第09讲 解题技巧专题：等腰（直角）三角形中的分类讨论思想（2知识点+5大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第09讲 解题技巧专题：等腰（直角）三角形中的分类讨论思想 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 知识点2：直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。 ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。 【题型1 等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】 例1．等腰三角形一边长是，另一边长是，则它的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查了等腰三角形周长．熟练掌握等腰三角形定义，三角形三边关系，三角形周长，分类讨论，是解题的关键． 当等腰三角形的腰为时，根据，得三角形不存在；当等腰三角形的腰为时，根据，得三角形存在，即 得周长． 【详解】解：当等腰三角形的腰为时， 三边为，，， ∵， ∴三角形不存在， 当等腰三角形的腰为时， 三边为，，， ∵， ∴三角形存在， ∴周长为（）． 故答案为：． 例2．（24-25八年级下·广东清远·期中）一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等腰，构成三角形的条件，分腰长为3和腰长为7两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长分别为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长分别为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为， 故答案为：． 变式1．已知、为等腰的边长，且满足，则的周长是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形三边的关系等知识；由非负数的性质可求得a与b的值，根据等腰三角形的定义结合三角形三边的关系即可求得周长． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 若三边是11，11，5，则；若三边是11，5，5，则，不能构成三角形，不符合题意； ∴的周长为27； 故答案为：27． 变式1．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 【题型2 等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】 例3．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 则它的底角的度数是或． 故答案为：或． 例4．（24-25八年级上·天津西青·期中）若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 变式1．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是 ． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．设另一个角是，表示出这个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出这个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，底角为； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，底角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，底角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案为：或或． 变式2．已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】①当和是两个底角时， ， 解得， 则底角为， 顶角为：； ②当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为； ③当是顶角，是底角时， ， 解得， 则， ∴顶角为． 综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或， 故答案为：或或 【题型3 三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】 例5．已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 例6．在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 变式1．等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 变式2．等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 【题型4 求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】 例7．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是射线上一点，，，动点从点开始出发沿射线的方向以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，则当为等腰三角形时，运动时间的值为 ． 【答案】2.4或4 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分以下两种情况： （1）当点在线段上时，，， 当是等腰三角形时， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴，即， 解得； （2）当点在的延长线上时，此时，，， 当是等腰三角形时，只能， ∴， 解得， 故答案为：2.4或4． 例8．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，，点P从B点出发沿射线方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．当是以为腰的等腰三角形时，则t的值为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．根据条件求出：，分两种情况讨论：当时；当时；分别求解即可． 【详解】解：由题意得：， 当是以为腰的等腰三角形时， 若，如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 若，如图， 则在中，， 解得：； 故答案为：或． 变式1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．当为等腰三角形时，的值是 ． 【答案】或2或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【详解】解：在中，， ； ①当时，如图， ； ②当时，如图， ， 则； ③当时，如图， ，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：或2或． 变式2．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，交轴于点．若点在轴正半轴上，且为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了一次函数与几何综合，勾股定理和等腰三角形的性质等知识，解题的关键是分情况讨论． 首先将代入求出，得到，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】如图， 一次函数的图象与轴交于点， ，， ， 交轴于点． 点的坐标为， ①当时，， 可得，； ②当时，，可得； ③当时，设，则， 解得， 可得． 根据题意，点在轴正半轴上， 所以满足条件的点坐标为或或． 故答案为：或或． 【题型5 求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】 例9．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了 s时，是直角三角形． 【答案】2或 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ， ，， 当点运动到与点重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ， 又， ， ， ， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当运动2秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：2或． 例10．如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三线合一、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 变式1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴ ①当时， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当时 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 变式2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，D是边上的一点（不与点B，C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或/或6 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 等腰三角形中，已知角可能为顶角或底角，分两种情况讨论顶角度数即可． 【详解】∵等腰三角形有两个角相等， ∴若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角也为，顶角为：； ∴顶角为或， 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知等腰三角形的两边长分别为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质，三角形三边关系等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据非负数的性质，求出a和b的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论边长组合，利用三角形三边关系判断是否成立，最后计算周长． 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， 当腰长为2，底边为3时，三边为2、2、3， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 当腰长为3，底边为2时，三边为3、3、2， ∵，，， ∴能组成三角形，周长为； 故此等腰三角形的周长为7或8， 故选A 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 【详解】解：∵ ，为边上的中线， ∴ ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ∴， 即或， 解得或． ∴ 的长为8或12． 故选：D． 4．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，沿运动，速度为单位/秒，设运动时间为秒，当是以为腰的等腰三角形时，的值为（　　） A．或或 B．或或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的数学思想解答问题．当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论：①，②，然后根据勾股定理求出长，由此即可解题． 【详解】解：当点的运动时间为秒时，分两种情况讨论： ①当点在上时，， ， ； ， 时，， ②当点在上时，， 同理可得：， ， 时，， 综上可知：当或时，是以为腰的等腰三角形． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键． 先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，为直角三角形时， 当为直角三角形时，； 当时，， 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：①；②；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， ①如图，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图，，即是等腰三角形， ∴， ∴； ③∵D不与B、C重合，， ∴以的等腰三角形不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知分别是等腰三角形的高线与角平分线，且相交于F．若，则的度数为 ⁠． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，等腰分；；；三种情况，利用等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：由题意知，等腰分；；；三种情况求解； 如图1，当时， ∴，， ∵分别是等腰的高线与角平分线， ∴，， ∴； 如图2，当时， ∴， 同理，，， ∴； 如图3，当时， ∴， 同理，，， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当△是等腰三角形时，则 秒． 【答案】5或或4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 由勾股定理求出，再分三种情况讨论如下：①当时，根据得，由此得点运动时间为秒；②时，根据得，则，由三角形的面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒；③当时，则，在△中，由勾股定理得，再由三角形面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在△中，，，， 由勾股定理得：， 当△是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图， 交所在的直线于点， ， 此时点运动时间为（秒； ②时，如图， ， ， ， ， 由三角形的面积公式得：， ， 在△中，由勾股定理得：， 此时点运动时间为（秒； ③当时，如图， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 交所在的直线于点，， 由三角形面积公式得：， ， 在△中，由勾股定理得：， 此时点运动时间为（秒， 综上所述：当△是等腰三角形时，点运动时间为为5秒或秒或4秒． 故答案为：5或或4． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形判定和性质.先由勾股定理算出的长度为5，为以为腰的等腰三角形，分两种情况：当时由得；当时根据P点位置得为8或2. 【详解】在中，，，， ∴ 当时，如图1所示， ∵ ∴在与中 ∴ ∴， 当时，如图2所示， P点在B点左侧： 或P点在B点右侧：. 综上所述：的长度为3或8或2. 三、解答题 11．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·月考）在中，，边上的中线将的周长分为和两部分，求的边长． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键． 先根据题意画出示意图，然后再利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系求得三角形三边的长即可． 【详解】解：如图， 设 ∵是中线 ∴ 若 即 解得：， 此时，，符合题意， 若 即 解得：， ∵此时，符合题意， 综上所述，或． 12．（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)边的长为______； (2)当t为时，是什么三角形，请给出证明； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)直角三角形，证明见解析 (3)5或8或 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）t为时，，根据勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形； （3）分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：是直角三角形， 证明：t为时，， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：分三种情况： 当时，如图： ； 当时，如图： ， ； 当时，如图： 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， 综上可知，当为等腰三角形时， t的值为5或8或． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得：， 综上所述：或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，已知在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒． (1)求边上的高； (2)为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，按顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)当秒或6秒或秒或秒时，为等腰三角形 (3)t的值为4秒或12秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，根据三角形的面积公式计算的长； （2）分情况讨论：①动点在边上时，有一种情况；②动点在边上时，有三种情况；③动点在边上时，不能构成三角形； （3）分情况讨论：根据点P在边上讨论，根据周长平分进行列方程可得结论． 【详解】（1）解：∵已知在中，，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 如图1， 过C作于D， ∴ ∴ ∴ 则边上的高是； （2）解：①当点P在上，如图2， 当时， ∵ ∴， ∵动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为秒． 则， ②当点P在上，如图3，时，过C作于D， 在中， ∵，为边上的高， ∴， 则， 解得， 当时，， 解得， 当时， 如图4，作于H， 则，， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 解得， 故当秒或6秒或6.5秒或5.4秒时，为等腰三角形； （3）解：如图5，当时，P在上，Q在上， 由题意得：， 则， 解得； 如图6，当时，P在上，Q在上， 由题意得：，， 则， 解得，不符合题意； 当时，P、Q在上， 直线与重合，直线不可能把的周长分成相等的两部分； 如图7，当时，P在上，Q在上， 由题意得：， 则， ， 解得， 综上，t的值为4秒或12秒． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用、三角形的周长和几何动点问题，掌握等腰三角形的判定定理和性质定理、分类讨论的思想和数形结合的思想是解题的关键． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第09讲解题技巧专题：等腰（直角）三角形中的分类讨论思想 l内容导航 预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习月标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1)无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2)“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知A,B两点是定点，找一点C构成等腰△ABC A B 方法：两圆一线 具体图解：①当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A,点C在⊙A上(B,C除外) y ②当AB=BC时，以点B为圆心，AB长为半径作⊙B,点C在⊙B上(A,E除外) ③当AC=BC时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上(D除外) ☑知识点2：直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 质或勾股定理解题即可。 1)无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②己知无法确定是哪个角是 直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2)“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知A,B两点是定点，找一点C构成Rt△ABC A B 方法：两线一圆 具体图解：①当∠BAC=90°时，过点A作AB的垂线，点C在该垂线上(A除外) 0 aB 1 ②当∠ABC=90°时，过点B作AB的垂线，点C在该垂线上(B除外)。 ③当∠ACB=90°时，以AB为直径作圆，点C在该圆上(A,B除外)。 02练题型强知识 【题型1等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论】 例1.等腰三角形一边长是3cm,另一边长是6cm,则它的周长是 例2.(24-25八年级下·广东清远期中)一个等腰三角形的两边长为3和7，则此三角形的周长为】 变式1.已知a、b为等腰ABC的边长，且满足引a-5+(b-11)2=0,则ABC的周长是 变式1.(24-25八年级上广东汕尾·期中)解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长， (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长 【题型2等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论】 例3.(2425八年级下广东佛山期中)已知等腰三角形的一个内角为20°，则这个等腰三角形的底角为 例4.(24-25八年级上·天津西青·期中)若等腰三角形的一个角是36°，它的另外两个角的度数分别 是 变式1.等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形底角的度数是， 变式2.已知一个等腰三角的两个角度数分别是(2x-2)°，(3x-5)°，则这个等腰三角形的顶角的度数 为一 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型3三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论】 例5.已知等腰ABC,AB=AC,过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 LC=_ 例6.在ABC中，∠C为钝角，∠A=48°，如果经过ABC其中一个顶点作一条直线能把ABC分成两个 等腰三角形，那么∠C的度数为 变式1.等腰三角形周长为21cm,一中线将周长分成的两部分差为3cm,则这个三角形三边长为. 变式2.等腰三角形ABC中，高BD与一腰所夹的锐角是40°，则等腰三角形ABC底角的度数 为 【题型4求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论】 例7.(24-25八年级上·河南驻马店·期中)如图，点0是射线AB上一点，∠B0C=120°，0A=12cm,动点 M从点A开始出发沿射线AB的方向以4cm/s的速度运动，动点N从点O出发沿射线OC以1cm/s的速度 运动，点M,N同时出发，设运动时间为(s,则当△MON为等腰三角形时，运动时间t的值为s A M B 例8.(24-25八年级上辽宁丹东期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=16,点P从B 点出发沿射线BC方向以每秒4个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t,连接AP,当△ABP是 以AP为腰的等腰三角形时，则t的值为一， 变式1.(24-25八年级上·河南郑州阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=4cm, 动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.当△ABP为等腰三角形时，t的值 是 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2.(2425八年级上江西九江期中)如图，已知一次函数y=号+m的图象与x轴交于点4-6,0，交 y轴于点B,若点P在x轴正半轴上，且△ABP为等腰三角形，则点P的坐标为一 3x+m 【题型5求有关直角三角形中的边长时未分类讨论】 例9.(24-25八年级上河南周口期末)如图，等腰三角形ABC的底边AC为8cm,腰AB为5cm，一动点Q (与点A,C不重合)在底边上从点C以2cms的速度向点A移动.当动点Q运动了_ s时， △BQC是直角三角形， A 例10.如图，在ABC中，AB=AC=10,BC=16,D是BC边上的动点，点B关于直线AD的对称点为B ,连接AB'交BC于E,当△DEB'为直角三角形时，BD的长是 D B 变式1.(24-25八年级上浙江宁波期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=√5+1，点E ,F分别是BC,AC边上的动点，沿EF所在直线折叠∠C,使点C的对应点C始终落在边AB上，若 △BEC'是直角三角形时，则BE的长为 变式2.(24-25八年级上·河南驻马店阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，BC=65 ,D是边BC上的一点（不与点B,C重合），连接AD,将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处.当 BDE是直角三角形时，CD的长为一 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D 03串知识识框架 1)无图需分类讨论 知识点1：等腰三角形中的分类讨论模型 2)"“两定一动等腰三角形存在性问题 等腰（直角）三角形中 的分类讨论思想 1)无图需分类讨论 知识点2：直角三角形中的分类讨论模型 2)"两定一动"直角三角形存在性问题 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上江苏南通期末)等腰三角形一个角为30°，则顶角的度数可能为() A.30 B.120° C.30°或150° D.30°或120° 2.(25-26八年级上江苏常州·期中)己知等腰三角形的两边长分别为a、b,且a、b满足 √a-2+(b-3)=0,则此等腰三角形的周长为() A.7或8 B.6或10 C.6或7 D.7或10 3.(25-26八年级上浙江绍兴期中)ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD交AB于点D,中线CD分 ABC两部分的周长差为2，若AB=10,则BC的长为() A.5 B.8或10 C.12 D.8或12 4.(25-26八年级上·重庆渝北期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC,点E、F分别是边 AB、AC上的动点，连接EF,将ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，如果折叠后 CDF与BDE均为等腰三角形，则∠A的度数是() 折叠 B B A.60° B.45° C.60°或45° D.30°或45° 5.(25-26八年级上·全国期中)如图，在长方形ABCD中，AB=3,，AD=5,动点P从点A出发，沿 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A→B→C→D运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，t的 值为() D P C A.3或5或7 B.3或4或5 C.3或5 D.4或7 二、填空题 6.(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，已知P是射线ON上一动点，∠0=40°.当∠A的度数为 时，△AOP为直角三角形. 0 7.(25-26八年级上河北保定·期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D在边BC上（点D与 B,C不重合)，作LADE=30°，DE与边AB相交于点E,若ADE是等腰三角形，则LCAD度数为 8.(25-26八年级上·广东汕头·月考)己知AD,CE分别是等腰三角形ABC的高线与角平分线，且AD,CE相 交于F.若∠B=70°，则∠CFD的度数为 9.(25-26八年级上浙江宁波·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10,动点D从 点A出发，沿线段AB以每秒1个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F,连接 AF,CD.设点D运动时间为t秒.当△ABF是等腰三角形时，则t=秒， D 10.(25-26八年级上江苏宿迁·月考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,在直线BC上 找一点P,使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为 6/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上·黑龙江牡丹江月考)在ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD将ABC的周长分 为12cm和15cm两部分，求BC的边长， 12.(24-25八年级上广东清远期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为s, B→P B 备用图1 备用图2 (I)BC边的长为 ②当上为时，6MBP是什么三角形，请给出哪 (3)当aABP为等腰三角形时，求t的值， 13.(24-25八年级上江苏连云港·期中)如图，AD1BC，,垂足为D,且AD=4,BD=9.点E从D点沿 射线DC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，同时点F从B点沿线段BD向点D以1个单位/秒的速度匀速运 动，当点F到达终点D时，点E也立即停止运动，连接AE、AF,设点F运动的时间为t秒. B F D E C (I)当t为何值时，AD是△AEF的中线？ (2)当t=1时，判断△AEF的形状，并说明理由； (3)是否存在t的值，使△AEF是以AF为腰的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理 由. 14.(25-26八年级上·江苏苏州月考)如图，已知在ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,动点 P从点C出发，沿着ABC的三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s,设运动时间为t秒. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C>P B C→P B 备用图 备用图 (1)求AB边上的高； (2)t为何值时，△ACP为等腰三角形？ (3)另有一点Q,从点C开始，按顺时针走一圈回到C点，且速度为每秒1cm,若P、Q两点同时出发，当 P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当t为何值时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分？ 8/8