第05讲 一次方程（组）及其应用（复习讲义，2考点16题型5重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次方程（组）及其应用”核心考点，涵盖等式性质、一元一次方程与二元一次方程组的概念解法及11类实际应用题型，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、真题训练及重难突破五环节，系统梳理知识体系，帮助学生突破易错点与综合应用难点。 亮点在于以“模型意识”构建实际问题与方程的联系，如古代问题“雉兔同笼”的方程组建模，结合“运算能力”训练解方程技巧，特设错解诊断、整体思想等专题突破。分层练习（基础-能力-新趋势）配合真题精讲，培养学生抽象能力与解题策略，助力教师精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 等式的基本性质 题型01等式的基本性质 命题点二 一元一次方程 题型01一元一次方程的相关概念 题型02求解一元一次方程 命题点三 二元一次方程组 题型01二元一次方程（组）的相关概念 题型02求解二元一次方程组 命题点四 一次方程（组）的实际应用 题型01销售利润问题 题型02行程问题 题型03工程问题 题型04盈亏问题 题型05方案问题 题型06古代问题 题型07比赛积分问题 题型08电费水费问题 题型09和差倍分问题 题型10数字问题 题型11其他问题 05·重难突破·思维进阶 25 突破一 一次方程（组）的错解问题 突破二 一次方程（组）的同解问题 突破三 一次方程（组）解的情况求参问题 突破四 一次方程（组）的整体思想问题 突破五 一次方程（组）的新定义问题 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程及实际应用 辽宁省卷 T17 辽宁省卷 T17 大连卷T15 能够熟练求解一元一次方程，从实际问题中抽象出数学方程模型，针对具体问题准确列出方程，解决实际应用问题。 二元一次方程组及实际应用 / 辽宁省卷 T8 盘锦卷T14 营口卷T8 抚顺、葫芦岛卷T21 本溪、铁岭、辽阳卷T21 能够掌握求解二元一次方程组的两种方法，从实际问题中抽象出二元一次方程组模型，准确提取等量关系并列出方程组，解决较复杂的实际应用问题。 命题预测 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 考点一 一元一次方程及实际应用 1.方程 含有未知数的等式叫方程． 两个要求：①是等式，含有"="；②含有未知数,但未知数的个数不限． 2.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解． 3.解方程 求方程的解的过程叫作解方程． 4.等式的基本性质 （1）性质1：等式的两边同时加上(或减去)同一个数或式子，等式仍然成立，即若a=b,则a±c=b±c； （2）性质2：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数或式子(除数不能为0)，等式仍然成立，即若a=b，则a×c=b×c， (c≠0)； （3）性质3(对称性)：若 a=b，则 b=a； （4）性质4(传递性)：若a=b，b=c，则a=c． 5.一元一次方程 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 6.一元一次方程的一般形式 ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 7.解一元一次方程 （1）去分母：在方程两边同乘所有分母的最小公倍数． 注意：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，去分母后要加括号；③当分母中含有小数时，先将小数化为整数，再去分母． （2）去括号：先去小括号，后去中括号，再去大括号，运用乘法分配律展开括号． 注意：① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 括号前的数要乘括号内的每一项． （3）移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边． 注意：①移项时不要漏项；②移项要变号，未移项的项不变号． （4）合并同类项：分别合并等号两边的同类项，将方程化为 ax=b(a≠0)的形式． （5）系数化1：在方程两边同除以未知数的系数a，得解x=． 8.一元一次方程的实际应用 （1）列方程解应用题的一般步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案． （2）设未知数的常见方法： ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量． 1．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 2．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 3．（2023·辽宁大连·中考真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ． 考点二 二元一次方程组及实际应用 1.二元一次方程 含有两个未知数，且未知数的次数均为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 2.二元一次方程的一般形式 ax+by+c=0 (a≠0,b≠0) ． 3.二元一次方程组 由两个或两个以上的一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）一共有两个或两个以上的方程，每个方程都是一次方程。 4.二元一次方程组的一般形式 （、不同时为0，、不同时为0） 5.二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 6.解二元一次方程组 （1）代入消元法 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程． （2）加减消元法 通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程． 7.二元一次方程组的实际应用 （1）列方程解应用题的一般步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案． （2）设未知数的常见方法： ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量． 1．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 命题点一 等式的基本性质 ►题型01 等式的基本性质 利用等式的基本性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的基本性质1,发生乘除变形的依据是等式的基本性质2. 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知等式，则下列等式中不成立的是（   ）． A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 命题点二 一元一次方程 ►题型01 一元一次方程的相关概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫作该一元一次方程的解． 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【典例】2．（2025·辽宁阜新·一模）已知是方程的解，则 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． ►题型02 求解一元一次方程 （1）去分母：在方程两边同乘所有分母的最小公倍数． 注意：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，去分母后要加括号；③当分母中含有小数时，先将小数化为整数，再去分母． （2）去括号：先去小括号，后去中括号，再去大括号，运用乘法分配律展开括号． 注意：① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 括号前的数要乘括号内的每一项． （3）移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边． 注意：①移项时不要漏项；②移项要变号，未移项的项不变号． （4）合并同类项：分别合并等号两边的同类项，将方程化为ax=b(a≠0)的形式． （5）系数化1：在方程两边同除以未知数的系数a，得解x=． 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解为 ． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）解方程时，去分母后正确的是（　　） A． B． C．3 D．3 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）计算：． （2）解方程：． 命题点三 二元一次方程组 ►题型01 二元一次方程（组）的相关概念 1.二元一次方程 含有两个未知数，且未知数的次数均为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 2.二元一次方程的一般形式 ax+by+c=0 (a≠0,b≠0) ． 3.二元一次方程组 由两个或两个以上的一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）一共有两个或两个以上的方程，每个方程都是一次方程。 4.二元一次方程组的一般形式 （、不同时为0，、不同时为0） 5.二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）若是方程的一个解，则 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … 3 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … … 则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则 ． ►题型02 求解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【变式】1．（2025·辽宁·一模）解方程组： 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知方程组，则的值为 ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 命题点四 一次方程（组）的实际应用 ►题型01 销售利润问题 利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 【典例】1．（2025·辽宁·一模）班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． (1)求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； (2)该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）电影《哪吒2》一经上映，迅速燃爆影院．与之相关的哪吒系列摆件深受欢迎，某经销商计划同时购进哪吒系列A、B两种摆件玩具．据了解，8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元． (1)求购进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进A、B两种摆件共200个，要求购买的总费用不超过1240元，求最多可以购买B摆件多少个？ 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其他费用），该公司可安排员工多少人？ (3)若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？ ►题型02 行程问题 （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 【典例】1．（2025·辽宁本溪·三模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知在长的公路两端有两辆汽车，其中车的速度为，车的速度为，两辆汽车相向而行．已知车先开始行驶，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，设车行驶后与车相遇，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·二模）某同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒，请问： (1)该同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高到64秒以内，他至少需要冲刺几秒？ ►题型03 工程问题 工作量=工作效率×工作时间． 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要10天、15天完成．如果两个工程队同时施工2天，然后由乙工程队单独施工，还需多少天完成？若设由乙工程队单独施工，还需x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·一模）为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． ►题型04 盈亏问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·二模）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·三模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． ►题型05 方案问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某校组织师生参加实践活动，现准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．租车数量与载客人数（每辆车均坐满）的相关数据如下表： 租车数量/辆 载客人数 甲型客车 乙型客车 5 2 310 3 4 340 (1)每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？ (2)该校计划租用甲型和乙型两种客车共10辆，并将全校420人载至目的地，若甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元，请计算出租车最省钱的方案． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． ►题型06 古代问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次问太仓到上林的距离是 里． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）《九章算术》中记载了这样一个问题，原文如下：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五乘．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少（1斗=10升）？设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． ►题型07 比赛积分问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． (1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； (2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段，某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍穹”的航天知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分． (1)小明同学有两道题没有作答，总分为分，问小明同学一共答对了多少道题？ (2)若规定每道题都必须作答，总分不低于分者将被评为“航天小达人”，问至少答对多少道题才能被评为“航天小达人”？ 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ ►题型08 电费水费问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【变式】1．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ (2)写出当时与之间的表达式； (3)若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ ►题型09 和差倍分问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（    ） A．25 B．75 C．81 D．90 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·三模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． ►题型10 数字问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·三模）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）若三个有理数的乘积为负数，且这三个有理数的和等于其中某个有理数， 则这三个有理数的乘积为 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究： 小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如， 无限循环小数呢?小深通过查阅资料发现无限循环小数化为分数，可用如下方法： 令，则； 所以， 参照他的方法，可以化为分数（   ） A． B． C． D． ►题型11 其他问题 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·一模）中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 2．（2025·辽宁抚顺·三模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）为了增强全民健身，年春季，某市将于举办万人马拉松活动，以下是本次马拉松活动的相关信息： 项目 距离 报名费 规模 马拉松 千米 元/人 人 半程马拉松 千米 元/人 人 健康跑 3千米 元/人 人 (1)若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？ (2)该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知年该校参加健康跑仅有4人，且年~年参赛人数的增长率相同，求该校参加健康跑人数的增长率？ 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 突破一 一次方程（组）的错解问题 【典例】1．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 【典例】2．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错c，解得，则a = ，b = ，c = ． 【变式】1．滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是 ． 【变式】2．在课堂巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x的一元一次方程． 在公布结果时，一个同学发现自己做错了，检查时发现在去分母时，方程右边的没有乘以12，由此求的解为．请你根据上述条件求出a的值，并解出原方程的解． 【变式】3．甲、乙两人共同解关于的方程组解完以后有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出的值． 突破二 一次方程（组）的同解问题 【典例】1．已知方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 【变式】1．如果的解与的解相同，则a的值是 ． 【变式】2．已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是 ． 【变式】3．已知关于的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ． 突破三 一次方程（组）解的情况求参问题 【典例】1．已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【典例】2．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【变式】1．已知方程组的解满足方程，则的值等于（ ） A．3 B． C． D．4 【变式】2．关于x，y的二元一次方程组 的解满足的值不大于5，则k 的取值范围为（   ） A．k<8 B．k>8 C．k≤8 D．k≥8 【变式】3．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 突破四 一次方程（组）的整体思想问题 【典例】1．已知是二元一次方程组的解，则关于x，y的方程组的解是 ． 【典例】2．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．若是关于的一元一次方程的解，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式】2．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【变式】3．若关于的方程组的解为，则方程组的解为 ． 突破五 一次方程（组）的新定义问题 【典例】1．定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．若，则x的值为 ． 【典例】2．若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 【变式】1．定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 【变式】2．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【变式】3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为：，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是 ； ②若关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解是 ． 1．下列利用等式的性质进行变形，变形错误的是（　　） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 2．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 3．墨墨在解方程●时，不小心用橡皮把其中的一项擦掉了，他只记得那一项是不含x的，看答案知道这个方程的解是，那么“●”处的数应该是（    ） A． B．1 C．2 D． 4．一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 5．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，花了40元钱买了甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本4元，乙种笔记本每本8元，则张老师购买笔记本的方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．某地有x间仓库及y件货物，若每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库；若每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库．以下等式：①；②；③；④．其中符合题意的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 9．若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 ． 10．爸爸和小北共下9局棋（未出现和棋），记分规则：爸爸赢一局记1分，小北赢一局记2分．若爸爸和小北得分相同，则爸爸赢了 局． 11．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． (1)求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ (2)若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 12．在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 13．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． (1)这两种中国结各编织了几个？ (2)如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 14．关于x，y的方程组的解也是方程的解，则m的值为 ． 15．已知二元一次方程组，则的值为 ． 16．已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 17．已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 18．在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： (1)求原方程组中的a，b的值； (2)求原方程组的解． 19．阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 20．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 2．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 5．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 8．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 9．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 10．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 11．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 13．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 14．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 15．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 16．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 17．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 等式的基本性质 题型01等式的基本性质 命题点二 一元一次方程 题型01一元一次方程的相关概念 题型02求解一元一次方程 命题点三 二元一次方程组 题型01二元一次方程（组）的相关概念 题型02求解二元一次方程组 命题点四 一次方程（组）的实际应用 题型01销售利润问题 题型02行程问题 题型03工程问题 题型04盈亏问题 题型05方案问题 题型06古代问题 题型07比赛积分问题 题型08电费水费问题 题型09和差倍分问题 题型10数字问题 题型11其他问题 05·重难突破·思维进阶 52 突破一 一次方程（组）的错解问题 突破二 一次方程（组）的同解问题 突破三 一次方程（组）解的情况求参问题 突破四 一次方程（组）的整体思想问题 突破五 一次方程（组）的新定义问题 06·优题精选·练能提分 67 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次方程及实际应用 辽宁省卷 T17 辽宁省卷 T17 大连卷T15 能够熟练求解一元一次方程，从实际问题中抽象出数学方程模型，针对具体问题准确列出方程，解决实际应用问题。 二元一次方程组及实际应用 / 辽宁省卷 T8 盘锦卷T14 营口卷T8 抚顺、葫芦岛卷T21 本溪、铁岭、辽阳卷T21 能够掌握求解二元一次方程组的两种方法，从实际问题中抽象出二元一次方程组模型，准确提取等量关系并列出方程组，解决较复杂的实际应用问题。 命题预测 一次方程（组）考点主要考察一元一次方程及二元一次方程组的实际应用问题，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题。一次方程（组）的应用常以路程、销售利润、工程、分配等实际问题为背景，综合考查提取关键等量关系、列方程、解方程（组）的能力，也常结合不等式（组）与函数结合出题，考察解决优化问题的能力。注意仔细审题、规范解题步骤过程，注重与时代热点问题或古代文化问题相结合。 考点一 一元一次方程及实际应用 1.方程 含有未知数的等式叫方程． 两个要求：①是等式，含有"="；②含有未知数,但未知数的个数不限． 2.方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解． 3.解方程 求方程的解的过程叫作解方程． 4.等式的基本性质 （1）性质1：等式的两边同时加上(或减去)同一个数或式子，等式仍然成立，即若a=b,则a±c=b±c； （2）性质2：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数或式子(除数不能为0)，等式仍然成立，即若a=b，则a×c=b×c， (c≠0)； （3）性质3(对称性)：若 a=b，则 b=a； （4）性质4(传递性)：若a=b，b=c，则a=c． 5.一元一次方程 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 6.一元一次方程的一般形式 ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 7.解一元一次方程 （1）去分母：在方程两边同乘所有分母的最小公倍数． 注意：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，去分母后要加括号；③当分母中含有小数时，先将小数化为整数，再去分母． （2）去括号：先去小括号，后去中括号，再去大括号，运用乘法分配律展开括号． 注意：① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 括号前的数要乘括号内的每一项． （3）移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边． 注意：①移项时不要漏项；②移项要变号，未移项的项不变号． （4）合并同类项：分别合并等号两边的同类项，将方程化为 ax=b(a≠0)的形式． （5）系数化1：在方程两边同除以未知数的系数a，得解x=． 8.一元一次方程的实际应用 （1）列方程解应用题的一般步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案． （2）设未知数的常见方法： ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量． 1．（2025·辽宁·中考真题）小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． (1)求种文创产品每件的进价； (2)小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】(1)种文创产品每件的进价为元 (2)小张最多可以购进50件种文创产品 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 2．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 3．（2023·辽宁大连·中考真题）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元， 则可列方程为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 考点二 二元一次方程组及实际应用 1.二元一次方程 含有两个未知数，且未知数的次数均为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 2.二元一次方程的一般形式 ax+by+c=0 (a≠0,b≠0) ． 3.二元一次方程组 由两个或两个以上的一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）一共有两个或两个以上的方程，每个方程都是一次方程。 4.二元一次方程组的一般形式 （、不同时为0，、不同时为0） 5.二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 6.解二元一次方程组 （1）代入消元法 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程． （2）加减消元法 通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程． 7.二元一次方程组的实际应用 （1）列方程解应用题的一般步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义； 答：实际问题的答案． （2）设未知数的常见方法： ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个未知数求出题中要求的量． 1．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 2．（2023·辽宁营口·中考真题）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可． 【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷， 根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得 根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得， 可列 故选：C． 【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）近年来共享经济盛行，某充电宝共享租赁公司在运营过程中需要生产一批新的充电宝进行补充，其中4个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本为340元；10个A 型充电宝比2个B 型充电宝的生产成本多400元． (1)求1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为多少元． (2)该公司在生产时，要求B型充电宝的数量比A型充电宝的数量的多1000个，因实际生产过程中物料及人工等变化，每个B型充电宝的生产成本是原来生产成本的80%，公司要求生产部门生产总费用不超过500000元，那么最多可生产多少个A 型充电宝？ 【答案】(1)1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元 (2)4200 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程组和不等式是解题的关键． （1）设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元，根据题意列出方程组求解即可． （2）设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，根据“公司要求生产部门生产总费用不超过500000元”列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为x、y元， 则， 解得：， 答：1个A 型充电宝和1个B型充电宝的生产成本各为60、100元； （2）解：设生产m个A 型充电宝，则生产个B型充电宝，， 则， 解得：， 答：最多可生产4200个A 型充电宝． 命题点一 等式的基本性质 ►题型01 等式的基本性质 利用等式的基本性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的基本性质1,发生乘除变形的依据是等式的基本性质2. 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）等式就像平衡的天平，与如图所示的事实具有相同性质的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式两边同时加、减、乘、除同一个数（除数不为零）等式仍然成立，判断各选项变形是否正确． 【详解】解：∵等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立， ∴选项A（加2）和B（减5）正确； ∵从，两边同时除以6，得，即， ∴选项C正确； ∵从，两边同时乘以3，得， ∴选项D不正确． 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式性质进行判断即可． 【详解】A．根据等式性质1，等式两边都加上c，得到，故本选项错误，不符合题意； B．根据等式性质2，等式两边都除以c，得到，故本选项正确，符合题意； C．成立的条件是，故本选项错误，不符合题意； D．若，则，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知等式，则下列等式中不成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的两条性质是关键．性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等，根据等式性质，判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于A，在的基础上，两边同时减去2得到，符合等式的性质，该等式成立，故不满足题意； 对于B，在的基础上，两边同时除以2得到，符合等式的性质,，等式成立，故不满足题意； 对于C，，不一定等于，因此该等式不成立，故满足题意； 对于D，在的基础上，两边同时平方可得，因此该等式成立，故不满足题意． 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质一一判断即可． 【详解】解：、若，则，原变形错误，故此选项不符合题意； 、原变形正确，故此选项符合题意； 、当时，原变形不成立，故此选项不符合题意； 、应该是：若，则，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：． 命题点二 一元一次方程 ►题型01 一元一次方程的相关概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫作该一元一次方程的解． 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义得到，，求解可得答案． 本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ，， ． 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁阜新·一模）已知是方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入进行计算，则，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：1 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义； 根据一元一次方程的定义逐项判断即可，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式． 【详解】解：A、中未知数的次数为，不是一元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、中有个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，绝对值的意义，由题意得出且，求解即可，解题关键是熟记一元一次方程的未知数的次数是1． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：或，且， ∴， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程，解出的值即可求解． 【详解】解：代入得，， 解得：， 的值为7． 故答案为：7． ►题型02 求解一元一次方程 （1）去分母：在方程两边同乘所有分母的最小公倍数． 注意：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，去分母后要加括号；③当分母中含有小数时，先将小数化为整数，再去分母． （2）去括号：先去小括号，后去中括号，再去大括号，运用乘法分配律展开括号． 注意：① 括号前是负号时，括号内各项要变号；② 括号前的数要乘括号内的每一项． （3）移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边． 注意：①移项时不要漏项；②移项要变号，未移项的项不变号． （4）合并同类项：分别合并等号两边的同类项，将方程化为ax=b(a≠0)的形式． （5）系数化1：在方程两边同除以未知数的系数a，得解x=． 1. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 2. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的顺序求解即可． 【详解】解：去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化1得，， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）解方程时，去分母后正确的是（　　） A． B． C．3 D．3 【答案】D 【分析】根据去分母和去括号法则，化简后进行判断即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 即：； 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程去分母，去括号．熟练掌握去分母和去括号法则，是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 根据一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的方法解答即可． 【详解】解：， 移项得， 化简得， 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）0（2） 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，一元一次方程的应用，掌握解方程的步骤与混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方与除法，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 命题点三 二元一次方程组 ►题型01 二元一次方程（组）的相关概念 1.二元一次方程 含有两个未知数，且未知数的次数均为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 2.二元一次方程的一般形式 ax+by+c=0 (a≠0,b≠0) ． 3.二元一次方程组 由两个或两个以上的一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组． 二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）一共有两个或两个以上的方程，每个方程都是一次方程。 4.二元一次方程组的一般形式 （、不同时为0，、不同时为0） 5.二元一次方程组的解 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解。 二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）若是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二元一次方程的定义可得，解方程组求出的值即可求解． 【详解】解：是关于x、y的二元一次方程， ， 解得：， ． 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）若是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解的概念，将方程的解代入方程求解未知数是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，把代入方程，进而求出的值． 【详解】解：将 和 代入方程 ， 得 ， 即 ， 两边同时除以 ，得 ， 分母有理化，得 ． 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的定义，可得，进而得到的值即可求解． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … 3 … 关于，的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 3 … … … 则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】知识点：二元一次方程组的解的定义．方法：根据 “方程组的解同时满足两个方程”，对比两个方程的解表格，找出公共解．关键：明确 “相同x对应相同y” 是判断方程组解的核心标准．易错点：混淆单个方程的解与方程组的解，误选仅满足一个方程的解． 通过两个表格分别确定能够同时满足方程 和 的解． 【详解】从第一个表格中，的解中，当 时，； 从第二个表格中，的解中，当 时， 因此，同时满足两个方程的解为 ． 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 把x与y的值代入方程组求出，即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． ►题型02 求解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果． 【详解】解：将①式代入②式得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可． 【详解】解：， 由得， 将代入得：， 解得， 将代入，解得， 这个方程的解为． 【变式】1．（2025·辽宁·一模）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键在于熟练掌握加减消元法和代入消元法．用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①，得③， ，得， 解得，， 将代入①，得， 方程组的解是． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知方程组，则的值为 ． 【答案】9 【分析】把第一个方程减去第二个方程即可得到x+3y的值． 【详解】解：， ①-②得，x+3y=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的解法．解题的关键是掌握二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 命题点四 一次方程（组）的实际应用 ►题型01 销售利润问题 利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． 【典例】1．（2025·辽宁·一模）班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． (1)求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； (2)该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】(1)甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元 (2)该班级最多可以购买甲种笔记本8本 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元，利用总价＝单价×数量，结合“甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过340元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1） 解：设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元， 依题意得：， 解得：，   ， 答：甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元． （2）解：设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本， 依题意得：， 解得：． 答：该班级最多可以购买甲种笔记本8本． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元． (1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元 (2)全部售出后共可获利1480元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答； （2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题意列出方程组，解出的值，再计算获利即可解答． 【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元， 由题意得，， 解得：， 答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元． （2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个， 由题意得，， 解得：， 购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个， 全部售出后共可获利（元）， 答：全部售出后共可获利1480元． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）电影《哪吒2》一经上映，迅速燃爆影院．与之相关的哪吒系列摆件深受欢迎，某经销商计划同时购进哪吒系列A、B两种摆件玩具．据了解，8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元． (1)求购进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需多少元？ (2)为满足顾客需求，经销商从厂家一次性购进A、B两种摆件共200个，要求购买的总费用不超过1240元，求最多可以购买B摆件多少个？ 【答案】(1)进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需5元、8元 (2)80个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设购进一个A摆件和一个B摆件各需元、元，根据“8个A摆件和5个B摆件的进价共计80元；12个A摆件和10个B摆件的进价共计140元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B摆件个，根据“购买的总费用不超过1240元”列不等式，取最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设购进一个A摆件和一个B摆件各需元、元， 根据题意得：，解得 答：进一个哪吒系列A摆件和一个B摆件各需5元、8元； （2）解：设购买B摆件个，则购买A摆件为个， 根据题意得：， 解得， 答：最多可以购买B摆件80个． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某厂生产一种产品，每件产品的生产成本价始终不变．该厂今年3月份将产品的出厂价定为50元/件，结果销售了3600件；4月份将产品的出厂价定为54元/件，结果销售了3000．已知该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同．备注：销售利润＝（每件产品的出厂价﹣每件产的成本价）×销售数量． (1)求每件产品的生产成本价； (2)若在生产过程中，平均每生产1件产品产生的污水，为达到环保要求，工厂设计了如表所示的两种污水处理方案并准备实施． 方案 费用 1：排到污水处理厂处理 每处理污水需付12元排污费 2：本厂净化处理后排放 每月排污设备损耗费10000元，且每处理污水需付2元排污费 单纯从经济效益角度考虑，你认为该工厂应如何选择污水处理方案？ 【答案】(1)每件产品的生产成本价为30元 (2)当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列出方程，不等式是解题的关键． （1）设每件产品的生产成本价为x元，根据该厂3月份与4月份销售该产品所获的利润相同列一元一次方程求解即可； （2）设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水，根据题意，运用不等式比较方案1与方案2的费用，由此即可求解． 【详解】（1）解：设每件产品的生产成本价为x元， 依题意，得：， 解得：． 答：每件产品的生产成本价为30元． （2）解：设该工厂每个月生产y件产品，则每个月产生的污水， 当选择方案1费用低时，， 解得：； 当选择两种方案费用相同时，， 解得：； 当选择方案2费用低时，， 解得：． ∴当该工厂月生产量少于5000件时，选择污水处理方案1省钱；当该工厂月生产量等于5000件时，选择两种污水处理方案费用相同；当该工厂月生产量大于5000件时，选择污水处理方案2省钱． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其他费用），该公司可安排员工多少人？ (3)若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？ 【答案】(1)，； (2)人 (3)该公司可在8个月后偿还无息贷款． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）分两种情况：当时，令，当时，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设公司可安排员工a人，定价50元时，利用利润销售额生产成本员工工资其他费用再建立方程求解即可； （3）先求解当销售单价为时，该公司有80名员工时每月的利润，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，令， 则 ， 解得 ， ∴； 当时， 设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设公司可安排员工a人，定价50元时， 由， 解得：(人)； （3）解：当销售单价为时，该公司有80名员工， ∴此时利润为： ； 设该公司n个月后还清贷款，则， ∴， ∴该公司可在8个月后偿还无息贷款． ►题型02 行程问题 （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 【典例】1．（2025·辽宁本溪·三模）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时，根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时． 根据题意，得 解得 所以，甲乙两地的距离为千米． 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知在长的公路两端有两辆汽车，其中车的速度为，车的速度为，两辆汽车相向而行．已知车先开始行驶，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶，设车行驶后与车相遇，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据题意得到车行驶的时间为，由相遇问题得到，的路程与的路程和等于全程，由此列式求解即可． 【详解】解：车的速度为，车的速度为，设车行驶后与车相遇，车在车开始行驶后一个小时才开始行驶， ∴车行驶的时间为， ∴， 故选：A ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·二模）某同学在校运动会400米赛跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分赛程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为65秒，请问： (1)该同学冲刺的时间有多长？ (2)如果他想把成绩提高到64秒以内，他至少需要冲刺几秒？ 【答案】(1)5秒 (2)8秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）利用路程时间速度及以6米/秒跑过的路程冲刺阶段跑过的路程列出一元一次方程，求解即可； （2）根据64秒的总路程不低于400米列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该同学冲刺的时间为x秒， ， 解得， 答：该同学冲刺的时间为5秒； （2）解：设冲刺的时间为t秒， ， 解得，， 答：至少需要冲刺8秒． ►题型03 工程问题 工作量=工作效率×工作时间． 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要10天、15天完成．如果两个工程队同时施工2天，然后由乙工程队单独施工，还需多少天完成？若设由乙工程队单独施工，还需x天完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．由乙队单独施工，设还需x天完成，题中的等量关系是：甲工程队2天完成的工作量乙工程队天完成的工作量，依此列出方程即可． 【详解】解：设由乙工程队单独施工，还需x天完成， 则可列方程为， 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米 (2)按此施工进度，还需要200天完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米； （2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务， 根据题意得：， 解得：． 答：按此施工进度，还需要200天完成任务． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·一模）为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乙独做5天的工作量加上甲乙合作x天的工作量=1，进而得出答案． 【详解】解：设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． (1)若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ (2)若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】(1)原来每天修路； (2)以后几天内平均每天至少要修路． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式． （1）设原来每天修路，根据工程队用天完成任务，列一元一次方程，解一元一次方程即可求出原来每天修多少千米； （2）设以后几天内平均每天要修路，根据至少比计划提前天完成任务，列关于的不等式，解不等式即可求出以后几天内平均每天至少要修路． 【详解】（1）解：设原来每天修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：原来每天修路； （2）解：设以后几天内平均每天要修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：以后几天内平均每天至少要修路． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【答案】原计划甲工厂每天加工，乙工厂每天加工． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的关键． 先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可． 【详解】解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工， 因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成， 所以， 又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了， 所以， 即，解得：， 答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工． ►题型04 盈亏问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设牧童有x人，根据“每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿”列出方程即可． 【详解】解：设牧童有x人， 由题意可得：． 故选A． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若个人乘一辆车，则空辆车；若个人乘一辆车，则有个人要步行，问人数和车数各是多少．设人数为人，车数为辆，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为人，车数为辆，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，车数为辆， 由题意得，， 故选：． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·二模）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 由题意可得，， 故选：． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·三模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人数，羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱：若每人出8钱，还多18钱，问合伙人数，羊价各是多少？设人数为人，羊价为钱，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，正确理解题意是解题关键． ►题型05 方案问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）小明在文具店购买笔记本和水性笔（两种物品都买）；其中笔记本每本元，水性笔每支元，小明一共花费了元，则小明共有几种购买方案？下列答案正确的是（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解答本题的关键． 设购买笔记本本，水性笔支，根据题意得，即，再结合、都是正整数，即可求解． 【详解】解：设购买笔记本本，水性笔支， 根据题意得：，即， 、都是正整数， 当时，； 当时，； 当时，； 两种物品都买， 有两种购买方案， 故答案为：D． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． (1)求甲旅行社一次最多能接待的人数； (2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数的合理范围． 【答案】(1)甲旅行社一次最多能接纳的人数为30人； (2)每批组织人数的合理范围为． 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 【详解】（1）解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； （2）解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某校组织师生参加实践活动，现准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．租车数量与载客人数（每辆车均坐满）的相关数据如下表： 租车数量/辆 载客人数 甲型客车 乙型客车 5 2 310 3 4 340 (1)每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？ (2)该校计划租用甲型和乙型两种客车共10辆，并将全校420人载至目的地，若甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元，请计算出租车最省钱的方案． 【答案】(1)甲型客车坐满后载客40人，乙型客车坐满后载客55人 (2)租甲型客车8辆，乙型客车2辆最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲型客车坐满后载客x人，乙型客车坐满后载客y人，根据题意列出方程组求解即可； （2）设租甲型客车辆，则租乙型客车辆．先求出a的取值范围，再列出租车费用的函数关系式求解即可． 【详解】（1）设甲型客车坐满后载客x人，乙型客车坐满后载客y人， 根据题意，得 解得． 答：甲型客车坐满后载客40人，乙型客车坐满后载客55人． （2）设租甲型客车辆，则租乙型客车辆． 根据题意，得，解得． 为整数， 的最大值为8． 甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元， 总租金为． ， 总租金随的增大而减小． 当时，总租金最少，此时． 管：租甲型客车8辆，乙型客车2辆最省钱． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵． ►题型06 古代问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次问太仓到上林的距离是 里． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设太仓到上林的距离是里，根据题意可得往返1次的时间为天，再根据5天往返3次建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设太仓到上林的距离是里， 由题意得：， 解得， 即太仓到上林的距离是里， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设清酒斗，醑酒斗，根据一共有5斗酒可得方程，根据一共有30斗谷子可得方程，据此建立方程组即可得到答案． 【详解】解；设清酒斗，醑酒斗， 由题意得，， 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）《九章算术》中记载了这样一个问题，原文如下：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五乘．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少（1斗=10升）？设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，明确题意，找出等量关系是解题的关键． 根据5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子，可得方程，根据7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子，可得到方程，然后列出相应的方程组即可． 【详解】解：设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，根据题意得； 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系. 设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组. 【详解】∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得 故选A 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶， 由题意得，， 故选：． ►题型07 比赛积分问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·一模）环境污染和气候变化是全球范围内的关切事项．为此学校组织了一次以环保为主题的有奖问答活动，设有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道扣1分． (1)在这次活动中小明恰好得到60分，求小明答对多少道题； (2)如果在这次活动中小明要想超过90分，那么他至少需要答对多少道题？ 【答案】(1)小明答对了17道题 (2)他至少需要答对24道题 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设小明答对x道题，根据题意列方程求解即可； （2）设他需要答对道题，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设小明答对x道题， 由题意得：， 解得：， 答：小明答对了17道题． （2）解：设他需要答对道题， ，解得：， 为正整数， ， 答：他至少需要答对24道题． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段，某学校举行了主题为“逐梦寰宇问苍穹”的航天知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分． (1)小明同学有两道题没有作答，总分为分，问小明同学一共答对了多少道题？ (2)若规定每道题都必须作答，总分不低于分者将被评为“航天小达人”，问至少答对多少道题才能被评为“航天小达人”？ 【答案】(1)小明同学一共答对了道题 (2)至少需答对道题才能被评为“航天小达人” 【分析】（1）设小明同学一共答对了道题，则答错了道题，由此列方程即可求解； （2）设需答对道题才能被评为“航天小达人”，则答错了道题，由此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设小明同学一共答对了道题，则答错了道题， ∴由题意得，解得， ∴小明同学一共答对了道题． （2）解：设需答对道题才能被评为“航天小达人”，则答错了道题， ∴由题意得，解得， ∴至少需答对道题才能被评为“航天小达人”． 【点睛】本题主要考查方程与不等式的综合，理解题目中的数量关系，掌握数量关系列方程，不等式解实际问题是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）“山海好好看，大连真浪漫”．五一劳动节期间，来自全国各地的球迷相聚大连梭鱼湾足球场，再一次刷新中超历史第二上座纪录．下表是截至2025年5月6日，2025赛季中国足球超级联赛部分球队的积分情况． 表21-1中国足球超级联赛积分榜（部分球队） 球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 成都蓉城 11 8 2 1 26 山东泰山 11 5 2 4 17 天津津门虎 11 4 4 3 16 浙江 11 4 3 4 15 大连英博 11 3 4 4 13 梅州客家 11 3 3 5 12 备注：负1场得0分 小金和小普不仅热爱足球，而且对联赛积分问题产生了浓厚的兴趣．他们提出的问题是：“胜一场，平一场分别积几分？” 小金的思路是：设胜一场积x分，则根据“成都蓉城”胜平场数与积分的关系，用含x的式子表示平一场的积分为_______________，再根据“大连英博”胜平场数与积分的关系，可列一元一次方程为_______________． 小普的思路是：设胜一场积x分，平一场积y分，列二元一次方程组解决此问题． (1)请将小金的思路中的空格处补充完整； (2)请按照小普的思路，选择不同于小金所选球队的数据，求出胜一场，平一场分别积几分？ 【答案】(1)， (2)胜一场积3分，平一场积1分 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）“成都蓉城”胜8场，平2场积26分，则平一场的积分为分；“大连英博”胜3场，平4场积13分，则平一场的积分为分；据此建立方程即可； （2）设胜一场积x分，平一场积y分．根据山东泰山和天津津门虎胜平场数与积分的关系建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵“成都蓉城”胜8场，平2场积26分， ∴平一场的积分为分； ∵“大连英博”胜3场，平4场积13分， ∴平一场的积分为分； ∴； （2）解：设胜一场积x分，平一场积y分． 根据题意，列得方程组， 解得， 答：胜一场积3分，平一场积1分． ►题型08 电费水费问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． (1)求该城市规定的基础用水量是多少吨？ (2)若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【答案】(1)该城市规定的基础用水量是吨 (2)他家这个月最多能用吨水 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据题意找准等量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该城市规定的基础用水量是吨，列方程得，解方程即可得到答案； （2）设他家这个月最多能用吨水，列不等式得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 小亮家上个月用水量超过了基础用水量， 设该城市规定的基础用水量是吨， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：该城市规定的基础用水量是吨； （2）解：设他家这个月最多能用吨水， 根据题意得：， 解得：， 他家这个月最多能用吨水． 【变式】1．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？ (2)写出当时与之间的表达式； (3)若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)元 (2) (3)立方米 【分析】本题考查列关系式，一元一次方程，解决本题的关键是读懂题意，列出表达式. （1）根据题意列出算式求解即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）根据题意得：小丽家该季度应交煤气费为(元)； （2）当 时, ； （3）解：设小丽家第一季度用气立方米， 因为 所以 由题意，得 解得 答：小丽家第一季度用气立方米. ►题型09 和差倍分问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人现调人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，问应调往甲、乙两处各多少人？设应调往甲处人，则所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应调往甲处人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应调往甲处人， 由题意可得，， 故选：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键．设圭的长度为x尺，表的长度为y尺，根据“圭的长度比表长5尺，且圭和表长度之和为21尺”即可列出方程组． 【详解】解：设圭的长度为x 尺，表的长度为y尺 ，则可列方程组为， 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（    ） A．25 B．75 C．81 D．90 【答案】B 【分析】设城中有户人家，利用鹿的数量城中人均户数城中人均户数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设城中有户人家， 依题意得：， 解得：， ∴城中有75户人家． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·三模）我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． ►题型10 数字问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·三模）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）若三个有理数的乘积为负数，且这三个有理数的和等于其中某个有理数， 则这三个有理数的乘积为 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘法、一元一次方程的应用，准确的计算是解决本题的关键． 先算出三个数的和为，再分成三种情况讨论即可． 【详解】解：∵三个数的和为：， 根据题意得，当时， 解得， ∴三个数为、、，乘积为正数（不符合“乘积为负”，排除）， 当时， 解得， ∴此时三个数为、0、1，乘积为0（不符合“乘积为负”，排除）， 当时， 解得， ∴此时三个数为、、， ∴乘积为， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究： 小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如， 无限循环小数呢?小深通过查阅资料发现无限循环小数化为分数，可用如下方法： 令，则； 所以， 参照他的方法，可以化为分数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．根据无限循环小数化分数的方法，由于循环节“369”有三位数字，因此乘以1000后相减，列出方程即可求解． 【详解】解：令，则； 解得， 故选：D． ►题型11 其他问题 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·一模）中国结由来已久，始于上古，兴于唐宋，盛于明清．中国结不仅具有造型、色彩之美，而且因其形意而得名，体现着人们追求真、善、美的良好愿望．手工课上，教师展示编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳． (1)小华现在共有12段红绳，14段金绳，在所有红绳和金绳都用完的情况下，可以编吉祥结和如意结各多少个？ (2)小华需要编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，金绳充足，但是红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，他最多可以编几个吉祥结？ 【答案】(1)可以编吉祥结2个，如意结6个 (2)最多可以编3个吉祥结 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设可以编吉祥结x个，如意结y个，结合编1个吉祥结需要3段红绳和1段金绳，编1个如意结需要1段红绳和2段金绳，且小华现在共有12段红绳，14段金绳，进行列方程组，即可作答． （2）因为红绳只有26段，他还要保留10段以备他用，编吉祥结和如意结共10个作为节日礼物，则可以编a个吉祥结，则可以编如意结个，再列出不等式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设可以编吉祥结x个，如意结y个， 根据题意，得， 解得， （2）解：设可以编a个吉祥结，则可以编如意结个， ∴， 解得， ∴的最大值为3， 答：最多可以编3个吉祥结． 2．（2025·辽宁抚顺·三模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量 (2)100个 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数求最值，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由此列式求解即可； （2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量， 由题意得：， 解得：， 答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量． （2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：， 由题意得：， 解得：， 设消耗的热量为W千卡， 则， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，即取得最大值为：， 答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）为了增强全民健身，年春季，某市将于举办万人马拉松活动，以下是本次马拉松活动的相关信息： 项目 距离 报名费 规模 马拉松 千米 元/人 人 半程马拉松 千米 元/人 人 健康跑 3千米 元/人 人 (1)若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？ (2)该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知年该校参加健康跑仅有4人，且年~年参赛人数的增长率相同，求该校参加健康跑人数的增长率？ 【答案】(1)该校有2名同学报了半程马拉松，有9名同学报了健康跑 (2)该校参加健康跑人数的增长率为 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程． （1）设该校有x名同学报了半程马拉松，有y名同学报了健康跑，根据“学校共花费了报名费元”、“派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为千米”列出方程组求解； （2）设增长率为m，根据“年~年参赛人数的增长率相同”、“年该校参加健康跑仅有4人”、“年该校参加健康跑有9人”，列出方程求解． 【详解】（1）设该校有x名同学报了半程马拉松，有y名同学报了健康跑， 依题意得：， 解得． 答：该校有2名同学报了半程马拉松，有9名同学报了健康跑． （2）设增长率为m， 由题意得， 解得：，（舍去）， 答：该校参加健康跑人数的增长率为． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1300件 (2)至少需要增加11辆无人车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设需要增加无人车辆，根据题意列出不等式，求出的范围，结合题意得到的最小值即可解答． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件， 由题意得，， 解得， 答：1辆无人车的日均投递量为1300件； （2）解：设需要增加无人车辆， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴的最小值为11， 答：至少需要增加无人车11辆． 突破一 一次方程（组）的错解问题 【典例】1．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，方程正确的解为（   ） A． B．13 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据小明错误去分母得到的方程，将代入求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：∵小明去分母时，左边的1没有乘以10， ∴错误方程为：， 将代入错误方程， ， 解得， 那么原方程为：， 那么， 解得， ∴方程正确的解为， 故选：B． 【典例】2．甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错c，解得，则a = ，b = ，c = ． 【答案】 -5 【分析】先把代入cx-3y=-2求出c的值，再把和分别代入求解即可． 【详解】试题分析：把代入cx-3y=-2解得c=-5． 再把和分别代入得， 解得， 故答案为；；-5． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对二元一次方程组知识点的掌握．把已知解分别代入原方程组组合出新的二元一次方程组为解题关键． 【变式】1．滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，是方程的解，代入得到，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，是方程的解， 代入得到， 即， 故答案为：． 【变式】2．在课堂巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x的一元一次方程． 在公布结果时，一个同学发现自己做错了，检查时发现在去分母时，方程右边的没有乘以12，由此求的解为．请你根据上述条件求出a的值，并解出原方程的解． 【答案】 ，原方程的解为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把代入，求出a的值，然后再得出原方程为，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， ∴原方程为， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项,系数化为1得． 【变式】3．甲、乙两人共同解关于的方程组解完以后有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解求参数，代数式求值，理解甲、乙两人对话内容是解题关键．根据甲的解求出，根据乙的解求出，再代入计算求值即可． 【详解】解：由甲可知，看错了方程中①的得到的解为， 将代入方程中②得：， 解得：； 由乙可知，看错了方程中②的得到的解为， 将代入方程中①得：， 解得：， 即． 突破二 一次方程（组）的同解问题 【典例】1．已知方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可． 【详解】解：将第一个方程组中的和第二个方程组中的联立，组成新的方程组， 解这个方程组，得． 将代入和，得， ． 解得，． ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组和同解方程组，根据题意得出两方程组的同解方程组是解题关键． 【典例】2．已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了两个二元一次方程组有公共解，熟练掌握二元一次方程组解的定义，解法是关键． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴原方程组可化为（1）， （2）， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 故答案为：2；3． 【变式】1．如果的解与的解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程， 解得， ∵的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴， 故答案为：4． 【变式】2．已知关于，的方程组和． 有相同的解，那么值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴， 故答案为：4． 【变式】3．已知关于的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是 ． 【答案】 【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得到关于x和y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】将整理得：m（2x+y-1）-x+y+2=0， 因为无论实数m取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解， 所以， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想． 突破三 一次方程（组）解的情况求参问题 【典例】1．已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解等知识点，理解方程的解定义是解题的关键． 先解方程可得，然后得到方程的解是，把代入方程得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵方程的解与关于x的方程的解互为相反数， ∴方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 【典例】2．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．7 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键． 通过将方程组的两个方程相减，得到与m的关系式，再代入已知条件求解m的值． 【详解】解：方程组， ，得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 故选：C． 【变式】1．已知方程组的解满足方程，则的值等于（ ） A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组含参数问题，利用整体思想解决问题是解题的关键． 先把两个方程相加得到：，得到，结合已知条件，消去x，y，从而可得答案． 【详解】解： 得： ∵ ∴ 故选：D． 【变式】2．关于x，y的二元一次方程组 的解满足的值不大于5，则k 的取值范围为（   ） A．k<8 B．k>8 C．k≤8 D．k≥8 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，得到，再根据的值不大于5的条件建立不等式，求解k的取值范围． 【详解】 ，得 ∵的值不大于5， ∴， ∴， 故选C． 【变式】3．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 突破四 一次方程（组）的整体思想问题 【典例】1．已知是二元一次方程组的解，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及换元法的应用，熟练掌握换元法将新方程组转化为已知解的方程组是解题的关键．通过观察两个方程组的形式，发现可利用换元法，将、分别看作已知方程组中的、，再根据已知方程组的解来求解、． 【详解】解：令，，则关于，的方程组可转化为． 是的解， ． 解，得；解，得． 故答案为： ． 【典例】2．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可． 【详解】解：将变形为, 设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：， 因为方程组的解是， 所以，解得：， 所以方程组的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 【变式】1．若是关于的一元一次方程的解，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，设，则方程可变形为，进而根据题意得到是关于的一元一次方程的解，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则方程可变形为， ∵是关于的一元一次方程的解， ∴是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴，即关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式】2．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的和看做一个整体，根据关于x，y的方程组的解为可得，据此解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解满足， 解得， 故答案为：． 【变式】3．若关于的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由题意可得方程组的解为，求解即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：关于的方程组的解为， 方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 突破五 一次方程（组）的新定义问题 【典例】1．定义一种新运算“”，规定当时，，当时，．例如：，，．若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算以及一元一次方程的求解．需要根据新运算的规则，分情况讨论并列出方程，进而求解未知数．关键在于准确判断与是否相等，然后根据不同情况代入相应的运算规则列出方程，同时在解方程过程中要注意计算的准确性． 根据新运算的定义，分两种情况讨论：当 时，运算规则为 ；当 时，运算规则为 ．分别代入给定表达式并解方程，验证条件是否满足． 【详解】解：设 ，． 当 时，． 令 ， ， ． 验证：，，，符合条件． 当 时，即 ， ， ． 验证：，，． 则 ，不满足方程． 综上所述，． 【典例】2．若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． (1)方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． (2)如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 【答案】(1)方程是方程的“滑行方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解“滑行方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两方程的解，然后根据“滑行方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的解，再根据“滑行方程”的定义确定关于的方程的解，然后代入求a即可． 【详解】（1）解：方程是方程的“滑行方程”， 理由如下： 解方程得：； 解方程得：； ∵， ∴方程是方程的“滑行方程”． （2）解：解方程得：， ∵关于的方程是方程的“滑行方程”， ∴关于的方程的解为， ∴，解得：． 【变式】1．定义：二元一次方程与互为“对称方程”，例如，二元一次方程与二元一次方程互为“对称方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称方程”； (2)若二元一次方程的解，也是它的“对称方程”的解，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的定义，读懂“对称方程”的定义是关键． （1）根据对称方程”的定义写出答案即可； （2）先根据对称方程”的定义写出二元一次方程的“对称方程”，联立构成方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得，的“对称方程”是， （2）由（1）可知，的“对称方程”是， 将这两个方程组成方程组得， 将①代入②得，解得， 将代入①得，， ， 【变式】2．新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及新定义“友好方程”的应用，熟练掌握一元一次方程的解法、理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解方程的解，根据“友好方程”的定义，得到方程的解是其相反数，代入该方程求解． （2）根据“友好方程”的定义，另一个解为，结合两个解的差为，分两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：解得， ∵关于的方程与方程是“友好方程”， ∴方程的解为． 将代入得， 解得； （2）解：∵两个方程是“友好方程”， ∴另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或． 【变式】3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为：，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)直接填空： ①若关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是 ； ②若关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解是 ． 【答案】(1) (2)①2023；②2025 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解及其解法，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． （1）先分别求出两个方程的解，再根据已知条件中的新定义列出关于m的方程，解方程即可； （2）①根据已知条件和新定义列出关于y的方程，解方程即可； ②先求出方程的解，再根据它与互为“阳光方程”，求出方程的解，最后把所求方程化成，从而列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； （2）解：①∵关于x的一元一次方程的解是， 结合 ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程 的解是； ②， ∴， ∴， ∵关于x的一元一次方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 1．下列利用等式的性质进行变形，变形错误的是（　　） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质“性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由，得到（等式的性质1），则此项正确，不符合题意； B、由，得到（等式的性质2），再得到（等式的性质1），则此项正确，不符合题意； C、由，得到（等式的性质2），则此项正确，不符合题意； D、当时，由，得到（等式的性质2）；当时，由，不能得到；则此项错误，符合题意； 故选：D． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．2或3 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，有两个未知数，含有未知数的项的次数必须为1，且系数不为0，求解即可． 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得：， 故选：C． 3．墨墨在解方程●时，不小心用橡皮把其中的一项擦掉了，他只记得那一项是不含x的，看答案知道这个方程的解是，那么“●”处的数应该是（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定理，“●”用a表示，把，代入方程得到一个关于a的方程，即可求解． 【详解】解：“●”用a表示，把，代入方程，得：， 解得：． 故选：B． 4．一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路，已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，汽车从地到地一共行驶了．设普通公路长、高速公路长分别为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，由普通公路占总路程的，结合汽车从A地到B地一共行驶了2.2h，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设普通公路长、高速公路长分别为xkm、ykm，依题意，得： 故答案为：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，花了40元钱买了甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本4元，乙种笔记本每本8元，则张老师购买笔记本的方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为非负整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买甲种笔记本x本，乙种笔记本y本， 依题意得：， ∴． 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 6．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 7．某地有x间仓库及y件货物，若每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库；若每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库．以下等式：①；②；③；④．其中符合题意的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库和每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库分别表示出对应的货物总数和仓库数，进而分别建立方程即可得到答案． 【详解】解：∵每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库， ∴货物总数为件，仓库总数为间， ∵每间仓库存放43件货物，则有1件货物不能入库， ∴货物总数为件，仓库总数为间 ∴，， ∴符合题意的有②③， 故选：C． 8．如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 9．若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，算术平方根，将代入得到根据加减消元法，即可求解． 【详解】解：将代入得到 ①-②得，， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 10．爸爸和小北共下9局棋（未出现和棋），记分规则：爸爸赢一局记1分，小北赢一局记2分．若爸爸和小北得分相同，则爸爸赢了 局． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 设爸爸赢了x盘棋，根据两人得分相同列方程解答． 【详解】解：设爸爸赢了x盘棋， 根据题意，得， 解得， 即爸爸赢了6局． 故答案为：6． 11．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“多香满校园”的读书活动，现需购买甲、乙两种读本供学生阅读．若购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元． (1)求甲种读本和乙种读本的售价各是多少元？ (2)若学校购买甲、乙两种读本，总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的，求学校最多能购买乙种读本多少本？ 【答案】(1)甲种读本每本8元，乙种读本每本10元 (2)学校最多能购买乙种读本20本 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）根据“购买25本甲种读本，45本乙种读本，共需650元；若购买40本甲种读本，30本乙种读本，共需620元”列方程组求解； （2）根据“总钱数不超过680元且乙种读本的数量是总数量的”列不等式求解． 【详解】（1）解：设甲种读本每本x元，乙种读本每本y元．根据题意，得： ， 解这个方程组，得， 答：甲种读本每本8元，乙种读本每本10元． （2）解：设学校购买乙种读本m本，则购买甲种读本3m本． 根据题意，得， 解这个不等式，得 答：学校最多能购买乙种读本20本． 12．在春季研学活动中，某校组织学生参加“走红色传承路，弘扬优秀革命传统”活动，需要租用旅游客车．租车公司有两种客车，若租用60座客车，则有一辆车只能坐一半人，若租用45座客车则需多租1辆，但正好坐满； (1)请求出该校共有多少名学生参加活动？ (2)若学校打算同时租用两种客车，已知60座客车的租金是4500元/辆，45座客车的租金是4000元/辆，在每位学生都有座位的条件下，请直接写出怎样租车最为合算？ 【答案】(1)该校共有270名学生参加活动 (2)租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）该校原计划租车x辆，根据两种租车方式的总人数相等列方程求解即可； （2）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据题意列出不等式，化简为，根据，分别取，，，，求出相应租车费用进行比较即可． 【详解】（1）解：该校原计划租车x辆， 根据题意得：， 解得， （人）， 答：该校共有270名学生参加活动． （2）解：设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 所以， 化简得， 由（1）可知， 必须租2种车， ， 当时，，n最少为1，总租金为 ； 当时，，n最少为2，总租金为； 当时，，n最少为4，总租金为； 当时，，n最少为5，总租金为； 综上所述，租60座客车3辆，45座客车2辆最为合算． 13．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． (1)这两种中国结各编织了几个？ (2)如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 【答案】(1)大号的中国结2个，小号的中国结4个 (2)5个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米进行列式计算，即可作答． （2）先根据小芳编织这两款中国结共15个，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合“50米的绳子”这个条件进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， ∴（个）， ∴大号的中国结2个，小号的中国结4个； （2）解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， 则50米的绳子最多可以编织个大号的中国结． 14．关于x，y的方程组的解也是方程的解，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出m的值． 【详解】解：解关于x，y的方程组得，， 把代入方程中，得， 解得， 故答案为： 15．已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．把两个方程的左右两边分别相加，再都除以4047即可求解． 【详解】解： ，得 ∴ 故答案为：2． 16．已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】设，，则由方程组的解是，则的解为，即可求出x、y的值． 【详解】解：设，，则 方程组可化为， ∵方程组的解是， ∴的解为， ∴， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握换元法解二元一次方程组． 17．已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 18．在数学课的巩固练习环节，老师布置了学习任务： 解关于x，y的二元一次方程组 一位同学看错了方程组中的a，得到的解为，另一位同学看错了方程组中的b，得到的解为，请完成下面问题： (1)求原方程组中的a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，正确解方程组是解题的关键． （1）把代入方程组的第二个方程，把代入方程组的第一个方程，即可得到一个关于a，b的方程组，即可求解； （2）把a，b的值代入原方程组，然后解方程组即可． 【详解】（1）根据题意得： 解得： ； （2）原方程组是： ， 得， 解得，再代入得， 即，解得， 所以原方程组的解为． 19．阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）本题先得，在求得，然后即可求解； （2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解； 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 20．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 1．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 2．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x，每头牛的价格为y，根据题意可得， ． 故选A． 4．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 5．（2025·山东·中考真题）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 6．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 7．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 8．（2025·四川遂宁·中考真题）已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得， ∴， ∴， 故答案为：2 9．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 10．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 11．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 13．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 14．（2025·贵州·中考真题）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共． (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？ (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？ 【答案】(1)一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶 (2)至少需要安装3条A型生产线 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共”建立二元一次方程组求解； （2）设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，根据“4个月生产抹茶不少于”建立一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶， 由题意得：， 解得：， 答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶； （2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小取， 答：至少需要安装3条A型生产线． 15．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 16．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 17．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 2 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $