专题15.4 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

本讲义聚焦可化为一元一次方程的分式方程这一核心知识点，系统梳理分式方程的概念（分母含未知数）、解法（去分母化为整式方程），以及由解求参数、整数解、取值范围等题型，构建从定义到应用的完整知识支架。 该资料设计10类题型，含规律探索、新定义等创新内容，通过例题与变式结合，培养学生抽象能力和推理意识，裂项法、换元法等体现转化思想，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识。

专题15.4 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 分式方程概念及其解】 2 【题型2 解分式方程】 2 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 3 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 4 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 4 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 4 【题型7 分式方程的规律探索题】 5 【题型8 分式方程的新定义题】 6 【题型9 裂项法解分式方程】 6 【题型10 换元法解分式方程】 7 知识点1 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点2 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【题型1 分式方程概念】 【例1】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【变式1-3】在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 解分式方程】 【例2】解方程：的解为 ． 【变式2-1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若 则 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·河南·期末）观察下列等式： ，， 猜想并得出： 将以上三个等式两边分别相加得： 根据以上推理，求出下面分式方程： 的解是 ． 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 【例3】（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·四川乐山·一模）方程的解是，则的值（    ） A． B． C． D．无解 【变式3-2】（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）已知是关于x的分式方程的解，那么k的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3-3】若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 【例4】（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 【变式4-2】分式方程没有解，则m的值为 ． 【变式4-3】若关于x的分式方程有解，则k的取值范围是 ． 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 【例5】关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【变式5-1】（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围为 ． 【变式5-2】若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．5或7 【变式5-3】（24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为 ． 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 【例6】（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式6-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为 ． 【变式6-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式6-3】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若整数a使关于x的不等式组有且只有三个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【题型7 分式方程的规律探索题】 【例7】（24-25八年级下·四川成都·期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则 ．若，则的值是 ． 【变式7-1】观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【题型8 分式方程的新定义题】 【例8】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【变式8-1】（24-25八年级下·四川巴中·期末）定义运算，如；，若，则的值为 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果，求实数的值； 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【题型9 裂项法解分式方程】 【例9】如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为 ． 【变式9-1】解方程：． 【变式9-2】解方程：． 【变式9-3】解方程． 【题型10 换元法解分式方程】 【例10】换元法解方程：． 【变式10-1】（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程时，如果设，那么得到关于的整式方程是 ． 【变式10-2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【变式10-3】换元法解方程：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.4 可化为一元一次方程的分式方程（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 【题型1 分式方程概念及其解】 2 【题型2 解分式方程】 4 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 6 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 8 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 10 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 13 【题型7 分式方程的规律探索题】 15 【题型8 分式方程的新定义题】 19 【题型9 裂项法解分式方程】 21 【题型10 换元法解分式方程】 24 知识点1 分式方程 1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2. 分式方程的重要特征 （1）是方程； （2）分母中含有未知数． 知识点2 解分式方程 1. 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 2. 解分式方程的一般步骤 【题型1 分式方程概念】 【例1】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 【变式1-1】下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； B、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； C、，分母含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； D、，分母不含有未知数，不是分式方程，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 【变式1-3】在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案． 【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意； ②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意； ③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意； ④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意； 关于的分式方程的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 【题型2 解分式方程】 【例2】解方程：的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键． 先将原方程变形，再进一步化简转化为整式方程求解即可． 【详解】解：原方程可变形为， ， 化简得，， ∴， 即， ∴， 解得：， 检验，把代入， ∴原方程的解为． 故答案为： 【变式2-1】（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤、解分式方程必须检验是解题的关键． 按照解分式方程的步骤逐步判断即可． 【详解】解： 两边同乘以最简公分母得： 得到整式方程为，解得， 检验：当时，， 所以该分式方程无解，即④错误． 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若 则 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解字母系数的分式方程的方法是解题的关键．注意解分式方程要检验根． 先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，然后再检验根即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 解得： 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·河南·期末）观察下列等式： ，， 猜想并得出： 将以上三个等式两边分别相加得： 根据以上推理，求出下面分式方程： 的解是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得 ，求和整理解答即可． 本题考查了裂项法计算，分式方程的解法，熟练掌握解方程是理解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故变形为： 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 【题型3 由分式方程解的值的求参数】 【例3】（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】（2025·四川乐山·一模）方程的解是，则的值（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程解答即可求解，掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-2】（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）已知是关于x的分式方程的解，那么k的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数的值，把代入分式方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选B． 【变式3-3】若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程，求出方程的解，把解代入分式方程求出m即可． 【详解】解：解方程， 得，， 经检验是方程的解， 把代入方程， 得，， 故选：A． 【题型4 由分式方程无/有解求参数】 【例4】（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程有根的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解分式方程得，由分式方程有根的条件得，所以，解得，即可得解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 关于的方程一定有根， ， ， 将代入，得， ， 故选：A． 【变式4-1】若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 因为分式方程无解， 所以， 即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 【变式4-2】分式方程没有解，则m的值为 ． 【答案】3或0 【分析】方程先化为整式方程为，根据题意，方程没有解，即为，求出x后代入上式即可求出m的值． 【详解】解：方程， 去分母得， 化简，得， ∵方程没有解， ∴， ∴或， ∴或； 故答案为：3或0． 【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键． 【变式4-3】若关于x的分式方程有解，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】先求出使分式方程无意义时，k的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时k的取值范围． 【详解】方程两边乘，得①． ∵原分式方程有解， ∴解方程①，得， ∴且，解得． ∵x存在， ∴要有意义， ∴． ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键． 【题型5 由分式方程的整数解求参数】 【例5】关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 【变式5-1】（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）关于的分式方程有非负整数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且； 故答案为：且． 【变式5-2】若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（    ） A．2 B．5 C．2或5 D．5或7 【答案】B 【分析】先解方程得，，因为分式方程有正整数解，进而可得到整数m的值． 【详解】解：原方程为，， 可化为整式方程，， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∵分式方程有正整数解， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； ∴整数m的值是5， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解． 【变式5-3】（24-25八年级下·四川眉山·期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】2或3或7 【分析】本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围．根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵ 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵方程无解， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为． 故答案为：2或3或7． 【题型6 由分式方程解的取值范围求参数】 【例6】（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 【变式6-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，不等式的性质．首先解分式方程可得，再根据分式方程的解满足，可得的取值范围，再根据为整数，确定的值的情况，即可求解． 【详解】解：解关于的分式方程， 去分母得：， 移项、整理得：， ∵， ∴， ∵k为整数， ∴或7或8或9， ∴所有k值的和为， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，解题的关键在于根据分式方程解的情况建立不等式组． 根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，建立不等式组求解，注意考虑分母不为0即可． 【详解】解： ， 分式方程的解是非正数， ，且， ， 整理得：，且， 解得，且，， 综上所述，则取值范围是且， 故选：B 【变式6-3】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）若整数a使关于x的不等式组有且只有三个整数解，且使关于y的方程的解为非正数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，先整理不等式组得，结合不等式组有且只有三个整数解，则，即，再整理，得，根据解为非正数，则或5或6，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得：， 由得：， 原不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解应为4，3，2， ， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， 该分式方程的解为非正数，且a为整数， ，，且a为整数， 或5或6， 则， 故答案为： 【题型7 分式方程的规律探索题】 【例7】（24-25八年级下·四川成都·期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则 ．若，则的值是 ． 【答案】 48 【分析】本题主要考查了分式类的规律题．分别求出，，，，，，由此发现规律，当n为偶数时，，，即可求解． 【详解】解：，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ……， 当n为偶数时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验：该方程的解， ∴． 故答案为：，48． 【变式7-1】观察下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；…根据以上规律，第个方程以及它的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先由所给方程找出规律，根据规律写出第个方程再求该方程的解． 【详解】解：（1）可化为；（2）可化为；（3）可化为； 经观察，第个方程为：． 将方程两边同乘以，得 ，即． 由题意知 经检验是原方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查了方程的规律及其解，解题的关键是应先根据所给方程找出规律，根据规律列出第个方程，最后求解． 【变式7-2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式7-3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）观察规律：，，……若（n为正整数），则n的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键. 根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案. 【详解】∵ 解得： 经检验，是分式方程的解， 故选：C． 【题型8 分式方程的新定义题】 【例8】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 【变式8-1】（24-25八年级下·四川巴中·期末）定义运算，如；，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，列分式方程解决实际问题，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 根据题意列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ 整理得 解得 经检验，原方程的根， 故答案为：4． 【变式8-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）对定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果，求实数的值； 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，根据定义新运算的计算方法列出方程求得x的数值即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解． ∴实数的值为． 【变式8-3】（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义关于☆的一种新运算：（x，y是实数，且），例如． (1)求的值． (2)是否存在x的值，使得成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3，见解析 【分析】本题考查了实数的新运算与分式方程的求解，根据新运算的定义正确列出式子是解决本题的关键． （1）根据☆的新运算定义计算即可； （2）根据☆的新运算先表示出与，再由分式方程的解法求解并检验即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵， ∴，即， 即， 去分母，得， 解这个方程，得． 经检验是原方程的解． ∴原方程的解为． 【题型9 裂项法解分式方程】 【例9】如图1所示，将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“□”的个数为，第2幅图中“□”的个数为，第3幅图中“□”的个数为，……，以此类推，若（为正整数），则的值为 ． 【答案】41 【分析】根据图形得到图形的变化规律：，根据规律代入将方程变形为，解方程即可． 【详解】解：由图可得，，，……， ∴， ∵， ∴ ， 解得（舍去）或， 故答案为：41． 【点睛】此题考查了规律探究，解分式方程，正确理解图形的计算规律代入方程计算是解题的关键． 【变式9-1】解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． 方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】 ， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 则原方程的根是． 【变式9-2】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 【变式9-3】解方程． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【题型10 换元法解分式方程】 【例10】换元法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题的关键；根据分式的加减法，可得，再根据换元法求解即可； 【详解】解：原方程化为：， 设， 则原方程化为：， 方程两边同时乘以y得：，解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解． 【变式10-1】（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程时，如果设，那么得到关于的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法，将分式方化为整式方程，设，则方程可化为，进而去分母和移项即可求解，掌握将分式方化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设，则方程可化为， 方程两边乘以，得， ∴， ∴得到关于的整式方程是， 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解的概念，解题关键是通过变量替换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：已知方程的解为， 令， 则此时第二个方程分母变为，且，与第一个方程形式完全相同， 当时，代入，解得； 验证分母：当时，和均不为零，符合条件，因此解为， 故选：A ． 【变式10-3】换元法解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式的加减法，可得，再根据换元法求解即可；利用换元法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴原方程为， 设，原方程可化为， 方程两边同时乘以，得， 解得，， 经检验，都是原方程的解， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 经检验：或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $