专题01 二次根式（期末复习讲义，11知识点+16题型）九年级数学上学期华东师大版

专题01 二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的定义 理解二次根式的概念，掌握形如的式子叫做二次根式。 基础概念题，常以选择题形式出现。 二次根式有意义的条件 能根据被开方数非负（a≥0）确定二次根式中字母的取值范围。 高频基础考点，常作为综合题的第一步。 二次根式的性质 熟记并会运用和²=a 常考性质，易错点，尤其注意²的结果为非负数。 二次根式的乘法运算 掌握公式·=（a≥0，b≥0），并能进行简单计算。 基础运算，常与其他运算结合考查。 积的算术平方根 会运用进行化简与计算。 与乘法运算互为逆运算，考查变形与化简能力。 二次根式的除法运算 掌握公式，并能进行简单计算。 基础运算，注意分母不能为零的条件。 商的算术平方根 会运用进行化简与计算。 与除法运算互为逆运算，常与分母有理化结合考查。 最简二次根式 能判断二次根式是否为最简形式（满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）。 核心化简要求，是进行加减运算和混合运算的前提，必考。 同类二次根式 能识别几个二次根式是否为同类二次根式（化简后被开方数相同）。 常作为二次根式加减运算的预备步骤进行考查。 二次根式的加减运算 会先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式。 基础计算题，考查化简与合并的基本功。 二次根式的混合运算 能综合运用加、减、乘、除、乘方等运算法则进行二次根式的混合运算，并注意运算顺序。 中考必考计算题型，通常出现在计算题中，要求过程完整、结果最简。 知识点一、二次根式的定义 1．二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式；＂＂叫做二次根号. 2.二次根式的特征 （1）必须含有二次根号＂的根指数为2，即＂＂，我们一般省略根指数2 ，写作＂＂. （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ． 易错点： 二次根式满足两个条件： 1．含有二次根号＂＂； 2．被开方数是正数或0．特别地：形如 的式子也是二次根式，它表示与的乘积；当是带分数时，要写成假分数． 知识点二、二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件 被开方数（式）为非负数，反之也成立；即有意义． 2.求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法 (1)若一个式子含有多个二次根式，则它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数 (2)若一个式子中既含有二次根式又含有分式，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0 (3)若一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0 易错点： 二次根式有意义，被开方数非负数; 二次根式无意义，被开方数是负数; 单个二次根式时，列出不等式求解; 复合形式的式子，列不等式组求解 知识点三、二次根式的性质 1．二次根式的性质 （1） ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （2）即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值． 易错点： 正用公式： 逆用公式： 的异同点 代数式 区别 取值范围不同 为全体实数 运算顺序不同 运算结果不同 = 联系 知识点四、 二次根式的乘法运算 1．二次根式的乘法法则 一般地，有 。这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 2．二次根式的乘法法则的推广 （1）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为积的根号外因数（式），被开方数之积作为积的被开方数，即： ． （2）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即： ． （3）几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简化运算． 易错点： 1.法则中被开方数既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的 2.二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方 3.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 知识点五、 积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质 ． 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积． 易错点： 公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简 2.性质的应用 (1)积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用: (2)运用此公式化简二次根式，关键是将被开方数(式)分解因数(因式)，把含有2形式的移到根号外面． 知识点六、 二次根式的除法运算 1.二次根式的除法法则 这就是说，两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根 易错点： 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算;若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除 2.二次根式的除法法则的推广 （1）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即： . （2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数（式）之商作为商的根号外因数（式），被开方数（式）之商作为商的被开方数（式），即： ． 知识点七、 商的算术平方根 1.商的算术平方根的性质 这就是说，商的算术平方根，等于被除式与除式的算术平方根的商 易错点： 1.商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则 2.公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子但必须满足. 3.利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式 2．分母有理化的方法 （1）当分母是 或 的形式时，分子与分母同乘 ； （2）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉； （3）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉． 知识点八、 最简二次根式 1.定义 二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式 易错点： 1.被开方数不含分母: 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:分母中含有根式的式子不是最简二次根式 2.二次根式化简成最简二次根式的步骤 （1）“一分”即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式;(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上:(3)“三化”，即化去被开方数中的分母. 知识点九、 同类二次根式 1．同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像 、 与 这样的几个二次根式，称为同类二次根式． 易错点： 同类二次根式必须同时满足: 最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式)无关 2．合并的方法 合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，即： ． 知识点十、 二次根式的加减运算 1.二次根式加减的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并 2.二次根式加减运算的步骤 （1）““化”:将每个二次根式都化成最简二次根式; （2）“找”:找出被开方数相同的最简二次根式(即同类二次根式); （3）“并”:将同类二次根式合并成一项 易错点： 1.化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分 2.根号外的因式就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数 3.二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 同类二次根式系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 同类二次根式被开方数不变 化简 侧重结果:化为最简二次根式或整式 侧重过程:先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 知识点十一、 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 2. 二次根式的混公运算顺序 与整式的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括号里面的 3. 二次根式混合运算中的运算律 运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用 易错点： 1.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式）的形式。 2.在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律 题型一 二次根式的定义 解｜题｜技｜巧 ☆判断一个式子是否为二次根式，抓住两个关键点： ◎形式为“ ”，且根指数为2（通常省略） ◎被开方数（根号下的式子）必须是非负数（即a≥0） 【典例1】下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 题型二 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 ☆列出不等式：被开方数≥0 ☆若根式在分母上，则被开方数>0 ☆若含多个根式，分别求取值范围后取公共解集 【典例1】使式子有意义的x的取值范围是 ． 【变式1】若式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【变式3】要使二次根式有意义，则的取值范围是 ． 题型三 求二次根式的值与参数 解｜题｜技｜巧 ☆将已知条件（如字母的值）直接代入 ☆若已知二次根式的值，则令其等于被开方数，解方程 ☆注意隐含条件：参数可能满足被开方数≥0 【典例1】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【典例2】当时，二次根式的值是 ． 【变式1】已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 【变式2】已知实数，满足，求的值． 【变式3】若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”. (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 题型四 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 ☆一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 ☆一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 ◎遇到²，必须先判断a的正负，再脱去绝对值 ◎若题中未说明正负，需分情况讨论或保留|a| 【典例1】已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【变式1】已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【变式2】计算：． 【变式3】观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 题型五 二次根式的乘法运算 解｜题｜技｜巧 ☆ ☆先乘后化简：将被开方数相乘，再将结果化为最简二次根式 ☆反之也可：先分别化简每个根式，再相乘 【典例1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 【变式2】2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：（，)，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 【变式3】在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 题型六 积的算术平方根 解｜题｜技｜巧 ☆ ☆用于因式分解化简：将被开方数分解为平方因数和其他因数 【典例1】计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【变式1】积的算术平方根，等于各因式算术平方根的 ，即 (，)． 【变式2】化简： . 【变式3】化简： (1)；    (2). 题型七 二次根式的除法运算 解｜题｜技｜巧 ☆，两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根 ☆先除后化简：将被开方数相除，再将结果化为最简 ◎常与分母有理化结合进行 【典例1】计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式1】 ． 【变式2】计算： . 【变式3】等式成立的条件是 ． 题型八 商的算术平方根 解｜题｜技｜巧 ☆商的算术平方根，等于被除式与除式的算术平方根的商 ☆用于拆分化简，特别是当分子或分母是平方数时 【典例1】等式 成立的条件是 （     ） A． 且 B． C． D． 【变式1】如果成立，那么的取值范围是： ． 【变式2】等式成立的条件是 ． 【变式3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 最简二次根式的性质 解｜题｜技｜巧 ☆判断标准： ◎被开方数不含分母 ◎被开方数不含能开得尽方的因数或因式 ☆化简时，先处理分母，再分解因数提出平方数 【典例1】下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【变式1】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】化简与计算： ， ， ． 【变式3】下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 题型十 最简二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 ☆将给定的根式化为最简形式，与题目条件对比，建立关于参数的方程或不等式求解 【典例1】已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【变式1】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【变式2】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【变式3】二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 题型十一 同类二次根式 解｜题｜技｜巧 ☆定义：化简为最简二次根式后，被开方数相同 ☆要判断几个根式是否为同类，必须先分别化简到最简形式，再看被开方数是否一致 【典例1】下列各式的化简结果与的化简结果是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式3】已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 题型十二 二次根式的加减运算 解｜题｜技｜巧 ☆步骤： ◎化简：将每个根式化为最简 ◎识别：找出同类二次根式 ◎合并：系数相加减，根号部分不变（类似于合并同类项） ☆不是同类二次根式绝不能合并 【典例1】下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算： (1)； (2) 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型十三 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆严格遵循运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号内 ☆每一步运算后都尽量化简，使过程清晰，减少错误 ☆灵活运用乘法公式（如平方差、完全平方公式） 【典例1】计算： (1)； (2)； 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】化简的结果是 题型十四 二次根式化简求值 解｜题｜技｜巧 ☆先将原式中的二次根式全部化简，再将已知字母的值代入计算 ☆若已知条件复杂，通常先对已知条件本身化简或分母有理化，再代入 【典例1】已知，，则的值为 ． 【典例2】已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】设，，则的值是 ． 【变式2】下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简： 解：原式 =…… (1)若M是一个单项式，则这个单项式是________． (2)将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写．并求当时，代数式的值． 【变式3】先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 题型十五 分母有理化 解｜题｜技｜巧 ☆核心方法：分子分母同乘分母的有理化因式。 ◎形如的有理化因式是 ◎形如的有理化因式是（利用平方差公式） ☆有理化后，记得检查结果是否为最简形式 【典例1】我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【变式1】观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【变式2】阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： _______，_______，_______； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【变式3】观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1) 化简：=______________ (2)猜想：_______（，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 题型十六 二次根式的综合应用 解｜题｜技｜巧 ☆准确理解题意，将实际问题中的数量关系转化为二次根式的运算或方程 ☆注意利用二次根式的非负性等隐含条件进行推理或检验 【典例1】项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【变式1】汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【变式2】如图，小华家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，小华准备在空地中划出一块长为，宽为的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜部分的面积． 【变式3】阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的算术平方根是 ． 4．计算的结果是 ． 5．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 6．计算： (1) (2) 7．已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 8．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 2．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则的值为 5．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 6．（1）已知与成正比例，且当时，． ①求y与x的函数关系式； ②设点在（1）中函数的图象上，求a的值； （2）已知，，求的值． 7．先化简，再求值：，其中 8．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 2．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 4．已知，，则代数式的值是 ； 5．如图，已知， ，，， ， ，，， ， ⋯，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 6．计算的结果为 ． 7．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 8．（1）【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 m ， 3 ①表格中的______； ②根据表格，猜想与的大小关系（   ）； A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：______时，； （2）【理解应用】 ①已知，，当______时，代数式取得最大值是______； ②如图1，已知，在中，，，求周长的最大值． （3）【拓展提升】 如图2，已知正方形的边长为4，为边上的动点，交于，过点作交边于点，连交于点，则面积的最小值是______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次根式的定义 理解二次根式的概念，掌握形如的式子叫做二次根式。 基础概念题，常以选择题形式出现。 二次根式有意义的条件 能根据被开方数非负（a≥0）确定二次根式中字母的取值范围。 高频基础考点，常作为综合题的第一步。 二次根式的性质 熟记并会运用和²=a 常考性质，易错点，尤其注意²的结果为非负数。 二次根式的乘法运算 掌握公式·=（a≥0，b≥0），并能进行简单计算。 基础运算，常与其他运算结合考查。 积的算术平方根 会运用进行化简与计算。 与乘法运算互为逆运算，考查变形与化简能力。 二次根式的除法运算 掌握公式，并能进行简单计算。 基础运算，注意分母不能为零的条件。 商的算术平方根 会运用进行化简与计算。 与除法运算互为逆运算，常与分母有理化结合考查。 最简二次根式 能判断二次根式是否为最简形式（满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）。 核心化简要求，是进行加减运算和混合运算的前提，必考。 同类二次根式 能识别几个二次根式是否为同类二次根式（化简后被开方数相同）。 常作为二次根式加减运算的预备步骤进行考查。 二次根式的加减运算 会先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式。 基础计算题，考查化简与合并的基本功。 二次根式的混合运算 能综合运用加、减、乘、除、乘方等运算法则进行二次根式的混合运算，并注意运算顺序。 中考必考计算题型，通常出现在计算题中，要求过程完整、结果最简。 知识点一、二次根式的定义 1．二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式；＂＂叫做二次根号. 2.二次根式的特征 （1）必须含有二次根号＂的根指数为2，即＂＂，我们一般省略根指数2 ，写作＂＂. （2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （3）双重非负性：二次根式 表示非负数 的算术平方根，因此 ． 易错点： 二次根式满足两个条件： 1．含有二次根号＂＂； 2．被开方数是正数或0．特别地：形如 的式子也是二次根式，它表示与的乘积；当是带分数时，要写成假分数． 知识点二、二次根式有意义的条件 1．二次根式有意义的条件 被开方数（式）为非负数，反之也成立；即有意义． 2.求使含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法 (1)若一个式子含有多个二次根式，则它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数 (2)若一个式子中既含有二次根式又含有分式，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数，分式的分母不等于0 (3)若一个式子中既含有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，则它有意义的条件是二次根式中的被开方数(式)是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0 易错点： 二次根式有意义，被开方数非负数; 二次根式无意义，被开方数是负数; 单个二次根式时，列出不等式求解; 复合形式的式子，列不等式组求解 知识点三、二次根式的性质 1．二次根式的性质 （1） ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （2）即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值． 易错点： 正用公式： 逆用公式： 的异同点 代数式 区别 取值范围不同 为全体实数 运算顺序不同 运算结果不同 = 联系 知识点四、 二次根式的乘法运算 1．二次根式的乘法法则 一般地，有 。这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 2．二次根式的乘法法则的推广 （1）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为积的根号外因数（式），被开方数之积作为积的被开方数，即： ． （2）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即： ． （3）几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简化运算． 易错点： 1.法则中被开方数既可以是数，也可以是式子，但都必须是非负的 2.二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时一定要开方 3.二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 知识点五、 积的算术平方根 1.积的算术平方根的性质 ． 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积． 易错点： 公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简 2.性质的应用 (1)积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上因数(式)的积的算术平方根同样适用: (2)运用此公式化简二次根式，关键是将被开方数(式)分解因数(因式)，把含有2形式的移到根号外面． 知识点六、 二次根式的除法运算 1.二次根式的除法法则 这就是说，两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根 易错点： 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算;若两个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再相除 2.二次根式的除法法则的推广 （1）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算，即： . （2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算，将根号外的因数（式）之商作为商的根号外因数（式），被开方数（式）之商作为商的被开方数（式），即： ． 知识点七、 商的算术平方根 1.商的算术平方根的性质 这就是说，商的算术平方根，等于被除式与除式的算术平方根的商 易错点： 1.商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则 2.公式中的既可以是一个数，也可以是一个式子但必须满足. 3.利用商的算术平方根的性质可以把被开方数中含有分母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式 2．分母有理化的方法 （1）当分母是 或 的形式时，分子与分母同乘 ； （2）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉； （3）当分母是 的形式时，分子与分母同乘 ，利用平方差公式将分母中的根号去掉． 知识点八、 最简二次根式 1.定义 二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式 易错点： 1.被开方数不含分母: 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 注意:分母中含有根式的式子不是最简二次根式 2.二次根式化简成最简二次根式的步骤 （1）“一分”即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式;(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上:(3)“三化”，即化去被开方数中的分母. 知识点九、 同类二次根式 1．同类二次根式 与整式中同类项相类似，我们把像 、 与 这样的几个二次根式，称为同类二次根式． 易错点： 同类二次根式必须同时满足: 最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式)无关 2．合并的方法 合并同类二次根式与合并同类项相类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，即： ． 知识点十、 二次根式的加减运算 1.二次根式加减的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并 2.二次根式加减运算的步骤 （1）““化”:将每个二次根式都化成最简二次根式; （2）“找”:找出被开方数相同的最简二次根式(即同类二次根式); （3）“并”:将同类二次根式合并成一项 易错点： 1.化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分 2.根号外的因式就是这个二次根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数 3.二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 同类二次根式系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 同类二次根式被开方数不变 化简 侧重结果:化为最简二次根式或整式 侧重过程:先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 知识点十一、 二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 2. 二次根式的混公运算顺序 与整式的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括号里面的 3. 二次根式混合运算中的运算律 运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用 易错点： 1.二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式）的形式。 2.在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律 题型一 二次根式的定义 解｜题｜技｜巧 ☆判断一个式子是否为二次根式，抓住两个关键点： ◎形式为“ ”，且根指数为2（通常省略） ◎被开方数（根号下的式子）必须是非负数（即a≥0） 【典例1】下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【变式1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【变式2】式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 【变式3】下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选：C． 题型二 二次根式有意义的条件 解｜题｜技｜巧 ☆列出不等式：被开方数≥0 ☆若根式在分母上，则被开方数>0 ☆若含多个根式，分别求取值范围后取公共解集 【典例1】使式子有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 要使分式有意义，分母不能为零，且分母中的二次根式被开方数必须非负．结合两者，被开方数必须大于零． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 【变式1】若式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】使代数式有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负求解即可． 【详解】根据题意得， ∴． 故答案为：． 【变式3】要使二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三 求二次根式的值与参数 解｜题｜技｜巧 ☆将已知条件（如字母的值）直接代入 ☆若已知二次根式的值，则令其等于被开方数，解方程 ☆注意隐含条件：参数可能满足被开方数≥0 【典例1】已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 【典例2】当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，把代入计算，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：2． 【变式1】已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 【变式2】已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 【变式3】若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”. (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键， （1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得： ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 利用二次根式的性质化简 解｜题｜技｜巧 ☆一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 ☆一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值 ◎遇到²，必须先判断a的正负，再脱去绝对值 ◎若题中未说明正负，需分情况讨论或保留|a| 【典例1】已知，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键． 根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， ， ∴ 原式． 故选：C． 【典例2】先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故答案为：． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括零指数幂、绝对值的化简、二次根式的化简及负指数幂的计算． 先分别将零指数幂、绝对值、二次根式及负指数幂计算出来后再从左往右按照有理数的加减法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． (1)仿照上述过程，化简：； (2)若，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 ． （2）解：∵， ∴， 即，． 题型五 二次根式的乘法运算 解｜题｜技｜巧 ☆ ☆先乘后化简：将被开方数相乘，再将结果化为最简二次根式 ☆反之也可：先分别化简每个根式，再相乘 【典例1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． 【变式1】已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：． 【变式2】2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：（，)，那么的值为（　　） A．1 B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算． 根据计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式3】在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 题型六 积的算术平方根 解｜题｜技｜巧 ☆ ☆用于因式分解化简：将被开方数分解为平方因数和其他因数 【典例1】计算的结果是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】原式=． 故选C． 【变式1】积的算术平方根，等于各因式算术平方根的 ，即 (，)． 【答案】 积 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．根据积的算术平方根的性质即可得到结论． 【详解】由题意知，积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即（a≥0，b≥0）． 故答案为积，． 【变式2】化简： . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，比较简单，熟记性质：|a|是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵9a3≥0，∴a≥0，∴ ． 故答案为：． 【变式3】化简： (1)；    (2). 【答案】(1) ;  (2) . 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）原式=； （2）原式=． 题型七 二次根式的除法运算 解｜题｜技｜巧 ☆，两个算术平方根的商，等于被开方数的商的算术平方根 ☆先除后化简：将被开方数相除，再将结果化为最简 ◎常与分母有理化结合进行 【典例1】计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵ ， 故选：A． 【变式1】 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握相应的运算法则，根据二次根式的除法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【变式2】计算： . 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3】等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法法则、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是关键．根据二次根式的除法法则成立的条件：且，即可确定． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故答案为：． 题型八 商的算术平方根 解｜题｜技｜巧 ☆商的算术平方根，等于被除式与除式的算术平方根的商 ☆用于拆分化简，特别是当分子或分母是平方数时 【典例1】等式 成立的条件是 （     ） A． 且 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件可得且，解不等式组即可． 本题主要考查了二次根式的除法，被开方数要大于等于0，分母不能为0． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故选：C． 【变式1】如果成立，那么的取值范围是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式2】等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的除法运算． 根据二次根式的性质以及二次根式的除法运算逐项判定即可． 【详解】解：A. ，因为根号下不能为负数，故A错误； B. ，式子不能化简为，故B错误； C. ，故C正确； D. ，结果不为，故D错误． 故选：C． 题型九 最简二次根式的性质 解｜题｜技｜巧 ☆判断标准： ◎被开方数不含分母 ◎被开方数不含能开得尽方的因数或因式 ☆化简时，先处理分母，再分解因数提出平方数 【典例1】下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数是最简二次根式，据此逐一判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 故选：． 【典例2】判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简． ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 是最简二次根式； 不是最简二次根式，化简为； 不是最简二次根式，化简为． 【变式1】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 逐一检查每个选项是否满足被开方数不含分母和能开尽方的因数，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A、，，未化简，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，分母有根号，未化简，故此选项不符合题意； D、，是最简二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2】化简与计算： ， ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用积的乘方公式计算． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：，，． 【变式3】下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 题型十 最简二次根式求参数 解｜题｜技｜巧 ☆将给定的根式化为最简形式，与题目条件对比，建立关于参数的方程或不等式求解 【典例1】已知最简二次根式与可以合并，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 【变式1】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 【变式2】若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 【变式3】二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 题型十一 同类二次根式 解｜题｜技｜巧 ☆定义：化简为最简二次根式后，被开方数相同 ☆要判断几个根式是否为同类，必须先分别化简到最简形式，再看被开方数是否一致 【典例1】下列各式的化简结果与的化简结果是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式是化简后根号内数相同是解题的关键． 先化简为，根号内数为2；再分别化简各选项，找出化简后根号内数也为2的选项． 【详解】∵ ， ∴ 化简后根号内数为2， 对于选项： A. ，根号内数为3； B. ，根号内数为6； C. ，根号内数为2； D. ，根号内数为3， ∴ 只有C选项化简后根号内数为2，与同类． 故选：C． 【变式1】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同，得到，求解即可． 【详解】解：∵与是同类二次根式， ∴， 解得． ∴a的值为3． 故选：B． 【变式2】最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 【变式3】已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 题型十二 二次根式的加减运算 解｜题｜技｜巧 ☆步骤： ◎化简：将每个根式化为最简 ◎识别：找出同类二次根式 ◎合并：系数相加减，根号部分不变（类似于合并同类项） ☆不是同类二次根式绝不能合并 【典例1】下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，错误； 选项B：，错误； 选项C：和不是同类二次根式，不能合并，错误； 选项D：，正确； 故选：D． 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的运算法则． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．不是同类二次根式，不能相加； B．； C．，运算正确； D．； 故选：C． 【变式2】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查零指数幂，绝对值二次根式的加减，立方根，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算零指数幂，绝对值，再进行二次根式的加减即可； （2）先计算立方根，二次根式运算，绝对值，再进行二次根式的加减即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义化简即可得到结果； （2）利用绝对值，二次根式性质化简即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十三 二次根式的混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆严格遵循运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号内 ☆每一步运算后都尽量化简，使过程清晰，减少错误 ☆灵活运用乘法公式（如平方差、完全平方公式） 【典例1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂、 二次根式的化简以及完全平方公式和平方差公式的应用是解题的关键． （1）化简绝对值、零指数幂、二次根式化简、负指数幂，再合并同类二次根式； （2）化简二次根式、展开完全平方、计算平方差，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式性质、立方根化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式，然后再计算即可． 【详解】（1）解 ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算二次根式的乘除法，然后再合并即可； （2）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】化简的结果是 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，从最内层平方根开始，逐步化简嵌套平方根表达式，利用完全平方公式将根式化为简单形式． 【详解】解：首先，化简最内层． 设，则，， 解得，， 故． 代入原式，得． 其次，化简． 设，则，， 解得，， 故． 代入，得． 最后，化简． 设，则，， 解得，， 故． 故答案为：． 题型十四 二次根式化简求值 解｜题｜技｜巧 ☆先将原式中的二次根式全部化简，再将已知字母的值代入计算 ☆若已知条件复杂，通常先对已知条件本身化简或分母有理化，再代入 【典例1】已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 【典例2】已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 【变式1】设，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为． 【详解】解：由，， 计算， 所以． 则． 因此． 故答案为：． 【变式2】下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简： 解：原式 =…… (1)若M是一个单项式，则这个单项式是________． (2)将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写．并求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2)，解答过程见解析，当时，值为 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，已知条件式化简求值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据“=”后面的式子中小括号里的式子求解； （2）先化简小括号里的式子，再将除法转化为乘法计算，化为最简，然后将变形式后整体代入求值． 【详解】（1）解：， ∵，M是一个单项式， ∴， 故答案为：． （2）解：原式 当时， ， 原式． 【变式3】先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式． 题型十五 分母有理化 解｜题｜技｜巧 ☆核心方法：分子分母同乘分母的有理化因式。 ◎形如的有理化因式是 ◎形如的有理化因式是（利用平方差公式） ☆有理化后，记得检查结果是否为最简形式 【典例1】我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 【变式1】观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： ． 【变式2】阅读材料与综合实践：   通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化． 如：，． 解决问题： (1)将下列式子分母有理化： _______，_______，_______； (2)比较大小： （直接填“或或”）； (3)定义：两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．若与是关于的“友好二次根式”，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是解题的关键． （）根据题意分母有理化即可求解． （）先分母有理化，再比较大小即可求解． （）由新定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ； ； 故答案为：，，； （2）解：； ； ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于的“友好二次根式”， ∴， ∴， ∴． 【变式3】观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1) 化简：=______________ (2)猜想：_______（，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型十六 二次根式的综合应用 解｜题｜技｜巧 ☆准确理解题意，将实际问题中的数量关系转化为二次根式的运算或方程 ☆注意利用二次根式的非负性等隐含条件进行推理或检验 【典例1】项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键． 任务一：把数值代入直接计算即可； 任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 【变式1】汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 【变式2】如图，小华家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，小华准备在空地中划出一块长为，宽为的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，涉及到二次根式的混合运算，根据题意正确列式是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，即可列式作答． 【详解】（1）解：长方形空地的周长 ； （2）解：种植青菜部分的面积 ． 【变式3】阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： (1)若，当_______时，式子的最大值为_______． (2)若，求出的最小值及对应的x的值． (3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】(1)3， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． （2）解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． （3）解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，需逐项验证每个选项的正确性，再作判断． 【详解】解：，故A错误． ，故B正确． ，故C错误． ，故D错误． 故选：B． 3．已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，从而求出的值，再代入原式求出的值，进而计算并求其算术平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，得且， 解得， ， ， 8的算术平方根是， 故答案为： ． 4．计算的结果是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先将和化简为最简二次根式，然后进行减法运算，最后除以即可得到结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．已知三角形三边长分别为、、，则化简代数式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和二次根式的定义，根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值和二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：三角形三边长分别为、、， ，即， ， 故答案为：． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算二次根式的乘除法，然后再合并即可； （2）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 8．如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，开方， 对于（1），根据正方形的面积开方求出边长； 对于（2），根据二次根式的乘法求出解； 对于（3），根据计算比较可得答案． 【详解】（1）解：， 所以裁去的两个正方形木料的边长分别为． 故答案为：； （2）解：，． 所以剩余木料的面积是； （3）解：， ∵， ∴最多可以裁出3块这样的木条． 故答案：3． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 2．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 3．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴= ． 故选：C． 4．已知，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解二元一次方程组，完全平方公式，代数式求值． 将化为，根据二次根式的非负性，平方的非负性得到关于和的方程组，解方程组后求的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：， 则． 故答案为：． 5．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置信息，二次根式的性质，绝对值化简，立方根的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据数轴上点的位置信息结合运算法则化简运算即可． 【详解】解：由图象可得：，， ∴ 故答案为：． 6．（1）已知与成正比例，且当时，． ①求y与x的函数关系式； ②设点在（1）中函数的图象上，求a的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）① ；② ；（2） 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，二次根式的混合运算，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）①根据题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可；②把点代入①中的函数解析式即可得到答案． （2）先将x，y分母有理化，再求出x+y和xy的值，将原式化为(x+y)²-3xy后代入求值先将x,y分母有理化，再求出x+y和xy的值，将原式化为(x+y)²-3xy后代入求值。 【详解】解：（1）①设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴y与x的函数关系式为，即； ②∵点在①中函数的图象上， ∴， 解得：； （2）∵，， ∴，， ∴． 7．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的四则混合运算和二次根式的混合运算法则． 先根据分式的四则混合运算法则化简，再分母有理化，然后代入，进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 8．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是___________；化简___________； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）， 理由如下： ， ， ， ， 所以． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为（   ） A． B．7 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．根据题意得出，得出正方形的面积为． 【详解】解：顶点在数轴上表示的数为1，，点所表示的数为， ， 正方形的面积为， 故选：． 2．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 3．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 4．已知，，则代数式的值是 ； 【答案】181 【分析】本题为二次根式的化简求值，考查了分母有理数，完全平方公式的变形，二次根式的混合运算等知识，综合性强，难度较大．先化简，，从而计算出，，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ； ∴， ， ∴ ． 5．如图，已知， ，，， ， ，，， ， ⋯，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键．经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：图中点的坐标每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ∵， ∴是第4组第二个数，坐标为：，即 是第675组第三个数，坐标为：， 故答案为：，． 6．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算；通过观察表达式结构，设，将原表达式用表示，利用整式乘法展开并合并同类项，从而简化计算． 【详解】解：设，， ∴原式 ． ∴原式． 故答案为：． 7．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 【答案】(1)B (2)且 (3)①不存在，经检验，是方程的增根；② 【分析】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算 ，根据是一个整数，求得的值，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：A．的分子不是二次根式，不是根分式， B．的分母是整式，是根分式， C．的分母不是整式，不是根分式， D．不符合根分式的形式，不是根分式， 故选：B； （2）由题意得：且， 解得：且， 故x的取值范围是：且， 故答案为：且， （3）当与时， ①不存在的值使得，理由如下： ， ， ， ， 解得：， 经检验，是增根，原方程无解； 即不存在的值使得； ② ， ∵是一个整数， ∴是一个整数， 或， 解得：或或或1， 当时，意义；当或1时。不是无理数；当时，符合题意． 8．（1）【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 4 m ， 3 ①表格中的______； ②根据表格，猜想与的大小关系（   ）； A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：______时，； （2）【理解应用】 ①已知，，当______时，代数式取得最大值是______； ②如图1，已知，在中，，，求周长的最大值． （3）【拓展提升】 如图2，已知正方形的边长为4，为边上的动点，交于，过点作交边于点，连交于点，则面积的最小值是______． 【答案】（1）①；②C；③；（2）①20，100；②周长的最大值是；（3） 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案； （3）如图，连接交于，连接，证明，可得，可得，当时，最小；可得此时是的垂直平分线，过作于，过作于，设，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）①由题意可得：； ②由表格信息可得：与的大小关系为： ， 故选：C ③当，满足条件：时，； （2）①∵， ∴，， ∴当时，代数式取得最大值； ∴，最大值为； ②在中，，， ∴， ∴， ∴当最大，则最大， ∵，， ∴当时，最大，最大值为， ∴周长的最大值为：； （3）如图，连接交于，连接， 由正方形的对称性可得：，， ∵正方形的边长为4， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，最小； ∴此时是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 过作于，过作于， 则， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴面积的最小值是． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，二次根式的运算，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $