专题1.4 中位线（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级下册

本讲义聚焦三角形中位线核心知识点，系统梳理定义、定理及性质，前承三角形中点概念，后接中点四边形及构造技巧，通过8类分层题型搭建从基础求解到综合应用的递进式学习支架。 资料特色在于题型丰富与素养融合，以雨伞结构、水池测量等实例培养数学眼光，构造中位线方法提升推理能力，课中辅助教师系统教学，课后变式练习助学生查漏补缺，落实数学思维与语言表达。

专题1.4 中位线（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 与三角形中位线有关的求解】 1 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 2 【题型3 三角形中位线的实际应用】 4 【题型4 中点四边形】 6 【题型5 构造三角形的中位线——连接两点】 7 【题型6 构造三角形的中位线——倍长法】 8 【题型7 已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线】 10 【题型8 已知中点取其他边中点构造三角形的中位线】 11 知识点 三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 【题型1 与三角形中位线有关的求解】 【例1】（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，等边的边长为4，点，分别为，边中点，点为边上任意一点（不与，重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点，旋转恰好能与①拼成，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，点D、E分别是、的中点，于点F，则线段的长为 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，O是矩形对角线的中点，是的中点，，，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式1-3】的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 【例2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，D、E、F分别是的中点，是边上的高． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【变式2-3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【题型3 三角形中位线的实际应用】 【例3】如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【变式3-2】【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【变式3-3】如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【题型4 中点四边形】 【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，……，以此类推，则 ． 【变式4-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【变式4-2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 【题型5 构造三角形的中位线——连接两点】 【例5】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，，若，则的长为（　　 ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-1】如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【变式5-3】（2025·福建南平·三模）如图，是线段所在直线上的一动点，点在的两侧，，，，，，连接，分别取的中点，连接．随着点的运动，线段的长（   ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【题型6 构造三角形的中位线——倍长法】 【例6】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，点E是直线上一点．若，，点E是线段中点，连接，求的长． 【变式6-1】如图，在中，，，是的中点，是上一点，若平分的周长，则的长等于 ． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，四边形和四边形都是正方形． (1)如图1，点在一条直线上，点在边上，在的延长线上取一点，且，连接． （i）求证：； （ii）求证：； (2)如图2，点在的延长线上，点在边上，是的中点，若正方形和正方形的边长分别为6和4，求的长． 【变式6-3】（24-25八年级下·江西赣州·期末）【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 已知：如图，，分别是的，的中点．求证：且． （1）小明想到了“延长至点，使，连接”，如图．请按照小明的提示完成证明． 【迁移应用】 （2）如图3，在四边形中，，分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是______________． 【题型7 已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线】 【例7】如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【变式7-1】在中，点是的中点，平分，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式7-2】如图，在中，BD平分∠ABC，过点C作于点D，E是边AC的中点，连接DE，若，，则AB的长为（    ） A．6 B．8 C．7 D．9 【变式7-3】如图，中，，分别平分、，，连接，则 ．    【题型8 已知中点取其他边中点构造三角形的中位线】 【例8】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，，平面内有一点D，，连接，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线交于点P，连接．将线段绕点A旋转，则在线段旋转的过程中，线段的最大值是 ． 【变式8-1】（24-25八年级·山西太原·期末）如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 【变式8-2】如图，已知中，，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 中位线（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 【题型1 与三角形中位线有关的求解】 1 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 5 【题型3 三角形中位线的实际应用】 10 【题型4 中点四边形】 16 【题型5 构造三角形的中位线——连接两点】 19 【题型6 构造三角形的中位线——倍长法】 24 【题型7 已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线】 31 【题型8 已知中点取其他边中点构造三角形的中位线】 36 知识点 三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形． （3）三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行． 数量关系：可以证明线段的倍分关系． （4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半． 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分． 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等． 【题型1 与三角形中位线有关的求解】 【例1】（24-25九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，等边的边长为4，点，分别为，边中点，点为边上任意一点（不与，重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点，旋转恰好能与①拼成，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质得到，证明为的中位线，，得到，由旋转的性质和可得，，，，则四边形周长，当时，此时最小，求出，即的最小值为，即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵等边的边长为4， ∴， ∵点，分别为，边中点， ∴为的中位线，， ∴， 由旋转的性质和可得：，，，， ∴，， ∴四边形周长， 当时，此时最小， ∵，， ∴， ∴，的最小值为， ∴周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，点D、E分别是、的中点，于点F，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 利用三角形中位线定理得出，利用直角三角形斜边中线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，点是的中点，， 则， ， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，O是矩形对角线的中点，是的中点，，，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，由已知推出是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质的长即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵O是矩形的对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 故选：A． 【变式1-3】的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．    ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中，． 故选：B． 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 【例2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了三角形的中位线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键． （1）根据三角形的中位线性质得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明； （2）根据三角形的中位线性质得到，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵为边的中线， ∴D为的中点， ∵F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∴， ∵D是斜边中点，是直角三角形， ∴， ∴． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，D、E、F分别是的中点，是边上的高． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，再根据平行四边形的判定定理可证明结论； （2）由三角形高的定义和三角形内角和定理可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，据此可证明，则可证明． 【详解】（1）证明：∵在中，D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）在中，点E，G分别是边，的中点，平分，于点，延长交于点，连接． (1)若，，．求的周长； (2)若点恰好是的中点，为外角的平分线，交的延长线于点，求证：． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理求出，进而求出，根据三角形周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、角平分线的定义、等量代换得到，得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明． 【详解】（1）解：∵平分， ， 又， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长． （2）证明：由题意可知，为的中位线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-3】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，中位线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【题型3 三角形中位线的实际应用】 【例3】如图1是雨伞的结构示意图．是伞柄，，，是伞骨．已知点A，C分别是，的中点．．点B，D在上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，；再将雨伞收拢到如图3，此时，且点到的距离恰好等于图2中的长．则伞骨的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是，图3中能罩住的水平面面积是，则 ． 【答案】 6 【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得和的长；再先后求得，，，然后利用圆的面积公式即可求解. 【详解】解：作于点N，连接， ∵， ∴， ∵点A是线段的中点， ∴， ∵， ∴点B是的中点， ∴是的中位线， 在中，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴， 过点A和作的垂线，垂足分别为和， 由题意得，同理是的中位线， ∴， 同理， ∴， 故答案为：，6. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式3-1】（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 【变式3-2】【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，    ， ． 【变式3-3】如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度． 【详解】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD 则∠DCB=∠AMB ∵∠DCB=∠ABC ∴∠AMB=∠ABC ∴AM=AB    ∵AD∥BC，AM∥DC   ∴四边形AMCD是平行四边形 ∴AM=DC ∴AB=DC 在△ABC与△DCB中 ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴BD=AC=10m ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点 ∴GH=EF=，EH=FG= ∴四边形EFGH是平行四边形 则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m) 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键． 【题型4 中点四边形】 【例4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，……，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理和三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线定理证明，即可证明四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形． 【详解】解：∵分别为中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：， ∴当时，， ∴四边形菱形， 故B符合题意，A、C、D均不符合题意， 故选：B． 【变式4-2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 【答案】四边形是平行四边形，，见解析 【分析】本题主要考查了三角形的重心及三角形中位线定理，熟知三角形重心的性质及三角形的中位线定理是解题的关键．根据题意，得出点为三角形的重心，据此得出与的长度关系，再结合三角形中位线定理得出四边形的形状即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，； 、分别是边、上的中线， 点是的重心， ， 点，分别是和的中点， 是的中位线， ，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ，， 四边形是平行四边形． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型5 构造三角形的中位线——连接两点】 【例5】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，，若，则的长为（　　 ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，构造中位线． 先构造中位线，再根据中位线的性质得出，，从而可求得，再利用勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据求得． 【详解】如图，连接， ∵矩形对角线相交于点O， ∴为的中点，， 又F为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】如图，在中，，，是斜边上的一个动点，且在上（不包含端点）运动的过程中，始终保持，分别是的中点，连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，推出，由三角形中位线定理得到，因此，当时，最小，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式，得到的面积，求出，即可得到的最小值是． 【详解】解：连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， 此时的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，关键是判定四边形是矩形，得到，由三角形中位线定理得到，由三角形面积公式求出的最小值． 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键． 连接，由矩形的性质得，利用中位线性质可得，根据勾股定理计算出，可得，利用线段和差求出长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵F是的中点， ∴OF是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 【变式5-3】（2025·福建南平·三模）如图，是线段所在直线上的一动点，点在的两侧，，，，，，连接，分别取的中点，连接．随着点的运动，线段的长（   ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 即的长保持不变， 长为， 故选：． 【题型6 构造三角形的中位线——倍长法】 【例6】（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，点E是直线上一点．若，，点E是线段中点，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，菱形是性质，三角形的中位线的性质，如图所示，延长到，使得，连接，利用菱形的性质求解，再利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到，使得，连接， 四边形是菱形，对角线交于点， ， ， ， 在中，由勾股定理得 ， 点是线段中点，， 是的中位线， ． 【变式6-1】如图，在中，，，是的中点，是上一点，若平分的周长，则的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中位线定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点；延长至点使得，连接，作于点，则，易得，又由已知得，则，故为中位线，从而得． 【详解】延长至点使得，连接，作于点，    则， ∴， ∴， ∵平分的周长 ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴为中位线， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，四边形和四边形都是正方形． (1)如图1，点在一条直线上，点在边上，在的延长线上取一点，且，连接． （i）求证：； （ii）求证：； (2)如图2，点在的延长线上，点在边上，是的中点，若正方形和正方形的边长分别为6和4，求的长． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析； (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理和三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． （1）利用两个正方形的性质，推出； （ii）连接，利用和正方形的性质证明，再利用勾股定理求解； （2）延长至点H，使得，延长交于I，先证明四边形为矩形， 推出，利用勾股定理和三角形中位线定理求的长． 【详解】（1）（i）四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ． （ii）如图3，连接， 由（i）知，可得， 又， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 又， ，即， ， ． （2）如图4，延长至点H，使得，延长交于I， 四边形是正方形，且边长为6， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ， M是的中点，， 是的中位线， ． 【变式6-3】（24-25八年级下·江西赣州·期末）【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 已知：如图，，分别是的，的中点．求证：且． （1）小明想到了“延长至点，使，连接”，如图．请按照小明的提示完成证明． 【迁移应用】 （2）如图3，在四边形中，，分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是______________． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）通过延长线段构造全等三角形，利用全等三角形性质得到边和角的关系，再结合平行四边形判定与性质，证明三角形中位线定理． （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用三角形中位线定理，找出与、的数量关系． （3）延长线段构造特殊三角形，结合周长平分条件，利用三角形中位线定理和特殊三角形（含角的直角三角形、等边三角形相关性质 ），计算的长度． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接， ∴ 是的中点， ， 在和中， ， ， ∴， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：， 理由如下： 连接并延长交的延长线于点，如图： ， ， 是的中点， ， ， ， 是的中点，是的中点， ， ． （3）解：延长至，使，连接，作于， 平分的周长， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及特殊三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，灵活运用构造全等三角形、特殊三角形的方法是解题的关键． 【题型7 已知角平分线与垂直关系构造三角形的中位线】 【例7】如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】在中，点是的中点，平分，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据平分，，运用易证明．根据全等三角形的性质，得，，根据三角形的中位线定理即可得到结论； （2）根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：延长交于，    平分，于点， ，， 在和中， ， ． ， 点是的中点， ， 是的中位线． ； （2）， ， 是的中位线． ， 故的长为1． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式7-2】如图，在中，BD平分∠ABC，过点C作于点D，E是边AC的中点，连接DE，若，，则AB的长为（    ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】A 【分析】如图，延长BA，CD交于点F，根据角平分线和垂线证得BF=BC，DF=CD，再利用中位线的性质得到AF=2DE，即可计算AB=BF-AF，求得答案． 【详解】如图，延长BA，CD交于点F， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∵， ∴△FBC是等腰三角形（三线合一）， ∴，， ∴D是CF的中点， ∵E是边AC的中点， ∴DE是的中位线， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，解题的关键是做出辅助线，利用等腰三角形和中位线的性质解答． 【变式7-3】如图，中，，分别平分、，，连接，则 ．    【答案】2 【分析】利用勾股定理求得，分别延长交于点F、G，证明和，推出，，，，得到是的中位线，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 分别延长交于点F、G，    ∵分别平分，，又， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明是的中位线是解题的关键． 【题型8 已知中点取其他边中点构造三角形的中位线】 【例8】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，，，平面内有一点D，，连接，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线交于点P，连接．将线段绕点A旋转，则在线段旋转的过程中，线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，尺规作图---垂直平分线，三角形三边关系求最值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点M，连接，，先由勾股定理求出，由三角形中位线定理求出，在中，由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：由作图可知垂直平分．如图1，取的中点M，连接，． ，，， ， ． P，M分别是，的中点， ． ∵ ∴如图2，当在下方，且B，M，P三点共线时，有最大值，最大值为． 故答案为：．      【变式8-1】（24-25八年级·山西太原·期末）如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理．取的中点K，连接，证明，得到，求出的长即可得到． 【详解】解：取的中点K，连接， ∵点D为的中点，点K为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】如图，已知中，，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、以及三角形中位线等知识，取的中点F，连接，，由旋转的性质及三角形中位线定理求出，由勾股定理求出的长，由直角三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：取的中点F，连接，， ∵将直角边绕A点逆时针旋转至， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， ∵F为中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 【变式8-3】【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【答案】【三角形中位线定理】，；【应用】；【拓展】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]证明：取的中点，连接、．    、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $