专题06 二次函数全章复习（期末复习讲义，知识点+20题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学二次函数期末复习讲义通过表格对比和结构化框架系统梳理知识体系，涵盖定义、图像性质、解析式求法等核心考点，用“核心考点-复习目标-考情规律”表格呈现重难点分布，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计与解题技巧指导，从基础识别到综合存在性问题，融入“模型意识”“运算能力”培养，如用待定系数法解决利润最值问题。每个题型配典例和变式，助力分层教学，教师可精准把握学情，学生自主复习效率高。

专题06 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 理解二次函数的定义（形如，能根据定义判断一个函数是否为二次函数，并能根据定义求参数。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查对定义的准确理解。 二次函数的图像与性质 掌握二次函数图像（抛物线）的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性（单调性）及最值等核心性质，并能根据解析式熟练分析。 核心高频考点，几乎贯穿所有二次函数题型，是解决各类问题的基础，必须熟练掌握。 二次函数图象与各项系数符号 能根据二次函数的图像特征，判断系数 ( a, b, c ) 及判别式的符号，理解它们与图像的内在联系。 高频易错点，常以选择题形式出现，要求熟记“开口方向定a、对称轴位置定b、与y轴交点定c、与x轴交点定Δ”的规律。 待定系数法求二次函数解析式 能根据已知条件（如三点坐标、顶点坐标、与轴交点等），灵活选用一般式、顶点式或交点式，用待定系数法求出函数解析式。 中考必考计算题型，是连接已知条件与函数性质的关键步骤，要求计算准确，格式规范。 二次函数图象的平移 掌握二次函数图像平移的规律（“左加右减，上加下减”），能根据平移过程写出新函数的解析式，或根据解析式判断平移方式。 高频考点，常以填空题或选择题形式出现，考查对函数图像变换本质的理解。 抛物线与坐标轴的交点问题 会求抛物线与轴、轴的交点坐标，理解交点与对应一元二次方程根的关系。 基础计算题，常与其他知识点（如求三角形面积）结合考查。 根据交点确定不等式的解集 能利用二次函数图像与轴的交点，直观地确定一元二次不等式或的解集。 中档题，为数形结合思想的典型应用，常出现在选择题或填空题中。 二次函数的实际应用 能将最大利润、最大面积、抛物线形实物（拱桥、喷泉等）问题抽象为二次函数模型，并利用函数性质求出最优解或特定值。 中考必考应用题，背景丰富，综合性强，常作为解答题出现，要求具备完整的建模、求解、检验和作答能力。 知识点一、二次函数的定义 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 知识点二、二次函数的一般形式 1、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 易错点： 必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 2、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点三、根据实际问题列二次函数关系式 ★根据实际问题构建二次函数的一般步骤 知识点四、 二次函数的图象与性质 1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 易错点： 在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 3、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 4、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 知识点五、 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. 上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点六、 二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 y＝a(x﹣h)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，0)，抛物线最低点 (h，0)，抛物线最高点 最值 当 x = h 时，y最小值 =0 当x = h时，y最大值 =0 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当h > 0 时，向右平移h 个单位长度得到. 当h< 0 时，向左平移个单位长度得到. 左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点七、 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点八、 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 1、将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x﹣h）2+k （1）运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. ①通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. ②用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； （2）从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 2、将二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 （1）描点法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. ③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. ④用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. （2）平移法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). ②作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. ③将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. 3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 知识点九、 用待定系数法求二次函数的解析式 1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点十、 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 易错点： 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点十一、 二次函数与图形面积的最值问题 1、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点十二、 二次函数与商品利润问题 1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点十三、 抛物线型的实际问题 1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点十四、 二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点十五、 用图象法解一元二次方程 图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点十六、 二次函数与一元二次方程的联系 1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 题型一 列二次函数关系式 解｜题｜技｜巧 ☆从实际问题（几何、经济、运动）中抽象出两个变量之间的二次关系，建立形如（）的模型 ☆确定自变量 (x) 和因变量 (y) 的实际意义 ☆根据公式（面积、利润等）或等量关系列出包含 (x) 和 (y) 的等式 ☆将等式整理为 (y) 关于 (x) 的二次函数形式，并注意自变量 (x) 的实际取值范围（如非负、整数等） 【典例1】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 题型二 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 ☆判断一个函数是否为二次函数，核心是看其化简整理后是否满足：① 整式；② 自变量的最高次数为2；③ 二次项系数不为零 ☆将函数式去括号、合并同类项，化为最简形式 ☆检查化简后式子：分母不含自变量，自变量最高指数为2，且的系数不为0 ☆注意含参数时，需讨论二次项系数是否为0 【典例1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数 二次函数．（填“是”或者“不是”） 题型三 二次函数的定义 解｜题｜技｜巧 ☆掌握二次函数的定义式（(a, b, c) 为常数，）及其隐含条件 ☆利用定义判断函数类型 ☆根据定义求参数：令含参数的二次项系数，并保证无更高次项 ☆注意定义在求解析式、讨论图像时的基础性作用 【典例1】若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于的函数的图象是抛物线，则 ． 【变式2】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 题型四 二次函数的图像性质 解｜题｜技｜巧 ☆二次函数图像是抛物线。其核心性质由系数决定：开口方向（(a) 正负）、对称轴（直线）、顶点坐标（）、增减性、最值 ☆将一般式化为顶点式，可直接读出顶点和对称轴 ☆画草图时，先确定开口、顶点、对称轴，再找与坐标轴交点 ☆讨论增减性时，以对称轴为界，开口向上时左减右增，开口向下时左增右减 【典例1】对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y有最大值 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】抛物线的对称轴是（） A． B． C． D． 【变式2】二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是 ． 题型五 二次函数的系数相关 解｜题｜技｜巧 ☆系数 (a, b, c) 及判别式决定了图像的具体特征 ☆a：决定开口方向和宽度。(a>0) 向上；(a<0) 向下。(|a|) 越大开口越窄 ☆b：与 (a) 共同决定对称轴位置。对称轴，记忆口诀“左同右异”（对称轴在y轴左侧，(a,b)同号；右侧则异号） ☆c：决定与y轴交点坐标 ((0, c)) ：决定与x轴交点个数。两个交点；一个交点（相切）；无交点 【典例1】如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（的实数） 【变式1】如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（   ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 题型六 二次函数图像与其它函数 解｜题｜技｜巧 ☆比较同一坐标系中二次函数与一次函数、反比例函数图像的位置关系，或判断多个二次函数图像的共存 ☆联立函数解析式，解方程组求交点坐标 ☆比较函数值大小时，看图像在上方的函数值大 ☆对于多个二次函数，比较开口大小看 (|a|)，比较对称轴和顶点位置可先化为顶点式 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【变式2】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型七 二次函数的最值 解｜题｜技｜巧 ☆二次函数在顶点处取得最值。当 (a>0) 时，有最小值；(a<0) 时，有最大值。若自变量 (x) 有取值范围，需比较区间端点与顶点的函数值 ☆先确定顶点坐标，求出顶点处的函数值（理论最值） ☆若 (x) 有取值范围，检查顶点横坐标是否在区间内。若在，则该点函数值为一极值；若不在，则最值在区间端点处取得 【典例1】已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为 ． 【变式1】函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是 ． 【变式2】已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； (2)当时，x的取值范围是 ； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围为 ． 题型八 二次函数的平移 解｜题｜技｜巧 ☆抛物线平移规律：“左加右减（对自变量x），上加下减（对函数值y）”。平移不改变开口方向和大小 ☆将函数式化为顶点式，顶点为 ((h,k)) 左右平移：(h) 变化。向左平移 (m) 单位，新顶点横坐标为 (h-m)，即 (x) 变为 (x+m) 上下平移：(k) 变化。向上平移 (n) 单位，新顶点纵坐标为 (k+n)，即整个式子加 (n) ☆综合平移先左右后上下 【典例1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【变式1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【变式2】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是 ． 题型九 二次函数值的大小比较 解｜题｜技｜巧 ☆比较同一函数不同自变量对应的函数值，或比较不同函数在同一自变量下的函数值，核心是利用函数的增减性和图像位置 ☆同一函数：先确定对称轴和开口方向。比较的点离对称轴越远，函数值越大（开口向上）或越小（开口向下） ☆不同函数：代入自变量直接计算比较；或画出草图，看在给定区间内哪个函数图像在上方 ☆涉及参数时，常需分类讨论对称轴位置 【典例1】已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ． 题型十 二次函数与不等式 解｜题｜技｜巧 ☆解不等式（或<0）等价于找抛物线在x轴上方（或下方）部分对应的x取值范围 ☆令，画出函数示意图，标出与x轴交点（即方程的根） “大于0”取x轴上方区间；“小于0”取x轴下方区间 ☆若不等式含等号（≥或≤），解集包含交点（端点） 【典例1】如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【变式1】已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】如图，抛物线与直线交于点，若，则的取值范围为 ． 题型十一 二次函数与方程 解｜题｜技｜巧 ☆一元二次方程 的根，就是二次函数图像与x轴交点的横坐标 求根：令 ，解方程即可 判断根的情况：利用判别式 ☆已知根的情况求参数：根据 与0的关系，或利用韦达定理（）列方程 ☆图象法求近似根：观察图像与x轴交点的横坐标估值 【典例1】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【变式1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ． 【变式2】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 题型十二 待定系数法求二次函数 解｜题｜技｜巧 ☆根据已知条件，选择恰当形式设出二次函数解析式，代入已知点坐标，解方程组确定系数 ◎已知三点：设一般式 ◎已知顶点或对称轴与最值：设顶点式 ◎已知与x轴两交点：设交点式（零点式） ☆代入已知点坐标，建立关于系数的方程（组）并求解 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，过点A和x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为点B．点P为抛物线上一点（点P在直线的上方），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)________，点B的坐标为________． (2)求S关于m的函数解析式． 【变式1】已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式． (2)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． (3)当时，求函数值y的取值范围． 【变式2】二次函数的图象经过． (1)求二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向上平移______个单位长度，恰好与x轴有1个公共点． 题型十三 二次函数与图形 解｜题｜技｜巧 ☆将抛物线作为几何图形的一部分，与三角形、四边形、圆等结合，求交点、线段长、角度、图形面积等 ◎求交点：联立二次函数与直线（或其他曲线）解析式解方程组 ◎求线段长：用两点间距离公式，坐标常由解方程组得到 ◎求角度：通常转化为求直线的斜率（或倾斜角），利用三角函数 ◎求面积：常用“割补法”，将不规则图形面积转化为规则图形（三角形、梯形、矩形）面积的和差 【典例1】如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，等腰直角三角形的底边长40厘米，要使截得的矩形的边在上，顶点D，G分别在边，上．设的长为x厘米，矩形的面积为y平方厘米． (1)试写出y关于x的函数解析式以及x的取值范围； (2)当x为何值时，所截得的矩形面积最大，并求出最大值． 【变式2】如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 题型十四 二次函数与经济问题 解｜题｜技｜巧 ☆将销售利润、租金定价、成本控制等经济问题建模为二次函数，通过求最值解决“最大利润”、“最优价格”等问题 ◎明确变量：通常设“售价”、“产量”或“涨价幅度”为自变量 (x)，“利润”为因变量 (y) ◎建立关系：利润 = (售价 - 成本) × 销量，注意销量常随售价变化（常为一次函数关系） ◎整理得到 (y) 关于 (x) 的二次函数 ☆求顶点坐标得理论最值，并结合实际（如 (x) 为整数）确定最终答案 【典例1】某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为 ． 【变式1】月日，中央广播电视总台发布年春晚的主题为——“骐骥驰骋 势不可挡”．《楚辞•离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场推出一款“2026势骋”卡片（如图）深受大家喜爱，卡片进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将卡片的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【变式2】某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)若销售单价为64元，连续两次降价后售价为49元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为______； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型十五 二次函数与线段及周长 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线背景下，求满足特定条件的动点构成的线段长度或图形周长，常涉及距离公式和线段和最小（如将军饮马）问题 ◎设出动点坐标（通常在抛物线上，满足解析式） ◎用坐标表示相关线段长度（两点间距离公式） ◎求线段和的最小值：常利用对称转化（如将军饮马模型），或建立关于动点横坐标的二次函数求最值 ◎求图形周长：将各边长度之和表示为函数求最值，或利用几何性质（如垂直平分线）简化 【典例1】如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)设的周长为，的周长为，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值． 题型十六 二次函数与面积问题 解｜题｜技｜巧 ☆求抛物线与其他图形（如直线、坐标轴）围成的图形面积，或求面积最值。核心是将面积表示为某个变量的二次函数 ☆求固定面积：常用“割补法”，尤其是“水平宽 × 铅垂高 ÷ 2”的三角形面积公式（适用于一边在水平或垂直方向） ☆求面积最值： ◎设动点坐标 ◎用坐标表示面积，通常能得到关于动点横坐标的二次函数 ◎通过配方求顶点纵坐标，即得面积最值 ☆注意面积非负，且动点可能受限于某一区间 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 【变式1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点． (1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标； (2)求面积的最小值． 【变式2】已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求直线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，点的横坐标为，连接，，求的面积的最大值及此时点的坐标； 题型十七 二次函数与角度问题 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线图像中，判断或求解由抛物线上的点与坐标轴上的点或其他点构成的特定角度（如直角、45°角） ☆证明直角：常用勾股定理逆定理，或证明两直线斜率乘积为 -1（在坐标系中） ☆求特定角度：通常转化为求三角函数值。构造直角三角形，利用边角关系。有时需用到相似三角形或解斜三角形 ☆角度存在性问题：常设点坐标，根据角度条件（如）建立方程求解 【典例1】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)连接，当时，求证：； (3)设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； (4)连接，当时，直接写出的值． 【变式1】抛物线的顶点坐标为，与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点在直线上方抛物线上，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在抛物线对称轴上，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 题型十八 二次函数的图形存在性问题 解｜题｜技｜巧 ☆探讨在抛物线背景下，特定图形（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形等）是否存在，若存在，求点坐标 ◎明确分类：根据图形的判定条件分类讨论（如等腰三角形按哪两边相等分三类） ◎设点坐标：设出所求点的坐标（一个或两个），其中在抛物线上的点坐标满足解析式 ◎列方程：利用图形的几何性质（如线段相等、平行、垂直、对角线互相平分等）转化为代数方程 ◎解方程检验：解方程得到坐标，并检验是否满足所有条件（如点是否在指定区域，图形是否退化） 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【变式1】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十九 二次函数与相似三角形 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线背景下，判断或构造相似三角形，利用相似比建立线段比例关系，进而求点坐标或线段长 ◎识别相似：寻找或证明两三角形对应角相等（常用平行线、公共角、直角、圆周角等） ◎利用相似比：若，则 ◎列式求解：将线段长用坐标表示（可能含未知数），代入比例式建立方程求解 ☆注意分类讨论对应顶点不同的情况 【典例1】如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 【变式1】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【变式2】如图，抛物线（）与轴交于点．和点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)设对称轴交线段于点，点在对称轴上，且在点的下方，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标．若不存在，请说明理由． 题型二十 二次函数的其它问题 解｜题｜技｜巧 ☆涵盖二次函数的综合性、创新性应用，如新定义问题、阅读理解题、与高中知识衔接的衍生问题（如绝对值二次函数、区间最值等）。 ◎耐心审题：理解新定义或新情境的本质，将其转化为熟悉的二次函数问题 ◎分解步骤：将复杂问题分解为若干个基础考点（如求解析式、画图、求交点、配方等）的组合 ◎数形结合：勤画草图，将代数关系与几何图形直观联系 ◎分类讨论：当参数不同导致情况不同时，必须全面、有序地讨论所有可能情形 【典例1】定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 【变式1】定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_____； (2)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． (1)求点A的坐标及a，c的值； (2)连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．二次函数的最小值为（  ） A．2 B．6 C． D． 2．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若抛物线（m是常数）的开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是 ． 6．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 7．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 8．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． (1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求菜园面积的最大值． 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（   ） A． B． C． D． 3．关于二次函数，下列命题中正确的是（    ） ①若，则； ②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个． A．①③ B．①③④ C．①④ D．② 4．抛物线的对称轴是直线 ． 5．抛物线与直线的交点个数为 个． 6．如图，在直线上方的双曲线上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接，则面积的最大值是 ． 7．心理学家研究发现：人的表现水平随着压力水平的变化而变化，适度的压力可以让人发挥得更好，过高的压力或过低的压力都会影响人的发挥．如果把表现水平和压力水平进行赋值发现表现水平值y与压力水平值x之间近似满足二次函数关系果果为此做了一次实验探究，探究记录数据如下表： 压力水平值x 20 30 50 70 … 表现水平值y 10 60 100 60 … (1)求表现水平值y与压力水平值x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)甲乙两人的压力水平值相差10，但他们的表现水平值y一样，请求出此时他们的表现水平值y； (3)如果表现水平值在到90之间（包括和90），人们自我满意度达到最好．求人们自我满意度达到最好时，压力水平值x的取值范围． 8．已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图像的对称轴是_______； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图像： (3)根据图像回答下列问题： ①当时，的取值范围为 ； ②当时，的取值范围为 ； 期末综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．如图，抛物线的对称轴为，则当时，x的取值范围是 ． 4．若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是 ．（填序号） 6．如图，矩形的四个顶点在等腰直角三角形的边上．，已知长为，设边长为x，矩形的面积为S最大值为 ． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的交点为． (1)求二次函数的表达式； (2)若抛物线上有一点，将线段沿着轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值是，最小值是，求的取值范围． 8．和谐像一幅画作中平衡的构图，似一首乐曲中稳定的节奏，赋予事物以美感．在平面直角坐标系这幅无限画卷中，我们将横坐标的2倍与纵坐标之和为的点称为“和谐点”，例如是“和谐1点”，是“和谐4点”．若某函数图象上存在“和谐点”，则把该函数称为“和谐函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)函数是“和谐1函数”吗？若是，请求出其“和谐1点”；若不是，请说明理由； (2)已知反比例函数是“和谐函数”，有唯一的“和谐点”，且该“和谐点”与直线的“和谐点”恰好是同一个点，求反比例函数的解析式； (3)已知二次函数是“和谐2函数”，经过点，点和点是该函数图象上的两个“和谐2点”，点在第二象限，点在第四象限，直线与轴相交于点，且．当时，的最小值为5，求函数的解析式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 理解二次函数的定义（形如，能根据定义判断一个函数是否为二次函数，并能根据定义求参数。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查对定义的准确理解。 二次函数的图像与性质 掌握二次函数图像（抛物线）的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性（单调性）及最值等核心性质，并能根据解析式熟练分析。 核心高频考点，几乎贯穿所有二次函数题型，是解决各类问题的基础，必须熟练掌握。 二次函数图象与各项系数符号 能根据二次函数的图像特征，判断系数 ( a, b, c ) 及判别式的符号，理解它们与图像的内在联系。 高频易错点，常以选择题形式出现，要求熟记“开口方向定a、对称轴位置定b、与y轴交点定c、与x轴交点定Δ”的规律。 待定系数法求二次函数解析式 能根据已知条件（如三点坐标、顶点坐标、与轴交点等），灵活选用一般式、顶点式或交点式，用待定系数法求出函数解析式。 中考必考计算题型，是连接已知条件与函数性质的关键步骤，要求计算准确，格式规范。 二次函数图象的平移 掌握二次函数图像平移的规律（“左加右减，上加下减”），能根据平移过程写出新函数的解析式，或根据解析式判断平移方式。 高频考点，常以填空题或选择题形式出现，考查对函数图像变换本质的理解。 抛物线与坐标轴的交点问题 会求抛物线与轴、轴的交点坐标，理解交点与对应一元二次方程根的关系。 基础计算题，常与其他知识点（如求三角形面积）结合考查。 根据交点确定不等式的解集 能利用二次函数图像与轴的交点，直观地确定一元二次不等式或的解集。 中档题，为数形结合思想的典型应用，常出现在选择题或填空题中。 二次函数的实际应用 能将最大利润、最大面积、抛物线形实物（拱桥、喷泉等）问题抽象为二次函数模型，并利用函数性质求出最优解或特定值。 中考必考应用题，背景丰富，综合性强，常作为解答题出现，要求具备完整的建模、求解、检验和作答能力。 知识点一、二次函数的定义 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 知识点二、二次函数的一般形式 1、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 易错点： 必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 2、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点三、根据实际问题列二次函数关系式 ★根据实际问题构建二次函数的一般步骤 知识点四、 二次函数的图象与性质 1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 易错点： 在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 3、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 4、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 知识点五、 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. 上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点六、 二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 y＝a(x﹣h)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，0)，抛物线最低点 (h，0)，抛物线最高点 最值 当 x = h 时，y最小值 =0 当x = h时，y最大值 =0 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当h > 0 时，向右平移h 个单位长度得到. 当h< 0 时，向左平移个单位长度得到. 左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点七、 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点八、 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 1、将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x﹣h）2+k （1）运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. ①通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. ②用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； （2）从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 2、将二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 （1）描点法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. ③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. ④用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. （2）平移法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). ②作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. ③将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. 3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 知识点九、 用待定系数法求二次函数的解析式 1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点十、 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 易错点： 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点十一、 二次函数与图形面积的最值问题 1、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点十二、 二次函数与商品利润问题 1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点十三、 抛物线型的实际问题 1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点十四、 二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点十五、 用图象法解一元二次方程 图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点十六、 二次函数与一元二次方程的联系 1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 题型一 列二次函数关系式 解｜题｜技｜巧 ☆从实际问题（几何、经济、运动）中抽象出两个变量之间的二次关系，建立形如（）的模型 ☆确定自变量 (x) 和因变量 (y) 的实际意义 ☆根据公式（面积、利润等）或等量关系列出包含 (x) 和 (y) 的等式 ☆将等式整理为 (y) 关于 (x) 的二次函数形式，并注意自变量 (x) 的实际取值范围（如非负、整数等） 【典例1】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 【变式2】2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 题型二 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 ☆判断一个函数是否为二次函数，核心是看其化简整理后是否满足：① 整式；② 自变量的最高次数为2；③ 二次项系数不为零 ☆将函数式去括号、合并同类项，化为最简形式 ☆检查化简后式子：分母不含自变量，自变量最高指数为2，且的系数不为0 ☆注意含参数时，需讨论二次项系数是否为0 【典例1】下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中）进行判断． 【详解】解：二次函数需满足：整式函数，且最高次项为二次． A：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； B：，含有分式，不是整式，不符合二次函数的定义； C：，符合二次函数的定义； D：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； 故选：C． 【变式1】下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、当时，函数不是二次函数，故不符合题意； B、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意， 故选：D． 【变式2】函数 二次函数．（填“是”或者“不是”） 【答案】是 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义． 通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义． 【详解】解：函数可展开为，该形式为，其中，因此是二次函数． 故答案为：是． 题型三 二次函数的定义 解｜题｜技｜巧 ☆掌握二次函数的定义式（(a, b, c) 为常数，）及其隐含条件 ☆利用定义判断函数类型 ☆根据定义求参数：令含参数的二次项系数，并保证无更高次项 ☆注意定义在求解析式、讨论图像时的基础性作用 【典例1】若是关于的二次函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 【变式1】已知关于的函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，图象为抛物线时，函数必须是二次函数，即x的最高次数为2且二次项系数不为0，然后问题可求解． 【详解】解：由函数图象是抛物线，可知函数为二次函数， 因此x的指数满足，且系数， 解得， 故答案为：2． 【变式2】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 题型四 二次函数的图像性质 解｜题｜技｜巧 ☆二次函数图像是抛物线。其核心性质由系数决定：开口方向（(a) 正负）、对称轴（直线）、顶点坐标（）、增减性、最值 ☆将一般式化为顶点式，可直接读出顶点和对称轴 ☆画草图时，先确定开口、顶点、对称轴，再找与坐标轴交点 ☆讨论增减性时，以对称轴为界，开口向上时左减右增，开口向下时左增右减 【典例1】对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y有最大值 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式性质，判断开口方向、对称轴、最值及增减性即可． 【详解】解：抛物线为 ， ，开口向上，A正确，不符合题意； 对称轴 ，B正确，不符合题意； 当时，，为最小值，C错误，符合题意； 当 时，y随x的增大而减小，D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】抛物线的对称轴是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数对称轴方程，解题的关键是掌握二次函数对称轴公式．由二次函数的对称轴为直线，代入公式即可得答案． 【详解】解：∵抛物线方程为，其中,， ∴对称轴为， 故对称轴为， 故选：A． 【变式2】二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是 ． 【答案】4 【分析】由对称轴过点可得对称轴为，即，从而得到；点 在一次函数上，代入得，即在二次函数上，代入得 ；将代入后化简得；所求表达式可化为 ，故结果为4． 本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与一次函数的交点意义，求代数式的值，熟练掌握对称轴的应用，交点的意义是解题的关键． 【详解】解：二次函数 （）的对称轴方程为； ∵ 对称轴过点， ∴ ，即 ； 点 在一次函数上， ∴ ，即； ∵ 点在二次函数上， ∴ ， 即； 将代入上式，得， ， ， 将代入得，， ∴ ， 故答案为：4． 题型五 二次函数的系数相关 解｜题｜技｜巧 ☆系数 (a, b, c) 及判别式决定了图像的具体特征 ☆a：决定开口方向和宽度。(a>0) 向上；(a<0) 向下。(|a|) 越大开口越窄 ☆b：与 (a) 共同决定对称轴位置。对称轴，记忆口诀“左同右异”（对称轴在y轴左侧，(a,b)同号；右侧则异号） ☆c：决定与y轴交点坐标 ((0, c)) ：决定与x轴交点个数。两个交点；一个交点（相切）；无交点 【典例1】如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（的实数） 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左侧；当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴没有交点． 由抛物线的开口方向以及与轴的交点位置可判断A选项；根据拋物线上的点在第二象限可判定B选项；根据抛物线上时的值和时的点在第三象限可判断C选项；由时的值最大，可判定D选项． 【详解】解：由图象可知：， ， ， ∴，故A错误； 时，， ∴由对称知，当时，函数值大于 0 ， 即，故B错误； 由图象知，当时，，当时，， ， ，即 ，故C错误； ∵当时，的值最大．此时， 而当时，， 所以， 故，即，故D正确； 故选：D． 【变式1】如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 当时，取得最大值，最大为 当或时，取得最小值为 ∴当时，，故④错误， ⑤点，在抛物线上，且， 当时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴，故⑤正确 正确的个数是3个， 故选：B． 【变式2】二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（   ） A．①②⑤ B．①④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题等知识点，由抛物线开口方向得到，则可对①进行判断；由抛物线与轴正半轴相交可得， 对称轴在轴右侧且，可得，则可对②进行判断；由对称轴为可对③进行判断；根据对称性求出抛物线与轴的交点坐标，可对⑤进行判断；根据当时，，则可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，则①正确； ②∵抛物线与轴正半轴相交， ∴； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故③错误； ⑤∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，，故⑤错误； ④当时，， ∴，故④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选：D． 题型六 二次函数图像与其它函数 解｜题｜技｜巧 ☆比较同一坐标系中二次函数与一次函数、反比例函数图像的位置关系，或判断多个二次函数图像的共存 ☆联立函数解析式，解方程组求交点坐标 ☆比较函数值大小时，看图像在上方的函数值大 ☆对于多个二次函数，比较开口大小看 (|a|)，比较对称轴和顶点位置可先化为顶点式 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数的图象的综合判断，根据一次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； B、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）符合题意； C、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； D、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； 故选：B． 【变式1】已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 【变式2】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得：，， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限， 的图象在二，四象限， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B． 题型七 二次函数的最值 解｜题｜技｜巧 ☆二次函数在顶点处取得最值。当 (a>0) 时，有最小值；(a<0) 时，有最大值。若自变量 (x) 有取值范围，需比较区间端点与顶点的函数值 ☆先确定顶点坐标，求出顶点处的函数值（理论最值） ☆若 (x) 有取值范围，检查顶点横坐标是否在区间内。若在，则该点函数值为一极值；若不在，则最值在区间端点处取得 【典例1】已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质 二次函数开口向下，顶点不在内，函数在上单调递减，最大值在左端点． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 由于，函数开口向下，且在对称轴右侧， ∴函数在区间上单调递减， ∴当时，最大值是t，． 故答案为：4． 【变式1】函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的性质与最值，熟练掌握二次函数的顶点与增减性是解题关键． 结合二次函数的对称轴和开口方向判断增减性，然后算出最大值和最小值． 【详解】解：二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，取最小值； ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴当时，的最大值为5，即， ∴． 【变式2】已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象； (2)当时，x的取值范围是 ； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围为 ． 【答案】(1)见详解； (2)或； (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与x轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，再描点，连线，即可作答． （2）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： （2）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； （3）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 题型八 二次函数的平移 解｜题｜技｜巧 ☆抛物线平移规律：“左加右减（对自变量x），上加下减（对函数值y）”。平移不改变开口方向和大小 ☆将函数式化为顶点式，顶点为 ((h,k)) 左右平移：(h) 变化。向左平移 (m) 单位，新顶点横坐标为 (h-m)，即 (x) 变为 (x+m) 上下平移：(k) 变化。向上平移 (n) 单位，新顶点纵坐标为 (k+n)，即整个式子加 (n) ☆综合平移先左右后上下 【典例1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像与平移变换，解题的关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 原抛物线 的顶点坐标为 ，目标抛物线 的顶点坐标为 ，通过比较顶点坐标变化确定平移方向． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为 ， 抛物线 的顶点为 ， ∴ 顶点从 平移到 ，即向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位； 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 【变式2】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记二次函数图象平移的规律是解此题的关键． 根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，对原抛物线进行平移变换，即可求解． 【详解】解：∵将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴新抛物线为． 故答案为：． 题型九 二次函数值的大小比较 解｜题｜技｜巧 ☆比较同一函数不同自变量对应的函数值，或比较不同函数在同一自变量下的函数值，核心是利用函数的增减性和图像位置 ☆同一函数：先确定对称轴和开口方向。比较的点离对称轴越远，函数值越大（开口向上）或越小（开口向下） ☆不同函数：代入自变量直接计算比较；或画出草图，看在给定区间内哪个函数图像在上方 ☆涉及参数时，常需分类讨论对称轴位置 【典例1】已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过抛物线开口方向、对称轴位置及点A、B的横坐标范围，判断函数值大小及与2的关系，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴开口向上，对称轴， ∵， ∴对称轴满足， ∵点A横坐标满足，点B横坐标满足， ∴， ∴点A在对称轴右侧； 同理， ∴点B在对称轴右侧，函数递增， ∴由，得， 令，解方程，得， 解得：或， ∵， ∴， 当时，， ∵满足，且， ∴， ∵满足， ∴， 综上，， 故选：C． 【变式1】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向和对称轴，比较点到对称轴的距离来判断函数值的大小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数 ，开口向上，对称轴为， ∴点离对称轴越近，函数值越小， ∵点，，在二次函数上 则，， ∵， ∴ ， 故选：C． 【变式2】已知，是二次函数图象上的两个点，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 通过代入x值计算函数值，比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 由于， 则， 故答案为：． 题型十 二次函数与不等式 解｜题｜技｜巧 ☆解不等式（或<0）等价于找抛物线在x轴上方（或下方）部分对应的x取值范围 ☆令，画出函数示意图，标出与x轴交点（即方程的根） “大于0”取x轴上方区间；“小于0”取x轴下方区间 ☆若不等式含等号（≥或≤），解集包含交点（端点） 【典例1】如图，过点且平行于轴的直线与二次函数（）的图像的交点坐标为，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，掌握相关知识是解题的关键；根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线平行于轴， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为且， 即， 即不等式的解集为二次函数（）的图像在直线上方时对应的的取值范围， ∴或， 故选：C． 【变式1】已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 【变式2】如图，抛物线与直线交于点，若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图像的性质，由图形求不等式的解集，掌握图像的性质是关键． 根据图像的交点，确定不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意，抛物线与直线交于点， ∴的解集为或， 故答案为：或 ． 题型十一 二次函数与方程 解｜题｜技｜巧 ☆一元二次方程 的根，就是二次函数图像与x轴交点的横坐标 求根：令 ，解方程即可 判断根的情况：利用判别式 ☆已知根的情况求参数：根据 与0的关系，或利用韦达定理（）列方程 ☆图象法求近似根：观察图像与x轴交点的横坐标估值 【典例1】下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标横坐标即为方程的解即可求解． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 【变式2】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 题型十二 待定系数法求二次函数 解｜题｜技｜巧 ☆根据已知条件，选择恰当形式设出二次函数解析式，代入已知点坐标，解方程组确定系数 ◎已知三点：设一般式 ◎已知顶点或对称轴与最值：设顶点式 ◎已知与x轴两交点：设交点式（零点式） ☆代入已知点坐标，建立关于系数的方程（组）并求解 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，过点A和x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为点B．点P为抛物线上一点（点P在直线的上方），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)________，点B的坐标为________． (2)求S关于m的函数解析式． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、三角形面积公式的应用，熟练掌握二次函数的对称轴性质以及分情况讨论求解方程是解题的关键． （1）把点代入抛物线解析式，即可得到k的值．把代入抛物线解析式，即可求出点B的坐标； （2）由点A，B的坐标得到，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵过点A和x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为点B， ∴把代入抛物线，得， 解得，， ∴． 故答案为：3；． （2）解：∵，， ∴， ∵点P为抛物线上一点（点P在直线的上方），设点P的横坐标为m， ∴ ∴， 即S关于m的函数解析式为． 【变式1】已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式． (2)求该二次函数的图象与x轴的交点坐标． (3)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数与x轴的交点坐标，求函数值的取值范围，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为0时自变量的值即可得到答案； （3）根据解析式可得当时，y随x的增大而减小，求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数顶点坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 代入，得，解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：在中，当时，， 解得 ∴二次函数与x轴的交点坐标为，． （3）解：∵二次函数表达式为，， ∴函数图象开口向下，对称轴直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴时，， 当时，， ∴y的取值范围为． 【变式2】二次函数的图象经过． (1)求二次函数的表达式； (2)将该二次函数图象向上平移______个单位长度，恰好与x轴有1个公共点． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，二次函数顶点恰好在x轴上，据此求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴平移前的顶点坐标为， ∵平移后二次函数图象恰好与x轴有1个公共点， ∴二次函数顶点恰好在x轴上，则平移后的顶点坐标为， ∵， ∴将该二次函数图象向上平移个单位长度，恰好与x轴有1个公共点． 故答案为：． 题型十三 二次函数与图形 解｜题｜技｜巧 ☆将抛物线作为几何图形的一部分，与三角形、四边形、圆等结合，求交点、线段长、角度、图形面积等 ◎求交点：联立二次函数与直线（或其他曲线）解析式解方程组 ◎求线段长：用两点间距离公式，坐标常由解方程组得到 ◎求角度：通常转化为求直线的斜率（或倾斜角），利用三角函数 ◎求面积：常用“割补法”，将不规则图形面积转化为规则图形（三角形、梯形、矩形）面积的和差 【典例1】如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，三角形的面积计算，解直角三角形；由题意可知，分类讨论：当点E在边上，即时，；当点E在边上，即时，，据此分别写出解析式，对照选项即可得出结果. 【详解】解：由题意可知， 当点E在边上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴ 即 ∵，菱形的边长为， ∴点E移动到点B时，，， ∴当点E在边上时，， ∴（） 当点E在边上，如图所示： ∴ 即（）. 综上：，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数. 故选：A. 【变式1】如图，在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，等腰直角三角形的底边长40厘米，要使截得的矩形的边在上，顶点D，G分别在边，上．设的长为x厘米，矩形的面积为y平方厘米． (1)试写出y关于x的函数解析式以及x的取值范围； (2)当x为何值时，所截得的矩形面积最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当x为10时，所截得的矩形面积最大，最大面积为200平方厘米 【分析】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：利用二次函数的性质求最值． （1）根据题意用x表示出的长，那么矩形的面积，根据和的长度均大于0可得x的取值范围； （2）当时，y有最大值，把相关数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴厘米， ∴厘米， ∵长40厘米， ∴厘米， ∴， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的函数解析式为：； （2）解：∵， ∴二次函数有最大值， ∴时，y有最大值． 答：当x为10时，所截得的矩形面积最大，最大面积为200平方厘米． 【变式2】如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3) (4)存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 题型十四 二次函数与经济问题 解｜题｜技｜巧 ☆将销售利润、租金定价、成本控制等经济问题建模为二次函数，通过求最值解决“最大利润”、“最优价格”等问题 ◎明确变量：通常设“售价”、“产量”或“涨价幅度”为自变量 (x)，“利润”为因变量 (y) ◎建立关系：利润 = (售价 - 成本) × 销量，注意销量常随售价变化（常为一次函数关系） ◎整理得到 (y) 关于 (x) 的二次函数 ☆求顶点坐标得理论最值，并结合实际（如 (x) 为整数）确定最终答案 【典例1】某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为x（），11月份的投入资金为y万元，则可列y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式的知识，从9月到11月经过两个月，每月增长率为x，因此11月资金是9月资金乘以的平方． 【详解】解：9月份投入资金为20万元，每月增长率为x，则10月份投入资金为万元，11月份投入资金为万元， 故． 故答案为：． 【变式1】月日，中央广播电视总台发布年春晚的主题为——“骐骥驰骋 势不可挡”．《楚辞•离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场推出一款“2026势骋”卡片（如图）深受大家喜爱，卡片进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将卡片的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】(1) (2)将卡片的销售单价定为元时，商家每天销售卡片获得的利润元最大，最大利润是元 (3)捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是 【分析】本题考查了一次函数、二次函数，掌握知识点是解题的关键． （1）根据已知条件写出关系式； （2）根据题意得到利润与销售单价之间的函数关系式，再求出最大利润； （3）根据题意列不等式，求解不等式，再结合的范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 规定销售单价不低于元，且不高于元， ， 即． （2）解：根据题意得， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为． 答：将玩具的销售单价定为元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大，最大利润是元． （3）解：根据题意可知剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， 即， 解得， ， ． 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 【变式2】某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元．在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)若销售单价为64元，连续两次降价后售价为49元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为______； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出方程，即可解答； （2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； （3）设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， ， 解得或（舍去）， 即每次下降的百分率为； 故答案为：； （2）解：设，由题意可得： ， 解得：， ∴， 则， 整理得：， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 故每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 题型十五 二次函数与线段及周长 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线背景下，求满足特定条件的动点构成的线段长度或图形周长，常涉及距离公式和线段和最小（如将军饮马）问题 ◎设出动点坐标（通常在抛物线上，满足解析式） ◎用坐标表示相关线段长度（两点间距离公式） ◎求线段和的最小值：常利用对称转化（如将军饮马模型），或建立关于动点横坐标的二次函数求最值 ◎求图形周长：将各边长度之和表示为函数求最值，或利用几何性质（如垂直平分线）简化 【典例1】如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； （2）利用配方法，把抛物线解析式转化为顶点式即可； （3）因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 所以顶点坐标为； （3）解：存在， 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ， 解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为． 【变式1】如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为 (2) 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）将点代入，即可求出直线的解析式；将点，代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 令，则， ． 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 如图，抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 当时，， ∴点． 【变式2】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)设的周长为，的周长为，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】(1)；直线解析式为 (2) (3)最小值为 【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式． （2）由，推出，列出方程即可解决问题． （3）在轴上取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值，从而求得的最小值． 【详解】（1）解：令，则， ， 或， 抛物线与轴交于点， ， ． ，， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为． （2）解：如图1中， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 抛物线解析式为， ， ， 解得或4， 经检验是分式方程的增根， ． （3）解：如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得． ，， ， ， ， ， ， ， ，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 的最小值． ∴的最小值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，从而求得的最小值． 题型十六 二次函数与面积问题 解｜题｜技｜巧 ☆求抛物线与其他图形（如直线、坐标轴）围成的图形面积，或求面积最值。核心是将面积表示为某个变量的二次函数 ☆求固定面积：常用“割补法”，尤其是“水平宽 × 铅垂高 ÷ 2”的三角形面积公式（适用于一边在水平或垂直方向） ☆求面积最值： ◎设动点坐标 ◎用坐标表示面积，通常能得到关于动点横坐标的二次函数 ◎通过配方求顶点纵坐标，即得面积最值 ☆注意面积非负，且动点可能受限于某一区间 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①最大值为，② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标系中三角形面积的求解，掌握二次函数对称轴的计算和坐标系中三角形面积的表示是解题关键． （1）代入点的坐标，得到与的关系，再通过对称轴为直线求解即可； （2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可； ②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得；则，对称轴为直线． （2）解：①若，则该抛物线的表达式为，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为， 设，如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． ②设， 同①可得， 故当时，取得最大值，为， ， 令， ∵， ∴解得． 【变式1】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点． (1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标； (2)求面积的最小值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据即可求解； （2）作轴交直线于D，设E、F点的横坐标分别为，，则，为方程的两根，可用，表示出，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵k为任意不为0的实数， ∴，， 解得: ，， ∴直线L经过定点D，其坐标为； （2）解：设E、F的横坐标分别为，， 则，为方程的两根， 整理得， ∴，， ∴， 当时，有最小值，最小值为8， 当时，， 解得：，， ∴， 作轴交直线于点D，如图， 则， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，的最值，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综合)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式2】已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求直线的解析式； (3)点是直线下方抛物线上的一动点，点的横坐标为，连接，，求的面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)直线的表达式为： (3)面积的最大值为，此时点P坐标为 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键； （1）用待定系数法即可求解； （2）先求出点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得： 解得：； （2）解： ， 抛物线的表达式为：， 将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：； （3）解：过点作轴交于点， ∵点的横坐标为， ∴点，则， 则面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为，此时点P坐标为． 题型十七 二次函数与角度问题 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线图像中，判断或求解由抛物线上的点与坐标轴上的点或其他点构成的特定角度（如直角、45°角） ☆证明直角：常用勾股定理逆定理，或证明两直线斜率乘积为 -1（在坐标系中） ☆求特定角度：通常转化为求三角函数值。构造直角三角形，利用边角关系。有时需用到相似三角形或解斜三角形 ☆角度存在性问题：常设点坐标，根据角度条件（如）建立方程求解 【典例1】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)连接，当时，求证：； (3)设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； (4)连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或； (4)或4． 【分析】（1）直接将点坐标代入即可； （2）由题意知，进而可得，据此得证； （3）根据图象明显可知点在点左侧时，最值之差大于，不合题意，点在和顶点之间时，最值之差小于，不合题意；则分两种情况讨论即可； （4）分两种情况讨论：当点在上方时，作点关于轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线解析式，进而联立二次函数解析式求出值；当点在下方时，易得，同理可求值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵当时，代入， 得， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ， 解得，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：由题意可知顶点坐标为， ∵当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∴此时，，成立； 当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∵，， ∴， ∴， 解得，（舍）； 综上，或； （4）解：①当点在上方时，作点关于轴对称点，则， 则， ∴， 过作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ∴， 过作轴于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴点， ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在下方时，过作交于点，过作交于点 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴在 ， ∴，， ∴， ∵在第四象限， ∴点． ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， ， ， 解得（舍去）或， ∴； 综上，的值为或4． 【点睛】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1】抛物线的顶点坐标为，与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点在直线上方抛物线上，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在抛物线对称轴上，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，将抛物线设为顶点式，将点坐标代入求解即可； （2）过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，可证，得到，设点，可用表示的长度，再根据抛物线的性质即可求出最值，进而求得点坐标； （3）过点作交延长线于点，过点作轴交轴于点，过点作交延长线于点，抛物线的对称轴与轴交于点，进而可证，得到，设点，点的横坐标为，利用线段间的等量关系得，由轴，轴可得，则，得到，即，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：令，， 则点， 令，， 解得或， 则点， 设直线的表达式为， 将点代入得， 解得， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是抛物线上的动点， ∴设点，则点， ∴， 当点在直线上方抛物线上时，， 令，， 则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 此时点； （3）解：存在点或，使得． 如图，过点作交延长线于点，过点作轴交轴于点，过点作交延长线于点，交轴于点，抛物线的对称轴与轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的函数表达式为， 设点，点的横坐标为， 则， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入整理得， 解得或， 则点的坐标为或． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，角的存在性问题，全等三角形的判定与性质等，根据构建“一线三垂直”是解题的关键． 【变式2】如图，抛物线与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴相交于点C，A、B的坐标分别为：、，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作，交直线于点Q，过点Q作轴，交y轴于点M，点K为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点E为平移后抛物线对称轴上一动点，连接，，当时，请写出所有符合条件的E的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2)3 (3)点E的坐标为或，过程见详解 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解； （2）过P作轴交于交于F，延长交于G，由题意易得，则有，，然后可得点坐标，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于，则有轴，四边形、、均是矩形，进而可得，最后问题可求解； （3）由题意可分①当E在x轴上方时，②当E在x轴下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P作轴交于交于F，延长交于G， ∴轴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， 当时，取最大值， 此时， ∴， 如图，过轴，过P作，过K作轴交于H，作交于， ∴轴，四边形、、均是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图， 当P、K、三点共线时，的值最小，此时， ∴的最小值为3； （3）解：∵，该抛物线沿射线方向平移个单位， ∴， ∴该抛物线向左平移个单位长度，， ∴平移后的对称轴为直线， ①当E在x轴上方时，如图，过E作轴交于N，过A作轴交于T，交于S， ∴，四边形、、是矩形， ，， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 设，， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②当E在x轴下方时，如图， 同理可求：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述，E的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握二次函数的综合，三角函数，相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 题型十八 二次函数的图形存在性问题 解｜题｜技｜巧 ☆探讨在抛物线背景下，特定图形（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形等）是否存在，若存在，求点坐标 ◎明确分类：根据图形的判定条件分类讨论（如等腰三角形按哪两边相等分三类） ◎设点坐标：设出所求点的坐标（一个或两个），其中在抛物线上的点坐标满足解析式 ◎列方程：利用图形的几何性质（如线段相等、平行、垂直、对角线互相平分等）转化为代数方程 ◎解方程检验：解方程得到坐标，并检验是否满足所有条件（如点是否在指定区域，图形是否退化） 【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】0-、=（1）用待定系数法即可求解； （2）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （3）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点， ∴， 此时的周长取得最小值， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （3）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 【变式1】如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 【变式2】如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 题型十九 二次函数与相似三角形 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线背景下，判断或构造相似三角形，利用相似比建立线段比例关系，进而求点坐标或线段长 ◎识别相似：寻找或证明两三角形对应角相等（常用平行线、公共角、直角、圆周角等） ◎利用相似比：若，则 ◎列式求解：将线段长用坐标表示（可能含未知数），代入比例式建立方程求解 ☆注意分类讨论对应顶点不同的情况 【典例1】如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，此时点的坐标为； (3)①；②或或或或或． 【分析】（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点，求出抛物线解析式即可； （2）求出直线的解析式为，连接、，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，求得，得，根据二次函数的性质得出结论； （3）①过作轴于，求出，，，求得，由垂直平分可得结论；②根据相似三角形的相似条件画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，连接、，过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）①过作轴于，如图： 在中令得，令得，， ∴，，，且对称轴， ∴，直线解析式为， ∵， ∴， ∵轴，由对称性可得，对称轴， ∴，即横坐标为， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴ ②∵，，， ∴， 当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况： 为直角顶点，如图3： ∵， ∴若时，则可得，同理， 若，则，可得，同理， 为直角顶点，如图： ， 若，则，，同理可得， 若，则，，同理可得， 为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型以及直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用直角三角形的性质得出a的值是解题关键，学会分类讨论的思想解决问题，注意最后一个问题答案比较多，考虑问题要全面． 【变式1】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式，即可求解； （2）过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，求出，先求出直线的解析式，设点的坐标为，求出，，根据二次函数最值，求出最后结果即可； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， 令，得， ∴点的坐标为． ∴． ∵， ∴， 即点A的坐标为． ∵点， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式是，即． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：如图1，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． 设直线的解析式为，把代入得：，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， ∵轴， ∴． 把代入得：，解得， ∴． ∴ ． ∴当时，有最大值，且最大值为． ∴的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：如图2， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形． 也是锐角三角形． ∴点在点的上方． ∴． ∴． ∵，，， ①当时， ∴，即，解得， 即点． ②当时， ∴，即，解得， 即点． 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【变式2】如图，抛物线（）与轴交于点．和点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)设对称轴交线段于点，点在对称轴上，且在点的下方，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． 解：存在； ∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∵， ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：直线， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． 题型二十 二次函数的其它问题 解｜题｜技｜巧 ☆涵盖二次函数的综合性、创新性应用，如新定义问题、阅读理解题、与高中知识衔接的衍生问题（如绝对值二次函数、区间最值等）。 ◎耐心审题：理解新定义或新情境的本质，将其转化为熟悉的二次函数问题 ◎分解步骤：将复杂问题分解为若干个基础考点（如求解析式、画图、求交点、配方等）的组合 ◎数形结合：勤画草图，将代数关系与几何图形直观联系 ◎分类讨论：当参数不同导致情况不同时，必须全面、有序地讨论所有可能情形 【典例1】定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象与两点，由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，此时，，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离”为； （3）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； ， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为， ∴， 解得， ∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则． 【变式1】定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为_____； (2)若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“友好点”的定义设该坐标为，再代入，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，得到函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，得，求解即可；当，即时，函数的最小值为，不符合题意；当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，则当时，函数有最小值，得，求解即可． 【详解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）解：∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查“友好点”的新定义，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． (1)求点A的坐标及a，c的值； (2)连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 【答案】(1)点A的坐标为，， (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）令，再根据图象可求出点A和点B，最后根据点在上，横坐标为，即可求解； （2）过点C作轴交于点H，由（1）知点C的坐标为，点D的坐标为，证明四边形是矩形，进而可得，再根据题意分为两种情况：当点P在上方时和当点P在下方时，根据相似三角形的判定和性质求解即可； （3）由题意得新函数为，根据最大值为，可求出或，再根据新函数图象进行分情况求解即可． 【详解】（1）解：由，令， 得 解得， ∵点在点右侧， ∴，， ∵点在上，横坐标为， ∴ ， ∴， ∵经过和， ∴， 解得，； （2）解：过点C作轴交于点H， 由（1）知点C的坐标为，点D的坐标为， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， 当点P在上方时，设与y轴交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点M代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； 当点P在下方时，设与y轴交于点N， 同理可得：， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点N代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； （3）解：由题意得，， 当时，最大值为， ∴在上时， 解得，则设该点为点F； 在上时， 解得（舍去），则设该点为点E， 过点E和点F作x轴的垂线，如图， ∴存在三种情况， 当时，则在C点处，函数取最小值， ∴， ∴（与假设矛盾，故舍去） 当时，则， ∴， 由图可知，该范围内的图象在x轴上方，故最小值大于0，则与最小值为相矛盾， ∴此情况不存在； 当时，函数在点A处取最小值0， ∴ ∴ 解得（舍去）， 综上所述，t的值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、矩形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，学会分情况讨论是解决本题的关键． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．二次函数的最小值为（  ） A．2 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的最值（顶点式形式），熟练掌握二次函数顶点式中的符号对函数最值的影响是解题的关键．先判断二次函数的开口方向，再根据顶点式的性质确定其最值． 【详解】解：因为函数中，，且顶点坐标为， 所以当时，取最小值． 故选：B． 2．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义解题即可．根据二次函数定义中，最高次项为的二次方且二次项系数不为零可得正确选项． 【详解】解：二次函数的一般形式为． 选项A：，最高次项为一次，不是二次函数； 选项B：，最高次项为二次，且系数为，是二次函数； 选项C：，是分式函数，不是整式函数； 选项D：，最高次项为三次，不是二次函数． 故选：B． 3．若抛物线（m是常数）的开口向下，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向下对应二次项系数小于0是解决问题的关键． 根据二次函数的图象与性质，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数， 解得． 故选：C． 4．已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 5．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据二次函数的平移变换求解即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到；再向上平移2个单位长度，得到． 故答案为：． 6．如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 根据图象判断函数值的大小关系即可． 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，， 故答案为： 或． 7．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【答案】(1)抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为 (2)抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确审清题意是解题的关键． （1）根据题意求最高点A到地面的距离，即求顶点的纵坐标； （2）根据题意可知，令即可求解． 【详解】（1）解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； （2）当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 8．某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． (1)求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求菜园面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ， 即； （2）由（1）知，， 当时，有最大值，最大值是． 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质是解决问题的关键． 先由反比例函数图象与性质得到，进而得到二次函数的图象与轴只有一个交点，且对称轴为，从而对四个选项中的图象逐个分析即可得到答案． 【详解】解：已知反比例函数的图象，如图所示： 由反比例函数图象在第二、四象限可得， 二次函数的图象与轴只有一个交点，且对称轴为， A、选项中的图象与轴只有一个交点，且对称轴为，符合题意； B、选项中的图象与轴有两个交点，不符合题意； C、选项中的图象与轴有两个交点，不符合题意； D、选项中的图象与轴只有一个交点，且对称轴为，不符合题意； 故选：A． 2．若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，由二次函数图象与x轴有且只有一个交点，可知对应一元二次方程的判别式为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴ 方程的判别式， 即， ∴， 解得， 故选：C． 3．关于二次函数，下列命题中正确的是（    ） ①若，则； ②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； ④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个． A．①③ B．①③④ C．①④ D．② 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点个数，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．逐一判断每个命题的正确性：命题①通过代入推导判别式非负；命题②举反例说明不一定成立；命题③计算判别式恒正；命题④说明与坐标轴交点个数错误. 【详解】解：命题①： 由，得， ， 成立； 命题②： 由，令， ，解得， 方程有两个相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根不成立； 命题③： ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根成立； 命题④： 当时，抛物线与轴无交点，与轴有1个交点，公共点数为1， 二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个不成立 正确命题为①③． 故选:A． 4．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是关键．直接根据二次函数的对称轴公式求解即可． 【详解】解：对于抛物线，，， 对称轴为直线． 故答案为：． 5．抛物线与直线的交点个数为 个． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，得出抛物线开口向下，顶点坐标为是解答本题的关键． 根据抛物线开口向下，顶点坐标为，直线平行于x轴，且经过点可得答案． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵直线平行于x轴，且经过点， ∴抛物线与直线的交点个数为1个． 故答案为：1． 6．如图，在直线上方的双曲线上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接，则面积的最大值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，将三角形面积用代数式形式表达出来，再根据二次函数最值解得出来即可． 【详解】解：设，则， 线段， ， ，二次函数开口向下，有最大值， 当时，有最大值，最大值：3． 故答案为：3． 7．心理学家研究发现：人的表现水平随着压力水平的变化而变化，适度的压力可以让人发挥得更好，过高的压力或过低的压力都会影响人的发挥．如果把表现水平和压力水平进行赋值发现表现水平值y与压力水平值x之间近似满足二次函数关系果果为此做了一次实验探究，探究记录数据如下表： 压力水平值x 20 30 50 70 … 表现水平值y 10 60 100 60 … (1)求表现水平值y与压力水平值x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)甲乙两人的压力水平值相差10，但他们的表现水平值y一样，请求出此时他们的表现水平值y； (3)如果表现水平值在到90之间（包括和90），人们自我满意度达到最好．求人们自我满意度达到最好时，压力水平值x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． （1）由表格可知，该二次函数的顶点坐标为，设，代入其他一组数据，求出即可； （2）根据题意，甲乙两人的压力水平值关于对称轴对称，且相差10，故水平压力值为45和55，求出y的值即可； （3）分别求出和时，x的值，结合二次函数的增减性，表示出x的取值范围． 【详解】（1）解：分析表格中的数据可知，该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 设，将，代入解析式， 得， 解得， ∴； （2）解：根据题意可得，甲乙两人的压力水平值关于对称轴对称， ∵甲乙两人的压力水平值相差10， ∴甲乙两人的压力水平值为与， 当时，； （3）解：当时， ， 化简，得， 解得，，； 当时， ， 化简，得， 解得，，； ∵当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小， ∴或时，人们自我满意度达到最好． 8．已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图像的对称轴是_______； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图像： (3)根据图像回答下列问题： ①当时，的取值范围为 ； ②当时，的取值范围为 ； 【答案】(1)直线 (2)；图见解析 (3)①或；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值． ()根据对称轴计算公式求解即可； ()先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； ()①②根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：二次函数解析式， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）解：在中， 当时，， 即； 当时，， 即； 函数图象如下所示： （3）解：①由函数图象可知，当时，的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，的取值范围为， 故答案为：． 期末综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 2．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 3．如图，抛物线的对称轴为，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，结合图象在上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，函数经过点， ∵对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴由函数图象可得，当或时，， 故答案为：或． 4．若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，再结合开口向下的二次函数，到对称轴距离越近，函数值越大，即可得出结果，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵点、、为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了利用二次函数的图象判断式子的符号、二次函数的图象与性质等知识点，从函数图象上得到相关信息是解题的关键． 先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当时，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ，故①不正确； 代入点得，， 将代入得，，故②正确； 抛物线的对称轴为，且经过点， 抛物线也经过点， 当时，， 的解集是，故③正确； 当时，取得最大值，最大值为， ，即，故④正确； 综上，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 6．如图，矩形的四个顶点在等腰直角三角形的边上．，已知长为，设边长为x，矩形的面积为S最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用等腰直角三角形和矩形的性质，求出矩形另一边的表达式，进而得到面积函数根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解： 是等腰直角三角形，，， ， 由勾股定理可得， 四边形是矩形， ， ， 则和都是等腰直角三角形， ，， 设，则， ，且， ， 解得， 矩形面积， ，， 解得， 当时，有最大值． 故答案为：． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的交点为． (1)求二次函数的表达式； (2)若抛物线上有一点，将线段沿着轴向上平移，使平移后的线段与该抛物线恒有公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值是，最小值是，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的确定，平移的性质，二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）设二次函数的表达式为：，把代入求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得直线的解析式，再与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）根据二次函数的性质分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为：， 把代入得，，解得， 二次函数的表达式为：； （2）解：把代入得：， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ，解得， 直线的解析式为， 点的纵坐标为，且将线段沿着轴向上平移个单位后得到线段， 使平移后的直线解析式为，， 令，整理得， 平移后的线段与该抛物线恒有公共点， ，解得， 的取值范围是； （3）解：， 顶点坐标为，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，， 在范围内． 当时，，当时，． 当时，，当时，． 当时，，当或时，． ． 8．和谐像一幅画作中平衡的构图，似一首乐曲中稳定的节奏，赋予事物以美感．在平面直角坐标系这幅无限画卷中，我们将横坐标的2倍与纵坐标之和为的点称为“和谐点”，例如是“和谐1点”，是“和谐4点”．若某函数图象上存在“和谐点”，则把该函数称为“和谐函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)函数是“和谐1函数”吗？若是，请求出其“和谐1点”；若不是，请说明理由； (2)已知反比例函数是“和谐函数”，有唯一的“和谐点”，且该“和谐点”与直线的“和谐点”恰好是同一个点，求反比例函数的解析式； (3)已知二次函数是“和谐2函数”，经过点，点和点是该函数图象上的两个“和谐2点”，点在第二象限，点在第四象限，直线与轴相交于点，且．当时，的最小值为5，求函数的解析式． 【答案】(1)是，和谐1点为 (2) (3) 【分析】本题考查了和谐点的定义，一次函数，反比例函数以及二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系式，一元二次方程根的判别式的意义； （1）根据和谐点的定义，代入函数方程求解； （2）根据唯一和谐点条件判别式为零，且与直线和谐点相同，联立求解； （3）根据和谐点方程根与系数关系，结合距离条件求根的和，再利用最小值条件求参数，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是和谐点， ， 又， ， 解得，， ∴函数 是和谐函数，和谐点为 （2）解：设和谐点为，则，且， ，即 有唯一和谐点， 判别式， 又该点也是直线的和谐点， ， 解得，， 代入，得 代入，得 两边乘： ，即 解得， 反比例函数解析式为 （3）解：二次函数是和谐函数， 点满足，即 又函数经过点， , 设函数 联立与， 得 设点，点，且 直线为，与轴交于点 ，且共线， , ， ， ，即， ， 由方程，根和 ， ，即 函数为 当时，最小值为 当时， 时， ，对称轴为直线， 在，随的增大而减小，最小值在，， ，. 函数解析式为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $