【期末复习】专题11 抛体运动-高1物理上学期期末备考

专题11 抛体运动 考点必过 考点01 平抛运动的规律应用 2 考点02 平抛运动的临界和极值问题 11 考点03 斜上抛运动 24 考点04 与斜面或圆弧面有关的抛体运动 34 基础必过 一、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，其运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向： 匀速直线　运动； (2)竖直方向： 自由落体　运动。 4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝ v0t　；y＝ gt2　 合位移x合＝＝ 　，tan φ＝ 　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0　；vy＝ gt　 合速度v＝＝，tan θ＝ 　，θ为合速度v与x轴的夹角。 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0 斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向： 匀速　直线运动。 (2)竖直方向： 匀变速　直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝ v0cos θ　，v0y＝ v0sin θ　。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 考点01 平抛运动的规律应用 思维必过 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 1．（25-26高三上·江苏连云港·期中）如图所示，青蛙先后两次从高处荷叶上的同一位置，跳到低处荷叶上A、B两点，A、B在同一水平面内且A点更靠近青蛙的起跳点。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则（　　） A．运动时间 B．运动时间 C．起跳速度 D．速度变化量 【答案】C 【详解】ABD．将青蛙的跳跃视为平抛运动，竖直方向有 由于，则有 根据，则有，故ABD错误； C．水平方向有 由于，，则有，故C正确。 故选C。 2．（23-24高一下·新疆喀什·期末）如图1所示是一家刀削面馆，门前安放着一个刀削面机器人。当开动机器时，随着机械臂轻快地挥动，一根根面条飞出，落进前方一个大圆锅中，短短二三十秒，就有了三个人的量。假设机器人每次削的面条质量相同，从同一位置依次削出的两块面条，分别落在水面上的A、B两点，若面条可视为质点，其运动可视为平抛运动，轨迹如图2所示，忽略空气阻力影响，下列说法正确的是（　　） A．落在B点的面条初速度比落在A点的初速度大 B．落在B点的面条的速度与水平方向的夹角比落在A点的大 C．落在B点的面条在空中运动的时间大于落在A点的面条 D．落在B点的面条空中运动的加速度比落在A点的面条大 【答案】A 【详解】CD．面条在空中做平抛运动，面条的加速度均为重力加速度；两落点的面条下落高度相同，根据，可知两落点的面条在空中运动的时间相等，故CD错误； A．水平方向根据 由于两落点的面条在空中运动的时间相等，落在B点的面条的水平位移较大，所以落在B点的面条初速度比落在A点的初速度大，故A正确； B．面条落点的速度与水平方向夹角的正切值为 由于落在B点的面条初速度较大，则落在B点的面条的速度与水平方向的夹角比落在A点的小，故B错误。 故选A。 3．（24-25高一上·江苏连云港·期末）如图为娱乐节目中某个通关环节示意图，参赛选手从高台上以一定的速度水平跳出，落到水中的平台上才能进入下一通关环节。图中高台离平台水平面高。平台距离高台，平台宽度为（不计空气阻力，）。则： (1)选手要落到平台上，水平跳出的速度至少为多少？ (2)某质量为50kg的选手因跳出的速度太大，刚好从平台的右侧边缘落入水中，求选手的起跳水平初速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选手要落到平台上，水平跳出的速度至少为，下落时间为t，则水平方向有 竖直方向有 联立解得， （2）若选手刚好从平台的右侧边缘落入水中，设选手跳出的初速度为，则水平方向有 解得 4．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在M点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】BD 【详解】AB．竖直方向根据，由于，可得运动时间关系为，由于鸟食同时到达M、N两点，则在M点接到的鸟食后抛出，故A错误，B正确； CD．如图所示 当下落相同高度时，由可知运动时间相同，由图可知对应的，根据可得，抛出的初速度关系为，故C错误，D正确。 故选BD。 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）2025年5月初，印度空军一架价值2.5亿美元的“阵风”战机疑似在印巴边境的克什米尔上空被巴基斯坦军方击落。假设某一被击落的战机碎片（碎片可视为质点）以初速度v0水平抛出，不计空气阻力，则（　　） A．v0越大，碎片在空中运动时间越长 B．v0越大，碎片落地瞬间速度越小 C．碎片落地位置与v0大小有关 D．碎片落地瞬间速度与高度h无关 【答案】C 【详解】A．平抛运动的时间由竖直方向的高度h决定，根据可得 公式为，与水平初速度v0无关，故A错误； BD．落地瞬间竖直方向速度 落地瞬间速度大小 联立可得，v0越大，落地时速度v越大，h越大，落地时速度越大，故BD错误； C．水平位移，t由h决定，因此落地位置与v0大小有关，故C正确。 故选C。 6．（24-25高一下·广东梅州·期末）弹球游戏是一种有趣味性的娱乐活动。如图所示，在某次弹球活动中，小明把塑料球甲和金属球乙放在水平桌面上，先后弹射这两球，小球水平飞出。塑料球甲和金属球乙离开水平桌面后的运动轨迹如图所示，空气阻力不计，则下列说法不正确的是（　　） A．甲乙两球从离开桌面到落地的时间不同 B．甲乙两球离开桌面时的速度大小不同 C．甲乙两球落地时速度大小不同 D．甲乙两球离开桌面后均做匀变速曲线运动 【答案】A 【详解】A．甲、乙两球距地面的高度相同，根据平抛运动规律可知，从离开桌面到落地的时间相同，故A错误； B．甲、乙两球落地的水平位移不同，水平方向的初速度大小不同，则甲、乙两球离开桌面时的速度大小不同，故B正确； C．甲、乙两球落地时竖直方向速度相同，水平方向速度不同，合速度大小不同，故C正确； D．甲、乙两球离开桌面后竖直方向做匀加速直线运动，水平方向做匀速直线运动，两球均做匀变速曲线运动，故D正确。 本题选不正确的，故选A。 7．（24-25高一下·福建漳州·期末）如图为某食品加工厂输送饺子的设备示意图，饺子随水平传送带一起运动，离开传送带后落入槽内。调试设备时，发现饺子离开传送带后落到下方槽外左侧，为使其落入槽内，下列做法可行的是（　　） A．将槽适当右移 B．将槽适当左移 C．适当增大传送带速度 D．适当减小传送带速度 【答案】BC 【详解】饺子离开传送带后做平抛运动，平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。竖直方向根据 可得 竖直高度不变，则运动时间不变，水平方向根据 饺子离开传送带后落到下方槽外左侧，为使其落入槽内，在水平初速度不变的情况下，需要减小水平方向的位移，即将槽适当左移，当水平位移不变的情况下，需要增加水平方向的初速度，即适当增大传送带速度。 故选BC。 8．（24-25高一下·广东惠州·期末）在排球训练中，某同学将排球先后从同一位置水平击出，轨迹如图所示，排球可视为质点，不考虑空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．排球沿轨迹2飞行时间长 B．排球沿轨迹1运动，加速度较大 C．排球沿轨迹2运动，落地速度较小 D．排球沿轨迹1、2运动，飞行时间相等 【答案】D 【详解】AD．排球做平抛运动，根据 解得 下落高度相同，则排球沿两轨迹运动的飞行时间相等，故A错误，D正确； B．排球做平抛运动，加速度均为重力加速度，故B错误； C．排球水平方向有 竖直方向上有， 排球落地速度 解得 下落高度相等，沿轨迹2的水平分位移大一些，则沿轨迹2的落地速度较大，故C错误。 故选D。 9．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2h，B点离地面高度为。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，两球同时落在水平地面上的同一点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，则（　　） A．两个小球可能同时抛出 B．两个小球抛出的初速度大小可能相等 C．两个小球抛出的时间间隔为 D．两个小球抛出的初速度大小之比 【答案】C 【详解】AC．两个小球抛出的时间间隔为 ，， 解得，A错误，C正确； BD．根据平抛运动规律得 ， 解得 两个小球抛出的初速度大小之比 ，BD错误。 故选C。 10．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0=2.0m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h=20m，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，求： (1)小球下落的时间t； (2)小球释放点与落地点之间的水平距离x。 【答案】(1)2s (2)4m 【详解】（1）小球在空中做平抛运动，竖直方向有 可得小球下落的时间为 （2）小球释放点与落地点之间的水平距离为 考点02 平抛运动的临界和极值问题 思维必过 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 11．（24-25高一下·江西萍乡·期末）我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰——福建舰，可借助相同的配重小车进行弹射测试。假设弹射测试时航空母舰保持静止且吃水深度不变，配重小车在甲板上由静止开始做匀加速直线运动，甲板长度（加速距离）不变。小车从甲板末端水平弹出后落到海面上，忽略空气阻力，小车运动轨迹简化如下图。若配重小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则甲板（　　） A．弹射加速过程的加速度变为调整前的2倍 B．弹射加速过程的时间变为调整前的4倍 C．小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离变为调整前的2倍 D．小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离变为调整前的4倍 【答案】C 【详解】A．动能 小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则小车水平离开甲板时的水平速度变为原来的2倍，甲板长度（加速距离）不变，根据速度与位移的关系 可知弹射加速过程的加速度变为调整前的4倍，故A错误； B．小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则小车水平离开甲板时的水平速度变为原来的2倍，加速度变为调整前的4倍，根据速度关系 可知弹射加速过程的时间变为调整前的倍，故B错误； CD．小车水平离开甲板时的水平速度变为原来的2倍，根据平抛运动规律可知，竖直高度不变，在空中飞行时间t不变，水平方向上 则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍，故C正确，D错误。 故选C。 12．（24-25高一下·福建龙岩·期末）如图所示，水平路面的前方有一个壕沟，壕沟两侧高度差为，水平间距为，一辆摩托车（可视为质点）水平飞出，刚好能越过壕沟。若忽略空气阻力，重力加速度取。求： (1)摩托车在空中的飞行时间； (2)摩托车水平飞出时的速度大小； (3)摩托车刚好越过壕沟时的速度。 【答案】(1)0.5s (2)12m/s (3)13m/s，方向与水平方向夹角的正切值为 【详解】（1）摩托车在空中做平抛运动，竖直方向上有 解得t=0.5s （2）水平方向上有       解得v0=12m/s （3）刚好越过壕沟时竖直分速度大小       解得vy=5m/s 合速度大小       解得v=13m/s      速度与水平方向夹角的正切值 13．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）某市救援队利用无人机进行水面应急救援方案实施演练。如图所示，一架无人机正准备向假定游客落水点空投急救用品，急救用品的底面离水面高度h=45m，无人机以v0=20m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力和风速影响均忽略不计，重力加速度g=10m/s2。求: (1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放? (2)投放的急救用品落到水面上时，速度的大小是多少? 【答案】(1) (2) 【详解】（1）急救用品做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有 急救用品在水平方向上做匀速直线运动，在时间t内的水平位移 联立可得 即无人机应在离假定落水点水平距离60m处投放急救用品 （2）设急救用品落到水面上时竖直方向速度的大小为，有 急救用品落到水面上时，速度的大小 代入数据可得 14．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，某人（可视为质点）距离平台右端处起跑，以恒定的加速度向平台的右端冲去，人离开平台时的速度，离开平台后恰好落在地面上的小车车厢底板中心。设平台右端与车厢底板间的竖直高度，取。不计空气阻力，求： (1)平台边缘与车厢底板中心的水平距离； (2)人在平台上运动的加速度大小； (3)人开始起跑到落在车厢底板中心全程运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，人离开平台后的运动时间 故平台边缘与车厢底板中心的水平距离 （2）根据匀变速直线运动规律 可得人在平台上运动的加速度大小 （3）根据题意可知，人在平台上运动的时间 人开始起跑到落在车厢底板中心全程运动的总时间 15．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图所示，小明用水桶取水时，发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高度的两倍，调整水桶位置，使得水恰好从水桶桶口（桶口处于水桶横截面中心位置且厚度可忽略）中心处无阻挡地落到桶底边缘，此时水桶桶口中心到细水管管口的水平距离为x。已知水桶的高度为h，重力加速度为，不计空气阻力。求: (1)水从细水管管口落到水桶桶口中心所用的时间； (2)水离开出水口的速度大小； (3)水桶的半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）水从管口离开后，做平抛运动，竖直方向有 解得 （2）水平方向有 解得 （3）水从细水管管口落到桶底，竖直方向有 水平方向有 解得 16．（2025高三·全国·专题练习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发球点到球网，下降高度为 水平位移大小为 对应的最小初速度 水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，根据几何关系此时的位移大小为 由 对应的最大初速度 所以平抛的初速度的取值范围为。 故选D。 17．（2025高三·全国·专题练习）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】C 【详解】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由 可得小面圈在空中运动的时间为 由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意； B．根据可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，故B正确，不符合题意； D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为 由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为 同理水平初速度的最大值为 所以水平初速度的取值范围为，故D正确，不符合题意； C．落入锅中时，最大速度为 最小速度为 则 即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。 故选C。 18．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　） A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 【答案】C 【详解】A．若小球均落在同一台阶或地面上，小球在空中飞行的时间相等，故A错误； B．小球落在第一级台阶上时，下降的高度为L，落在第二级台阶上，下降的高度为2L，根据h=gt2，可知小球在空中飞行时间之比为1∶，B错误； D．小球恰好能落在地面上有2L=vt，2L=gt2 解得临界速度v=，D错误； C．小球以v=的速度抛出时，由3L=gt'2，x=vt' 落点到P的距离d=x-2L 解得d=L<L，C正确。 故选C。 19．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【答案】B 【详解】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A错误； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据 解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选B。 20．（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整个运动过程的时间 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t1，则有 且 联立解得 设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 联立以上，解得 故选A。 考点03 斜上抛运动 思维必过 1．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 2．斜上抛运动的极值 物体的射高ym＝＝ 在最高点vy＝0由vy＝v0sin θ－gt得上升时间t＝ 物体落回到与抛出点同一高度时，下降时间等于上升时间，物体运动的总时间t总＝ 物体的射程xm＝v0x·t总＝v0cos θ·＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 21．（25-26高一上·全国·期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 【答案】(1)2s (2) (3)40m 【详解】（1）垂直斜面方向， 由 得 （2）垂直斜面方向匀减速至0时有 代入数据得小球离斜面最远的距离。 （3）解法1：由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等，平行斜面方向， 沿斜面方向 小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则 代入数据解得 解法2：小球在水平方向做匀速直线运动 由几何关系可得 解得 22．（24-25高一下·吉林·期末）某款娱乐活动情景如图所示，参加活动的选手从平台上点由静止出发，做匀加速运动到点时紧握绳子（选手恰好离开地面），然后绕点做竖直面内的圆周运动，运动到点时选手松开绳子，刚好落在水池对面的平台上点。已知间的水平距离为，轻绳长为，、在同一高度，选手的质量为，选手抓住轻绳的一瞬间，轻绳的拉力为，不计空气阻力，选手可以看成质点，重力加速度为， ，，求： (1)选手从到运动过程的加速度大小； (2)、间的水平距离（结果保留根号）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设选手运动到点时的速度大小为，根据牛顿第二定律，解得 根据运动学公式，解得 （2）设选手到点时的速度大小为，根据机械能守恒 解得 选手在点松手后，竖直方向的分速度 水平方向的分速度 设在空中运动时间为，根据位移时间关系 间的水平距离 23．（24-25高一下·河北邢台·期末）将一质量为的小球1从点以与水平方向成角的方向斜向右上方抛出，抛出时的速度大小为，小球1运动到点，、、在同一水平线上时，从点由静止释放小球2，两小球均视为质点，重力加速度大小为，不计空气阻力，，，下列说法正确的是（　　） A．小球1从点运动到点的时间为 B．小球1从点运动到点的时间为 C．两小球在空中运动的时间不可能相等 D．两小球在空中运动的时间可能相等 【答案】BC 【详解】AB．把小球1在点的速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有， 小球1从点运动到点的时间，选项A错误，B正确； CD．小球1在空中运动时距水平地面的最大高度大于点到水平地面的高度，由，可知两小球在空中运动的时间不可能相等，选项C正确，D错误。 故选BC。 24．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图所示，一名运动员在参加跳远比赛时，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设运动员可视为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，则运动员落入沙坑瞬间的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设运动员起跳时沿竖直方向的分速度大小为vy，竖直方向有 解得 则运动员腾空的时间 水平方向有 解得 可知运动员落入沙坑瞬间的速度大小 故选B。 25．（23-24高一下·河北·期末）星期天的上午，小聪约小明进行投篮训练。两人练习定点投篮，篮球（视为质点）均从同一位置出手，两人投出的篮球均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小明投出的篮球击中篮板时的速度较小 B．小明和小聪投出的篮球离开手时的速率可能相等 C．小明投出的篮球在空中运动的时间较长 D．小明投出的篮球在空中运动的速度变化较快 【答案】B 【详解】AC．将篮球的运动反向处理，即为平抛运动，由图可知，小聪运动过程高度较大，所以运动时间较长，平抛运动在水平方向做匀速直线运动，水平射程相等，由 可知，小聪运动过程运动时间较长，则小聪运动过程速度的水平分量较小，则小明抛出撞在篮板上的速度更大，故AC错误； B．水平速度小明大，竖直速度小聪大，根据速度的合成可知，投出球时的速度大小关系不能确定，故小明和小聪投出的篮球离开手时的速率可能相等，故B正确； D．篮球在竖直方向上做自由落体运动，故二者投出的篮球在空中运动的速度变化快慢相同，故D错误。 故选B。 26．（24-25高一下·云南楚雄·期末）某部队举行联合作战演习，悬停在处的直升机水平发射一枚炮弹，沿轨迹①击中了水平地面上的目标；地面大炮从位于点正下方地面上的点斜向上发射一枚炮弹，沿轨迹②也恰好击中了目标。点为轨迹②的最高点，、的高度相同。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两炮弹在水平方向上的速度相同 B．两炮弹在空中运动的加速度相同 C．两炮弹在空中运动的时间相同 D．两炮弹的位移大小相同 【答案】B 【详解】AC．根据对称性可知，沿轨迹②运动的炮弹在空中运动的时间为沿轨迹①运动的炮弹在空中运动的时间的两倍，因为两炮弹在水平方向运动的位移相等，所以它们在水平方向上的速度不同，选项AC错误； B．两炮弹在空中运动过程中的加速度均为自由落体的加速度，选项B正确； D．沿轨迹①运动的炮弹的位移大小为线段的长度，沿轨迹②运动的炮弹的位移大小为线段的长度，两炮弹的位移大小不同，选项D错误。 故选B。 27．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，一小球（可视为质点）从倾角为α的斜面顶端，以垂直于斜面方向的初速度射出，最终落回到斜面。现将初速度增大为原来的两倍，物体仍落回斜面。若不计空气阻力，则对以上运动判断正确的是（    ） A．物体在空中运动的时间是原来的四倍 B．物体的位移是原来的两倍 C．物体落到斜面的动能增加量是原来的两倍 D．物体两次落到斜面的速度方向相同 【答案】D 【详解】A．将物体在空中的运动分解为垂直斜面分运动和沿斜面分运动，则物体在空中运动的时间为 可知将初速度增大为原来的两倍，物体在空中运动的时间是原来的两倍，故A错误； B．从抛出到落回斜面，物体的位移为 将初速度增大为原来的两倍，由于物体在空中运动的时间是原来的两倍，则物体的位移是原来的四倍，故B错误； C．将初速度增大为原来的两倍，物体的位移是原来的四倍，根据几何关系可知，物体下落高度变为原来的四倍，根据动能定理可得 可知物体落到斜面的动能增加量是原来的四倍，故C错误； D．设物体落到斜面的速度方向与斜率的夹角为，则有 将初速度增大为原来的两倍，物体在空中运动的时间是原来的两倍，则保持不变，即物体两次落到斜面的速度方向相同，故D正确。 故选D。 28．（24-25高一下·河南南阳·期末）小明和小聪两位同学在空旷的草地上投掷飞镖，飞镖投出点的高度h均为1.8m。小明站在A点先投掷飞镖1，飞镖1初速度的大小v0=10m/s，与水平方向的夹角为53°，最终从P点插入水平地面。然后小聪站在B点投掷飞镖2，飞镖2初速度水平，最终也从P点插入地面，且插入地面的方向与飞镖1插入地面的方向相同。已知两飞镖质量相同，飞镖的飞行轨迹如图所示，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2,sin53°=0.8,，下列说法正确的是（    ） A．飞镖1在最高点时距地面的高度为3.2m B．飞镖1在最高点时的速度大小为6m/s C．落地瞬间，飞镖1与飞镖2重力的功率之比为5：4 D．落地瞬间，飞镖1与飞镖2的动能之比为25：9 【答案】BD 【详解】A B．飞镖1水平方向的速度大小 竖直方向的初速度大小 在竖直方向从离手的位置到最高点的高度和时间分别为， 飞镖1飞行过程中离地面的最大高度H=3.2m+1.8m=5.0m ，故A错误、B正确； CD．飞镖1从最高点到P点做平抛运动，下落时间 设飞镖1下落到P点时与水平方向的夹角为α，满足 飞镖2做平抛运动的时间 设飞镖2下落到P点时与水平方向的夹角α，满足 重力的功率为 飞镖1、2下降的时间之比为5：3；所以功率之比为5：3，根据，可得动能之比为25：9，故C错误、D正确。 故选BD。 29．（24-25高一下·云南曲靖·期末）古代传说黄河鲤鱼跳过龙门，就会变化成龙，比喻中举、升官等飞黄腾达之事，也比喻逆流前进，奋发向上。如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以的速度在M点跃出水面，轨迹最高点为N，为轨迹上一点，与水面的夹角，垂直于，不计空气阻力，鲤鱼可视为质点。鲤鱼从M点运动到P点过程，下列说法正确的是（    ） A．鲤鱼从M点运动至P点的过程中先处于超重状态后处于失重状态 B．鲤鱼运动的最小速度小于 C．鲤鱼在段运动时间为在段运动时间的3倍 D．鲤鱼在段位移大小为在段位移大小的6倍 【答案】BC 【详解】A．鲤鱼在M点跃出水面之后，从M点运动至P点的过程中只受重力，加速度方向始终竖直向下，大小为g，始终处于完全失重状态，故A错误； B．鲤鱼运动的最小速度为在M点的水平分速度，由于与水平方向的夹角大于，鲤鱼运动的最小速度小于，故B正确； C．将MN段等效为反向平抛运动，由平抛运动规律得 其中， 解得 由几何关系知NP与水平方向的夹角为30°，则，故C正确； D．由可知，鲤鱼在MN段竖直位移大小为在NP段的9倍，由几何关系，可得鲤鱼在段位移大小为在段位移大小的倍，D错误。 故选BC。 30．（24-25高一下·山东东营·期末）如图所示，玩具水枪对着竖直墙壁稳定连续喷水，喷口始终位于a点，水流喷出方向始终沿a、b连线方向。第一次喷水时水流击中墙壁c点，第二次喷水时速度变为原来的一半，水流击中墙壁d点。a、b、c、d位于同一竖直平面，喷出的水可视为做斜抛 运动。下列说法正确的是（　　） A．水流从a点喷出到打到c、d两点所用时间相等 B．图中的距离关系满足bd=3bc C．第二次空中的水量等于第一次空中的水量 D．第二次水枪喷水的功率是第一次的 【答案】C 【详解】A．水流从a点沿ab连线方向喷出，做斜抛运动，击中墙壁c点。第二次喷水时速度变为原来的一半，水流击中墙壁d点。由于速度减半，根据斜抛运动的特性，水平方向的速度减半，竖直方向的速度也减半，因此第二次的运动时间是第一次的两倍，故A错误； B．把斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，设a、b间距离为L，有 b到击中点的距离为h，有 可得 两次高度之比 所以 故B错误； C．设管口截面积为S，空中水的体积 则两次空中的水量相等，故C正确； D．时间喷出水的质量 水枪在时间对水做的功为 水枪的喷水功率 则第二次水枪的喷水功率是第一次的，故D错误。 故选C。 考点04 与斜面或圆弧面有关的抛体运动 思维必过 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.几种常见情形 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 已知速度 方向垂直 从斜面外平抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度tan θ＝ 从斜面外斜抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度 tan θ＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ＝ 已知位移方向 已知位移 方向沿斜 面向下 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面　　 分解位移 tan θ＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与半径R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径R的平方　　 31．（25-26高一上·湖北·期末）如图所示，倾角为的光滑斜面体固定在水平地面上，顶端放置均可视为质点的小球和滑块，某时刻给小球沿水平方向的初速度（已知），使其做平抛运动，同时给滑块沿斜面体向下的速度，一段时间后，小球刚好砸在滑块上。重力加速度，，，空气阻力忽略不计。则下列正确的是（　　） A．滑块的初速度大小为 B．滑块的初速度大小为 C．离斜面最远的距离为 D．离斜面最远的距离为 【答案】BD 【详解】AB．设经过时间小球刚好砸在滑块上，小球做平抛运动，竖直分位移大小 小球做平抛运动，水平方向： 滑块在斜面运动的长度 可得运动的时间为 由于一段时间后，小球刚好砸在滑块上。则 解得滑块的速度，故A错误，B正确； CD．小球抛出后离斜面最远需要的时间 离斜面的最远距离 故D正确，C错误。 故选BD。 32．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，其中为助滑区，水平部分为起跳台，与间平滑连接。可视为质点的运动员从点由静止自由滑下，在滑雪道上获得较高速度后从点沿水平方向以的初速度飞出落在足够长的着陆坡上的点。运动过程中忽略摩擦和空气阻力，山坡可看成倾角为的斜面，取重力加速度。求： (1)点到点的位移大小； (2)运动员从点飞出何时离斜面最远？离斜面最远处的距离是多少？ (3)运动员在空中离斜坡最远处的速度。 【答案】(1)75m (2)1.5s，9m (3) 【详解】（1）从点到点有 解得运动时间 点到点的位移大小 （2）垂直斜面方向速度为零时离斜面最远，有 解得 离斜面最远处的距离 （3）运动员在空中离斜坡最远处的速度 33．（24-25高一下·安徽宣城·期末）一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最低端和顶端，洞口处于斜面上的P点。第一次小球以水平速度从O点抛出，正好落入洞中的P点，OP的连线正好与斜面垂直；第二次小球以水平速度v也从O点抛出时，小球正好与斜面在Q点（图中未标出）垂直相碰。O点在A点的正上方，不计空气阻力，重力加速度的大小g取，，。下列说法正确的是（　　） A．小球落在P点的时间是0.4s B．Q点在P点的下方 C．第二次小球水平速度v大于3m/s D．O、A两点的高度差为5m 【答案】CD 【详解】A．第一次以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，由几何关系可知 解得，故A错误； BC．根据速度偏角的正切值等于位移偏角的正切值的二倍，当小球以水平速度v从O点抛出，小球正好与斜面在Q点，此时速度偏角小于第一次的速度偏角，可知此时落到斜面上的位移偏角小于以水平速度抛出时落到斜面上的位移偏角，所以Q点在P点的上方，则，水平位移，水平方向做匀速直线运动，所以，故B错误，C正确； D．根据几何关系结合运动学规律可得O、A两点的高度差，故D正确。 故选CD。 34．（24-25高一下·天津滨海新·期末）如图，在某次飞行演习中，以水平匀速飞行的飞机，某时释放一颗模拟弹，经时间后炸弹垂直击中倾角为的山坡。则时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】模拟弹落地时速度如图所示 竖直分速度 解得模拟弹的运动时间 故选D。 35．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图所示，两个等高、倾角分别为37°和53°的斜面紧靠在水平地面上，从斜面的顶端同时将小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，sin37°=cos53°=0.6，则小球A、B从被抛出到落在斜面上所用时间之比为（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16 【答案】D 【详解】根据 解得 小球A、B从被抛出到落在斜面上所用时间之比为 故选D。 36．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图所示，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台A处水平飞出，在空中飞行一段距离，最后在斜坡B处着陆。测得A、B间距离为40m，斜坡与水平方向间夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．运动员的质量越大，落点离A越远 B．运动员在空中的飞行时间为2s C．运动员从跳台A处水平飞出的初速度大小为 D．运动员落到斜坡上的速度大小为20m/s 【答案】B 【详解】A．水平方向的位移为 竖直方向的位移为 上面两个式子均没有飞行员的质量m，A、B之间的距离L与运动员的质量m无关，A错误； B．运动员在空中的飞行时间为 解得，B正确； C．运动员从跳台A处水平飞出的初速度大小为 解得，C错误； D．运动员落到斜坡上速度的竖直分量为 运动员落到斜坡上的速度大小为 ，D错误。 故选B。 37．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 【答案】A 【详解】A．小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37° 小球在N点竖直方向的速度 小球从M到N运动的时间 根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识 ，解得 小球从M到N水平位移 ，故A正确； B．由A选项知，AM之间的距离为，故B错误； C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，有可能垂直打到N点，故C错误； D．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，速度夹角正切值是位移夹角正切值的2倍，初速度越大，落点在AC段的小球位移夹角的正切值越小，落点速度与水平初速度夹角越小，故D错误。 故选A。 38．（24-25高一下·四川德阳·期末）如图所示，竖直平面xOy中存在一抛物线其满足方程y=x2，现在y轴上y0=216m处，以v0=1m/s水平抛出一质点，则该质点击中抛物线p(x,y）的位置坐标满足（忽略空气阻力，g=10m/s2）（    ） A．x=36m B．x=6m C．y=6m D．y=72m 【答案】B 【详解】设质点经时间t击中抛物线，则有 又由x、y满足方程y=x2，带入可得 解得 则可得 故选B。 39．（2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】小球垂直打在点时，速度方向的反向延长线过点，且交于水平位移的中点，如图所示 由几何关系可知抛出点一定在点。 故选C。 40．（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为、，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球不会同时落到轨道上 B． C．乙球与甲球的速度变化量相同 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 【答案】BC 【详解】AC．由图可知，两个物体下落的高度是相等的，根据 又 可知甲乙两球下落到轨道的时间相等，故甲、乙两球同时落到轨道上，甲乙两球下落到轨道的速度变化量相同，故A错误，C正确； B．设圆形轨道的半径为，则甲水平位移为 乙水平位移为 可得 水平方向做匀速直线运动，则有 故B正确； D．设乙球在D点速度偏转角为，有 设乙球在D点位移偏转角为，有 可见 即在D点速度反向延长线平分水平位移，所以乙球在D点速度的反向延长线不过O点，故D错误。 故选BC。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 抛体运动 考点必过 考点01 平抛运动的规律应用 2 考点02 平抛运动的临界和极值问题 11 考点03 斜上抛运动 24 考点04 与斜面或圆弧面有关的抛体运动 34 基础必过 一、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，其运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向： 匀速直线　运动； (2)竖直方向： 自由落体　运动。 4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝ v0t　；y＝ gt2　 合位移x合＝＝ 　，tan φ＝ 　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0　；vy＝ gt　 合速度v＝＝，tan θ＝ 　，θ为合速度v与x轴的夹角。 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0 斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向： 匀速　直线运动。 (2)竖直方向： 匀变速　直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝ v0cos θ　，v0y＝ v0sin θ　。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 考点01 平抛运动的规律应用 思维必过 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间(t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程(x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度(v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 1．（25-26高三上·江苏连云港·期中）如图所示，青蛙先后两次从高处荷叶上的同一位置，跳到低处荷叶上A、B两点，A、B在同一水平面内且A点更靠近青蛙的起跳点。将青蛙的跳跃视为平抛运动，则（　　） A．运动时间 B．运动时间 C．起跳速度 D．速度变化量 2．（23-24高一下·新疆喀什·期末）如图1所示是一家刀削面馆，门前安放着一个刀削面机器人。当开动机器时，随着机械臂轻快地挥动，一根根面条飞出，落进前方一个大圆锅中，短短二三十秒，就有了三个人的量。假设机器人每次削的面条质量相同，从同一位置依次削出的两块面条，分别落在水面上的A、B两点，若面条可视为质点，其运动可视为平抛运动，轨迹如图2所示，忽略空气阻力影响，下列说法正确的是（　　） A．落在B点的面条初速度比落在A点的初速度大 B．落在B点的面条的速度与水平方向的夹角比落在A点的大 C．落在B点的面条在空中运动的时间大于落在A点的面条 D．落在B点的面条空中运动的加速度比落在A点的面条大 3．（24-25高一上·江苏连云港·期末）如图为娱乐节目中某个通关环节示意图，参赛选手从高台上以一定的速度水平跳出，落到水中的平台上才能进入下一通关环节。图中高台离平台水平面高。平台距离高台，平台宽度为（不计空气阻力，）。则： (1)选手要落到平台上，水平跳出的速度至少为多少？ (2)某质量为50kg的选手因跳出的速度太大，刚好从平台的右侧边缘落入水中，求选手的起跳水平初速度大小。 4．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在M点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）2025年5月初，印度空军一架价值2.5亿美元的“阵风”战机疑似在印巴边境的克什米尔上空被巴基斯坦军方击落。假设某一被击落的战机碎片（碎片可视为质点）以初速度v0水平抛出，不计空气阻力，则（　　） A．v0越大，碎片在空中运动时间越长 B．v0越大，碎片落地瞬间速度越小 C．碎片落地位置与v0大小有关 D．碎片落地瞬间速度与高度h无关 6．（24-25高一下·广东梅州·期末）弹球游戏是一种有趣味性的娱乐活动。如图所示，在某次弹球活动中，小明把塑料球甲和金属球乙放在水平桌面上，先后弹射这两球，小球水平飞出。塑料球甲和金属球乙离开水平桌面后的运动轨迹如图所示，空气阻力不计，则下列说法不正确的是（　　） A．甲乙两球从离开桌面到落地的时间不同 B．甲乙两球离开桌面时的速度大小不同 C．甲乙两球落地时速度大小不同 D．甲乙两球离开桌面后均做匀变速曲线运动 7．（24-25高一下·福建漳州·期末）如图为某食品加工厂输送饺子的设备示意图，饺子随水平传送带一起运动，离开传送带后落入槽内。调试设备时，发现饺子离开传送带后落到下方槽外左侧，为使其落入槽内，下列做法可行的是（　　） A．将槽适当右移 B．将槽适当左移 C．适当增大传送带速度 D．适当减小传送带速度 8．（24-25高一下·广东惠州·期末）在排球训练中，某同学将排球先后从同一位置水平击出，轨迹如图所示，排球可视为质点，不考虑空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．排球沿轨迹2飞行时间长 B．排球沿轨迹1运动，加速度较大 C．排球沿轨迹2运动，落地速度较小 D．排球沿轨迹1、2运动，飞行时间相等 9．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2h，B点离地面高度为。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，两球同时落在水平地面上的同一点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，则（　　） A．两个小球可能同时抛出 B．两个小球抛出的初速度大小可能相等 C．两个小球抛出的时间间隔为 D．两个小球抛出的初速度大小之比 10．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图所示，某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0=2.0m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h=20m，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，求： (1)小球下落的时间t； (2)小球释放点与落地点之间的水平距离x。 考点02 平抛运动的临界和极值问题 思维必过 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 11．（24-25高一下·江西萍乡·期末）我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰——福建舰，可借助相同的配重小车进行弹射测试。假设弹射测试时航空母舰保持静止且吃水深度不变，配重小车在甲板上由静止开始做匀加速直线运动，甲板长度（加速距离）不变。小车从甲板末端水平弹出后落到海面上，忽略空气阻力，小车运动轨迹简化如下图。若配重小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则甲板（　　） A．弹射加速过程的加速度变为调整前的2倍 B．弹射加速过程的时间变为调整前的4倍 C．小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离变为调整前的2倍 D．小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离变为调整前的4倍 12．（24-25高一下·福建龙岩·期末）如图所示，水平路面的前方有一个壕沟，壕沟两侧高度差为，水平间距为，一辆摩托车（可视为质点）水平飞出，刚好能越过壕沟。若忽略空气阻力，重力加速度取。求： (1)摩托车在空中的飞行时间； (2)摩托车水平飞出时的速度大小； (3)摩托车刚好越过壕沟时的速度。 13．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）某市救援队利用无人机进行水面应急救援方案实施演练。如图所示，一架无人机正准备向假定游客落水点空投急救用品，急救用品的底面离水面高度h=45m，无人机以v0=20m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力和风速影响均忽略不计，重力加速度g=10m/s2。求: (1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放? (2)投放的急救用品落到水面上时，速度的大小是多少? 14．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，某人（可视为质点）距离平台右端处起跑，以恒定的加速度向平台的右端冲去，人离开平台时的速度，离开平台后恰好落在地面上的小车车厢底板中心。设平台右端与车厢底板间的竖直高度，取。不计空气阻力，求： (1)平台边缘与车厢底板中心的水平距离； (2)人在平台上运动的加速度大小； (3)人开始起跑到落在车厢底板中心全程运动的总时间。 15．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图所示，小明用水桶取水时，发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高度的两倍，调整水桶位置，使得水恰好从水桶桶口（桶口处于水桶横截面中心位置且厚度可忽略）中心处无阻挡地落到桶底边缘，此时水桶桶口中心到细水管管口的水平距离为x。已知水桶的高度为h，重力加速度为，不计空气阻力。求: (1)水从细水管管口落到水桶桶口中心所用的时间； (2)水离开出水口的速度大小； (3)水桶的半径。 16．（2025高三·全国·专题练习）一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 18．（25-26高二上·湖南长沙·月考）如图所示，水平地面上方有高和宽均为L的台阶，台阶下端与水平地面的交点为P，地面上Q点与P点相距L，将一小球从上方台阶端点以一定初速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g，不考虑小球的反弹，则（　　） A．小球以不同的初速度抛出后，在空中运动的时间也一定不同 B．小球落在第一级台阶上和第二级台阶上，在空中飞行时间之比为 1∶2 C．小球可能落在地面上Q点左侧 D．小球能落在地面上的最小初速度为 19．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 20．（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 考点03 斜上抛运动 思维必过 1．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 2．斜上抛运动的极值 物体的射高ym＝＝ 在最高点vy＝0由vy＝v0sin θ－gt得上升时间t＝ 物体落回到与抛出点同一高度时，下降时间等于上升时间，物体运动的总时间t总＝ 物体的射程xm＝v0x·t总＝v0cos θ·＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 21．（25-26高一上·全国·期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 22．（24-25高一下·吉林·期末）某款娱乐活动情景如图所示，参加活动的选手从平台上点由静止出发，做匀加速运动到点时紧握绳子（选手恰好离开地面），然后绕点做竖直面内的圆周运动，运动到点时选手松开绳子，刚好落在水池对面的平台上点。已知间的水平距离为，轻绳长为，、在同一高度，选手的质量为，选手抓住轻绳的一瞬间，轻绳的拉力为，不计空气阻力，选手可以看成质点，重力加速度为， ，，求： (1)选手从到运动过程的加速度大小； (2)、间的水平距离（结果保留根号）。 23．（24-25高一下·河北邢台·期末）将一质量为的小球1从点以与水平方向成角的方向斜向右上方抛出，抛出时的速度大小为，小球1运动到点，、、在同一水平线上时，从点由静止释放小球2，两小球均视为质点，重力加速度大小为，不计空气阻力，，，下列说法正确的是（　　） A．小球1从点运动到点的时间为 B．小球1从点运动到点的时间为 C．两小球在空中运动的时间不可能相等 D．两小球在空中运动的时间可能相等 24．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图所示，一名运动员在参加跳远比赛时，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设运动员可视为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，则运动员落入沙坑瞬间的速度大小为（　　） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·河北·期末）星期天的上午，小聪约小明进行投篮训练。两人练习定点投篮，篮球（视为质点）均从同一位置出手，两人投出的篮球均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小明投出的篮球击中篮板时的速度较小 B．小明和小聪投出的篮球离开手时的速率可能相等 C．小明投出的篮球在空中运动的时间较长 D．小明投出的篮球在空中运动的速度变化较快 26．（24-25高一下·云南楚雄·期末）某部队举行联合作战演习，悬停在处的直升机水平发射一枚炮弹，沿轨迹①击中了水平地面上的目标；地面大炮从位于点正下方地面上的点斜向上发射一枚炮弹，沿轨迹②也恰好击中了目标。点为轨迹②的最高点，、的高度相同。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两炮弹在水平方向上的速度相同 B．两炮弹在空中运动的加速度相同 C．两炮弹在空中运动的时间相同 D．两炮弹的位移大小相同 27．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，一小球（可视为质点）从倾角为α的斜面顶端，以垂直于斜面方向的初速度射出，最终落回到斜面。现将初速度增大为原来的两倍，物体仍落回斜面。若不计空气阻力，则对以上运动判断正确的是（    ） A．物体在空中运动的时间是原来的四倍 B．物体的位移是原来的两倍 C．物体落到斜面的动能增加量是原来的两倍 D．物体两次落到斜面的速度方向相同 28．（24-25高一下·河南南阳·期末）小明和小聪两位同学在空旷的草地上投掷飞镖，飞镖投出点的高度h均为1.8m。小明站在A点先投掷飞镖1，飞镖1初速度的大小v0=10m/s，与水平方向的夹角为53°，最终从P点插入水平地面。然后小聪站在B点投掷飞镖2，飞镖2初速度水平，最终也从P点插入地面，且插入地面的方向与飞镖1插入地面的方向相同。已知两飞镖质量相同，飞镖的飞行轨迹如图所示，不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2,sin53°=0.8,，下列说法正确的是（    ） A．飞镖1在最高点时距地面的高度为3.2m B．飞镖1在最高点时的速度大小为6m/s C．落地瞬间，飞镖1与飞镖2重力的功率之比为5：4 D．落地瞬间，飞镖1与飞镖2的动能之比为25：9 29．（24-25高一下·云南曲靖·期末）古代传说黄河鲤鱼跳过龙门，就会变化成龙，比喻中举、升官等飞黄腾达之事，也比喻逆流前进，奋发向上。如图所示为鲤鱼在空中运动的轨迹，鲤鱼以的速度在M点跃出水面，轨迹最高点为N，为轨迹上一点，与水面的夹角，垂直于，不计空气阻力，鲤鱼可视为质点。鲤鱼从M点运动到P点过程，下列说法正确的是（    ） A．鲤鱼从M点运动至P点的过程中先处于超重状态后处于失重状态 B．鲤鱼运动的最小速度小于 C．鲤鱼在段运动时间为在段运动时间的3倍 D．鲤鱼在段位移大小为在段位移大小的6倍 30．（24-25高一下·山东东营·期末）如图所示，玩具水枪对着竖直墙壁稳定连续喷水，喷口始终位于a点，水流喷出方向始终沿a、b连线方向。第一次喷水时水流击中墙壁c点，第二次喷水时速度变为原来的一半，水流击中墙壁d点。a、b、c、d位于同一竖直平面，喷出的水可视为做斜抛 运动。下列说法正确的是（　　） A．水流从a点喷出到打到c、d两点所用时间相等 B．图中的距离关系满足bd=3bc C．第二次空中的水量等于第一次空中的水量 D．第二次水枪喷水的功率是第一次的 考点04 与斜面或圆弧面有关的抛体运动 思维必过 1.与斜面结合的抛体运动分解方法 (1)水平方向：匀速直线运动 竖直方向：匀变速直线运动。 (2)沿斜面方向：加速度为gsin θ的匀变速直线运动。(θ为斜面与水平方向的夹角) 垂直斜面方向：加速度为gcos θ的类竖直上抛运动。 (3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。 2.几种常见情形 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 已知速度 方向垂直 从斜面外平抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度tan θ＝ 从斜面外斜抛，垂直落在斜面上， 如图所示。 分解速度 tan θ＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度 tan θ＝ 已知位移方向 已知位移 方向沿斜 面向下 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所示。 分解位移 tan θ＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示。 已知位移方向垂直斜面　　 分解位移 tan θ＝ 利用位移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知位移大小等于半径R　　 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x与半径R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径R的平方　　 31．（25-26高一上·湖北·期末）如图所示，倾角为的光滑斜面体固定在水平地面上，顶端放置均可视为质点的小球和滑块，某时刻给小球沿水平方向的初速度（已知），使其做平抛运动，同时给滑块沿斜面体向下的速度，一段时间后，小球刚好砸在滑块上。重力加速度，，，空气阻力忽略不计。则下列正确的是（　　） A．滑块的初速度大小为 B．滑块的初速度大小为 C．离斜面最远的距离为 D．离斜面最远的距离为 32．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。如图所示，其中为助滑区，水平部分为起跳台，与间平滑连接。可视为质点的运动员从点由静止自由滑下，在滑雪道上获得较高速度后从点沿水平方向以的初速度飞出落在足够长的着陆坡上的点。运动过程中忽略摩擦和空气阻力，山坡可看成倾角为的斜面，取重力加速度。求： (1)点到点的位移大小； (2)运动员从点飞出何时离斜面最远？离斜面最远处的距离是多少？ (3)运动员在空中离斜坡最远处的速度。 33．（24-25高一下·安徽宣城·期末）一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最低端和顶端，洞口处于斜面上的P点。第一次小球以水平速度从O点抛出，正好落入洞中的P点，OP的连线正好与斜面垂直；第二次小球以水平速度v也从O点抛出时，小球正好与斜面在Q点（图中未标出）垂直相碰。O点在A点的正上方，不计空气阻力，重力加速度的大小g取，，。下列说法正确的是（　　） A．小球落在P点的时间是0.4s B．Q点在P点的下方 C．第二次小球水平速度v大于3m/s D．O、A两点的高度差为5m 34．（24-25高一下·天津滨海新·期末）如图，在某次飞行演习中，以水平匀速飞行的飞机，某时释放一颗模拟弹，经时间后炸弹垂直击中倾角为的山坡。则时间为（　　） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·甘肃天水·期末）如图所示，两个等高、倾角分别为37°和53°的斜面紧靠在水平地面上，从斜面的顶端同时将小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，sin37°=cos53°=0.6，则小球A、B从被抛出到落在斜面上所用时间之比为（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16 36．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图所示，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台A处水平飞出，在空中飞行一段距离，最后在斜坡B处着陆。测得A、B间距离为40m，斜坡与水平方向间夹角为30°。不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．运动员的质量越大，落点离A越远 B．运动员在空中的飞行时间为2s C．运动员从跳台A处水平飞出的初速度大小为 D．运动员落到斜坡上的速度大小为20m/s 37．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 38．（24-25高一下·四川德阳·期末）如图所示，竖直平面xOy中存在一抛物线其满足方程y=x2，现在y轴上y0=216m处，以v0=1m/s水平抛出一质点，则该质点击中抛物线p(x,y）的位置坐标满足（忽略空气阻力，g=10m/s2）（    ） A．x=36m B．x=6m C．y=6m D．y=72m 39．（2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 40．（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为、，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　） A．甲、乙两球不会同时落到轨道上 B． C．乙球与甲球的速度变化量相同 D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $