6 为；若f(x)在区间 60上有零点，则®的最小值为 13.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱ABC-AB,C为一“堑 堵”，P是BB,的中点，AA=AC=BC=4,则该“堑堵"的外接球的表面积为；在过点P且与直线AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 C e-a,x≤0 14.设函数f(x)= x2-(a+2)x+1,x>0 (1)当a=0时，f(x)≥二的解集为一： 4 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁背 (2)若函数f(x)有3个零点，则实数α的取值范围是 15.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:x4-y4=1,点P为曲线C上任意一点，则下列说法正确的是 ①，曲线C既关于x轴对称，也关于y轴对称，还关于原点对称 ②. OP的最小值为 2 ③.在第一象限内，曲线C的图象在双曲线x2-y2=1的图象的上方 ④.若点P到直线y=x和y=-x的距离分别为d,d,则|OP= 1 2dd, 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(满分13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A+C=bsinA. 2 (1)求B: (2)若b=2√3，求△ABC周长的取值范围. 17.(满分14分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=√5，E,M,F分别 是AB,BC,PC中点，PD与平面AEF交于点N,PM=2√2 (1)证明：N是PD的中点： (2)求平面PAD与平面PBC夹角的大小： (3)求点A到平面PBC的距离. 18.(满分13分)某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV)和插混电动版(PHEV),为了解某市将来市 场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位： 人) 低收入群体（收入<20 中收入群体（收入20万 高收入群体（收 车型 万元年) 元-50万元/年) 入>50万元/年) 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 试题第3页（共4页） : PHEY 25 45 40 40 35 15 O 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. .: (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动(EV)的概率p: (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购 买纯电动(EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望： ☑ (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社 : 区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为P4,试比较p和p4的大小. 兵 19.(溪分15分》据国c吾芳1ab>0的离心率为 ,左右顶点分别为4,4，上下顶点分别 3 米 为B,B2,四边形4B2A,B是边长为2√5的菱形. (1)求椭圆C的方程： (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，F为椭圆C的右焦点，连接A乃与B耳，并延 长交椭圆C于D,层两点，若直线B的斜率为，直线D2的斜等为k,试探究受是否为定值，若是，则 数 游 .: 求出这个定值；若不是，请说明理由， : 20.(满分15分)己知函数f(x)=e-x2(m∈R). (1)当m=1,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)当m=1,判断f(x)在区间(0，+∞)是否存在极小值点，并说明理由： (3)已知>0，设函数g(x)=fx)+mx血(x).若g(x)在区间(0，+o)上存在零点，求实数m的取值范围. E 21.(满分15分)从任一数列A中，选取第项，第项，…第im项(i<i2<.<),新数列 4,4,4n为A长度为m的子列对于各项均不相同的数列A:4,4,,4,其各项从小到大按顺序排 世 列为a4,4,,4m（其中i,2,i2m是1,2，.2n的一个排列.定义集合：T={ti2-i2-=1,t=1,2,心， O 称集合T的元素个数为数列A的“相邻计数”，记为T(A)· (1)对于数列A:2,0,1,2,5,2,0,2,6,直接写出它所有的4项子列B,使得B各项不同，且T(B)=2: (2)已知数列A:9,10,11,12,8,7,6,5,1,2,3,4,证明：对于A的任意一个连续4项子列C,都有T(C)≥1： 燸 (3)已知数列44,4，.a2025×2026是1,2,2025×2026的一个排列，求证：A总存在长为4050项的子 列D,使得T(D)=2025. : O 试题第4页（共4页）西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设全集U={-3,-1,0,1,2,3},集合S={-3,0,1},T={0,1,2},则C(S∩T)等于() A.0☑ B.{-3,-1,0,1,2 C.{-3,-1,23} D.{-1,2,3} 2.若复数z=a+ 2(aeR)是纯虚数，则a=（) 1+ A.月 B.1 C. D.-1 3.若-3x)”的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（) A.16 B.-16 C.32 D.-32 4.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>c,则1<1 a-cb-c C.若a<b<c<0,则b、b+c D.若a>b,则d>b2 aa+c 5.己知a,五为非零向量，则存在实数元，使a=历"是“a+=d+的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知双菌我C若手1口≥0)的渐近线方程为y=2,则a的值为() 117 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.1 B.√2 C.25 D.4 7.为得到函数y=2+1的图象，只需把函数y=2的图象上的所有点() 21 A.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C.向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D.向右平移2个单位，再向下平移2个单位 8.已知数列{a}的各项均为整数，=-2,43=4，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比 数列，则4s= A.8 B.16 C.64 D.128 9.已知直线1：x-2y+5=0与圆x2+y2=9交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两 点，则CD=() A.√ B.2W5 C.2W5 D.5 10.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T,,tin后的温度是 T,则T-T=(- 其中T表示环境温度，五称为半衰期.现有一杯88C的咖啡放在 24C的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20in,那么降温到35℃大约需要（参考数据： lg11≈1.04，lg2≈0.30）（) A.24min B.25min C.26min D.27min 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-2,则p= 2.已知直线x为函数f)=coor+元) 石(@>0)图象的一条对称轴，则满足条件的一个ω的取值 为一：若f)在区间元0上有零点，则®的最小值为一 6 13.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，三棱柱ABC-AB,C为一“堑 堵”，P是BB,的中点，A4=AC=BC=4,则该“堑堵'的外接球的表面积为；在过点P且与直线AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 217 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C B [e*-ax≤0 14.设函数f(x)= x2-(a+2)x+1,x>0 (1)当a=0时，fm≥的解集为一： (2)若函数f(x)有3个零点，则实数a的取值范围是一 15.在平面直角坐标系xOy中，己知曲线C:x-y=1,点P为曲线C上任意一点，则下列说法正确的是 ①.曲线C既关于x轴对称，也关于y轴对称，还关于原点对称 ②.or的最小值为5 ③.在第一象限内，曲线C的图象在双曲线x2-y2=1的图象的上方 ④.若点P到直线y=x和y=-x的距离分别为4,4，则1OP=, 2dd, 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(满分13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,c,已知sin4+C=bsin4. 2 (1)求B: (2)若b=2N3,求△ABC周长的取值范围. 317 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(满分14分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=√5，E,M,F分 别是AB,BC,PC中点，PD与平面AEF交于点N,PM=2√2 p D M E B (I)证明：N是PD的中点： (2)求平面PAD与平面PBC夹角的大小； (3)求点A到平面PBC的距离. 417 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(满分13分)某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动(EV)和插混电动版(P正V),为了解某市将 来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单 位：人) 低收入群体（收入<20 中收入群体（收入20万 高收入群体（收 车型 万元/年) 元-50万元/年) 入>50万元/年) 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率 (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动(EV)的概率p: (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购 买纯电动(EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望： (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社 区随机抽取1人，其愿意购买纯电动EV)汽车的概率设为pa,试比较p和p4的大小. 517 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.满分15分)圆c+=1(a>b>0)的离心为V6 左右顶点分别为A,A,上下顶点分别 3 为B,B2,四边形AB,4B,是边长为2√5的菱形 (1)求椭圆C的方程： (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，F为椭圆C的右焦点，连接AF,与BF,并 延长交椭圆C于D,B两点，若直线AB的斜率为k,直线DB的斜率为k,试探究套是否为定值.若 k 是，则求出这个定值；若不是，请说明理由. 20.(满分15分)己知函数f(x)=e-x2(∈R). (1)当m=1,求f(x)在x=1处的切线方程； (2)当m=1,判断f(x)在区间(0，+∞)是否存在极小值点，并说明理由： (3)已知m>0,设函数g(c)=f(x)+mx血(mx).若g(x)在区间(0，+∞)上存在零点，求实数m的取值范围. 617 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.（满分15分)从任一数列A中，选取第项，第，项，…第i项(i<i,<.<im),新数列 4,4,，4为A长度为m的子列对于各项均不相同的数列A:4,4,,4,其各项从小到大按顺序排 列为44，a,,42m（其中，2，i2m是1,2.21的一个排列.定义集合：T=t-2-=1,t=1,2,川， 称集合T的元素个数为数列A的“相邻计数”，记为T(A)· (1)对于数列A:2,0,1,2,5,2,0,2,6,直接写出它所有的4项子列B,使得B各项不同，且T(B)=2: (2)已知数列A:9,10,11,12,8,7,6,5,1,2,3,4,证明：对于A的任意一个连续4项子列C,都有T(C)21: (3)已知数列44,4…4025x2026是1,2，，2025×2026的一个排列，求证：A总存在长为4050项的子 列D,使得T(D)=2025. 717………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．若复数是纯虚数，则（   ） A． B．1 C． D． 3．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 4．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 7．为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 8．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则 A．8 B．16 C．64 D．128 9．已知直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若抛物线的准线方程为，则 . 12．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 13．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为 ；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 14．设函数. （1）当时，的解集为 ； （2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 . 15． 在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的是 ①．曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 ②．的最小值为 ③．在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 ④．若点到直线和的距离分别为，则 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 17．（满分14分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 18．（满分13分）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 19．（满分15分）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（满分15分）已知函数． (1)当，求在处的切线方程； (2)当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； (3)已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数m的取值范围． 21．（满分15分）从任一数列中，选取第项，第项，第 项（ ）， 新数列 为长度为 的子列.对于各项均不相同的数列，其各项从小到大按顺序排列为（其中 是 的一个排列.定义集合：，称集合的元素个数为数列的 “相邻计数”，记为 . (1)对于数列 ，直接写出它所有的 4 项子列 ，使得各项不同，且； (2)已知数列，证明：对于 的任意一个连续 4 项子列 ，都有； (3)已知数列 是 的一个排列，求证： 总存在长为 4050 项的子列 ，使得 . 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．若复数是纯虚数，则（   ） A． B．1 C． D． 3．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 4．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 7．为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 8．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则 A．8 B．16 C．64 D．128 9．已知直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若抛物线的准线方程为，则 . 12．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 13．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为 ；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 14．设函数. （1）当时，的解集为 ； （2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 . 15． 在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的是 ①．曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 ②．的最小值为 ③．在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 ④．若点到直线和的距离分别为，则 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 17．（满分14分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 18．（满分13分）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 19．（满分15分）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（满分15分）已知函数． (1)当，求在处的切线方程； (2)当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； (3)已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数m的取值范围． 21．（满分15分）从任一数列中，选取第项，第项，第 项（ ）， 新数列 为长度为 的子列.对于各项均不相同的数列，其各项从小到大按顺序排列为（其中 是 的一个排列.定义集合：，称集合的元素个数为数列的 “相邻计数”，记为 . (1)对于数列 ，直接写出它所有的 4 项子列 ，使得各项不同，且； (2)已知数列，证明：对于 的任意一个连续 4 项子列 ，都有； (3)已知数列 是 的一个排列，求证： 总存在长为 4050 项的子列 ，使得 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A][B][C[D] 9[A][B][CD] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C[D] 10[A][B][C[D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12 13 14. 15. 的1 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) F N D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，集合，，则， 故. 故选：C. 2．若复数是纯虚数，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算可得，再结合纯虚数的定义运算求解即可． 【详解】因为， 若复数是纯虚数，则，所以． 故选：D. 3．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】D 【分析】由二项式的系数和求出，再赋值计算即可. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得， 令可得的展开式中各项系数和为. 故选：D. 4．若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C． 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，，， 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，， 所以，即，故C错误； 对于D，令，，则，，故D错误． 故选：B． 5．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故， 所以， 即，故， 所以同向共线，即存在实数，使，必要性成立， 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】D 【分析】 利用双曲线的几何性质解答即可. 【详解】由双曲线方程可知，双曲线的焦点在轴上， 且易知，由渐近线方程为可得，解得. 故选：D. 7．为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移2个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【分析】化简函数，由函数图象的平移得到答案. 【详解】， ∴将函数的图象上的所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到函数的图象， 故选：A 8．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则 A．8 B．16 C．64 D．128 【答案】B 【详解】分析：利用等差数列等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值. 详解：设由前12项构成的等差数列的公差为，从第11项起构成的等比数列的公比为， 由，解得或， 又数列的各项均为整数，故，所以， 所以，故 故选B 点睛：本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算求解能力. 9．已知直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的弦长求得，由题意可得直线的倾斜角的正切值和勾股定理求解可得. 【详解】由，可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以， 过点作的垂线，垂足为，易知四边形为矩形，所以， 又因为的斜率为，所以， 在中，， 所以.    故选：B. 10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知求得半衰期，然后再计算可得． 【详解】由题意，即，，， 设降温到35℃大约需要，则， 即，， ， 所以， 故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若抛物线的准线方程为，则 . 【答案】4 【分析】根据准线方程，求出值，即可得答案. 【详解】因为准线方程为，故，所以. 故答案为：4. 12．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 【答案】 1(满足且为正数即可） 4 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又且要求的最小值，故，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一，满足且为正数即可）；. 13．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为 ；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为 【答案】 【分析】①如图1，把原三棱柱补成正方体，则正方体对角线为外接球的一条直径，根据求出半径，再根据面积公式求解. ②如图2，取中点E，F，G构造面，由与线线平行推出与面平行，根据边长关系进一步推出四边形即为唯一的等腰梯形，求其面积即可. 【详解】如图1，将三棱柱补成正方体， 则外接球的半径，则外接球的表面积为． 如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG． 因为F，G分别为的中点，所以且． 在直三棱柱中，且． 因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面． 因为E，F分别为的中点，所以． 又,，所以． 因为且F，G分别为的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形． 当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 在等腰梯形中，,． 过点G作的垂线，交于点H， 所以． 故答案为：； 14．设函数. （1）当时，的解集为 ； （2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 ； . 【分析】（1）分别求出当时和当时不等式的解集，最后取并集即可得解； （2）由零点个数可得在上有一个零点，在上有两个零点，分别求出a的取值范围，最后取交集即可得解. 【详解】当时，函数， 当时，，即， 解得； 结合，得 当时，即， 解得或， 结合，得或 综上，的解集为； 若函数有3个零点，可得在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，，得， 因，故， 即当时，在上有一个零点； 当时，，这是一元二次方程，需有2个正根， 则，解得， 综上，a的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 15． 在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的是 ①．曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称 ②．的最小值为 ③．在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方 ④．若点到直线和的距离分别为，则 【答案】①③④ 【分析】设点在曲线上，可得点，，也在曲线上，即可判断①; 设点的坐标为， 有，即可判断②; 设曲线和双曲线在第一象限内的点分别 为,可得 ，由B选项的推导过程可得在第一象限内，即可判断③; 结合②选项的推导过程有，，计算即可判断④. 【详解】对于①选项，设点在曲线上，可得点，，也在曲线上， 故曲线既关于轴对称，也关于轴对称，还关于原点对称，故①选项正确； 对于②选项，设点的坐标为，有，可得（或）， 有，又由，有，，可得， 可得的最小值为1，故②选项错误； 对于③选项，设曲线和双曲线在第一象限内的点分别为, 可得，，由B选项的推导过程可得在第一象限内， 又由，由得，即， 且只有当时，，故可得在第一象限内，曲线的图象在双曲线的图象的上方，故③选项正确； 对于④选项，结合②选项的推导过程有，，， 有，可得，故④选项正确． 故选：①③④． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由边化角得，进而结合内角和定理和诱导公式，二倍角公式得，进而得； （2）由正弦定理得，，进而根据三角恒等变换得，再结合得到周长范围. 【详解】（1）由正弦定理得． 因为，所以． 所以， 所以． 因为，所以， 所以，. （2）由于，，有正弦定理， 所以，，由于， 因为，所以． 因此. 17．（满分14分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理推出，即可证明结论； （2）说明两两垂直，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，故， 则，而平面，平面，故平面， 又平面平面，平面，故， 是中点，故是的中点； （2）取的中点为O，连接， 因为，故，且, 而，则，即得, 则两两垂直， 以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为 ， 则 ， ，令，则，则， 平面的一个法向量可取为， 平面与平面的夹角为， 故， 平面与平面夹角的大小为； （3）由（2）可知，则, 故点到平面的距离为. 18．（满分13分）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 【答案】(1) (2)分布列见解析, (3) 【分析】（1）利用频率来估计概率即可； （2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； （3）利用全概率公式来进行求解. 【详解】（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计， 由题意可知X可能取值为0，1，2，3， 分布列如下： X 0 1 2 3 p （3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 利用全概率公式可得： 所以 19．（满分15分）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，． 【分析】（1）根据离心率和菱形的边长，建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设，求出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，消去后得到韦达定理，从而用表示出点的坐标，写出的算式并化简即可求出的定值. 【详解】（1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为． （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,， 所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以． 20．（满分15分）已知函数． (1)当，求在处的切线方程； (2)当，判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； (3)已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)存在极小值点，理由见解析 (3) 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）当时，则，求导后得，令，再利用导数从而可求解. （3）由题可得，令，即转化为有解，构造函数，由导数可得有唯一零点，从而将问题转化为在有解，再构造函数，利用导数求出函数的值域，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， ，， 所以在处的切线方程：， 即 （2）当时，则， 所以，设，则， 由单调递增，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 又， 所以存在极小值点. （3）令，则， 又， 所以. 令， 故有解， 设， 则，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以有唯一的零点， 若在区间上存在零点， 即在上有解， 整理可得， 令，则，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，解得， 所以的取值范围为. 21．（满分15分）从任一数列中，选取第项，第项，第 项（ ）， 新数列 为长度为 的子列.对于各项均不相同的数列，其各项从小到大按顺序排列为（其中 是 的一个排列.定义集合：，称集合的元素个数为数列的 “相邻计数”，记为 . (1)对于数列 ，直接写出它所有的 4 项子列 ，使得各项不同，且； (2)已知数列，证明：对于 的任意一个连续 4 项子列 ，都有； (3)已知数列 是 的一个排列，求证： 总存在长为 4050 项的子列 ，使得 . 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，各项不同的4项子列需要包含，利用题设中的新定义，结合列举法，即可求解； （2）利用反证法证明，假设，可得下标序号关系或，再分类分析矛盾可得； （3）先将数列的下标序列分组，由抽屉原理，删去首个至少包含两项的集合中的所有项及其他集合中的第一项生成新数列，并取出此两项为子列的前两项，依此类推构造系列新数列及取项，可得满足，进而得证. 【详解】（1）由题意，子列项数为，且子列各项由小到大排序后的下标序列， 需满足， 其中即且， 由数列， 各项均不同的长度为4的子列必包含， 则长度为4的子列所有可能为： ；；；；，； 因为各项从小到大按顺序排列后均为， 则对应下标序列的所有可能为： ；；；；； 故满足条件且的有；两种情况， 即满足题意的所有项子列为：与. （2）数列，各项不同，记为. 设是数列的任意一个长度为的子列，分别对应数列的第项， 且，对应项依次为， 记，即数列. 将这四项从小到大重新排序，记数列， 即，其中为的一个排列， 由，其中即且， 为集合中元素的个数. 下面用反证法证明：对于的任意一个长度为4的子列，都有； 假设，则，且， 则或， 即数列中，最小两项（前两项）都为原数列的奇数项，或都为原数列的偶数项. 将数列的下标序列分如下三组：， 这三组分别对应大数组；中数组；小数组. 由题意，假设若中至少存在个取值属于同一集合，则必存在，，这与假设矛盾. 故中至多两个取值属于同一集合， 第I类：当时，则， 即，且，即最小两项为，最大两项为， 则且. ①若，则，，则， 这与中至多两个取值属于同一集合矛盾； ②若，则由中至多两个取值属于同一集合，且， 可知，则， 故，这与矛盾； ③若，则，，则， 所以，这也与矛盾； 第II类：当时，则， 即，且，即最大两项为，最小两项为， 则且. ①若，则，，则， 这与中至多两个取值属于同一集合矛盾； ②若，则，， 同理由中至多两个取值属于同一集合， 可知，则，因此，则， 则， 故，这与矛盾； ③若，,同理可知，故. （i）若，，则，， ，这与矛盾； （ii）若，，， 若，，由数列为递减数列，则，这与矛盾； 若，则，，，这也与矛盾； 综上所述，不存在满足的数列， 故假设错误，，得证. （3）数列是的一个排列， 将数列的下标序列分如下组： ， 记（） 对的任意一个排列，总可以按如下方法构造一个数列， 在数列中前项中， 由抽屉原理可知，共个集合中至少存在一个包含项以上， 记首个包含第二项的集合为，数列中属于该集合的前两项分别设为， 其中，记， 可知中任意两项所属集合()都不同， 将数列中按序删去集合中所有项及属于其他集合的第一项，共删去项， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含个集合的项，且每个集合各有项. 中还剩余项，可构成新数列， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含个集合的项，且每个集合各有项. 同样的，在数列中前项中， 由抽屉原理可知，共个集合中至少存在一个包含项以上， 记首个包含第二项的集合为，属于该集合的前两项分别设为， 其中，记， 可知中任意两项所属集合()都不同， 将数列中按序删去集合中所有项及属于其他集合的第一项，共删去项， 则数列中还剩余项，可构成新数列， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含除两集合外剩余个集合的项，且每个集合各有项 ， 依此类推，数列项的个数为，（规定数列） 数列中包含个集合的数，每个集合个数， 属于同一集合的前两项分别设为，，， 则可构造子列， 将中各项从小到大重新排序后，可知仍必相邻， 故. 由上构造可知，总存在长为4050项的子列，使得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D B B D A B B B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11、4 12、 1(满足且为正数即可） 4 13、 14、 ； . 15.①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） （1）由正弦定理得． 因为，所以． 所以， 所以． 因为，所以， 所以，............................................................6分 （2）由于，，有正弦定理， 所以，，由于， 因为，所以． 因此...........................................13分 17．（满分14分） （1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，故， 则，而平面，平面，故平面， 又平面平面，平面，故， 是中点，故是的中点；..........................................4分 （2）取的中点为O，连接， 因为，故，且, 而，则，即得, 则两两垂直， 以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为 ， 则 ， ，令，则，则， 平面的一个法向量可取为， 平面与平面的夹角为， 故， 平面与平面夹角的大小为；..........................................11分 （3）由（2）可知，则, 故点到平面的距离为...........................................14分 18．（满分13分） （1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；..........................................4分 （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计， 由题意可知X可能取值为0，1，2，3， 分布列如下： X 0 1 2 3 p ..........................................10分 （3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 利用全概率公式可得：..........................................13分 所以 19．（满分15分） （1）由可得 又由题意，， 联立两式，解得 所以椭圆C的方程为．..........................................4分 （2） 设，则，，， 则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：， 即． 显然,， 所以，． 所以，同理可得． 所以． 所以．..........................................14分 20．（满分15分） （1）当时，， ， ，， 所以在处的切线方程：， 即.........................................4分 （2）当时，则， 所以，设，则， 由单调递增，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 又， 所以存在极小值点.........................................9分 （3）令，则， 又， 所以. 令， 故有解， 设， 则，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以有唯一的零点， 若在区间上存在零点， 即在上有解， 整理可得， 令，则，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，解得， 所以的取值范围为...........................................15分 21．（满分15分） （1）由题意，子列项数为，且子列各项由小到大排序后的下标序列， 需满足， 其中即且， 由数列， 各项均不同的长度为4的子列必包含， 则长度为4的子列所有可能为： ；；；；，； 因为各项从小到大按顺序排列后均为， 则对应下标序列的所有可能为： ；；；；； 故满足条件且的有；两种情况， 即满足题意的所有项子列为：与...........................................4分 （2）数列，各项不同，记为. 设是数列的任意一个长度为的子列，分别对应数列的第项， 且，对应项依次为， 记，即数列. 将这四项从小到大重新排序，记数列， 即，其中为的一个排列， 由，其中即且， 为集合中元素的个数. 下面用反证法证明：对于的任意一个长度为4的子列，都有； 假设，则，且， 则或， 即数列中，最小两项（前两项）都为原数列的奇数项，或都为原数列的偶数项. 将数列的下标序列分如下三组：， 这三组分别对应大数组；中数组；小数组. 由题意，假设若中至少存在个取值属于同一集合，则必存在，，这与假设矛盾. 故中至多两个取值属于同一集合， 第I类：当时，则， 即，且，即最小两项为，最大两项为， 则且. ①若，则，，则， 这与中至多两个取值属于同一集合矛盾； ②若，则由中至多两个取值属于同一集合，且， 可知，则， 故，这与矛盾； ③若，则，，则， 所以，这也与矛盾； 第II类：当时，则， 即，且，即最大两项为，最小两项为， 则且. ①若，则，，则， 这与中至多两个取值属于同一集合矛盾； ②若，则，， 同理由中至多两个取值属于同一集合， 可知，则，因此，则， 则， 故，这与矛盾； ③若，,同理可知，故. （i）若，，则，， ，这与矛盾； （ii）若，，， 若，，由数列为递减数列，则，这与矛盾； 若，则，，，这也与矛盾； 综上所述，不存在满足的数列， 故假设错误，，得证..........................................9分 （3）数列是的一个排列， 将数列的下标序列分如下组： ， 记（） 对的任意一个排列，总可以按如下方法构造一个数列， 在数列中前项中， 由抽屉原理可知，共个集合中至少存在一个包含项以上， 记首个包含第二项的集合为，数列中属于该集合的前两项分别设为， 其中，记， 可知中任意两项所属集合()都不同， 将数列中按序删去集合中所有项及属于其他集合的第一项，共删去项， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含个集合的项，且每个集合各有项. 中还剩余项，可构成新数列， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含个集合的项，且每个集合各有项. 同样的，在数列中前项中， 由抽屉原理可知，共个集合中至少存在一个包含项以上， 记首个包含第二项的集合为，属于该集合的前两项分别设为， 其中，记， 可知中任意两项所属集合()都不同， 将数列中按序删去集合中所有项及属于其他集合的第一项，共删去项， 则数列中还剩余项，可构成新数列， 则数列为数列长度为的子列， 故数列中包含除两集合外剩余个集合的项，且每个集合各有项， 依此类推，数列项的个数为，（规定数列） 数列中包含个集合的数，每个集合个数， 属于同一集合的前两项分别设为，，， 则可构造子列， 将中各项从小到大重新排序后，可知仍必相邻， 故. 由上构造可知，总存在长为4050项的子列，使得...........................................15分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $