专题02 一元二次方程（期末复习讲义，10知识点+18题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学一元二次方程期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分十个知识点细化定义、解法、根的判别式等内容，用对比表格呈现方程特殊形式，思维导图串联解法逻辑，清晰展现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖17类题型，典例与变式结合，如用增长率问题培养模型意识，根与系数关系题提升推理能力，解题技巧表格强化运算能力。基础通关、重难突破等练习满足分层需求，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 能准确判断一个方程是否为一元二次方程，并会将其化为一般形式（，）。 基础概念题，常以选择题或填空题出现，考查定义的准确理解。 一元二次方程的解 理解方程解（根）的意义，会检验一个数是否是一元二次方程的根。 常作为基础考点，单独考查或作为解方程的第一步。 直接开方法解一元二次方程 掌握直接开方法，会解形如或的方程。 基础解法，常与其他解法结合，或在配方后使用。 因式分解法解一元二次方程 能灵活运用提公因式法、公式法、十字相乘法等将方程左边分解为两个一次因式的乘积，从而求解。 高频解法，尤其当方程易于因式分解时优先使用，要求熟练掌握。 配方法解一元二次方程 掌握配方法的步骤，能将一元二次方程配方成的形式，进而求解。 重要解法，是推导求根公式的基础，也常用于解决非标准形式方程。 求根公式法解一元二次方程 熟记求根公式，并能熟练运用它解任何一元二次方程。 通用且必考解法，常作为最后手段，计算量较大，要求计算准确。 一元二次方程根的判别式 理解判别式的意义，能利用它判断一元二次方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）。 高频考点，常出现在选择、填空题中，也常与函数图像结合考查。 一元二次方程根与系数的关系 掌握韦达定理：，并能利用它解决与两根相关的对称式求值、参数求解等问题。 中档题常见考点，要求理解关系并灵活运用，常与判别式结合。 一元二次方程的实际应用 能将增长率、面积、利润、行程等实际问题抽象为一元二次方程模型，并求解和检验解的合理性。 中考必考应用题，背景多样（经济、几何、物理等），考查建模能力与综合分析能力。 知识点一、一元二次方程的定义 1.定义 整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的“三要素 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2. 易错点： 最高次数的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如： 不一定是一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的一般形式 是已知数， ，其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项，是一次项系数， 是常数项． 易错点： 如果方程 是一元二次方程，则必隐含 这一条件． 2.特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 0 0 0 0 知识点三、一元二次方程的解（根） 1.定义 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.检验一元二次方程根的步骤 步骤1:将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值. 步骤 2:若方程左右两边的值相等，则这个数是元二次方程的解(根);否则，这个数不是一元二次方程的解(根). 易错点： 如果一个数是一元二次方程的解(根)，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等 知识点四、 直接开平方法解一元二次方程 1.定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 易错点： 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： （1）不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； （2）只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是 中 ． 2．方程 的解（根）的情况 （1）当 时，方程有两个不等的实数根 ； （2）当 时，方程有两个相等的实数根 ； （3）当 时，方程没有实数根． 3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项; (2)开平方; (3)解两个一元一次方程 知识点五、 配方法解一元二次方程 1.定义 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项;(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)开平方. 易错点： 配方的依据是完全平方公式 ，其实质是将 看成未知数， 看成常数，则 即是一次项系数一半的平方． 知识点六、 因式分解法解一元二次方程 1.定义 把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0; (2)将方程左边分解为两个一次式的乘积; (3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 常用的因式分解的方法： 1．提公因式法； 2．公式法； 3． ． 知识点七、 求根公式法解一元二次方程 1．求根公式的定义 当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式． 2.公式法 (1)定义将一元二次方程中系数a，b，c的值，直接代入求根公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法 （2）用求根公式解一元二次方程的步骤 ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中 的值； ③求出 的值； ④若 ，则把 $a, b$ 及 的值代入求根公式求解． 易错点： 1．公式法是解一元二次方程的通用解法（也称万能法），它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法． 2．只有当方程 中的 时，才能使用求根公式。 知识点八、 一元二次方程根的判别式 1．定义 一般地，式子 叫做一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母＂＂来表示，即 ． 2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 （1） 方程 有两个不等的实数根． （2） 方程 有两个相等的实数根． （3） 方程 没有实数根． 易错点： 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算;使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 知识点九、 一元二次方程的根与系数的关系 1．一元二次方程的根与系数的关系 （1）设二次项系数为 1 的一元二次方程 的两根为 ，那么 。 （2）一元二次方程 ，当 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为 ，这两个根与系数的关系是 ． 易错点： 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是 ． 2．与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 （1）; （2） ； （3）. 知识点十、 一元二次方程的实际应用 1.列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 易错点： （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 一元二次方程的识别 解｜题｜技｜巧 ☆必须是整式方程 ☆只含一个未知数 ☆未知数的最高次数是2 ☆二次项系数不为0（隐含条件） 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C. 【变式2】下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键． 【详解】解：A．，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； C．，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 【变式3】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 题型二 一元二次方程的定义与求参数 解｜题｜技｜巧 ☆先化为一般形式ax²+bx+c=0 ☆令二次项系数a≠0 ☆结合次数为2确定参数值或范围 【典例1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 根据一元二次方程的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可得到答案． 【详解】解：∵方程中，的系数为3，的系数为，常数项为1， ∴ 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1， 故选：A． 【变式1】已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 将根代入方程求得或，但需满足一元二次方程的条件，即二次项系数不为零，排除． 【详解】解：∵方程有一个根为0， ∴代入得：， ∴， 解得或. 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故选：A． 【变式2】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选：A． 【变式3】若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，因此令，求解的值． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：4． 题型三 一元二次方程的解 解｜题｜技｜巧 ☆将解代入原方程，若等式成立，则为解 ☆检验时注意计算准确 【典例1】若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 【变式2】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 【变式3】已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型四 根据一元二次方程的解求参数 解｜题｜技｜巧 ☆将已知解代入方程，得到关于参数的方程 ☆解该方程求参数 ☆必要时检验a≠0 【典例1】若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数．将代入方程得到a与b的关系式，再整体代入所求代数式计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（　　） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元二次方程的解求参数，直接将代入方程，进行求解出m的值，即可作答． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ 将代入方程得：， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 【变式2】若t是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值， 根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到关系式，然后化简，即可求出答案． 【详解】解：因为 是方程 的一个根， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ． 故答案为：8． 【变式3】设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念．根据一元二次方程根的定义可知，。将的表达式代入，将式子重新组合为含有和的形式，即可求得其值为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 题型五 化一元二次方程的一般式 解｜题｜技｜巧 ☆将所有项移到等号左边，右边为0 ☆按降幂排列ax²+bx+c=0，通常使a>0 【典例1】把一元二次方程化成一般形式： ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 【变式1】下列一元二次方程是一般形式的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式为，逐项判断是否符合此形式，即可． 【详解】解：选项A：右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意； 选项B：展开后为，右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意； 选项C：符合的形式，且，是一般形式，故本选项符合题意； 选项D：右边不为0，不是一般形式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程一般式；将方程化为一般式的形式，需将所有项移到等号左边． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 故选：B． 【变式3】将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（    ） A．5，1 B．， C．， D．，1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 题型六 直接开方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆适用于形如的方程 ☆两边开方得 ☆注意正负两个解 【典例1】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 【变式1】一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法的步骤． 通过直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，考虑正负平方根． 【详解】解：方程两边直接开平方， 得， 因此两个一元一次方程分别为和， 故另一个方程是． 故答案为：． 【变式2】方程 的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 方程是完全平方形式，根据平方的性质直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 整理后根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型七 因式分解法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆先整理为一般式 ☆尝试提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等方法分解 ☆令每个因式为0进行求解 【典例1】用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据因式分解法将方程变形为解方程即可； （2）根据因式分解法将方程变形为解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）， ， ， 或， 解得，． 【变式1】解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴或， ∴或； （2）解： ∴或， ∴或． 【变式2】选择合适的方法解一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）用因式分解法，解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 【变式3】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法分解因式即可求解； （2）先移项，然后利用提取公因式法分解因式即可求解． 【详解】（1）解： 因式分解，得， 于是得或， ∴，； （2）， ， ， 或． ，． 题型八 配方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆将常数项移到右边 ☆二次项系数化为1 ☆两边加上一次项系数一半的平方 ☆左边写成完全平方形式，右边合并 ☆开方进行求解 【典例1】用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了使用配方法解方程，将常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【典例2】已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 【详解】解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 【变式1】用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法． 使用配方法解方程，通过移动常数项和添加平方项完成配方． 【详解】解：原方程为， 移项得 ， 配方得， 即， 配方结果为 ． 故选：． 【变式2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 【变式3】（1）解方程：； （2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…………………………第一步 移项，得…………………………第二步 配方，得，即．…………………………第三步 由此，可得．…………………………第四步 所以，．…………………………第五步 填空： ①“第二步”变形的数学依据是_______；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是_______；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第_______步开始出现错误，正确答案应为_______． 【答案】（1）；（2）①等式的基本性质；②；③四； 【分析】本题考查等式的性质、完全平方公式和一元二次方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． （1）先移项，再利用提公因式法求解一元二次方程即可； （2）①利用等式的基本性质作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③仔细观察求解过程，并重新利用配方法求解一遍即可． 【详解】解：（1） 解得； （2）①由题意得，“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②由题意得，第三步配方时用到的数学公式是； 故答案为：； ③由题意得，小明同学的解题过程中，从第四步开始出现错误，正确过程如下： ∴， 解得． 故答案为：四；． 题型九 求根公式法与换元解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆确定a、b、c 的值（注意符号） ☆计算判别式Δ=b²- 4ac ☆代入公式求解 【典例1】用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的计算，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 直接用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选：A． 【典例2】阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 【变式1】解方程： (公式法)． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键． 用公式法求出解即可． 【详解】解： ，， 故方程有两个不相等的实数根 即，． 【变式2】若关于x的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，再利用已知根求解即可． 【详解】解：∵， ， 则设， ∴方程化为， ∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴方程有一个根为，即， ∴． 故选：A． 【变式3】阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解： ，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 题型十 一元二次方程根的判别式 解｜题｜技｜巧 ☆Δ > 0 ⇔ 两个不等实根 ☆Δ = 0 ⇔ 两个相等实根 ☆Δ < 0 ⇔ 无实根 【典例1】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的符号与根的情况的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵对于方程，，，， ∴， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【典例2】已知关于的方程． (1)若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为3 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程求出k的值，进而解原方程求出方程的另一根即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的一个根为1， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为3； （2）证明：由题意得， ， ∴原方程总有两个实数根． 【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 【变式2】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2017 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出的值，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：方程中，，，， ∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程有一个根为1， ∴，即， ∴． 【变式3】已知平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根． (1)若平行四边形是菱形，求k的值； (2)求证：无论k取何值，方程总有一定有实数根； (3)若，求k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则关于x的方程有两个相等的实数根，可得，解之即可得到答案； （2）只需要证明即可； （3）可解方程得到或，不妨设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 解得，即； （2）证明：由题意得， ， ∴无论k取何值，方程总有一定有实数根； （3）解：∵， ∴， 解得或， ∵平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根，且， ∴不妨设， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 题型十一 一元二次方程根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 ☆掌握韦达定理： ☆适用于Δ ≥ 0 ☆常用于求对称式、构造方程、求参数等 【典例1】已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，然后整体代入所求式子计算． 【详解】解：∵ 方程化为标准形式， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 【变式1】已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 【变式2】（1）若m，n是方程的两根，求的值． （2）若一元二次方程的两根都大于1，求a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的定义和根与系数的关系是解题的关键， （1）根据m，n是方程的两根，所以代入可得，，再由根与系数关系可得，，将化简后得，代入即可得到答案； （2）设是方程的两个根，则，再由题意可得，代入解得，取公共部分即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是方程的两根， ∴，，，， ∴，，， ∴ ， ． （2）解：设是的两根， ∴， ∵方程的两根都大于1， ∴ 代入整理得： 解得： ∴综上所述：． 【变式3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：． 【答案】(1)2 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，新定义， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“倍根方程”的定义，得，结合，，进行列式计算，即可作答． （2）根据是倍根方程，得出或，然后进行分类讨论，再代入进行计算，即可作答． （3）理解题意，得出设倍根方程的两根分别为，．得出，，代入化简，得，，故，即可作答． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为， ∴另一个根为． 则，， ∴， 即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴该方程的两根为，． ∵是倍根方程， ∴或． 当，即时， ， 当，即时， ＝， ∴代数式． （3）解：依题意，设倍根方程的两根分别为，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ， 整理得：． 题型十二 与增长率有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆设基数为a，增长率为 x，n 次后为 a(1±x)ⁿ ☆连续两年增长模型：a(1+x)²= b ☆注意“下降”即负增长 【典例1】据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：∵7月产值达到3000万元，该公司8，9两个月产值的月均增长率为x， ∴8月产值为：，9月产值为：， ∵第三季度总产值将达到9930万元， ∴， 故选：B． 【变式1】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据流感传染模型，两轮传染后总患病人数为初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数之和，据此列方程． 【详解】∵ 开始有1人患了流感， 第一轮后患病人数为， 第二轮新增患病人数为， ∴ 两轮后总患病人数为， ∴， 故满足的方程为， 故选：A． 【变式2】某地一月份发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道一月份的，和增长两个月后三月份的，列出方程． 设二、三月份平均每月禽流感的增长率为x，根据一月份某地发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为x， 故选：B． 【变式3】某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每年的增长率为x，根据2023年招生人数等于2021年招生人数乘以的平方，列方程求解即可． 【详解】解：设平均每年的增长率为x． 根据题意，得． 解得或（舍去） ∴平均每年的增长率为， 故答案为：． 题型十三 与销售利润有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆利润=售价-进价 ☆利润率=利润÷进价×100% ☆常设售价或销量为变量，根据总利润列方程 【典例1】篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此备受社会各界关注．某商场抓住商机购入一批进价为元/个的篮球，当这批篮球以元/个的价格售出时，平均每月的销售量为个．经市场调查发现：该篮球每个的售价在元到元范围内，每个的售价每上涨元，平均每月的销售量就减少个，设这批篮球每个的售价上涨元． (1)这批篮球每月的销售量为_____个；（结果用含的代数式表示） (2)若该商场销售这批篮球要达到每月元利润的目标，则这批篮球每个的售价应上涨多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）根据题意列出方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，这批篮球每月的销售量为个， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵该篮球每个的售价在元到元范围内，，， ， 答：这批篮球每个的售价应上涨元． 【变式1】2025年9月13日19∶30分，渝超（2025重庆城市足球超级联赛）揭幕战正式在重庆市大田湾体育场举行．这一活动不仅能培养出足球精英人才，也有力地促进了重庆的足球经济发展．某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，已知每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多20元，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半． (1)求A、B两种足球每个的进价； (2)这批足球很快售完，该店计划再购进一批足球，此时每个A种足球的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了2m个；每个B种足球的进价上涨了m元，购进B种足球的数量在第一次的基础上减少了3m个，总花费4512元，求m的值． 【答案】(1)A种足球进价为120元，B种足球进价为100元 (2)6 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设B种足球的进价为x元，则A种足球的进价为元，根据某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半，列出方程求出答案； （2）根据总花费4512元，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：设B种足球的进价为x元， 根据题意列方程得： 解之得， 经检验，是原方程的解， 答：A种足球进价为120元，B种足球进价为100元； （2）解：根据题意，得， 整理得： ∴ 解之得：（不合题意，应舍去）， ∴． 【变式2】汉中产茶始于商周，兴于秦汉，盛于唐宋，繁荣于明清，自古就是贡茶名优茶的知名产地．某茶叶店销售成本价为每盒360元的汉中仙毫，经市场调查发现如下信息： 信息一 当售价为每盒430元时，每天可售出20盒 信息二 每盒的售价每降低5元，每天可多售出10盒 (1)若该茶叶店计划进行降价销售，且要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元，那么每盒汉中仙毫的售价应降低多少元？ (2)若该茶叶店销售这种汉中仙毫想要每天获利3500元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每盒汉中仙毫的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)降低20元或40元 (2)不能达到，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程． （1）设每盒汉中仙毫的售价应降低x元，根据“要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元”列出方程并解答； （2）若每天的利润达到3500元，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式判断该方程是否存在实数解：若存在，则说明每天的利润能达到3500元，否则，则说明每天的利润不能达到3500元． 【详解】（1）设每盒汉中仙毫的售价应降低x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每盒汉中仙毫的售价应降低20元或40元； （2）不能达到，理由如下： 设每盒汉中仙毫的售价应降低y元， 由题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 不能达到． 【变式3】新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． (1)求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； (2)为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)28元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为，根据题意可得，解方程即可； （2）设每条数据线上涨元，则每周的销量为条，结合总利润等于一条数据线的利润乘销售数量，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该门店这两周该数据线销量的周均增长率为． （2）解：设每条数据线上涨元，则每周的销量为条， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， ∴． 答：应将零售价定为28元． 题型十四 与图形问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆根据面积、周长等公式建立等量关系 ☆注意图形裁剪、拼接后的变化 ☆检验解是否符合实际（如边长、面积大于0） 【典例1】如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 【典例2】在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意即可解题； （2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可； （3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：； （2）解：设运动时间为，由（1）得：，则， 列方程得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴； 的运动时间为； （3）解：不能，理由如下： 若面积为，则可列方程得：， 解得：， ∵， ∴不合题意， ∴面积不能为． 【变式1】如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据道路宽与中间正方形边长的关系，结合矩形面积公式列出方程，再化为一般形式即可． 【详解】解：设道路宽为， 则中间正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得， 故答案为： ． 【变式2】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 【变式3】通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B；（2）画图见解析，；（3）1，3，3，1， 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 【详解】解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）如图， 用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 题型十五 与数字问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆用代数式表示多位数，如十位为 a、个位为 b，则数为 10a + b ☆根据数字间关系（和、积、顺序等）列方程 【典例1】两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据积为120列方程． 【详解】解：较小的偶数为，较大的偶数为，根据题意，得 ． 故选：B． 【变式1】小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，年龄可表示为，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，年龄为，由条件，个位数字的平方等于年龄，即； 故答案为：． 【变式2】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是 ，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： （2）根据题意有：， ∴， 解得，（负值舍去）， 故的值为9． 【变式3】如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1) (2)552 (3)两人的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， 的最大值为． 故答案为：552； （3）两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月8日为周三，符合题意， 子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月6日为周一，符合题意， 瑾萱的说法正确． 题型十六 与行程问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆掌握路程=速度×时间 ☆注意往返、相遇、追及等情境 ☆常设时间为变量，利用等量关系列方程 【典例1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 【变式1】数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 【变式2】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 【变式3】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 题型十七 与工程问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆工作效率×工作时间=工作量 ☆常设工作效率为变量，注意合作时效率相加 ☆总工作量常视为 1 【典例1】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 【变式1】某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【变式2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【变式3】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 题型十八 其它一元二次方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 ☆仔细审题，找出等量关系 ☆设未知数，建立方程 ☆解方程并检验解的合理性（是否符合实际意义） 【典例1】如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为 ．（注：） 【答案】或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程，再化简求解即可． 【详解】由题意可知， 整理得， 解得或． 故答案为：或1． 【变式1】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找出合适的等量关系是解答本题的关键；设该群一共有人，由于每人发一个红包且自己不能抢自己的，因此每人收到个红包，红包总数为，据此列方程。 【详解】解：因为每人收到红包数为个， 所以红包总数为， 则； 故选：D． 【变式2】【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 【变式3】优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： (1)填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； (2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 【答案】(1)； ； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：；即可求解； （2）由题意，即， 即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：； ∴，； （2）解：由题意，即， ，两边同时乘以x，得， 解得（舍去）， 黄金分割数为． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．（不等于0） 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2且是整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项是否符合． 【详解】解：选项A：方程未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合； 选项B：方程含两个未知数，不是一元方程，不符合； 选项C：方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项D：方程（不等于0）未知数最高次数为3，不是二次方程，不符合； 故选：C． 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 3．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 4．一元二次方程的两根为，，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：对于一元二次方程 ，有，，． 根据根与系数的关系：，， ∴； 故答案为：1． 5．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义得到，则有，再对所求代数式进行变形并整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 6．解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ，， ∴ 解得，． 7．芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【答案】(1) (2)该目标不能实现 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的芯片生产量第一季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）利用第四季度的芯片生产量第三季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率），可求出第四季度的芯片生产量，再将其与175万个比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三季度生产量的平均增长率为； （2）解：该目标不能实现，理由如下： 按照（1）中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ∵， ∴该目标不能实现． 8．已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求m的值； (2)当时，求该方程的实数根． 【答案】(1)的值为． (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤． （1）代入可得出关于的方程，解之即可得出的值； （2）代入，利用直接开平方法解一元二次方程，即可得出方程的实数根． 【详解】（1）解：将代入原方程，得：， 解得：， 的值为． （2）解：时，原方程为， ， ， ， 解得：，， 该方程得实数根为，． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．共享单车计划年、、月连续月投放新型单车，计划月投放台，月投放台，每月按相同的增长率投放，设增长率为则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率定义，月投放量应等于月投放量乘以，所以可列方程． 【详解】解：月投放台，每月增长率为， 月投放量应为， 可列方程． 故选：C． 2．关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 3．如图，小区工人用长为的围栏，将一块荒地改造成矩形种植园，一面利用墙（墙的最大可用长度为），为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意知，， 解得：， 而， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴， 即． 故选：B． 4．若规定两数通过运算“”可得，即，如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、解一元二次方程，关键是正确转化，准确求解； 根据新运算的定义，将方程中的各项转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】解：由新运算定义，， ∴， ， ， 代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 5．如图，正方形内接于，已知，，的面积分别为，，，那么正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，利用图形的面积找出等量关系列出方程是解题的关键． 过点作于点，交于点，则，设正方形的边长为，根据正方形的性质得，，，利用三角形的面积公式表示出，，，进而表示出和的长，再利用列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 则， 设正方形的边长为， 根据正方形的性质得，，， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 6．①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是： ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查命题的定义，此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关系等，熟记各计算方法是解题的关键． ①根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求得，即可判断；③由，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断． 【详解】①若方程两根为和2， 则，则，即；故此选项符合题意； ②∵， ∴或， ∴， ∴；此选项符合题意； ③∵， ∴方程一定无实数解，故此选项符合题意； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0， ∴两根之积为0，两根之和不为0， 那么，故此选项符合题意； 故所有命题均正确， 故答案为：①②③④． 7．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值． 【答案】，，或，，；，，或，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．这里要构建一元二次方程；同时也考查了整除的性质和一元二次方程的解的方法． 设，用a分别表示b、c，然后代入，得到关于x的一元二次方程①，并且此方程有有理根，即；所以有，则a为整数，△为有理数的平方，所以，一一试数得到a的最小值为1，最大值为16，分别解方程求x的值，得到对应的b、c． 【详解】解：设，则，，由得． ∵， ∴① 又因为a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数． 即， 解得，且为有理数． ∴， 经检验，满足条件的a的值为1，9，13，16； 因此a的最小值为1，最大值为16． 当时，方程①化为． 解得，，， 故，，或，，． 当时，方程①化为． 解得，． 故，，或，，． 8．定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查“全整根方程”和“全整根方程的最值码”的定义，正确理解新的定义是解题的关键． （1）根据“全整根方程的最值码”的定义进行计算求解即可； （2）先根据“全整根方程的最值码”的定义进行化简计算两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等，将带有的代数式进行化简，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由（1）知，方程的“最值码”为， 方程的“最值码”为： ， 由于两个方程的“最值码”相等， 则， 整理得：， 因此 = ． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用新规定得到，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据规定得，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 2．用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次），解题关键是掌握解分式方程解法． 通过换元法，设，将原分式方程转化为关于y的整式方程． 【详解】解：∵设， ∴， 原方程化为，即， 两边乘以y得， 移项得． ∴整式方程为， 故选：A． 3．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元二次方程——直接开平方法等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过已知方程的解求出参数m的值及a与b的关系，然后代入新方程求解． 【详解】解：由方程的解为，， 代入得和． 两式相减可得， 开方，得：或(不成立)， 即， 整理得， 所以． 将代入，得， 即． 将和代入方程， 得， 即， 整理得． 由于， 两边除以得， 即， 解得∶，． 故答案为：，． 4．如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则 ， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 5．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 6．已知都是质数，且，，试求 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了质数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可分和两种情况讨论，再根据根与系数关系，以及质数即可求得的值． 【详解】解：当时，可得：； 当时，根据题意可得为方程的两个根， ∴， ∵都是质数， 则或， ∴， 故答案为：或． 7．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【分析】本题考查根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论思想． （1）解方程，根据判断得解； （2）用因式分解法解方程，可得，根据做分类讨论，分别计算即可判断得解； （3）依据题意，“派生点”Q与的取值无关，直线过定点，故方程的“派生点”Q为，根据，由根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：， 解得，， ， 该方程的“派生点”Q的坐标为； （2）解：方程为， ， ，或，， ①当，即时，“派生点”Q的坐标为． ∵点Q在直线上， 代入得， ∴，符合题意； ②当，即时，“派生点”Q的坐标为， ∵点Q在直线上， 代入得， ，符合题意； 综上，m的值为或； （3）解：存在，满足条件，理由如下： ， 直线经过定点， ∴方程的“派生点”Q为， 即，， ，． 8．我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)，“幸运数”为 (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． （1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为p，q，根据根与系数的关系得出，进而根据p，q为整数，得出m的值为5或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； （2）解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； （3）解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 能准确判断一个方程是否为一元二次方程，并会将其化为一般形式（，）。 基础概念题，常以选择题或填空题出现，考查定义的准确理解。 一元二次方程的解 理解方程解（根）的意义，会检验一个数是否是一元二次方程的根。 常作为基础考点，单独考查或作为解方程的第一步。 直接开方法解一元二次方程 掌握直接开方法，会解形如或的方程。 基础解法，常与其他解法结合，或在配方后使用。 因式分解法解一元二次方程 能灵活运用提公因式法、公式法、十字相乘法等将方程左边分解为两个一次因式的乘积，从而求解。 高频解法，尤其当方程易于因式分解时优先使用，要求熟练掌握。 配方法解一元二次方程 掌握配方法的步骤，能将一元二次方程配方成的形式，进而求解。 重要解法，是推导求根公式的基础，也常用于解决非标准形式方程。 求根公式法解一元二次方程 熟记求根公式，并能熟练运用它解任何一元二次方程。 通用且必考解法，常作为最后手段，计算量较大，要求计算准确。 一元二次方程根的判别式 理解判别式的意义，能利用它判断一元二次方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）。 高频考点，常出现在选择、填空题中，也常与函数图像结合考查。 一元二次方程根与系数的关系 掌握韦达定理：，并能利用它解决与两根相关的对称式求值、参数求解等问题。 中档题常见考点，要求理解关系并灵活运用，常与判别式结合。 一元二次方程的实际应用 能将增长率、面积、利润、行程等实际问题抽象为一元二次方程模型，并求解和检验解的合理性。 中考必考应用题，背景多样（经济、几何、物理等），考查建模能力与综合分析能力。 知识点一、一元二次方程的定义 1.定义 整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的“三要素 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2. 易错点： 最高次数的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如： 不一定是一元二次方程． 知识点二、一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的一般形式 是已知数， ，其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项，是一次项系数， 是常数项． 易错点： 如果方程 是一元二次方程，则必隐含 这一条件． 2.特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 0 0 0 0 知识点三、一元二次方程的解（根） 1.定义 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.检验一元二次方程根的步骤 步骤1:将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值. 步骤 2:若方程左右两边的值相等，则这个数是元二次方程的解(根);否则，这个数不是一元二次方程的解(根). 易错点： 如果一个数是一元二次方程的解(根)，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等 知识点四、 直接开平方法解一元二次方程 1.定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 易错点： 直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点： （1）不要只取正的平方根而遗漏负的平方根； （2）只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是 中 ． 2．方程 的解（根）的情况 （1）当 时，方程有两个不等的实数根 ； （2）当 时，方程有两个相等的实数根 ； （3）当 时，方程没有实数根． 3.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项; (2)开平方; (3)解两个一元一次方程 知识点五、 配方法解一元二次方程 1.定义 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项;(2)二次项系数化为1;(3)配方;(4)开平方. 易错点： 配方的依据是完全平方公式 ，其实质是将 看成未知数， 看成常数，则 即是一次项系数一半的平方． 知识点六、 因式分解法解一元二次方程 1.定义 把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为0; (2)将方程左边分解为两个一次式的乘积; (3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 常用的因式分解的方法： 1．提公因式法； 2．公式法； 3． ． 知识点七、 求根公式法解一元二次方程 1．求根公式的定义 当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式． 2.公式法 (1)定义将一元二次方程中系数a，b，c的值，直接代入求根公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法 （2）用求根公式解一元二次方程的步骤 ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中 的值； ③求出 的值； ④若 ，则把 $a, b$ 及 的值代入求根公式求解． 易错点： 1．公式法是解一元二次方程的通用解法（也称万能法），它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法． 2．只有当方程 中的 时，才能使用求根公式。 知识点八、 一元二次方程根的判别式 1．定义 一般地，式子 叫做一元二次方程 根的判别式，通常用希腊字母＂＂来表示，即 ． 2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 （1） 方程 有两个不等的实数根． （2） 方程 有两个相等的实数根． （3） 方程 没有实数根． 易错点： 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算;使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0. 知识点九、 一元二次方程的根与系数的关系 1．一元二次方程的根与系数的关系 （1）设二次项系数为 1 的一元二次方程 的两根为 ，那么 。 （2）一元二次方程 ，当 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为 ，这两个根与系数的关系是 ． 易错点： 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是 ． 2．与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 （1）; （2） ； （3）. 知识点十、 一元二次方程的实际应用 1.列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量； (2)“设”：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (3)“列”：即根据题中等量关系列方程； (4)“解”：即求出所列方程的根； (5)“检验”：即验证根是否符合题意； (6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 易错点： （1）设元时，可以问什么设什么（直接设元），也可设一个与问题有关联且方便列方程的量（间接设元）． （2）对求出的结果进行检验，看是否为原问题的解以及是否符合题意，检验一般只写出验根后的结果，过程可以不必详细，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不符合题意的根设去. 题型一 一元二次方程的识别 解｜题｜技｜巧 ☆必须是整式方程 ☆只含一个未知数 ☆未知数的最高次数是2 ☆二次项系数不为0（隐含条件） 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的定义与求参数 解｜题｜技｜巧 ☆先化为一般形式ax²+bx+c=0 ☆令二次项系数a≠0 ☆结合次数为2确定参数值或范围 【典例1】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．4或 【变式2】若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【变式3】若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为 ． 题型三 一元二次方程的解 解｜题｜技｜巧 ☆将解代入原方程，若等式成立，则为解 ☆检验时注意计算准确 【典例1】若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 题型四 根据一元二次方程的解求参数 解｜题｜技｜巧 ☆将已知解代入方程，得到关于参数的方程 ☆解该方程求参数 ☆必要时检验a≠0 【典例1】若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式1】已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为（　　） A．3 B． C．7 D． 【变式2】若t是方程的一个根，则的值为 ． 【变式3】设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 题型五 化一元二次方程的一般式 解｜题｜技｜巧 ☆将所有项移到等号左边，右边为0 ☆按降幂排列ax²+bx+c=0，通常使a>0 【典例1】把一元二次方程化成一般形式： ． 【变式1】下列一元二次方程是一般形式的（    ） A． B． C． D． 【变式2】将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 【变式3】将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（    ） A．5，1 B．， C．， D．，1 题型六 直接开方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆适用于形如的方程 ☆两边开方得 ☆注意正负两个解 【典例1】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 【变式2】方程 的根是（   ） A． B． C． D． 【变式3】解方程：． 题型七 因式分解法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆先整理为一般式 ☆尝试提公因式、平方差、完全平方、十字相乘等方法分解 ☆令每个因式为0进行求解 【典例1】用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程： (1)； (2)； 【变式2】选择合适的方法解一元二次方程． (1)； (2)． 【变式3】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 题型八 配方法解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆将常数项移到右边 ☆二次项系数化为1 ☆两边加上一次项系数一半的平方 ☆左边写成完全平方形式，右边合并 ☆开方进行求解 【典例1】用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【变式1】用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【变式3】（1）解方程：； （2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得…………………………第一步 移项，得…………………………第二步 配方，得，即．…………………………第三步 由此，可得．…………………………第四步 所以，．…………………………第五步 填空： ①“第二步”变形的数学依据是_______；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是_______；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第_______步开始出现错误，正确答案应为_______． 题型九 求根公式法与换元解一元二次方程 解｜题｜技｜巧 ☆确定a、b、c 的值（注意符号） ☆计算判别式Δ=b²- 4ac ☆代入公式求解 【典例1】用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 【典例2】阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【变式1】解方程： (公式法)． 【变式2】若关于x的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【变式3】阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 题型十 一元二次方程根的判别式 解｜题｜技｜巧 ☆Δ > 0 ⇔ 两个不等实根 ☆Δ = 0 ⇔ 两个相等实根 ☆Δ < 0 ⇔ 无实根 【典例1】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【典例2】已知关于的方程． (1)若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【变式1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【变式2】已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【变式3】已知平行四边形的两边是关于x的方程的两个实数根． (1)若平行四边形是菱形，求k的值； (2)求证：无论k取何值，方程总有一定有实数根； (3)若，求k的值． 题型十一 一元二次方程根与系数的关系 解｜题｜技｜巧 ☆掌握韦达定理： ☆适用于Δ ≥ 0 ☆常用于求对称式、构造方程、求参数等 【典例1】已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【变式1】已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式2】（1）若m，n是方程的两根，求的值． （2）若一元二次方程的两根都大于1，求a的取值范围． 【变式3】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：． 题型十二 与增长率有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆设基数为a，增长率为 x，n 次后为 a(1±x)ⁿ ☆连续两年增长模型：a(1+x)²= b ☆注意“下降”即负增长 【典例1】据某省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年7月产值达到3000万元，第三季度总产值将达到9930万元．设该公司8，9两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染个人，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】某地一月份发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是 ． 题型十三 与销售利润有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆利润=售价-进价 ☆利润率=利润÷进价×100% ☆常设售价或销量为变量，根据总利润列方程 【典例1】篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此备受社会各界关注．某商场抓住商机购入一批进价为元/个的篮球，当这批篮球以元/个的价格售出时，平均每月的销售量为个．经市场调查发现：该篮球每个的售价在元到元范围内，每个的售价每上涨元，平均每月的销售量就减少个，设这批篮球每个的售价上涨元． (1)这批篮球每月的销售量为_____个；（结果用含的代数式表示） (2)若该商场销售这批篮球要达到每月元利润的目标，则这批篮球每个的售价应上涨多少元？ 【变式1】2025年9月13日19∶30分，渝超（2025重庆城市足球超级联赛）揭幕战正式在重庆市大田湾体育场举行．这一活动不仅能培养出足球精英人才，也有力地促进了重庆的足球经济发展．某体育用品店分别用1800元和3000元购进A，B两种足球，已知每个A种足球的进价比每个B种足球的进价多20元，且购进A种足球的数量是购进B种足球的数量的一半． (1)求A、B两种足球每个的进价； (2)这批足球很快售完，该店计划再购进一批足球，此时每个A种足球的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了2m个；每个B种足球的进价上涨了m元，购进B种足球的数量在第一次的基础上减少了3m个，总花费4512元，求m的值． 【变式2】汉中产茶始于商周，兴于秦汉，盛于唐宋，繁荣于明清，自古就是贡茶名优茶的知名产地．某茶叶店销售成本价为每盒360元的汉中仙毫，经市场调查发现如下信息： 信息一 当售价为每盒430元时，每天可售出20盒 信息二 每盒的售价每降低5元，每天可多售出10盒 (1)若该茶叶店计划进行降价销售，且要保证每天销售这种汉中仙毫获利3000元，那么每盒汉中仙毫的售价应降低多少元？ (2)若该茶叶店销售这种汉中仙毫想要每天获利3500元，请问可以达到吗？若能达到，则计算出每盒汉中仙毫的售价应降低多少元；若不能达到，请说明理由． 【变式3】新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． (1)求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； (2)为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 题型十四 与图形问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆根据面积、周长等公式建立等量关系 ☆注意图形裁剪、拼接后的变化 ☆检验解是否符合实际（如边长、面积大于0） 【典例1】如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（    ） A． B． B． C． D． 【典例2】在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动， (1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示） (2)若的面积为，求的运动时间； (3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由 【变式1】如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程 ． 【变式2】在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 题型十五 与数字问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆用代数式表示多位数，如十位为 a、个位为 b，则数为 10a + b ☆根据数字间关系（和、积、顺序等）列方程 【典例1】两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ． 【变式2】第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是 ，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【变式3】如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 题型十六 与行程问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆掌握路程=速度×时间 ☆注意往返、相遇、追及等情境 ☆常设时间为变量，利用等量关系列方程 【典例1】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【变式1】数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【变式2】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【变式3】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 题型十七 与工程问题有关一元二次方程的应用 解｜题｜技｜巧 ☆工作效率×工作时间=工作量 ☆常设工作效率为变量，注意合作时效率相加 ☆总工作量常视为 1 【典例1】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【变式1】某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【变式2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【变式3】列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 题型十八 其它一元二次方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 ☆仔细审题，找出等量关系 ☆设未知数，建立方程 ☆解方程并检验解的合理性（是否符合实际意义） 【典例1】如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为 ．（注：） 【变式1】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【变式3】优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数． 如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像分为上下两部分，要使雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全身的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为的黄金分割点． 设，根据题意，回答下列问题： (1)填空（用含x的式子表示）： ①可以表示为_______； ②与的高度比可以表示为_______； ③与的高度比可以表示为_______； (2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号） 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D．（不等于0） 2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 3．有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为 ． 4．一元二次方程的两根为，，则 ． 5．已知方程有一个根是，则代数的值为 ． 6．解方程： (1) (2) 7．芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 8．已知关于x的一元二次方程（m为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求m的值； (2)当时，求该方程的实数根． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．共享单车计划年、、月连续月投放新型单车，计划月投放台，月投放台，每月按相同的增长率投放，设增长率为则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．如图，小区工人用长为的围栏，将一块荒地改造成矩形种植园，一面利用墙（墙的最大可用长度为），为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为（   ） A．或 B． C． D． 4．若规定两数通过运算“”可得，即，如：．若，则的值为 ． 5．如图，正方形内接于，已知，，的面积分别为，，，那么正方形的边长为 ． 6．①若方程两根为和2，则； ②若，则； ③若，则方程一定无实数解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 以上命题正确的序号是： ． 7．已知三整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与c的值． 8．定义：若关于x的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程的最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为．已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． (1)该方程的“最值码”是 （用含m的式子表示）: (2)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程是（   ） A． B． C． D． 3．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是 ． 4．如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为 ． 5．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号） 6．已知都是质数，且，，试求 ． 7．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，()，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点Q为该一元二次方程的“派生点”． (1)若方程为，求出该方程的“派生点”Q的坐标； (2)若关于x的一元二次方程为的“派生点”Q恰好在直线上，求m的值； (3)是否存在b、c，使得不论为何值，关于x的方程的“派生点”Q始终在直线的图像上？若有，请求出b、c的值；若没有，请说明理由． 8．我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． (2)若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； (3)若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $