精品解析：江苏省盐城市北蒋实验学校2025-2026学年八年级上学期数学期末模拟试卷（1）

2025-2026年盐城市北蒋实验八上数学期末模拟（1） （总分120分，时间：90分钟） 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） （2025秋•梁溪区校级期末） 1. 在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2025秋•苏州期末） 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， （2025秋•南京期末） 3. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 （2025秋•南京期末） 4. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. （2025秋•扬州期末） 5. 如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（ ） A. B. C. D. （2025秋•扬州期末） 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. （2025秋•苏州期末） 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（ ） A. 总路程 B. 规定的时间 C. 快马的速度 D. 慢马的速度 （2025秋•苏州期末） 8. 已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（ ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） （2025秋•苏州期末） 9. 用四舍五入法将精确到，得到的近似数是_____． （2025秋•苏州期末） 10. 若点，在一次函数（a为常数）的图象上，且，则_______（填“”“”或“”） （2025秋•南京期末） 11. 比较大小：_____．（填“”、“”或“”） （2025秋•苏州期末） 12. 已知点在一次函数的图象上，则_____. （2025秋•苏州期末） 13. 如图，平面直角坐标系中，线段端点坐标分别为，，若将线段平移至线段，且，，则的值为______． （2025秋•苏州期末） 14. 如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒． （2024秋•太仓市期末） 15. 如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． （2025秋•梁溪区校级期末） 16. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 三．解答题（共9小题，满分72分） （2025秋•苏州期末） 17. 计算： （1）； （2）． （2025秋•宿迁期末） 18. 已知实数的一个平方根是，的立方根是，c是的整数部分． （1）求a，b，c值； （2）求的算术平方根． （2025秋•扬州期末） 19. 如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． （2025秋•扬州期末） 20. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． （2025秋•苏州期末） 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． （2025秋•南京期末） 22. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． （2025秋•苏州期末） 23. 已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． （1）如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； （2）如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） （2025秋•苏州期末） 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，． （1）若将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，则的面积______； （2）若平分，求点坐标； （3）已知点是直线上一点，若是以为直角边等腰直角三角形，求点的坐标． （2025秋•苏州期末） 25. 阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．例如：如图，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，已知，直线：交x轴于点，交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线经过点A， ①________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6； ②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至， ①求证：点E为直线：与直线：的关联点； ②对于直线：上任意两点M、N，始终有，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年盐城市北蒋实验八上数学期末模拟（1） （总分120分，时间：90分钟） 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） （2025秋•梁溪区校级期末） 1. 在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，常见类型包括含的式子、开方开不尽的数、以及有规律但无限不循环的小数，据此逐一判断即可． 【详解】∵ 分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是含的式子，是无理数； ，是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； （每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． （2025秋•苏州期末） 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三角形三边、、满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．据此逐项验证即可． 【详解】解：A．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； B．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； C．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； D．∵， ∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形． 故选：D． （2025秋•南京期末） 3. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据16＜17＜25，可得＜＜，即可求解. 详解：∵＜＜ ∴4＜＜5 故选B. 点睛：此题主要考查了无理数的估算，关键是根据常用平方数确定要求算术平方根的数的近似值. （2025秋•南京期末） 4. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，不能证明，原选项符合题意； 故选：． （2025秋•扬州期末） 5. 如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．做题时要从已知条件结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 根据边边边定理证明，继而证明，进而可得. 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，D是的中点， ∴． 在和中，， ∴． 在和中，， ∴． 综上所述：，，，共3对． 故选A． （2025秋•扬州期末） 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解集为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； 故选A． （2025秋•苏州期末） 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马建度的2倍，根据题意列方程为其中x表示（ ） A. 总路程 B. 规定的时间 C. 快马的速度 D. 慢马的速度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由快、慢马需要的时间与规定时间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示慢马的速度，根据各数量之间的关系及所列方程，找出的意义是解题的关键． 【详解】解：已知快马的速度是慢马的倍，根据题意列方程为， ∴表示慢马需要的时间，表示快马需要的时间， ∴表示慢马的速度， 故选：． （2025秋•苏州期末） 8. 已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（ ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，符合题意． 【详解】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为；故符合题意； 把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解；得， ， 中，令，则， 解得， ， ，故符合题意； ，， ， ∴，故符合题意； 直线交轴于点， ， 作点作轴的对称点，连接交轴于，则， 当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） （2025秋•苏州期末） 9. 用四舍五入法将精确到，得到的近似数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求近似数． 精确到即保留三位小数，需看第四位小数，根据四舍五入规则作答即可． 【详解】解：精确到时，第四位小数是8，， 故第三位小数4进位为5， 因此近似数为． 故答案为：． （2025秋•苏州期末） 10. 若点，在一次函数（a为常数）的图象上，且，则_______（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是根据一次函数的解析式确定其增减趋势．先确定一次函数中比例系数的值，由的符号判断随的变化规律，再结合比较与的大小． 【详解】解：在一次函数中，， ∴随的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． （2025秋•南京期末） 11. 比较大小：_____．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据作差法，结合无理数估算比较大小即可得到答案． 【详解】解：， 又 ， ， 故答案为：． （2025秋•苏州期末） 12. 已知点在一次函数的图象上，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据点在函数图像上，即将点代入函数解析式，能够使解析式成立，将本题中P点的坐标代入解析式，变形即可解决. 【详解】解：将代入函数解析式得： b=2a+1，将此式变形即可得到：， 两边同时减去2，得：-2， 故答案为：. 【点睛】本题考查了通过函数上点的坐标，求相关代数式的值，解决本题的关键要熟练掌握一次函数的性质，明白函数上的点都能使函数解析式成立. （2025秋•苏州期末） 13. 如图，平面直角坐标系中，线段端点坐标分别为，，若将线段平移至线段，且，，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中线段平移时所有对应点的横坐标和纵坐标平移长度都相同进行求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的， 且，，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中线段的平移规律，熟练线段平移的性质结合坐标点进行解答是解题的关键． （2025秋•苏州期末） 14. 如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D， ∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA， ∴BD=DA=AB=3， ∵∠ABC=30°， ∴BP=2PD，即BP=PD， ∵BP2-PD2=BD2， ∴BP2-BP2=32， 解得：BP=， ∵点P的运动速度是每秒1个单位长度， ∴t的值为秒， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （2024秋•太仓市期末） 15. 如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故答案为：24． （2025秋•梁溪区校级期末） 16. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的临界值是解题的关键．要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的临界值即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点． 当直线经过点时， 解得： 当直线经过点时， 解得： 或 故答案为：或． 三．解答题（共9小题，满分72分） （2025秋•苏州期末） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算； （1）先计算算术平方根，立方根，乘方，再合并即可； （2）先计算乘方，算术平方根，绝对值，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； （2025秋•宿迁期末） 18. 已知实数的一个平方根是，的立方根是，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，； （2）的算术平方根为6． 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估值等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）25的平方根是，的立方根是，，据此即可求解； （2）将a、b的值代入求出的值，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵数的一个平方根是， ∴， 即， ∵的立方根是， ∴，又， ∴， ∵，c是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：当，时，， ∴的算术平方根为6． （2025秋•扬州期末） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 【答案】（1）见解析，点E，F，G的坐标分别为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化—轴对称，解二元一次方程组，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征先分别找出点A、B、C关于x轴对称的对应点E、F、G，然后顺次连接E、F、G即可得到答案； （2）根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于m、n的二元一次方程组，由此求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示.   点E，F，G的坐标分别为； 【小问2详解】 解：由题意得，，即， 解得 ． （2025秋•扬州期末） 20. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （ 1）设，然后把，代入求解即可； （ 2）把点代入表达式即可求出m的值． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将点代入表达式得 ， 解得：． （2025秋•苏州期末） 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； （2）应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． （2025秋•南京期末） 22. 已知、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从地出发驶往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程（千米）与该日下午时间（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发__________小时后，乙才开始出发；乙的速度为__________千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__________千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为千米．若乙到达地后休息半小时原路返回地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 【答案】（1）；； （2）甲出发小时后与乙在途中相遇 （3）甲乙两人能够通讯的最大时长为小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解此题的关键． （1）观察图象并根据速度路程时间计算即可得解； （2）求出段的函数关系式为，段对应的函数关系式为，结合当二人相遇时，得，计算即可得解； （3）将二人之间的距离不超过千米的时间段加起来即可． 【小问1详解】 解：由图可得：甲出发小时后，乙才开始出发； 乙的速度为千米/时； 甲骑自行车在全程的平均速度为千米/时； 【小问2详解】 解：设段的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， 段的函数关系式为， 同理可得：段对应的函数关系式为， 当二人相遇时，得， 解得， （小时）， 故甲出发小时后与乙在途中相遇； 【小问3详解】 解：乙到达地后休息半小时原路返回地的图象（对应线段），如图所示： ， 二人第一次相遇前，相距千米时，得， 解得； 二人第一次相遇后至乙到达地前，相距千米时，得， 解得：； 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米，（小时）， 当时，乙休息结束，乙开始返回地， 当时，乙返回地， 乙返回地过程中离地距离为（千米），这个过程中当二人之间的距离不超过千米时，得， 解得：， 由题意可得，当时，二人之间的距离不超过千米， （小时）， （小时）， 故甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． （2025秋•苏州期末） 23. 已知线段，以为斜边作和，连接，M、N分别是线段、的中点，连接、． （1）如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； （2）如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含α、β的代数式表示） 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． （1）①根据直角三角形斜边中线的性质得出，再根据等腰三角形“三线合一”即可证明；②易证，则，，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； （2）易证，则，即可得出，的度数，则，最后根据等腰三角形的性质即可解答； 【小问1详解】 解：①证明：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴； ②解：∵M是线段的中点，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵M是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，N是的中点， ∴． 故答案为：． （2025秋•苏州期末） 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，． （1）若将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，则的面积______； （2）若平分，求点的坐标； （3）已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据翻折性质得在轴上，得出，得是等腰直角三角形，即可求解面积； （2）由平行线性质和角平分线性质得出，从而得出，过点作轴于点，则有，然后分点在左侧和点在右侧，根据勾股定理求得，即可解答； （3）设，，要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种情况：①当且时，②当且时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵沿翻折后点的对应点落在轴上， ∴，平分， ∴． ∵直线过点且平行于轴， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形，， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴． ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点， ∵直线轴，点是在直线上位于第一象限内的一个动点， ∴， ①当点在左侧时， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②如图，当点在右侧时， 同理， ∴， ∴点的坐标为. 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点是直线上一点，点是在直线上位于第一象限内的一个动点， ∴设，， 要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种情况： ①当且时， 如图，过点作直线轴于点，过点作直线于点， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ，即， 联立， 解得或(不合题意，舍去)， ∴； ②当且时， 如图，过点作于，过点作直线轴于点， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ，即， 联立， 解得或(不合题意，舍去)， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，翻折的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，正确画出辅助线，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （2025秋•苏州期末） 25. 阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．例如：如图，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，已知，直线：交x轴于点，交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线经过点A， ①________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6； ②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至， ①求证：点E为直线：与直线：关联点； ②对于直线：上任意两点M、N，始终有，直接写出m的值． 【答案】（1）①，<；② （2）①见解析；②m的值为或 【解析】 【分析】（1）①把代入，即可求得m，把代入，得 ，再由，即可求得答案； ②利用勾股定理可得，作于点H，根据新定义可得，利用三角形面积求得，再运用待定系数法即可求得答案； （2）①根据中点坐标可得，将代入：中，可求得k的值，进而得出点P的坐标，过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，再证得，求得点E的坐标，得出，连接，则，根据新定义即可证得结论； ②根据题意可得，作，交于点L，作于J，作于K，证得，可得，再求得，联立方程求解即可求得答案． 【小问1详解】 ①解：把代入，得， 解得：， 把代入，得， ， ， ， ， 故答案为：，<； ②解：由①得：， 则直线的解析式为， ， 在中，， 作于点H，如图， 点B恰好为、的关联点， ， ，， ， ， ， ， 把代入，得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 ①证明：，D为中点， 则， 将代入：中，得：， 解得：， ， 点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点， 设，则， 解得：， ， 过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，如图， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故，， 连接，则， ，， 由题知， ， 点E为直线：与直线：的关联点； ②解：直线：交y轴于点C， ， ， ， 作，交于点L，作于J，作于K， 则，， 由①知，则直线：， 对于直线：上任意两点M、N，始终有， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质，新定义等，理解运用新定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $