专题07 圆全章复习（期末复习讲义，知识点+20题型）九年级数学上学期华东师大版

该初中数学圆的复习讲义通过表格系统梳理14个核心考点，明确复习目标与考情规律，分知识点细化概念、性质及易错点，结合图形示例构建知识脉络，突出垂径定理、圆周角定理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“考点-题型-方法”设计，如垂径定理构造直角三角形计算弦长（应用意识），切线证明“连半径证垂直”（推理意识），分层练习覆盖基础到综合，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题07 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的相关概念 理解圆心、半径、直径、弧、弦、等弧、同心圆、等圆等基本概念，并能在图形中准确识别。 基础概念题，常在选择题或填空题中直接考查，要求对概念掌握清晰。 三角形的外接圆 理解三角形外接圆的定义，掌握三角形外心（三边垂直平分线的交点）的性质，会作已知三角形的外接圆。 常与三角形性质结合考查，多出现在选择题或填空题中，要求理解外心到三角形三个顶点距离相等。 弧长及扇形面积 熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 中考必考计算题型，常与现实背景（如跑道、纸扇）结合，考查公式应用能力。 垂径定理 掌握垂径定理及其推论（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧），并能用于计算弦长、半径、弦心距等。 核心高频考点，是圆中计算和证明的重要工具，常出现在计算题或证明题中。 圆心角及定理运用 理解圆心角的概念，掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”这一定理及其逆定理。 常与弧长、弦长计算结合考查，是证明圆中线段相等或弧相等的依据之一。 圆周角及定理运用 掌握圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等）。 核心必考考点，几乎贯穿所有圆的综合题，广泛用于角度计算和几何证明，要求熟练掌握。 点与圆的位置关系 掌握点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外）的判断方法（比较点到圆心的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常单独出题或与坐标系结合考查，要求会判断或求参数范围。 圆内接四边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补，任何一个外角都等于它的内对角），并能利用此性质求角度或进行证明。 中档考点，常在综合题中作为求角度或证明角相等的关键一步。 正多边形与圆 理解正多边形与圆的关系（正多边形的外接圆与内切圆），会计算正多边形的中心角、半径、边心距、边长和面积。 计算类考点，常以填空题或解答题形式出现，要求熟记相关公式并能灵活运用。 直线与圆的位置关系 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的判定方法（比较圆心到直线的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常作为判断位置关系或根据位置关系求参数（如半径、距离）的题目出现。 切线性质定理及其应用 掌握圆的切线性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），并能运用此性质进行线段或角度的计算与证明。 高频核心考点，是证明垂直关系和进行相关计算的基石，常在解答题中出现。 切线长定理 掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）。 常与三角形的周长、面积计算结合考查，多出现在中档解答题中，要求理解并应用。 三角形的内切圆 理解三角形内切圆的定义，掌握三角形内心（三条角平分线的交点）的性质，会作已知三角形的内切圆，并能进行相关计算（如内切圆半径与三角形面积、周长的关系）。 综合性考点，常与面积计算（公式结合，出现在中档解答题中。 图形的旋转 理解旋转的概念，掌握旋转的基本性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角）。 作为图形变换的基础，常与其他几何知识（如圆、三角形）结合考查，要求能识别和描述旋转关系。 知识点一、圆的概念 1、圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点二、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. 易错点： 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点三、弧、弦、圆心角的关系 1、圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. 2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 易错点： （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 知识点四、 垂径定理 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 2、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： 3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） （3）垂径定理的几个基本图形： 知识点五、 圆周角的概念 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 知识点六、 圆周角定理及其推论 1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC 3、圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点七、 圆内接四边形及其性质 1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 知识点八、 正多边形的相关概念 1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. 3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点九、 正多边形的有关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点十、 正多边形的画法 1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接 正多边形. 2、等分圆周的方法： （1）用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点； （2）顺次连接各等分点. 知识点十一、 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 易错点： ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点十二、 扇形及扇形的面积公式 1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 易错点： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点十三、 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点十四、 圆的确定 1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； 2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. 3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点十五、 三角形的外接圆 1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. 2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点十六、 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 知识点十七、 圆的切线的判定定理 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点十八、 圆的切线的性质定理 1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点十九、 切线长及切线长定理 1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 易错点： ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 知识点二十、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 易错点： 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. 4、三角形外心、内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1、外心到三顶点的距离相等； 2、外心不一定在三角形的内部． 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1、内心到三边的距离相等； 2、内心在三角形内部． 题型一 圆的基本概念 解｜题｜技｜巧 ☆理解圆心、半径、直径、弦、弧（优弧、劣弧）、等圆、同心圆等基本概念及其关系 ☆在复杂图形中准确识别这些基本元素，明确它们之间的关联（如直径是最长的弦） ☆注意概念间的区别，如弦是线段，弧是曲线；直径是特殊的弦 ☆利用基本概念进行简单计算或推理时，常结合圆的对称性 【典例1】有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，解题关键是掌握圆的基本概念． 根据圆的基本概念判断各说法的正确性：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， ∴①正确； ∵弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心， ∴②错误； ∵半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧， ∴③正确； ∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧， ∴仅长度相等不一定是等弧， ∴④错误； ∵半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆， ∴⑤正确． ∴正确的说法有①、③、⑤，共3个， 故选：C． 【变式1】已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆中弦长的定义，解题的关键是理解弦的定义．根据弦的定义：圆上任意两点之间的距离为弦长，最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∵是的弦， ∴， ∴弦的长不可能为． 故选：D． 【变式2】给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 题型二 利用垂径定理求值 解｜题｜技｜巧 ☆垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。其推论包括：平分弦（非直径）的直径垂直于该弦 ☆当题目中出现“直径垂直于弦”或“直径平分弦（非直径）”时，立即应用垂径定理 ☆常构造由半径、弦的一半和弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理计算未知量 ☆在弓形问题中，垂径定理是求弦长、半径或弦心距的核心工具 【典例1】如图,是的弦，半径于点D．若，则的长是(　　) A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得出弦的一半长度，再结合勾股定理计算线段长度． 连接，由垂径定理得，再在中，用勾股定理求． 【详解】解：连接， 是半径， ，． 在中，由勾股定理得，对应选项A． 故选：A． 【变式1】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 【变式2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连结，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 题型三 垂径定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 ☆将垂径定理应用于解决实际问题，如测量拱桥的跨度、确定圆形工件的圆心等 ☆将实际问题抽象为几何模型：通常将实际问题中的物体轮廓视为圆弧，测量数据转化为弦长、弦心距等 ☆利用垂径定理建立方程，求解所需的长度或距离 ☆注意单位统一，并验证结果的合理性 【典例1】 某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：C． 【变式1】如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 【变式2】“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．过作于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为米，然后在和中，分别利用勾股定理列式求解即可得解． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， 则（米），， ， ， 四边形是矩形， （米），米，（米）， 设该圆的半径长为米， 在中，， 在中，，即， ， 则有， 整理得，解得， ， （负值已舍去）， 即门洞的半径为米． 故答案为：． 题型四 圆周角定理及其应用 解｜题｜技｜巧 ☆圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。重要推论：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等 ☆见到直径，立即联想“直径所对的圆周角是直角”，从而构造直角三角形 ☆要证明角相等，可寻找它们是否是同弧或等弧所对的圆周角 ☆在复杂图形中，圆周角定理是进行角度转换和计算的关键桥梁 【典例1】如图，是的外接圆，，，则的直径的长度为（    ） A．16 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由是的直径，得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，最后在中利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，的半径OC垂直于弦，D是优弧上的一点（不与点A，B重合），若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的作出辅助线，熟练应用垂径定理和圆周角定理．连接，根据垂径定理即可推出，然后根据圆周角定理即可推出的度数． 【详解】解：连接， 的半径垂直于弦，， ， ． 故答案为：． 【变式2】如图，在中，是的外接圆．为的延长线上一点，连接，交于点，连接．若，当取最大值时，的长度是 ． 【答案】 【分析】过点A作于点G，得到的外接圆圆心一定在直线上，连接，设，根据勾股定理，得到圆的直径为；证明，得到，当为的直径时，取得最大值，根据三角形相似，勾股定理，解答即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：过点A作于点G， ∵，, ∴, ∴直线是线段的垂直平分线， ∴的外接圆圆心一定在直线上， 连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴, 解得， ∴圆的直径为； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴取的最大值时，取最大值， ∵直径是圆的最大弦， ∴为的直径时最大， ∴的最大值为， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：． 题型五 圆心角与弧 解｜题｜技｜巧 ☆在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等 ☆要证明弧相等或弦相等，可尝试证明它们所对的圆心角相等 ☆计算弧长或弦长时，先求出对应的圆心角度数 ☆圆心角定理常与等腰三角形（由两条半径构成）的性质结合使用 【典例1】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F． (1)求证：； (2)若，， 求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）连接，由平行线的性质可得，，由圆周角定理可得，； （2）连接，设的半径为，根据垂径定理可得，．在直角中，使用勾股定理构造方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查平行线的性质，圆周角定理，垂径定理和勾股定理，掌握好圆的基本性质是关键． 【变式2】如图所示，已知是的直径，A、D是上的两点，连接，线段与直径相交于点． (1)若，求的值． (2)当时． ①直接写出和的数量关系 ； ②若，，求线段的长； ③若，，则 ． 【答案】(1) (2)①；②；③45 【分析】利用圆周角定理得到，再利用特殊角的三角函数值解答即可； ①利用弧与圆心角的关系解答即可； ②利用圆周角定理导角证明，则，再代入求解即可； ③将代入得到，即可求解的度数，再由圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：①， 和的数量关系为， 故答案为：； ②如图， ，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③，， ， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，弧与圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 题型六 圆内接四边形相关 解｜题｜技｜巧 ☆圆内接四边形的对角互补（和为180°），并且任何一个外角都等于它的内对角 ☆要证明一个四边形是圆内接四边形，可尝试证明其对角互补或一个外角等于其内对角 ☆已知圆内接四边形时，直接利用对角互补求角度 ☆此性质常与平行线、三角形内角和等知识结合考查 【典例1】如图，等边三角形内接于，点是上一点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质及等边三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．首先根据等边三角形的性质计算出，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案． 【详解】解： 是等边三角形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故选：A． 【变式1】如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆内接四边形的性质可得，由平行线的性质可得，由同角的补角相等可得，根据圆周角定理，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆内接四边形，平行线的性质，同角的补角相等，圆周角定理． 【变式2】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 题型七 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆点与圆的位置关系由该点到圆心的距离 (d) 与半径 (r) 的大小决定：(d < r)（点在圆内），（点在圆上），(d > r)（点在圆外） ☆计算点到圆心的距离 (d)（常用两点间距离公式） ☆比较 (d) 与 (r) 的大小，得出结论 ☆若已知位置关系求参数，可建立关于 (d) 和 (r) 的方程或不等式求解 【典例1】数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，半径为4．若点A在外，则（　　） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，实数与数轴，根据题意可得点A表示的数为，则，根据点A在外得到，据此求解即可． 【详解】解：∵以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t， ∴点A表示的数为 ∵点B表示实数16， ∴． ∵半径为4．点A在外， ∴， ∴， ∴或 解得或， 又∵运动时间要大于或等于0， ∴或， 故选：A． 【变式1】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又 的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C． 【变式2】在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　　　　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 题型八 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 (d) 与半径 (r) 决定：(d < r)（相交，2个交点），（相切，1个交点），(d > r)（相离，0个交点） ☆计算圆心到直线的距离 (d)（常用点到直线距离公式） ☆比较 (d) 与 (r) 的大小，判断位置关系 ☆若已知位置关系求参数（如直线中的 (k) 值），建立关于 (d) 和 (r) 的方程求解 【典例1】在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 当时，与线段相切，只有一个交点，如图； 当时，与线段有两个交点； 当时，与线段只有一个交点； 当时，与线段没有交点； ∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是， 故选：． 【变式1】已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是关键． 通过计算点A到点B、点C的距离及点A到直线的距离，与半径比较即可判断． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， 在中，， ∵ 的半径为3， ∴，点B在外，故A错误；，点C在外，故B错误； ∵，且， ∴ 圆心A到直线的距离等于半径， ∴ 直线与相切，故C正确，D错误． 故选：C． 【变式2】阅读材料：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：先把直线解析式化为，可知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： (1)点到直线的距离为______； (2)已知是以点为圆心，2为半径的圆，与直线相切，求实数m的值； (3)如图，设点为上的任意一点，点、为直线上的两点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)实数m的值为或 (3) 【分析】本题考查了点到直线的距离，直线与圆的位置关系，熟练掌握点到直线的距离公式是解此题的关键． （1）由直线可得，，，再根据求距离公式计算即可得解； （2）将直线解析式化为，故，，，求出点到直线的距离为，再由与直线相切得出，即，计算即可得解； （3）求出点到直线的距离为，从而可得点隔直线的最远距离为，此时最大，再由三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由直线可得：，，， ∴点到直线的距离为； （2）解：将直线解析式化为，故，，， ∴点到直线的距离为， ∵与直线相切， ∴，即， 解得：或， 故实数m的值为或； （3）解：直线中，，，， ∴点到直线的距离为， ∴点隔直线的最远距离为，此时最大，为． 题型九 切线的概念有关 解｜题｜技｜巧 ☆直线与圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。切线垂直于过切点的半径 ☆判断一条直线是否为圆的切线：① 定义法（有唯一公共点）；② 距离法（圆心到直线的距离等于半径）；③ 判定定理（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） ☆在证明切线时，常用判定定理，即连接圆心与公共点，证明这条半径与直线垂直 【典例1】如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 【变式1】如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】分析题意，连接，若使是的切线，只需证明即可；若添加条件①，由是的直径得到结合，只要证明即可；根据是的一个外角得知，推理可得是等边三角形，至此可判断①的正误；对于②，若，则是等边三角形，，继而可以求得的度数，从而可以作出判断；对于③，根据得到，由三角形内角和定理可得，结合得到，接下来可以得到的度数，从而完成解答． 【详解】解：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ①， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 是的切线． ∴①正确； ②，， 是等边三角形， ． ， ， ， 是的切线． ∴②正确； ③， ． ， ． ， ． ， ， ， 是的切线． ∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 【变式2】已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 题型十 切线的性质定理 解｜题｜技｜巧 ☆圆的切线垂直于过切点的半径。这是切线最重要的性质，常用于证明垂直关系和进行相关计算 ☆已知切线，连接切点与圆心（作出半径），即可得到垂直关系 ☆利用此垂直关系，结合勾股定理或三角函数，可以计算线段长度或角度 ☆在证明题中，这是证明两条直线垂直的经典方法 【典例1】如图，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，根据切线的性质，切线长定理，得到，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】解：∵是的切线，A，C为切点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 【变式1】阅读与思考 【试题背景】 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第三卷中系统总结了圆的性质，其中提出了弦切角定理：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数”．这一优美结论体现了圆的对称性与和谐美，至今仍在工程测量、机械设计等领域广泛应用．    【探索发现】 某数学兴趣小组利用所学知识对上述弦切角定理进行证明，根据题意分析定理题设和结论，并画出几何图形，写出以下的已知与求证． 已知：为的切线，切点为D，点B，C为圆上的两点，如图（1）． 求证： ．(用中的角表示) 证明：连接，． 【拓展应用】 如图（2），在中，，且，E，F，D分别为，，的中点，经过点E，F，且与相切于点D，并分别交和于另一点G，H．若，求的长． 完成以下问题： (1)在【探索发现】中， ； (2)补全【探索发现】中的证明过程； (3)求解【拓展应用】中的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质； （1）根据材料中的“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数”得到； （2）连接，．由切线得到，，再由，，得到； （3）连接，，，等腰三角形的性质得到，，，由斜边中点性质得到，则，再由“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数”可得，即可证明，，得到． 【详解】（1）解：根据“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数”得到， 故答案为：； （2）证明：连接，．    是切线， ∴，， ， ∴， ，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，，，    ∵，D为的中点，，， ∴，，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， 由“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数”可得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2】如图1，在矩形ABCD中（），对角线，相交于点O，点A关于的对称点为．连接交于点E，连接． (1)求证： ； (2)以点O为圆心，为半径作圆． ①如图2，若与相切于点F，求的度数； ②若，与相切，则的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明； （2）①连接，证明是等边三角形，得到，由是的角平分线即可得到答案；②设与相切于点Q，连接，证明四边形是正方形，证明是等腰直角三角形，设则，，解得,即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵点关于的对称点为， ∴点E是的中点，， 又∵四边形是矩形， ∴O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴， ∴ （2）①连接， ∵与相切于点F， ∴， ∵， ∴ ∴是的中位线， ∵是的中位线，， ∴ ∴是的垂直平分线，也是矩形的对称轴， ∴， 根据轴对称的性质，， ∴是等边三角形， ∴ ∵，， ∴是的角平分线， ∴ ②如图，设与相切于点Q，连接， 根据切线长定理得到， 由（1）可知，，则， ∴四边形是正方形， ∴ ∴是等腰直角三角形， 设则， 在中，，则， 解得, ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了切线性质定理、切线长定理、三角形中位线定理、轴对称的性质定理、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线是关键． 题型十一 切线的综合运用 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用切线的判定和性质，结合其他几何知识（如相似三角形、全等三角形、勾股定理等）解决问题 ☆当题目中涉及切线时，通常需要连接切点与圆心，以利用垂直关系 ☆若有多条切线，考虑使用切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等） ☆在动态问题或最值问题中，常将切线问题转化为直角三角形或其他基本图形处理 【典例1】在平面直角坐标系中，的半径为1，对于上的点P和直线l，给出如下定义：将图形M绕点P 逆时针旋转，再关于直线l对称，得到图形N，称图形N是图形M关于点P和直线l的“旋转对称”图形．已知点． (1)当直线时， ①若点，，中，点 是点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形上的点； ②若直线与点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形有公共点，直接写出k的取值范围； (2)已知线段，直线，点，，若线段上的点都是线段关于点P和直线l的“旋转对称”图形上的点，直接写出点C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①和；②或 (2)或 【分析】（1）①先论证点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形的特征，是一个以为圆心，为半径的圆，判断每个点与的位置关系即可； ②过定点，过点作的两条切线，k要在两条切线之间； （2）类比（1）的做法，先找到线段AB关于点P和直线l的“旋转对称”图形的特征，是一个以圆心，内径为，外径为的圆环，同时点C在直线上运动，研究线段与外圆相交或与内圆相切的极端情况，得出的取值范围． 【详解】（1）解：先论证点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形的特征， 设点A绕点P逆时针旋转所得的点为点，点关于直线l对称的点为点， 如图，在y轴上取点，连接，， 由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为定值， ∴点A旋转所得的点E在以点Q为圆心，为半径的圆上运动， ∵经过点， ∴点关于直线l对称的点也在上．即就是关于点P和直线l的“旋转对称”图形 ①判断题干的点： 对于点，，点在上； 对于点，，点在上； 对于点，，点在内； 故答案为：和． ②对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 如图，在y轴上取点，过点作的切线，切点为、，与x轴交于点J、K，连接， ∵，， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴点J坐标为， 将，代入直线得， ， 解得，， ∴直线的斜率， 根据对称性可得，直线的斜率， 当直线落在直线和直线之间时，其与点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形有公共点， ∴的取值范围为或． （2）解：如图，取点，连接，，， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， 由勾股定理得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴为定值， ∴点A旋转后所得的点E在以点T为圆心，1为半径的圆上运动， 作关于直线的对称，则点E的对称点F在上运动， ∵线段， ∴线段关于点P和直线l的“旋转对称”图形是以点为圆心，内径为，外径为的圆环，如图所示， ∵点， ∴， 将①代入②得，， ∴点C在直线上运动， ∵， ∴轴，线段，且点D在点C左侧， 设直线为，则点坐标为，点坐标为， 取中点W，连接， 由勾股定理得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴点G坐标为， 同理可得，点H坐标为，点I坐标为，点J坐标为， ①当点C在线段上时， 当与内圆相切时，设切点为L， ∵轴， ∴， ∵与内圆相切， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴，此时， ∵线段都在圆环内， ∴； ②当点C在线段上时， 当点D在外圆上时，设， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理①可得，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得，（负值舍去），此时， ∵线段都在圆环内， ∴， 综上所述，点C的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，点与圆的位置关系，切线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，以及勾股定理，正确理解题意并逐步探索动点的轨迹是解题关键． 【变式1】九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 【答案】(1)当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切 (2)当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上） 【分析】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点与点重合时，与半圆相切；②当点运动到点时，与半圆相切； ③当点运动到的中点时，再次与半圆相切；④当点运动到点的右侧时，的延长线与半圆所在的圆相切；接下来分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间即可． （2）分为①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，③如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，分别画图解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， 当点与点重合时，，，与半圆相切， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图2，当点运动到点时，过点作，垂足为． 在中，，， 则，即等于半圆的半径， 所以与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图3，当点运动到的中点时，，，与半圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ④如图，当点运动到点的右侧，且时， 过点作，垂足为． 在中，，则， 即等于半圆所在的圆的半径， 所以直线与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． 综上所述，当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切． （2）解：①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图， 过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴边上所有点到的距离都是，等于半圆所在的圆的半径， 所以边与半圆所在的圆相切． 当半圆与边相切于点A时，点运动了，所求运动时间为：， 当半圆与边相切于点B时，点运动了，所求运动时间为：， 故当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，， 综上，当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）． 【点睛】该题考查了切线的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论思想解答． 【变式2】【问题背景】如图，四边形是的内接四边形，且，垂足为点． (1)当四边形的形状发生变化时，若的长度为，的长度为，则为定值；若的度数为，的度数为，则为定值． 以上两个结论中，正确的结论有 ；（填序号） 请你选择一个你认为正确的结论进行说理． (2)若，，设点到的距离为，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，说明理由． (3)如图，将四边形沿着对角线剪成两个三角形，并对两个三角形进行了图中至操作探究．如图，将绕点顺时针旋转，连接，发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，的长为 ． 【答案】(1)①正确的结论有②；②见解析 (2)不变， (3) 【分析】（1）对于①，可以取两种特殊的情况来对比，可得不为定值；对于②，利用圆心角与圆周角的关系，可判断为定值； （2）由题意易证出，可得．连接，，，过点O分别作，，，垂足为E、F、H，设，则，运用垂径定理可得和的值．结合，可得四边形是矩形，则．运用勾股定理可以表示出半径，在直角和直角中，两次使用勾股定理，可以求得的值； （3）根据题意，为定值，故点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则当与此圆相切时，取最大值，用勾股定理计算出此时的． 【详解】（1）解：正确的结论为②，理由如下， 先分析②， 由圆心角和圆周角的关系可得，的度数为其圆周角的两倍， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于①，选取两种特殊情况如下： 如图，当和都是直径时，设圆的半径为r， 由勾股定理可得，，， ∴， 如图，为直径，当时，作，垂足为H， 由圆心角和圆周角的关系可得，， ∵， ∴，，， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 由②可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴不是定值，故①错误； （2）解：如图，连接，，，过点O分别作，，，垂足为E、F、H，设， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在直角中，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴的值不会发生变化，； （3）解：由为定值可知，在旋转的过程中，点一直在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当与圆B相切时，最大， ∵与圆B相切， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，切线的性质和勾股定理，掌握好圆中角度和线段的关系并结合圆心来思考是解题关键． 题型十二 弧长及扇形 解｜题｜技｜巧 ☆弧长公式：；扇形面积公式：（其中 (n) 为圆心角度数，(R) 为半径） ◎已知 (n) 和 (R)，直接代入公式计算 ◎已知弧长 (l) 求 (n) 或 (R) 时，利用公式变形 ☆求不规则图形（如弓形）面积时，常用扇形面积减去三角形面积 ◎实际问题中注意单位换算 【典例1】如图是某款“不倒翁”及其轴截面图，，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是，，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多边形内角和问题，切线的性质定理，求弧长等知识点，解题关键是掌握弧长公式． 先求出所对的圆心角的度数，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，过点A作的垂线，过点B作的垂线，两垂线交于点， 则， ∵， ∴， ∵，分别与所在圆相切于点A，B， ∴点为所在圆的圆心， ∴所对的圆心角的度数为， ∵该圆半径是， ∴的长是（）， 故答案为：． 【变式1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求扇形的面积，根据弧长公式求出扇形的半径，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设扇形的半径为，则， 解得 ∴扇形面积， 故答案为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)求出（1）中点B旋转到点所经过的路径长以及所扫过的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)点B旋转到点所经过的路径长为，所扫过的面积为 【分析】本题考查了作图——旋转变换，勾股定理，求弧长及扇形面积．熟练掌握旋转的性质以及弧长公式、扇形面积公式是解题的关键． （1）根据题意，画出旋转图形，确定点的坐标即可； （2）依次确定半径，根据弧长公式、扇形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：图中即为所求，观察图像，点的坐标为； （2）解：∵，点绕点旋转， 故其经过的路径为以为圆心，为半径的圆周长的， 即， ∵，点绕点旋转， 故其扫过的面积为以为圆心，为半径的圆面积的， 即， 故点B旋转到点所经过的路径长为，所扫过的面积为． 题型十三 求不规则图形面积 解｜题｜技｜巧 ☆将不规则图形的面积转化为规则图形（如扇形、三角形、矩形等）面积的和或差 ◎割补法：将图形分割成几部分，分别求面积后相加；或将图形补全成规则图形，再减去多余部分 ◎等积变换：利用图形的对称性、全等或相似进行面积转化 ☆在圆中，常见的不规则图形有弓形（扇形减去三角形）、圆环部分等 ◎有时需要利用三角函数或勾股定理求所需长度 【典例1】 如图，扇形的圆心角，，以为直径的半圆交弦于点，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．已知为直径，则，证明是等腰直角三角形，为的中点，从而阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差． 【详解】解：，， ，， 为直径， ， 是等腰直角三角形，为的中点， ， ． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 过点O作于点F， ∴在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点．已知，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解决问题的关键．连接，根据阴影部分的面积的面积+扇形的面积扇形的面积，解答即可． 【详解】解：连接， 由题意可知： 阴影部分的面积的面积+扇形的面积扇形的面积，. ∵以为圆心，的长为半径画圆，交于点，， ∴， ∵以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 题型十四 三角形外接圆相关 解｜题｜技｜巧 ☆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） ☆求外接圆半径：直角三角形中，斜边的一半即为半径；一般三角形中，可利用正弦定理，或通过构造直角三角形求解 ☆外心位置：锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在形外 ◎在证明或计算中，常利用外心到各顶点距离相等的性质 【典例1】已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的外心性质，矩形的性质及判定、三角形的内角和定理、解直角三角形等相关知识，熟知各知识点，准确添加辅助线是正确解答此题的关键． 连接，作于点M，于点N，于点P，得矩形，由外心性质得M、N分别为BD、CD的中点，进而得，由三角函数可得，根据三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：如图，连接，作于点M，于点N，于点P． ， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别为、的外心， ∴M、N分别为、的中点， ， ， 又， ∴， ， ∴． ∵锐角的外心为O， ， ， ， ， ∵E为的外心， 又，， ， ∴． 又， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 题型十五 与圆锥有关的问题 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥的侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，母线长等于扇形的半径 ☆掌握圆锥侧面积公式：（(r) 为底面半径，(l) 为母线长） ◎求圆锥侧面展开图的圆心角：利用关系式 或 ☆在最短路径问题中，将圆锥侧面展开为扇形，两点间线段长度即为最短路径 ◎注意圆锥的高、底面半径和母线满足勾股定理： 【典例1】如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是 ． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式1】如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 设圆锥底面半径，，再根据题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】设圆锥底面半径，， 又扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， 所以，解得，即圆锥母线长， 所以该圆锥的高， 解得． 故答案为：． 【变式2】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 【答案】(1)9 (2)至少需要平方米的涤纶布 【分析】本题考查了圆锥的侧面积、勾股定理，理解题意是解决本题的关键． （1）先算出底面积，再根据每人的活动面积是进行计算即可； （2）根据题意算出底面积和侧面积即可． 【详解】（1）解：∵底面直径为， ∴半径， ∴底面积为 ， （人）， ∴该帐篷估计最多可住9人， 故答案为：9； （2）解：∵圆锥高，半径， 根据勾股定理得，母线长 ， ∴侧面积为 ∴底面积为 ， ， 答：至少需要平方米的涤纶布． 题型十六 三角形内切圆相关 解｜题｜技｜巧 ☆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等（等于内切圆半径 (r)） ◎求内切圆半径 (r)：常用面积法公式，其中 (a, b, c) 为三角形三边长 ◎内心在角平分线上，常利用角平分线性质进行比例转化 ◎在涉及内切圆的几何证明中，连接内心与切点是常见辅助线 【典例1】如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选：C． 【变式1】如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 题型十七 正多边形相关 解｜题｜技｜巧 ☆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心（圆心称为正多边形的中心）。中心到顶点的距离为外接圆半径 (R)，到边的距离为内切圆半径 (r)（边心距） ☆将正 (n) 边形的问题转化为 (n) 个全等的等腰三角形（由中心和两个相邻顶点构成）的问题 中心角 ◎熟记关系式：边长，边心距，面积 【典例1】如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选：A． 【变式1】如图，正六边形内接于，是圆上任意一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： 正六边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：D． 【变式2】在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全等的判定定理得到，则，进而由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到，从而得证； （2）由尺规作图，过点作线段的垂直平分线即可得到答案； （3）过点作，垂足为，连接，如图所示，由切线的判定方法求证即可得到答案． 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 【点睛】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键． 题型十八 圆与函数综合运用 解｜题｜技｜巧 ☆将圆与平面直角坐标系结合，利用函数（一次函数、二次函数等）表示圆上的点或与圆相关的量，解决综合问题 ◎确定圆的方程（标准形式：），圆心为 ((a,b))，半径为 (r) ◎求圆与函数图像的交点：联立圆的方程与函数解析式，解方程组 ◎求最值问题：常将所求量表示为某个变量的函数，利用函数性质或导数求最值（初中多用二次函数性质） ☆注意圆的性质（如几何性质）与代数方法（如解析法）的综合运用 【典例1】如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点，，代入即可解决题． （2）求出直线的解析式为，设，，根据抛物线对称轴为直线，得点，得，，根据，得，解方程即可； （3）设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q，由轴，得出轴，设，则，分当点N在线段上时，当点M在线段上时，运用圆内接四边形对角性质，相似三角形的判定和性质解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：设直线的解析式为， ，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D与点P关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，（不合），， 当时，（不合），（不合）， 综上，， 故点的横坐标为． （3）解：设圆心为P，（其中），设直线交x轴于点Q， ∵轴， ∴轴， 设， 则， 当点N在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为抛物线第二象限上一点， ∴， ∴． 当点M在线段上时， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． 故点纵坐标为1． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及一次函数的解析式，二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质，圆内接四边形性质，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综合，是解题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． （2）当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． （3）如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 【变式2】如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为，为弧的中点．点，关于点成中心对称． (1)求点的坐标； (2)点从点开始在折线段上运动：点从点开始在射线上运动，两点的运动速度均为个长度单位每秒，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（）的条件下，若，求直线与相交所得的弦长． 【答案】(1)； (2)； (3)弦长是或或． 【分析】（）过作于，于，连接，根据圆周角定理求出，，根据证，求出即可； （）分为三种情况：当在上时，在上，当在的延长线上时，当在的延长线上时，根据三角形面积公式求出即可； （）求出平行四边形的面积，根据已知得出三个方程，求出方程的解，注意看是否在范围内，再分三种情况分析作于，求出即可． 【详解】（1）解：过作于，于，连接， 由勾股定理得：， ∴，，，， ∵是直径， ∴， ∵为弧的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴的坐标是； （2）解：如图，连接交中点与G， 则是中位线， ∴，， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∴， 当在上时，在上，作交于H，则 （）； 当在上时，在上， 同法可求（）； 当在的延长线上时， （）； （3）解：， ， 解得：或 ， 解得：或（此时不在之间，舍去）， 过作于，连接， 当时，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴勾股定理得： ∴； ， 方程的解不在内； 过作于，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 过作于，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：弦长是或或． 【点睛】本题考查了三角函数，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，垂径定理等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型十九 圆与四边形综合问题 解｜题｜技｜巧 ☆圆与四边形（如矩形、菱形、正方形、梯形等）结合，涉及切圆、外接圆、角度、长度、面积等综合问题 ◎判断四边形与圆的位置关系：是否有外接圆（对角互补）或内切圆（对边和相等） ◎利用圆的性质（如圆周角定理、切线性质）和四边形的性质（如平行、垂直、对角线性质）综合推理。 ◎常需添加辅助线，如连接圆心与切点、作垂线等 ☆计算问题时，常设立方程，结合勾股定理、相似等求解 【典例1】【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】【特殊体会】 【初步探究】，见解析 【深入探究】①与相切；② 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：．如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 深入探究：①与相切． 如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形的综合探究，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，切线的性质和判定和勾股定理，综合性很强，对以上知识熟练是解题的关键． 【变式1】在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2）结论成立，理由见解析；（3） 【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形性质及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题关键， （1）先求出，连接，过点O作于点D，先求出，进而求出结论； （2）延长到点E，使，连接，先证明是等边三角形，再证明即可证明结论； （3）连接，过点C作交延长线于点M，先证明，设，则，求出，连接，过点O作于点F，求出，再根据求出，延长，得出为边上的高，进而求出结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ， ， ， 连接，过点O作于点D，如下图： 则， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论成立，理由如下： 延长到点E，使，连接，如下图， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）连接，过点C作交延长线于点M，如下图， 平分， ， ， ， 是等边三角形， 由（2）知，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 连接，过点O作于点F， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 延长， 垂直平分，， 经过点A，即为边上的高， ， ∴四边形的面积． 【变式2】学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②； 【分析】由圆周角定理可得出答案； 取的中点，连接、由直角三角形的性质证明点A、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； 在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； 作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、由圆周角定理及勾股定理可得出答案； 【详解】解：是的圆心角，是的圆周角，， ； 故答案为：； 如图，取的中点，连接、， ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ， 故答案为：； 在上截取，连接，以为直径，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； 如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、， ， ， 在中，， ，为圆心， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 题型二十 圆的其它问题 解｜题｜技｜巧 ☆涵盖圆的综合性、创新性问题，如动态问题、最值问题、新定义问题、与高中知识衔接的问题（如圆的参数方程、极坐标等） ◎动态问题：分析动点的运动轨迹，常转化为定点定长（圆定义）或利用几何不变性 ◎最值问题：利用“直径是圆中最长的弦”、“过圆内一点最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点直径的弦”等结论，或转化为其他几何模型（如将军饮马） ◎新定义问题：仔细阅读定义，将新概念与已有圆的知识建立联系 ☆综合题：分解问题，逐步推理，注意多解情况 【典例1】如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解； （4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点M，如图1， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，解得（负值舍去）， 平分，， ， ； （2）当与相切时，，如图2， 由题意得：， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 时，与相切； （3）第一种情况：如图3，当时满足条件， 在中， ， ， ， 过作交于， 则， ， ， 即，解得； 第二种情况：如图4，当时满足条件， 在中，， 又， ， ， 即，解得； 综上，或； （4）如图5，过圆心O作于点H，则的长为O到的距离，延长交于点K，过点Q作于点R， 则四边形是矩形，， ， ∵， ， ， ， ， 点O是的中点， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理的逆定理，切线的判定，直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用． 【变式1】给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合． 在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，与点O关于线段双对合的点是________； (2)点K是x轴上一动点，的直径为1． ①若点A与点关于双对合，求t的取值范围； ②当点K运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围． 【答案】(1)D，F (2)①；②或 【分析】（1）根据双对合的定义逐一判断即可得到答案； （2）①由双对合定义画出图形，结合图形，新定义，由此求出取值范围；②找出临界图形，计算即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：关于线段的对称点为,上任意一点关于线段对称点轨迹为, ∵，， ∴， ∴由图可知,与点关于线段对对合， 故答案为D，F； （2）解：①、先任意取轴上一点,在上任取一点，过点作关于此点的对称点，则可得对称点轨迹为以为圆心，半径为的,若在轴上运动时，则在直线上运动. 作关于上任意一点对称后的轨迹，可得轨迹为过点且半径为的圆，转动一周后轨迹则为以为圆心，半径为的圆，此圆与轴则为点的取值范围， . ∴t的取值范围是； ②取上任意一点，作关于的一次对称，则轨迹为半径为的蓝圆， 当上任意一点改变位置时，则蓝圆也会转动，谁的一次对称图形和蓝圆有交点，则即与对应点为双对合点. 当上的一点E,作点E关于的一次对称图形，则一次对称图形为半径为1的圆（记作红圆），当红圆与所有蓝圆都有交点时，则此时具有双对合点。 如图，当红圆与外切时，红圆可以与所有蓝圆有交点，当红圆圆心为K时，红圆也可以与所有蓝圆有交点， 红圆圆心距离K最远为，红圆圆心关于点K对称点即为点E， 以K为圆心，为半径作圆（橙色）， 当橙色圆与相切的时候，或； 当橙色圆与相切的时候， ∵， ∴，即与x轴的夹角为， ∴交点， 此时，即； 当上的一点在上时，则上的点离最近的点到的距离大于1，不存在． 综上所述：或． 【点睛】本题考查新定义“双对合”，能正确理解新定义并转化为所学知识解决问题是解题的关键． 【变式2】在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究： 问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明且，从而证明三角形全等； （2）过点作，垂足为点，取中点，连接，由四等分点证明，再根据三线合一得到，进而证明，最后可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到； （3）以为边作等边三角形，连接，证明，则可得点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，此时取得最小值，即可求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，即， 又， ． （2），理由如下： 过点作，垂足为点，取中点，连接， ， ， ， 点是的中点， ， 是等边三角形， ， 点是中点，点是四等分点， ， ， ， 由（1）得， 又， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ． （3）以为边作等边三角形，连接， ，是等边三角形， ， ， ， ，即当点和点运动过程中，始终保持， 则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点， 由三角形三边关系可知，则， 连接，交圆弧于点，此时取得最小值， 是等边三角形，点是中点，， ， ， ， 则的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，隐圆，本题的关键在于构造全等三角形，发现隐圆从而解决最小值问题． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．的直径为，点到圆心的距离，则点与圆的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；通过比较点到圆心的距离与圆的半径大小来判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， 又∵， ∴， 故点A在外； 故选：C． 2．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：根据圆的内接四边形对角互补可知：， 故选：C． 3．正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正多边形外接圆、正多边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．连接、，根据题意证得是等边三角形，即可解答． 【详解】解：连接、 多边形是正六边形， ，的半径是2 是等边三角形， 正六边形的周长是 故选B． 4．若的一条弧所对的圆周角为，则这条弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半（圆心角和圆周角在弦的同一边），据此可得答案． 【详解】解：∵的一条弧所对的圆周角为， ∴这条弧所对的圆心角是， 故选：C． 5．如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，，则的长是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的应用，准确计算是解题的关键． 利用弧长公式为，其中是圆心角度数，是半径，计算即可． 【详解】已知，， 弧长． 故答案是：． 6．如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出其中心角，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于，， ， 故答案为：． 7．中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法（证明直线与圆的半径垂直）是解题的关键． 要证明是的切线，需证明圆心到的距离等于半径（或证明）．通过连接，利用已知条件、，结合公共边，证明，从而得到，即可得证． 【详解】证明：连接， ，，， ， ； 为的半径， 是的切线； 8．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 设这座石拱桥主桥拱的半径为，由垂径定理，结合已知可得，根据勾股定理，即可得这座石拱桥主桥拱的半径． 【详解】解：设这座石拱桥主桥拱的半径为， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数，根据给定中心角建立方程求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 中心角为， ， ， 这个正多边形的边数是． 故选：． 2．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理得到，设其截面圆的半径为，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，于点C， ∴， 设其截面圆的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴其截面圆的半径为， 故选：D． 3．如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到，其中点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求不规则图形的面积，旋转的性质，连接，根据旋转的性质，利用分割法得到阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵将绕点B逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 4．如图，是的直径，，点是半圆上靠近点的一个三等分点，点 是 的中点，点 是直径上的一个动点，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，圆周角定理，勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，判断出 的最小值为的长度，结合弧长的比例关系，得出，结合勾股定理可求解出答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，如下图所示： ∵根据轴对称的性质，可得， 故 的最小值为的长度， ∵是半圆上靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是 的中点， ∴是半圆的， ∴也是半圆的， ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：． 5．如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键．由是的直径，得到，由得，，则，通过证明，得到 ，， 从而求得的长，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：是的直径，的半径为， ，， 交于点， ，， 是的中位线， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： ． 6．如图，点均在上，为的直径，则 ． 【答案】90 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，同弧所对的圆周角相等等知识，连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由同弧所对的圆周角相等可得出，，最后根据角的和差关系即可得出． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：90． 7．如图，为的直径，点在上，延长到，连接并延长，与交于点，连接，，恰好使得． (1)求证：； (2)若，的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，弧长公式，扇形面积的计算，勾股定理，垂径定理，掌握相关性质定理是解题的关键． （1）先根据圆周角定理结合已知的证明为等腰三角形，再根据直径所对的圆周角等于，得到，最后根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）连接，过点作于点，根据弧长公式先求出的度数，从而得到，的度数，根据勾股定理求得、的长，由垂径定理可得的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， 为等腰三角形， 为的直径， ，即， ； （2）解：如图所示，连接，过点作于点， ， ， 设， 的长为， ，解得， 即， ，， ， ， ， ． 8．如图，已知在平面直角坐标系中． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标． (2)画出绕原点顺时针旋转后的． (3)计算点旋转到的弧长． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的中心对称，图形的旋转变换，弧长的计算，掌握弧长公式是解题关键． （1）“关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数”，据此确定、、的坐标，然后依次连接即可； （2）“点绕原点顺时针旋转后，坐标变为”，据此确定、、的坐标，然后依次连接即可； （3）先通过勾股定理求出旋转半径，再确定旋转的圆心角，最后代入弧长公式计算． 【详解】（1）解：如图为． 据图可知，的坐标为． （2）解： 如图为． （3）解：点的坐标为， ， 绕原点顺时针旋转后得到， ， 圆心角，半径， 则． 故：． 期末综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．如图，的弦垂直于弦，，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理与勾股定理．此题难度不大，解题的关键是掌握的圆周角所对的弦是直径定理的应用． 首先连接，由的弦垂直于，即可得是直径，又由，，根据勾股定理即可求得的长，则可求得的半径． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ∵，， ， 的半径为：． 故选：A． 2．如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别为点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 3．如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，证明，再利用相似三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 4．已知：正方形边长为2，点为中点．点在正方形的边上，逆时针方向沿正方形的四条边运动，连接，以为对称轴将线段翻折，得到线段，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用三角形的三边关系求最值是解题的关键．由正方形的性质和中点定义可得，连接，再根据勾股定理可得，由折叠的性质可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，最后根据三角形的三边关系求最值即可． 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴，， 又∵点为中点， ∴， ∵将沿翻折，得到点B的对称点， ∴， 又∵点在正方形的边上，逆时针方向沿正方形的四条边运动， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 当点在上时，如图：连接，则， ∵， ∴当E、、D共线时，在延长线时，最大，且最大值为． 故答案为：． 5．已知抛物线经过点，与轴交于两点（点在点的左侧），若点为轴上一点，点满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意求得点和点D，根据题意可知点F在以为直径的圆周上，设线段的中点为M，则，半径，作点D关于y轴的对称点G，过点G作轴，则点，，，有，当点G、E、F、M四点共线时取的最小值，利用勾股定理求得，则． 【详解】解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 解得， 则点， 当时， ， ∴， 点满足， 点在以为直径的圆周上， 设线段的中点为， ，半径， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴， 则点，，， ， 当点G、E、F、M共线时取的最小值， ∴ ， ， ， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、90度的圆周角所对的弦是直径、对称性、四点共线和勾股定理，解题的关键是熟悉圆周角定理和对称性． 6．如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若,，则的长度为 ，的长度为 ． 【答案】 3 【分析】由垂径定理以及勾股定理可得,,由菱形的性质可知,,连接,,由圆周角定理可知,,再解三角形可得,,由菱形的性质和平行线的性质可得，解三角形得,,最后利用勾股定理求解． 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题关键． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∵四边形ACDE是菱形， ∵， ∴，， ∴， 如图，连接，， ∵是的直径， ∴，， ∴,即，解得：， ∴,即， 解得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，如图，过作于， ∴，， ∴，， ∴,， ∴,， ∴ ∴． 故答案为：3，． 7．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据圆直径性质和直角三角形性质得到，，根据等腰三角形性质得到，， 得到，即得； （2）连接，连接， 可得，求出，得到，得到，可得，得到，即得． 【详解】（1）解：连接， 为直径， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵与相交于点E，延长线交于点F， ∴， ． （2）解：连接，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， 点D为的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，熟练掌握圆周角定理及其推论，等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理等知识是解题的关键． 8．在中，，点为延长线上一点，连接，使，点在线段上，连接交于点． (1)如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在的下方，连接，．若，，．求证：； (3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．若，，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和得到，再由求出结论； （2）先证明四边形为平行四边形得到，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，只须证明，在中求出，再通过倒角法证明，进而由等腰三角形的性质求出，从而得证结论； （3）通过延长至，使，构造，然后推出，再由定弦定角模型得出点的轨迹，然后根据圆的性质得出、、三点共线时取最小值，接着求出和的长度，由求出答案． 【详解】（1）解:∵， ∵，， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，连接，，过点作于点． 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 在等腰中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，则是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，延长至，使，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据定弦定角模型可知点在以为圆心，为半径的圆弧上， 过点作交于点，过点作交于点，延长交于点， ∵， ∴，即点和重合时，取最小值， 此时点对应点为，， ∵，， ∴，平分， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，根据条件确定点的轨迹，熟练掌握相似三角形的判定与性质，圆的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的相关概念 理解圆心、半径、直径、弧、弦、等弧、同心圆、等圆等基本概念，并能在图形中准确识别。 基础概念题，常在选择题或填空题中直接考查，要求对概念掌握清晰。 三角形的外接圆 理解三角形外接圆的定义，掌握三角形外心（三边垂直平分线的交点）的性质，会作已知三角形的外接圆。 常与三角形性质结合考查，多出现在选择题或填空题中，要求理解外心到三角形三个顶点距离相等。 弧长及扇形面积 熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算。 中考必考计算题型，常与现实背景（如跑道、纸扇）结合，考查公式应用能力。 垂径定理 掌握垂径定理及其推论（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧），并能用于计算弦长、半径、弦心距等。 核心高频考点，是圆中计算和证明的重要工具，常出现在计算题或证明题中。 圆心角及定理运用 理解圆心角的概念，掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”这一定理及其逆定理。 常与弧长、弦长计算结合考查，是证明圆中线段相等或弧相等的依据之一。 圆周角及定理运用 掌握圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）及其推论（直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等）。 核心必考考点，几乎贯穿所有圆的综合题，广泛用于角度计算和几何证明，要求熟练掌握。 点与圆的位置关系 掌握点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外）的判断方法（比较点到圆心的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常单独出题或与坐标系结合考查，要求会判断或求参数范围。 圆内接四边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补，任何一个外角都等于它的内对角），并能利用此性质求角度或进行证明。 中档考点，常在综合题中作为求角度或证明角相等的关键一步。 正多边形与圆 理解正多边形与圆的关系（正多边形的外接圆与内切圆），会计算正多边形的中心角、半径、边心距、边长和面积。 计算类考点，常以填空题或解答题形式出现，要求熟记相关公式并能灵活运用。 直线与圆的位置关系 掌握直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的判定方法（比较圆心到直线的距离d与半径r的大小）。 基础考点，常作为判断位置关系或根据位置关系求参数（如半径、距离）的题目出现。 切线性质定理及其应用 掌握圆的切线性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），并能运用此性质进行线段或角度的计算与证明。 高频核心考点，是证明垂直关系和进行相关计算的基石，常在解答题中出现。 切线长定理 掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角）。 常与三角形的周长、面积计算结合考查，多出现在中档解答题中，要求理解并应用。 三角形的内切圆 理解三角形内切圆的定义，掌握三角形内心（三条角平分线的交点）的性质，会作已知三角形的内切圆，并能进行相关计算（如内切圆半径与三角形面积、周长的关系）。 综合性考点，常与面积计算（公式结合，出现在中档解答题中。 图形的旋转 理解旋转的概念，掌握旋转的基本性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角）。 作为图形变换的基础，常与其他几何知识（如圆、三角形）结合考查，要求能识别和描述旋转关系。 知识点一、圆的概念 1、圆的定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 知识点二、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. 易错点： 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点三、弧、弦、圆心角的关系 1、圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. 2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 易错点： （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 知识点四、 垂径定理 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 2、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. 推导格式： 3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. 4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） （3）垂径定理的几个基本图形： 知识点五、 圆周角的概念 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 知识点六、 圆周角定理及其推论 1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC 3、圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点七、 圆内接四边形及其性质 1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 知识点八、 正多边形的相关概念 1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. 3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点九、 正多边形的有关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点十、 正多边形的画法 1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接 正多边形. 2、等分圆周的方法： （1）用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点； （2）顺次连接各等分点. 知识点十一、 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 易错点： ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点十二、 扇形及扇形的面积公式 1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 易错点： ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点十三、 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ； ②点P在圆上⇔d＝r ； ③点P在圆内⇔d＜r . 2、点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点十四、 圆的确定 1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； 2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. 3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点十五、 三角形的外接圆 1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. 2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点十六、 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 知识点十七、 圆的切线的判定定理 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点十八、 圆的切线的性质定理 1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点十九、 切线长及切线长定理 1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 易错点： ①切线是直线，不能度量． ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 知识点二十、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 易错点： 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. 4、三角形外心、内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1、外心到三顶点的距离相等； 2、外心不一定在三角形的内部． 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1、内心到三边的距离相等； 2、内心在三角形内部． 题型一 圆的基本概念 解｜题｜技｜巧 ☆理解圆心、半径、直径、弦、弧（优弧、劣弧）、等圆、同心圆等基本概念及其关系 ☆在复杂图形中准确识别这些基本元素，明确它们之间的关联（如直径是最长的弦） ☆注意概念间的区别，如弦是线段，弧是曲线；直径是特殊的弦 ☆利用基本概念进行简单计算或推理时，常结合圆的对称性 【典例1】有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】已知是的弦，若的半径为，则弦的长不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 题型二 利用垂径定理求值 解｜题｜技｜巧 ☆垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。其推论包括：平分弦（非直径）的直径垂直于该弦 ☆当题目中出现“直径垂直于弦”或“直径平分弦（非直径）”时，立即应用垂径定理 ☆常构造由半径、弦的一半和弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理计算未知量 ☆在弓形问题中，垂径定理是求弦长、半径或弦心距的核心工具 【典例1】如图,是的弦，半径于点D．若，则的长是(　　) A．3 B．2 C．6 D． 【变式1】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 题型三 垂径定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 ☆将垂径定理应用于解决实际问题，如测量拱桥的跨度、确定圆形工件的圆心等 ☆将实际问题抽象为几何模型：通常将实际问题中的物体轮廓视为圆弧，测量数据转化为弦长、弦心距等 ☆利用垂径定理建立方程，求解所需的长度或距离 ☆注意单位统一，并验证结果的合理性 【典例1】 某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边缘分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则门洞的半径为 米． 题型四 圆周角定理及其应用 解｜题｜技｜巧 ☆圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。重要推论：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等 ☆见到直径，立即联想“直径所对的圆周角是直角”，从而构造直角三角形 ☆要证明角相等，可寻找它们是否是同弧或等弧所对的圆周角 ☆在复杂图形中，圆周角定理是进行角度转换和计算的关键桥梁 【典例1】如图，是的外接圆，，，则的直径的长度为（    ） A．16 B．4 C． D． 【变式1】如图，的半径OC垂直于弦，D是优弧上的一点（不与点A，B重合），若，则等于 ． 【变式2】如图，在中，是的外接圆．为的延长线上一点，连接，交于点，连接．若，当取最大值时，的长度是 ． 题型五 圆心角与弧 解｜题｜技｜巧 ☆在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等 ☆要证明弧相等或弦相等，可尝试证明它们所对的圆心角相等 ☆计算弧长或弦长时，先求出对应的圆心角度数 ☆圆心角定理常与等腰三角形（由两条半径构成）的性质结合使用 【典例1】如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F． (1)求证：； (2)若，， 求的半径． 【变式2】如图所示，已知是的直径，A、D是上的两点，连接，线段与直径相交于点． (1)若，求的值． (2)当时． ①直接写出和的数量关系 ； ②若，，求线段的长； ③若，，则 ． 题型六 圆内接四边形相关 解｜题｜技｜巧 ☆圆内接四边形的对角互补（和为180°），并且任何一个外角都等于它的内对角 ☆要证明一个四边形是圆内接四边形，可尝试证明其对角互补或一个外角等于其内对角 ☆已知圆内接四边形时，直接利用对角互补求角度 ☆此性质常与平行线、三角形内角和等知识结合考查 【典例1】如图，等边三角形内接于，点是上一点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（       ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 题型七 点与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆点与圆的位置关系由该点到圆心的距离 (d) 与半径 (r) 的大小决定：(d < r)（点在圆内），（点在圆上），(d > r)（点在圆外） ☆计算点到圆心的距离 (d)（常用两点间距离公式） ☆比较 (d) 与 (r) 的大小，得出结论 ☆若已知位置关系求参数，可建立关于 (d) 和 (r) 的方程或不等式求解 【典例1】数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t，半径为4．若点A在外，则（　　） A．或 B． C．或 D． 【变式1】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　　　　　． 题型八 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ☆直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 (d) 与半径 (r) 决定：(d < r)（相交，2个交点），（相切，1个交点），(d > r)（相离，0个交点） ☆计算圆心到直线的距离 (d)（常用点到直线距离公式） ☆比较 (d) 与 (r) 的大小，判断位置关系 ☆若已知位置关系求参数（如直线中的 (k) 值），建立关于 (d) 和 (r) 的方程求解 【典例1】在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 【变式2】阅读材料：在平面直角坐标系中，点到直线的距离公式为． 例如：求点到直线的距离． 解：先把直线解析式化为，可知，，，， ∴点到直线的距离为． 根据以上材料，解决下列问题： (1)点到直线的距离为______； (2)已知是以点为圆心，2为半径的圆，与直线相切，求实数m的值； (3)如图，设点为上的任意一点，点、为直线上的两点，且，求的最大值． 题型九 切线的概念有关 解｜题｜技｜巧 ☆直线与圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点。切线垂直于过切点的半径 ☆判断一条直线是否为圆的切线：① 定义法（有唯一公共点）；② 距离法（圆心到直线的距离等于半径）；③ 判定定理（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） ☆在证明切线时，常用判定定理，即连接圆心与公共点，证明这条半径与直线垂直 【典例1】如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【变式1】如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是 （填序号）． 【变式2】已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 题型十 切线的性质定理 解｜题｜技｜巧 ☆圆的切线垂直于过切点的半径。这是切线最重要的性质，常用于证明垂直关系和进行相关计算 ☆已知切线，连接切点与圆心（作出半径），即可得到垂直关系 ☆利用此垂直关系，结合勾股定理或三角函数，可以计算线段长度或角度 ☆在证明题中，这是证明两条直线垂直的经典方法 【典例1】如图，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ． 【变式1】阅读与思考 【试题背景】 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第三卷中系统总结了圆的性质，其中提出了弦切角定理：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数”．这一优美结论体现了圆的对称性与和谐美，至今仍在工程测量、机械设计等领域广泛应用．    【探索发现】 某数学兴趣小组利用所学知识对上述弦切角定理进行证明，根据题意分析定理题设和结论，并画出几何图形，写出以下的已知与求证． 已知：为的切线，切点为D，点B，C为圆上的两点，如图（1）． 求证： ．(用中的角表示) 证明：连接，． 【拓展应用】 如图（2），在中，，且，E，F，D分别为，，的中点，经过点E，F，且与相切于点D，并分别交和于另一点G，H．若，求的长． 完成以下问题： (1)在【探索发现】中， ； (2)补全【探索发现】中的证明过程； (3)求解【拓展应用】中的长． 【变式2】如图1，在矩形ABCD中（），对角线，相交于点O，点A关于的对称点为．连接交于点E，连接． (1)求证： ； (2)以点O为圆心，为半径作圆． ①如图2，若与相切于点F，求的度数； ②若，与相切，则的面积为 ． 题型十一 切线的综合运用 解｜题｜技｜巧 ☆综合运用切线的判定和性质，结合其他几何知识（如相似三角形、全等三角形、勾股定理等）解决问题 ☆当题目中涉及切线时，通常需要连接切点与圆心，以利用垂直关系 ☆若有多条切线，考虑使用切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等） ☆在动态问题或最值问题中，常将切线问题转化为直角三角形或其他基本图形处理 【典例1】在平面直角坐标系中，的半径为1，对于上的点P和直线l，给出如下定义：将图形M绕点P 逆时针旋转，再关于直线l对称，得到图形N，称图形N是图形M关于点P和直线l的“旋转对称”图形．已知点． (1)当直线时， ①若点，，中，点 是点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形上的点； ②若直线与点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形有公共点，直接写出k的取值范围； (2)已知线段，直线，点，，若线段上的点都是线段关于点P和直线l的“旋转对称”图形上的点，直接写出点C的横坐标的取值范围． 【变式1】九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 【变式2】【问题背景】如图，四边形是的内接四边形，且，垂足为点． (1)当四边形的形状发生变化时，若的长度为，的长度为，则为定值；若的度数为，的度数为，则为定值． 以上两个结论中，正确的结论有 ；（填序号） 请你选择一个你认为正确的结论进行说理． (2)若，，设点到的距离为，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，说明理由． (3)如图，将四边形沿着对角线剪成两个三角形，并对两个三角形进行了图中至操作探究．如图，将绕点顺时针旋转，连接，发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，的长为 ． 题型十二 弧长及扇形 解｜题｜技｜巧 ☆弧长公式：；扇形面积公式：（其中 (n) 为圆心角度数，(R) 为半径） ◎已知 (n) 和 (R)，直接代入公式计算 ◎已知弧长 (l) 求 (n) 或 (R) 时，利用公式变形 ☆求不规则图形（如弓形）面积时，常用扇形面积减去三角形面积 ◎实际问题中注意单位换算 【典例1】如图是某款“不倒翁”及其轴截面图，，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是，，则的长是 ． 【变式1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)求出（1）中点B旋转到点所经过的路径长以及所扫过的面积． 题型十三 求不规则图形面积 解｜题｜技｜巧 ☆将不规则图形的面积转化为规则图形（如扇形、三角形、矩形等）面积的和或差 ◎割补法：将图形分割成几部分，分别求面积后相加；或将图形补全成规则图形，再减去多余部分 ◎等积变换：利用图形的对称性、全等或相似进行面积转化 ☆在圆中，常见的不规则图形有弓形（扇形减去三角形）、圆环部分等 ◎有时需要利用三角函数或勾股定理求所需长度 【典例1】 如图，扇形的圆心角，，以为直径的半圆交弦于点，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点．已知，则图中阴影部分的面积为 题型十四 三角形外接圆相关 解｜题｜技｜巧 ☆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三个顶点的距离相等（等于外接圆半径） ☆求外接圆半径：直角三角形中，斜边的一半即为半径；一般三角形中，可利用正弦定理，或通过构造直角三角形求解 ☆外心位置：锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在形外 ◎在证明或计算中，常利用外心到各顶点距离相等的性质 【典例1】已知锐角的外心为O，交于D，E、F分别为、的外心，若，，则 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为 ． 【变式2】如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 题型十五 与圆锥有关的问题 解｜题｜技｜巧 ☆圆锥的侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，母线长等于扇形的半径 ☆掌握圆锥侧面积公式：（(r) 为底面半径，(l) 为母线长） ◎求圆锥侧面展开图的圆心角：利用关系式 或 ☆在最短路径问题中，将圆锥侧面展开为扇形，两点间线段长度即为最短路径 ◎注意圆锥的高、底面半径和母线满足勾股定理： 【典例1】如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是 ． 【变式1】如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 【变式2】小明假期去我校周边的森林公园郊游，带了一顶大型圆锥形帐篷，它的底面直径是，高是． (1)按每人的活动面积是计算，该帐篷估计最多可住______人．（取3.14估算） (2)该帐篷采用性价比较高的涤纶布制作，估计至少需要多少平方米的涤纶布?（结果中包含，材料包含底部） 题型十六 三角形内切圆相关 解｜题｜技｜巧 ☆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），内心到三边的距离相等（等于内切圆半径 (r)） ◎求内切圆半径 (r)：常用面积法公式，其中 (a, b, c) 为三角形三边长 ◎内心在角平分线上，常利用角平分线性质进行比例转化 ◎在涉及内切圆的几何证明中，连接内心与切点是常见辅助线 【典例1】如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式2】若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十七 正多边形相关 解｜题｜技｜巧 ☆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心（圆心称为正多边形的中心）。中心到顶点的距离为外接圆半径 (R)，到边的距离为内切圆半径 (r)（边心距） ☆将正 (n) 边形的问题转化为 (n) 个全等的等腰三角形（由中心和两个相邻顶点构成）的问题 中心角 ◎熟记关系式：边长，边心距，面积 【典例1】如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，正六边形内接于，是圆上任意一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 题型十八 圆与函数综合运用 解｜题｜技｜巧 ☆将圆与平面直角坐标系结合，利用函数（一次函数、二次函数等）表示圆上的点或与圆相关的量，解决综合问题 ◎确定圆的方程（标准形式：），圆心为 ((a,b))，半径为 (r) ◎求圆与函数图像的交点：联立圆的方程与函数解析式，解方程组 ◎求最值问题：常将所求量表示为某个变量的函数，利用函数性质或导数求最值（初中多用二次函数性质） ☆注意圆的性质（如几何性质）与代数方法（如解析法）的综合运用 【典例1】如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为下方抛物线上一点，过点作轴交抛物线于点，轴交于点，若，求点的横坐标； (3)如图2，为抛物线第二象限上一点，过，，三点作，过点作轴交于点，求点纵坐标． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． (1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； (2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； (3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【变式2】如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为，为弧的中点．点，关于点成中心对称． (1)求点的坐标； (2)点从点开始在折线段上运动：点从点开始在射线上运动，两点的运动速度均为个长度单位每秒，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（）的条件下，若，求直线与相交所得的弦长． 题型十九 圆与四边形综合问题 解｜题｜技｜巧 ☆圆与四边形（如矩形、菱形、正方形、梯形等）结合，涉及切圆、外接圆、角度、长度、面积等综合问题 ◎判断四边形与圆的位置关系：是否有外接圆（对角互补）或内切圆（对边和相等） ◎利用圆的性质（如圆周角定理、切线性质）和四边形的性质（如平行、垂直、对角线性质）综合推理。 ◎常需添加辅助线，如连接圆心与切点、作垂线等 ☆计算问题时，常设立方程，结合勾股定理、相似等求解 【典例1】【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【变式1】在图1和图2中，是等边的外接圆． 【阅读】 如图1，连接，延长交弦于点，交于点，连接．求证：； 小明给出了自己的证明方法如下： 三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且为等边三角形， ， ，则为等边三角形， 同理可得：也为等边三角形， ． 【理解】 （1）如图2，若为上任意一点，连结、，则___________， 若的半径为1，则___________． （2）在图2中，问题原型中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【应用】 （3）如图3，四边形内接于，，平分，且，若的半径为7，求四边形的面积． 【变式2】学习心得（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则、两点必在上，是的圆心角．是的圆周角，则______． 初步运用（2）如图，在四边形中，，，则_______； 问题迁移（3）①如图①，已知矩形，，，为边上的点，若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______． ②如图②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 题型二十 圆的其它问题 解｜题｜技｜巧 ☆涵盖圆的综合性、创新性问题，如动态问题、最值问题、新定义问题、与高中知识衔接的问题（如圆的参数方程、极坐标等） ◎动态问题：分析动点的运动轨迹，常转化为定点定长（圆定义）或利用几何不变性 ◎最值问题：利用“直径是圆中最长的弦”、“过圆内一点最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点直径的弦”等结论，或转化为其他几何模型（如将军饮马） ◎新定义问题：仔细阅读定义，将新概念与已有圆的知识建立联系 ☆综合题：分解问题，逐步推理，注意多解情况 【典例1】如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 【变式1】给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合． 在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，与点O关于线段双对合的点是________； (2)点K是x轴上一动点，的直径为1． ①若点A与点关于双对合，求t的取值范围； ②当点K运动时，若上存在一点与上任意一点关于双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围． 【变式2】在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究： 问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值． 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 1．的直径为，点到圆心的距离，则点与圆的位置关系为（   ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定 2．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（   ） A．14 B．12 C．10 D．8 4．若的一条弧所对的圆周角为，则这条弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 5．如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，半径为的弧，，则的长是 cm． 6．如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为 ． 7．中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点，且．求证：是的切线． 8．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 期末重难突破练（测试时间：25分钟） 1．若圆内接正多边形的一个中心角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到，其中点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，，点是半圆上靠近点的一个三等分点，点 是 的中点，点 是直径上的一个动点，则 的最小值是 ． 5．如图，在半径为的中，是直径，是弦，交于点，与交于点．若是的中点，则的长是 ． 6．如图，点均在上，为的直径，则 ． 7．如图，为的直径，点在上，延长到，连接并延长，与交于点，连接，，恰好使得． (1)求证：； (2)若，的长为，求图中阴影部分的面积． 8．如图，已知在平面直角坐标系中． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标． (2)画出绕原点顺时针旋转后的． (3)计算点旋转到的弧长． 期末综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．如图，的弦垂直于弦，，，则的半径等于（　　） A． B． C． D． 2．如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点到门框的距离为，且，当开门时，提起门把手绕点顺时针旋转点到达点的位置，此时点到门框的距离为，则门把手划过的区域面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，弦过弦的中点，，，则长为（   ） A． B． C． D． 4．已知：正方形边长为2，点为中点．点在正方形的边上，逆时针方向沿正方形的四条边运动，连接，以为对称轴将线段翻折，得到线段，连接，则线段的最大值为 ． 5．已知抛物线经过点，与轴交于两点（点在点的左侧），若点为轴上一点，点满足，则的最小值为 ． 6．如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若,，则的长度为 ，的长度为 ． 7．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求线段的长度． 8．在中，，点为延长线上一点，连接，使，点在线段上，连接交于点． (1)如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在的下方，连接，．若，，．求证：； (3)如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．若，，当取最小值时，直接写出的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $