1.2 等腰三角形 (第3课时 等边三角形的判定与)（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦等边三角形的判定及含30°角的直角三角形性质，通过复习等腰三角形判定引入新课，搭建前后知识联系的学习支架，引导学生逐步探究核心内容。 其亮点在于以动手拼图、定理严谨证明及表格对比为特色，通过几何直观引导学生发现30°角直角三角形性质，借助推理过程培养逻辑思维，帮助学生构建知识体系。教师可利用典例与变式训练提升教学效率，学生能在探究中发展数学眼光与应用意识。

2.等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定与 含30°角的直角三角形的性质 第一章 三角形的证明 学 习 目 标 1 2 探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。 探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。 情景引入 思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形又如何判定呢？ 新知探究 还有其他的判定法吗？ 满足什么条件的三角形是等腰三角形？ 从边看：有两边相等的三角形是等腰三角形 从角看：有两个角相等的三角形是等腰三角形 满足什么条件的三角形是等边三角形？ 三边都相等的三角形是等边三角形 新知探究 一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这些结论吗？ 新知探究 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. A B C 已知：如图，∠A =∠B =∠C. 求证：△ABC 是等边三角形． 证明：∵∠A =∠ B， ∴ AB = AC = BC. ∴ AB = AC. ∵∠B =∠C， ∴ AC = BC. ∴ △ABC 是等边三角形. 新知探究 定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C 证明：①若 AB =AC，∠A =60°， 则∠B=∠C = (180°–∠A)÷2=60°， ∴∠A=∠B=∠C= 60°， ∴AB=AC=BC， ∴△ABC 是等边三角形。 60° 已知：若 AB＝AC，∠A＝60°. 求证：AB＝AC＝BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 新知探究 定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 A B C 60° 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠B= 60°． 求证：△ABC 是等边三角形. 证明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)， ∴∠C =∠B = 60° (等边对等角). ∴∠A = 60° (三角形内角和定理). ∴∠A =∠B =∠C = 60°. ∴△ABC 是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等 边三角形). 新知探究 等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定 等边对等角 等角对等边 “三线合一”，即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合 有一角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个内角都相等，且每个角都是 60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 典例分析 方法技巧 运用等边三角形的判定来解题，三个角相等的三角形是等边三角形。 例1.如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC， 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 新知探究 尝试思考 （1）用两个完全相同的含30°角的三角尺，你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？ （2）在上述拼接过程中，你发现了什么结论？ 30° 30° 30° 30° 30° 30° 结论：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半. 30° 新知探究 A B C 发现：30°角的对边等于三角形斜边的一半。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 30° 30° 新知探究 D A B C 证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD。 ∵∠ACB = 90°， ∴∠ACD = 90°。 ∵AC = AC， ∴△ABC ≌ △ADC（SAS）。 ∴AB = AD(全等三角形的对应边相等)。 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 新知探究 已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°。 求证：BC = AB。 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)。 ∵∠BAC = 30°，∠ACB=90°， ∴∠B= 180°－30°－90°=60°。 ∴△ABD 是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)。 ∴BC = BD = AB。 D A B C 新知探究 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在△ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°． ∴ BC＝ AB．(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半) A B C 30° 典例分析 例2.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC ，∠B＝15°，CD是腰AB上的高， 求证：CD ＝ AB. C B A D 证明：在△ABC 中， ∵AB＝AC，∠B＝15°， ∴∠ACB0＝∠B＝15°(等边对等角). ∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝15°+ 15°＝30°. ∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∵ CD 是腰 AB 上的高， ∴ CD＝ AB. 课堂小结 1.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 2.含 30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 变式训练 1.下列说法不正确的是（ ） A.三边相等的三角形是等边三角形 B.三个角相等的三角形是等边三角形 C.有一个角是60°的三角形是等边三角形 D.有两个角是60°的三角形是等边三角形 C 变式训练 2.如图，在△ABC 中，∠ACB= 90°，∠B = 60°，CD 是△ABC 的高，且 BD = 1，求 AD 的长。 B C D A 解：在△BCD 中，∠BDC = 90°， ∴∠BCD = 30°， ∴ BC = 2BD = 2。 在△ABC 中，∠ACB = 90°， ∴∠A = 30°， ∴AB = 2BC = 4， ∴AD = AB–BD = 4–1= 3。 感谢聆听! $