第04讲 直角三角形（3知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第04讲直角三角形 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：直角三角形的性质定理及推论 定理1：直角三角形的两个锐角互余 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. ☑知识点2：勾股定理及逆定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边 在Rt△ABC中，C>a,c>b 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边 在Rt△ABC中，：∠C=90°， 勾股定理 的平方. .c2=a2+b3 勾股定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边 在Rt△ABC中，：c2=a2+b2, 逆定理 的平方和，那么这个三角形是直角三角形. ∴.∠C=90° ☑知识点3：直角三角形全等的判定L法 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， 角边对应相等，那么这两个直角三角 AC=A'C',AB=A'B', 形全等（简记：H.L) .RIAABC≌Rt△A'B'C'(H.L) 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 02 练题型强知识 【题型1直角三角形的两个锐角互余】 例1.(25-26八年级上重庆合川期中)如图，ABC中，∠ACB=90°，CD∥BA.若B=52°，则 ∠ACD的度数为 D B C 例2.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠A=40°，CD⊥AB于点D,则 ∠DCB= D 变式1.(25-26八年级上·吉林白山月考)在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°， 则两个锐角分别为 变式2.(25-26九年级上黑龙江大庆·期中)如图，在ABC中，AD⊥BC,AE是∠BAC的平分线， ∠B=70°，∠BAC=86°，则∠DAE= B D E 【题型2锐角互余的三角形是直角三角形】 例3.(2025八年级上，全国专题练习)在ABC中，∠A=40°，∠C=50°，则∠B= ABC是 三角形， 例4.(2025八年级上全国专题练习)若ABC中，∠A=∠B=30,则1C °，ABC是 三角形， 变式1.(2025八年级上全国：专题练习)若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另 一个内角互余，则这个三角形是」 三角形. 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.(25-26八年级上·吉林白城期末)如图，AB⊥CD,垂足为B,E是线段AD上一点，CE交AB于 F,∠A=∠C.求证：△CED是直角三角形. B 【题型3判断三边能否构成直角三角形】 例5.(25-26八年级上·浙江嘉兴期中)若ABC的三个顶点A、B、C所对的边分别为a,b,c,则下列条 件中能判断ABC是直角三角形的是() A.∠A:∠B:LC=3:4:5 B.∠A=25°，∠B=75° C.a=1,b=2,c=3 D.a=V2,b=√5，c=V5 例6.（25-26八年级上·浙江衢州期中)满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是() A.∠∠B:∠C=3:4:5 B.b:c=6:810 C.ZC=ZA+ZB D.b2=c2-a2 变式1.(25-26八年级上·甘肃期末)下列选项中，正确的是（) A.在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B.若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 C.ABC的三边分别为AB,BC,AC,若ABI=BC+ACC,则∠A是直角 D.在ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:7,则ABC是直角三角形 变式2.(25-26七年级上山东淄博·月考)在ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为Q,b,C,下列 结论中不正确的是() A.如果a2=b2-c2,那么ABC是直角三角形且∠A=90° B.如果∠A:∠B:∠C=I:2:3,那么ABC是直角三角形 C.如果a2:b2:c2=916:25,那么ABC是直角三角形 D.如果LA-LB=LC,那么ABC是直角三角形 【题型4在网格中判断直角三角形】 例7.(24-25八年级下·福建三明期中)如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个 顶点均在格点（小正方形的顶点）上· 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A (I)求四边形ABCD的面积； (2)求证：∠BCD=90°. 例8.(24-25八年级上福建宁德·月考)如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A,B,C,D在格 点上. D (1)四边形ABCD的周长为 ,面积为 (2)若△CBE是以BC为斜边的直角三角形，则满足条件的格点E有个. 变式1.(25-26八年级上·江苏无锡期中)如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的 边长都为1. B D (1)BC= (②)连接BD,判断△BCD是什么三角形？请说明理由； (3)求四边形ABCD的面积. 变式2.(25-26八年级上江苏扬州·期中)如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，ABC的顶点在 格点上. 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)直接写出AB=-: (②)判断ABC的形状，并说明理由； (3)直接写出ABC的面积为- 【题型5利用勾股定理的逆定理求解】 例9.(25-26八年级上山东济南期中)如图，在ABC中，AB=13,AC=15,D为边BC上的一点， AD=12,BD=5. B D (I)求证：AD⊥BC; (2)求ABC的面积. 例10.(25-26八年级上浙江金华期中)如图，AB⊥BC,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,请你连 接AC.求： D B C (I)AC的长； (2)四边形ABCD的面积. 变式1.(25-26八年级上·河南周口月考)如图，在四边形ABCD中，LB=90°，AB=BC=√2，CD=V5, DA=1.连接AC. B (I)求AC的长度： (2)求∠DAB的度数. 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式2.(25-26八年级上山东青岛期中)如图，己知等腰ABC中，AB=AC,BC=15Cm,D是边AB 上一点，且CD=12cm,BD=9cm· A B (I)求AD的长： (2)求ABC中BC边上的高. 【题型6勾股定理逆定理的实际应用】 例11.(25-26八年级上广西柳州期中)如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边有两个取水点 A,B,村庄修建了道路CA和CB,其中CA=AB.由于某种原因，道路CA不再通行，村庄为了方便村民取 水，决定在河边新建一个取水点H(点A,H,B在同一条直线上)，并修建道路CH.经测量：CB=25百米， CH=24百米，HB=7百米. H 、A (I)判断CH是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由： (2)求原来的路线CA的长. 例12.（25-26八年级上·全国·月考)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范 围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，己知点C为 一海港，且点C与A,B两点之间的距离CA,CB分别为300km,400km,AB=500km,以台风中心为圆 心周围250km以内（包括250km)为受影响区域. (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (②)若海港C受台风影响，且台风中心移动的速度为20km/h,台风影响海港C持续的时间有多长？（若海 港C不受台风影响，则忽略此问) 变式1.(25-26八年级上河南周口月考)习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”.某校为 促进学生全面发展，健康成长，计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形ABCD)建造一个劳动实 践基地，已知AB=20m,BC=15m,CD=7m,AD=24m,∠B=90°. 6/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A (1)求证：∠ADC=90°； (②)求这块四边形ABCD空地的面积. 变式2.(25-26八年级上·辽宁沈阳·期中)综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，AB=9m,BC= 12m,CD=17m,AD=8m,现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E,F; 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 E,F铺设管道. 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC=90°. D E 街 A 道 B 街道 C ()直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米。 (2)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并 求出铺设管道所需的最少费用. 【题型7利用HL判定直角三角形全等】 例13.(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，在四边形ACDB中，∠ABD=∠ACD=90°，连接AD,若 BD=CD.求证：△ABD≌△ACD. B 例14.（25-26八年级上新疆伊犁期中)如图，A,E,B,D在同一直线上，FE⊥AD,CB⊥AD, AE=DB,AC=DF,若∠D=30°，求∠C的度数， 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式1.(25-26八年级上吉林松原·期中)如图，点A、C、D、E在同一条直线上，BC⊥AE,FD⊥AE, 且AB=EF,AD=CE,求证：△ABC≌△EFD, 变式2.(25-26八年级上山东德州月考)如图，△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，F为AB延长线上一 点，点E在BC上，且AE=CF. F B (I)求证：RtAABE≌RtACBF (②)判断FE和AC的位置关系并证明. 【题型8直角三角形全等的性质和HL综合】 例15.(25-26八年级上·山东潍坊期中)如图，AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD 相交于点O. B (I)求证：AD=AE; (2)连接A0,求证：A0平分∠BAC. 例16.(2025八年级上·河北沧州·专题练习)如图，CD平分∠BCA,DC平分∠BDA,∠A=90°，点F在线段 CB的延长线上，点E在线段CA上，且DF=DE 8/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A (I)求证：DB=DA; (2)试判断AE与BF的数量关系，并说明理由. 变式1.(25-26八年级上湖北荆州·期中)如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂足为E,，CF⊥AD, 交AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点，连接BG. A B (I)求证：DE=DF; (2)若BG=CA,DE=4,求AG的长. 变式2.(2025八年级上·安微专题练习)如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,BE=CF E D C (I)求证：DE=DF; (2)已知AC=20,BE=4,求AB的长， 03 串知识识框架 9/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 定理1：直角三角形的两个锐角互余 知识点1：直角三角形的性质定理及推论 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形 直角 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方， 三角 知识点2：勾股定理及逆定理 勾股定理逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边 的平方和，那么这个三角形是直角三角形 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相 等，那么这两个直角三角形全等 知识点3：直角三角形全等的判定HL法 04 过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上广东广州期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=26°，则∠B的度数是() A.26 B.44° C.54° D.64° 2.(25-26八年级上·北京·期中)在下列条件中不能确定ABC是直角三角形的条件是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.∠A=90°-∠B D.∠A=2LB=3∠C 3.(25-26八年级上全国·单元测试)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=4, 则AB的长度为() B D A.2 B.4 C.8 D.16 4.(25-26八年级上·安徽淮北月考)如图，在ABC中，LACB=90°，点D在BC的延长线上， CD=AC,DE⊥AB于点E.若BC=2.5,CD=4.5,则AF的长为() F D A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 5,(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，己知Rt△ABC,∠ACB=90°，以点C为圆心，AC为半径画弧交 BC于点D,再以点D为圆心，AB为半径画弧交AC延长线于点E,连接DE,若AB=√5，DC=1,则AE 的长为() 10/14 第04讲 直角三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：直角三角形的性质定理及推论 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点2：勾股定理及逆定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 知识点3：直角三角形全等的判定HL法 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 【题型1 直角三角形的两个锐角互余】 例1．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，中，，．若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是由平行线的性质推出．由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，于点，则= ° 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角三角形两锐角互余是解题的关键． 先根据等腰三角形性质求出底角的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·吉林白山·月考）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数． 【详解】解：设较小的锐角为， 则较大的锐角为． 根据直角三角形两锐角互余，得． 解得：， 则． 故两个锐角分别为和， 故答案为：和． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在 中 ，，是的平分线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形的性质，由角平分线定义得，又，则，根据直角三角形性质可得，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2锐角互余的三角形是直角三角形】 例3．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，，则 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 例4．（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定． 利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 【详解】解：在中，． ，， 则． 是直角三角形． 故答案为：，直角． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 变式2．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【题型3 判断三边能否构成直角三角形】 例5．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若的三个顶点所对的边分别为， 则下列条件中能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理和勾股定理逆定理等知识，熟记直角三角形的判定相关知识是解决问题的关键． 通过计算角度和或边长平方关系判断是否为直角三角形即可得到答案． 【详解】解：A、设，则由三角形内角和定理可得，解得，从而得到最大角，则不是直角三角形，不符合题意； B、由三角形内角和定理可知，则不是直角三角形，不符合题意； C、由可知，，则由勾股定理的逆定理得不是直角三角形，不符合题意； D、由，，可知，，则由勾股定理的逆定理得是直角三角形，符合题意； 故选：D． 例6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否表示直角三角形即可． 【详解】A、设，，，则，，，不是直角三角形，符合题意； B、，，，是直角三角形，不符合题意； C、，且，，，是直角三角形，不符合题意； D、，，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 变式1．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 变式2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是（　　） A．如果，那么是直角三角形且 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，直角三角形的判定方法是解题的关键． 根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：A、，． 是直角三角形且． 与选项A中是直角三角形且矛盾， 故此选项说法错误，符合题意． B、设，，， 则，解得， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． C、设，，， 则， 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． D、，， ，即， ． 是直角三角形． 故此选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 【题型4 在网格中判断直角三角形】 例7．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 例8．（24-25八年级上·福建宁德·月考）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D在格点上． (1)四边形的周长为_______，面积为_______； (2)若是以为斜边的直角三角形，则满足条件的格点E有_______个． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出各边长，然后相加即得四边形的周长；用割补法求四边形的面积； （2）根据勾股定理的逆定理找到满足条件的点即可． 【详解】（1）解：如图， 由勾股定理得：， ， ， ， ∴四边形的周长为：； 四边形的面积为：； 故答案为：，； （2）解：如图所示， 以为例： 由勾股定理可得： ， ， ， ， ， ∴是以为斜边的直角三角形， 同理可证得其他5个点满足题意， 故满足条件的格点E有6个， 故答案为：6． 变式1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)______； (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 (3)四边形的面积为7 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用勾股定理及其逆定理进行计算，即可解答； （3）利用割补法求面积即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图： 由题意得：，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由题意得：四边形的面积 ． 变式2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出 ； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的面积为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见详解 (3) 【分析】本题考查网格中求线段长、判断三角形是直角三角形及网格中求三角形面积等知识，熟练掌握在网格中由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）由图可知，即可得到答案； （2）由图可知，、、，从而得到即可得到答案； （3）由（2）知，是直角三角形，根据三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：； （2）解：直角三角形， 理由如下： 由图可知，、、， ， 则， 是直角三角形； （3）解：由（2）知，是直角三角形， ， 故答案为：． 【题型5利用勾股定理的逆定理求解】 例9．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 例10．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ； （2）解：，， ， 是直角三角形， ， 在中，， 在中，， ． 变式1．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在四边形中，，，，．连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质，角度计算等． （1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意利用勾股定理逆定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，已知等腰中，，，是边上一点，且， (1)求的长； (2)求中边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则，再根据勾股定理求出的长即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，，，， ， 是直角三角形，且， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：由（1）可知，， 如图，过作于点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即中边上的高是 【题型6 勾股定理逆定理的实际应用】 例11．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边有两个取水点，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄到河边的最近道路，并说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)原来的路线的长为百米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练中午知识点是解题的关键． （1）先由勾股定理证明，再根据点到直线的距离最短求解即可； （2），继而表示出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是从村庄到河边的最近道路； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴，即百米， 所以，原来的路线的长为百米． 例12．（25-26八年级上·全国·月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2）解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 变式1．（25-26八年级上·河南周口·月考）习总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动，热爱创造”．某校为促进学生全面发展，健康成长，计划在校园内利用一块四边形空地（如图四边形）建造一个劳动实践基地，已知，，，，． (1)求证：； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1) (2)这块四边形空地的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积等知识点，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）如图：连接，由勾股定理可得， 再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可证明结论； （2）根据列式计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， 在中，，，， ，     ，，， ， 为直角三角形，. （2）解：在中，，，在中，，， ， ∴这块四边形空地的面积为． 变式2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 【题型7 利用HL判定直角三角形全等】 例13．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 例14．（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 此题中，先证明，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，   ∴． 答：的度数为． 变式1．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 变式2．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证： (2)判断和的位置关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)和的位置关系是垂直，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用即可求证； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质以及等边对等角，即可求得，从而证得位置关系． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）解：和的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一条线段上， ∴， ∴和的位置关系是垂直． 【题型8直角三角形全等的性质和HL综合】 例15．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）连接，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 例16．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形． （1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得； （2）证，得 【详解】（1）证明：∵ 平分，平分， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：． 理由： ∵ ， ∴ ，即， 在和中，， ∴ ， ∴ ． 变式1．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 变式2．（2025八年级上·安徽·专题练习）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 【详解】解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是高，，若，则的长度为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握相关性质是解题关键；由题意得，则，再可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在中，，点在的延长线上，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质(角互余)、全等三角形的判定与性质，同时涉及对顶角相等、线段的和差计算等基础几何知识，核心是利用全等三角形实现线段的等量转化．先通过直角三角形的角互余关系推出，再利用证明，得到，结合线段的和差进而得到的长度． 【详解】解：∵， ∴。 ∴，， ∴ ∵在和中， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记勾股定理与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由作图可知，证明，得出，据此解答． 【详解】解：∵以点C为圆心，为半径画弧交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧交延长线于点E， ∴， 又∵， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则 ， ，是 三角形． 【答案】 直角三角形 【分析】题考查了三角形内角和定理及直角三角形的判定．利用三角形内角和定理，设为未知数，根据已知条件表示和，列方程求解 【详解】解：在中，． 已知，， 代入得：， 即， 解得． 则． 由于，因此是直角三角形． 故答案为：，，直角三角形． 7．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，即可求解． 【详解】解：因为，且，，， 所以，，， 解得，，． 因为，， 所以， 因此是以为斜边的直角三角形． 直角边为和，面积． 故答案为：30． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点D在上，于点E，交于点F，，，若，则 度． 【答案】50 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 9．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，则的周长是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，将的周长转化为的和是解题的关键．由直角三角形的性质可得， 由垂直的定义及平角的定义可得， 再结合等腰三角形的性质可得，，即可证明， 再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为：． 故答案为：16． 10．（25-26八年级上·贵州·期中）如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接将沿BD折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过点D作于点F，先由勾股定理求出，设，则，由折叠性质得，进而得，再证明和全等得，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点D作于点F，如图所示： ， 在中，， 由勾股定理得：， 为直线上一个动点， 设，则， 由折叠性质得：， 是的平分线， 又于点F，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 即的长为 故答案为： 三、解答题 11．（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知实数a，b，c满足． (1)求实数a，b，c的值． (2)以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)能构成直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，二次根式的乘方运算，勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的值； （2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：以a，b，c为边能构成直角三角形，理由如下： ∵ ∴， ∴， ∴以a，b，c为边能构成直角三角形． 12．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）由（1）可证得是直角三角形，根据勾股定理，求出的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， 则，即 因此是直角三角形； （2）解：由（1）可知 在中，， 根据勾股定理得， 即 解得 因此 答：的面积为． 13．（25-26八年级上·浙江·期中）如图为边长是1的正方形构成的网格，点A、B、C、D均在格点上． (1)直接写出下列线段的长度：__________，__________； (2)连接BD，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理和等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）由勾股定理直接可求，的长； （2）根据勾股定理求出和的值，再运用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，； ， 故答案为：，； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，且， ∴， ， 为等腰直角三角形． 14．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，某小区有两个喷泉，，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设管道的长； (2)的长是喷泉到小路上各处的最短距离吗?请说明理由． 【答案】(1)； (2)的长是喷泉到小路上各处的最短的距离，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，垂线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，在中，，则有，然后通过勾股定理即可求解； （）证明是直角三角形，则有，即，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 答：供水点到喷泉需要铺设的管道的长为； （2）解：的长是喷泉到小路上各处的最短的距离，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的长是喷泉到小路上各处的最短距离． 15．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，在中，，于点． (1)若，求的度数； (2)若点在边上，交的延长线于点，请说明的形状． 【答案】(1)； (2)的形状是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直的定义，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，所以，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （）根据，得，然后由（）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：的形状是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴； 由（）得，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 16．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线． (1)求； (2)求证：； (3)如图2，E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．若E是的中点，求证：； 【答案】(1)67.5° (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等角对等边、角平分线的性质定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键。 （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）如图：过点D作，垂足为点M，由角平分线的性质可得，易证可得，再证明可得，即；再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，易证，从而证明，再证明，然后运用等量代换即可证明结论。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴。 （2）证明：如图：过点D作，垂足为点M， ∴， ∵平分，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）证明：如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 由（2）得，， ∴，即， ∵点E为中点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·四川广安·期中）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1)22 (2)①是“准互余三角形”，理由见解析； ②或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义可得，代入数据求出即可； （2）①由直角三角形的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而可得是“准互余三角形”； ②根据是“准互余三角形”可得或，求出或，然后分别利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， 即 ∴， 故答案为：22； （2）①是“准互余三角形； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 18．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）【问题初探】（1）如图1是的平分线，点D为上一点且，求证：． 小明的想法是：过点C，分别作和的垂线，通过构造全等三角形解决问题． 小强的想法是：在上截取，然后利用全等三角形和等腰三角形的性质解决问题． 请你选择一种方法完成证明，其它方法也可以； 【类比分析】（2）如图2，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，M是延长线上一点，N是延长线上一点，．探究、、 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质（、）、等边三角形的性质、等腰三角形的性质，以及截长补短法的几何辅助线应用．解题的关键是：借助角平分线的性质构造全等三角形，利用全等的对应角关系推导角度和的结论；通过截长补短法构造全等三角形，结合等边、等腰三角形的边角特征，推导线段之间的数量关系． （1）选择小明的方法，过点作于点，于点，证，得，再由，即可得出结论； 选择小强的方法，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后由，即可得出结论； （2）采用“截长补短法”，在上截取点，使，连接，结合等边及等腰三角形的性质证明，继而可证，由全等的性质可得结论． 【详解】（1）证明：选择小明的方法，如图，过点作于点，于点， 则， 是的平分线， ，在和中， ， ， ， ， ， 即； 选择小强的方法，如图，在上截取，连接， 是的平分线， ，在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：． 证明：如图，在上截取点，使，连接， 为等边三角形， ． 又为等腰三角形，且， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． 又，， ． ． 在与中， ， ． ． ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $