精品解析：辽宁省铁岭市昌图县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度上学期期末九年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的取值有关 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D. 若点P是线段的黄金分割点，则 5. 数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ） A. 掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀” C. 袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球黄球 D. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃 6. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 8. 菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知＝，则的值是_____． 12. 已知是一元二次方程的根，则_____． 13. 在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有________个． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 15. 如图是一张矩形纸片，点E为上一点，，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，若的延长线经过点D则的值为_______ 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 20. 如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当，，求的值． 21. 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 （1）求y关于x函数关系式． （2）某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 22. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：； 延伸应用】 （2）如图2，在菱形中，是边上一点，连接，是上一点，延长线交于点，且，（1）中结论是否仍然成立，请说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，在矩形中，，，是的中点，是上一点，交于点，交于点，连接，交于点．若，求． 23. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； （3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末九年级数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可求解． 【详解】由图可知左视图是 故选B． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 2. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程的根的情况与的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴A选项正确；B选项、C选项、D选项都不正确． 故选：A． 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求角的正切值，解题关键是熟练掌握求角的正切值的方法． 根据题目分析得，代入即可得解． 【详解】解：依题得：． 故选：． 4. 下列命题正确的是（ ） A. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D. 若点P是线段的黄金分割点，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理、相似三角形的判定定理、黄金分割的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形，故该命题正确，符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，不符合题意； C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故该命题错误，不符合题意； D．若点P是线段的黄金分割点，则或，故该命题错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，涉及菱形的判定定理、矩形的判定定理、相似三角形的判定定理、黄金分割的定义，解本题的关键在熟练掌握相关的定理、定义． 5. 数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ） A. 掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀” C. 袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球 D. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，利用折线统计图可得出试验频率在0.5左右，进而得出答案． 【详解】解：A、掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数概率为，符合这一结果，故此选项符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意． 故选：A． 6. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与面积比为：， 故选：D． 8. 菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，线段的垂直平分线，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明是等边三角形，求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， 是等边三角形， 由作图可知， 故选：A． 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 10. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知＝，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知式子得出，然后代入所求式子即可得解. 详解】∵=， ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】此题主要考查比例的基本性质，熟练掌握，即可解题. 12. 已知是一元二次方程的根，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，先利用一元二次方程的定义将代入原方程可得，则，代入即可． 【详解】解：为方程的根， ， 故答案为： 13. 在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有________个． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，解分式方程．根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定在，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：设白球个数为x个，则总球数为个． 摸到红球的概率为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解， 故袋中的白球大约有16个． 故答案为16． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表示的长度，然后根据平行四边形的面积列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的纵坐标相同， ∴的纵坐标是4， ∵点在反比例函数图象上， ∴将代入函数表达式中，得到， ， 即，解得． 故答案为：． 15. 如图是一张矩形纸片，点E为上一点，，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，若的延长线经过点D则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形判定及性质，勾股定理等．根据题意设，则，继而得，再证明，继而利用相似性质得，利用勾股定理列式计算即可． 【详解】 ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵，即，解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的代数意义，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可求出值； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 【答案】（1） （2）两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键． （1）根据概念计算公式进行求解即可； （2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率． 【小问1详解】 解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 19. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（结果保留个位） （参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，的坡度为，， ∴， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 解：设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则． ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． 20. 如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定以及三角函数，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，根据外角的性质得到，即可证明相似； （2）连接，利用等腰三角形的性质得到，，由三角函数得，再利用相似三角形的性质即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵点D是的中点，， ∴，， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴ 21. 某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，已知每天组装的数量y（台）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 40 45 50 60 每天组装的数量y（台） 300 225 200 180 150 （1）求y关于x的函数关系式． （2）某商场以每台2400元的进货价购进这批空调．调查发现，当销售价为2800元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．设商场每台空调降价x元． ①降价后每天卖出 台，每台盈利 元（用含x的代数式表示）； ②该商场平均每天的盈利可能是4000元吗？为什么？ 【答案】（1） （2）①；②不可能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）的乘积是定值即可判断； （2）①根据题意可知降价25元多卖一台即可列出式子； ②代入数据可得方程，根据根的判别式计算可判断根的情况，再做出判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴y是x的反比例函数， 设， 把代入得，， 解得， ∴y关于x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①，即降价25元多卖一台， 降价后每天卖出台，每台盈利元， 故答案为：，； ②该商场平均每天的盈利不可能是4000元， 理由：依题意得：， 整理得：， ， ∴该方程没有实数根， ∴该商场不可能每天盈利4000元． 22. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，是边上一点，连接，于点，交于点．求证：； 【延伸应用】 （2）如图2，在菱形中，是边上一点，连接，是上一点，的延长线交于点，且，（1）中结论是否仍然成立，请说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，在矩形中，，，是的中点，是上一点，交于点，交于点，连接，交于点．若，求． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，利用等积法求得，再证明，即可证明； （3）过点作交于点，连接，，证明，推出，设，则，，在中，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】证明：（1）如图，四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）成立 如图，过点作于点，过点作交延长线于点． ． 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作交于点，连接，， 四边形是矩形， ，． ， ． ． ， ． ． ． 是中点， ． ，， ． ． 设，则，， 在中，， ． ． ， ，，． ，， ． ，即． ， ， ，， 即． ． ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； （3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标； （2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得； （3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标． 【小问1详解】 ∵过， ∴， ∴，则， 又∵过， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∴，解得：或， ∴． 【小问2详解】 令，则，∴． 设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴，令，则， ∴， ∴． 【小问3详解】 由图可知在第一象限、不可能相等， 如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，整理得， 解得（负数舍去）， ∴点的横坐标的值为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $