寒假作业04 整式的加减（巩固培优）（积累运用+巩固提升13大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 整式的加减 1、单项式 单项式的定义：数或字母的积，像这样的式子叫作单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 （单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0。） 注意：①单独的一个数或一个字母也是单项式；②不含加减运算，单项式只含有乘积运算；③可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算。 2、多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式。 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。 项的定义：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项。常数项：不含字母的项叫作常数项。 整式的定义：单项式和多项式统称整式。 3、同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫作同类项。 同类项的判别方法：(1)两相同：字母相同，相同字母的指数相同，缺一不可；(2)两无关：与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；(3)不要忘记几个单独的数也是同类项。 4、合并同类项 合并同类项：把多项式的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 去括号法则：1）一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加；2）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；3）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 5、整式的加减实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 整式的相关概念 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 题型2 单项式、多项式的系数、次数与项 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）单项式系数和次数分别是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 5．（24-25七年级上·吉林·期中）已知一个单项式的系数是3，次数是4，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是（　　） A．2，4，3 B．3，4， C．3，4，5 D．2，4， 题型3 根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 7．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 8．（24-25七年级上·河南许昌·期中）如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 题型4 同类型的辨别 9．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 10．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若与是同类项，则 的值是(    ) A． B． C． D． 题型5 合并同类项 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下面是小明同学当堂检测填空题的完成情况，他最后的得分是（   ） 姓名：小明    得分______ 填空题（评分标准：每道题4分） （1）2 （2）0 （3） （4） A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 13．（24-25·云南·七年级统考期末）若多项式（m为常数）不含项，则______． 题型6 去括号与添括号 14．（24-25七年级上·山东青岛·专题练习）去括号： ； ； ； ； ； ． 15．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在括号内填上适当的项：（ ）． 题型7 合并同类项 16．（25-26七年级上·山东济南·期中）合并下列各式的同类项： (1) (2) (3) (4) 17．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算：(1)；(2)． 题型9 整式的化简求值 18．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 19．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 题型10 整式的加减（不含某项与遮挡问题） 20．（24-25七年级上·重庆·期中）代数式，其中常数满足关于的多项式与的取值无关．(1)化简代数式；(2)求常数值；(3)求出的值． 21．（2025·河北·二模）一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了． (1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值． 题型11 整式的比较大小 22．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？ 例如：比较与的大小，我们可以这样做： 因为，又因为，所以． 【尝试】比较代数式与的大小，说明理由． 23．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读下面材料并解决问题 对任意两个代数式，比较大小，我们可以用“作差法”：若时，则；若时，则；若时，则．例如：因为，所以． (1)比较大小：_______（填“”，“”或“”）； (2)比较代数式与的大小； (3)对于任意的有理数，，请比较与的大小． 题型12 整式的实际应用 24．（2025·河北·一模）将4个如图①所示的长为、宽为的小矩形按照图②的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和． (1)求图形的周长（用含的式子表示）； (2)要求图形C1和C2的周长和，嘉嘉认为必须告诉的值；淇淇认为不用告诉x，y的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． 25．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段（以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度．①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 题型13 整式加减的新定义问题 26．（24-25七年级上·北京海淀·期中）关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”，如，．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 27．（24-25·江苏南通·七年级统考期中）关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则_______； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 28．（24-25七年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值；(2)计算． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（   ） A．系数，次数3 B．系数，次数3 C．系数，次数4 D．系数5，次数4 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是6次单项式 B．是单项式 C．的系数是 D．是二次三项式 4．（24-25七年级上·山东·期末）下列单项式：，，，中，的同类项的系数是（   ） A． B．1 C．2 D． 5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与3B的差中不含项时，则；③当时，的值总是正数．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（24-25七年级上·重庆江北·期中）多项式是 次 项式． 8．（24-25七年级上·广东广州·期末）请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ． 9．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 10．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 11．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知． (1)求；(2)小明同学在解答（1）时，误将看作，求小明同学的计算结果； (3)若小明同学的计算结果与正确结果相等，请写出一组、的值 12．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）窗户的形状如图1所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是长为，宽为的四个小长方形． (1)窗户的面积为______，窗户的外框（如图2）总长为______ ；（结果保留） (2)现要在窗户上安装玻璃（窗户的内框虚线部分忽略不计）．若玻璃每平方米元，窗户外框每米元． ①若，，制作这样一个窗户共需费用多少元（取整数）？ ②设窗户的外框与玻璃的费用差为元，当的长度发生变化时，的值保持不变，直接写出的值为______． 1．（2025·云南楚雄·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）两个只含一个相同字母的二次三项式相加，其结果次数与项数描述正确的是（   ） A．仍为二次三项式 B．次数仍为二次，项数不超过三项 C．次数不超过二次，项数仍为三项 D．次数不超过二次，项数不超过三项 3．（2024·河北保定·七年级统考期末）已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法：①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于．其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5.（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 6.（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值；(2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 9．（24-25七年级上·福建福州·期中）小乐在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣，于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 91 9 1 ① 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就是7的倍数，并作了简单的推理： 解：设这个两位数十位数字是，个位数字是． 则该两位数是 因为是7的倍数，3为质数． 所以当是7的倍数时，原两位数是7的倍数． 这个结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到．因此当是7的倍数时，原数是7的倍数，并且该结论反之亦成立． (1)根据表中的内容，①式的内容是______． (2)请按照推广后的结论解决下列问题：①判断47243是不是7的倍数． ②若一个正整数乘以7所得的乘积的最后四位数为2027，求这个正整数的最小值． 10．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业04 整式的加减 1、单项式 单项式的定义：数或字母的积，像这样的式子叫作单项式。 单项式的系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 （单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0。） 注意：①单独的一个数或一个字母也是单项式；②不含加减运算，单项式只含有乘积运算；③可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算。 2、多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式。 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。 项的定义：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项。常数项：不含字母的项叫作常数项。 整式的定义：单项式和多项式统称整式。 3、同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫作同类项。 同类项的判别方法：(1)两相同：字母相同，相同字母的指数相同，缺一不可；(2)两无关：与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；(3)不要忘记几个单独的数也是同类项。 4、合并同类项 合并同类项：把多项式的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 去括号法则：1）一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加；2）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；3）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 5、整式的加减实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1 整式的相关概念 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子：，，，，，0中，单项式的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：，，0是单项式；是多项式； ，既不是单项式，也不是多项式．故选D． 2．（24-25·江西赣州·七年级统考期末）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：①；②；③ 题型2 单项式、多项式的系数、次数与项 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）单项式系数和次数分别是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【详解】解：单项式系数与次数分别是与，故选：B． 5．（24-25七年级上·吉林·期中）已知一个单项式的系数是3，次数是4，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、的系数为3，次数为3，不符合题意； B、的系数为，次数为4，不符合题意；C、不是单项式，不符合题意； D、的系数是3，次数是4，符合题意；故选：D． 6．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是（　　） A．2，4，3 B．3，4， C．3，4，5 D．2，4， 【答案】B 【详解】解：多项式的次数、项数、最高次项的系数分别是3，4，．故选：B． 题型3 根据单项式（多项式）的次数、项数求参数 7．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【答案】A 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且，∴，故选：A． 8．（24-25七年级上·河南许昌·期中）如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵多项式是关于，的五次三项式， ∴，，∴．故选：D． 题型4 同类型的辨别 9．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意；故选：C． 10．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若与是同类项，则 的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与是同类项，∴，，∴，， ∴，故选：． 题型5 合并同类项 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意；故选：． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下面是小明同学当堂检测填空题的完成情况，他最后的得分是（   ） 姓名：小明    得分______ 填空题（评分标准：每道题4分） （1）2 （2）0 （3） （4） A．4分 B．8分 C．12分 D．16分 【答案】A 【详解】解：（1），计算错误；（2）不是同类项，不能合并，故错误； （3），计算正确；（4）不是同类项，不能合并，故错误；故选：A． 13．（24-25·云南·七年级统考期末）若多项式（m为常数）不含项，则______． 【答案】6 【详解】解：∵为常数不含项， ∴，解得：．故答案为：6． 题型6 去括号与添括号 14．（24-25七年级上·山东青岛·专题练习）去括号： ； ； ； ； ； ． 【答案】 ； ； ； ； ； ． 【详解】；故答案为：； ；故答案为：； ；故答案为：； ；故答案为：. ，故答案为：. ．故答案为：. 15．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在括号内填上适当的项：（ ）． 【答案】 【详解】解：；故答案为：． 题型7 合并同类项 16．（25-26七年级上·山东济南·期中）合并下列各式的同类项： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型9 整式的化简求值 18．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：， 当，时，原式，故答案为；． 19．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 【答案】(1)分配律 (2)二；去括号后，括号内的第二项没有变号； (3)化简结果，求值结果为 【详解】（1）解：的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解： ········第一步 ·········第二步 ．··············第三步 ∴是从第二步开始出错的，错误的原因是去括号时没有变号； （3）解： ． 当，，原式． 题型10 整式的加减（不含某项与遮挡问题） 20．（24-25七年级上·重庆·期中）代数式，其中常数满足关于的多项式与的取值无关．(1)化简代数式；(2)求常数值；(3)求出的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： （2）解：， ∵于的多项式与的取值无关，∴，∴； （3）解：当时，． 21．（2025·河北·二模）一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了． (1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值； (2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值． 【答案】(1)，(2)4 【详解】（1）原式． 当时，原式； （2）设中的数值为，则原式． 无论取任意的一个数，这个代数式的值都是， ．．答：“”中的数是4． 题型11 整式的比较大小 22．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？ 例如：比较与的大小，我们可以这样做： 因为，又因为，所以． 【尝试】比较代数式与的大小，说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：． 理由如下：， 因为，所以，所以． 23．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）阅读下面材料并解决问题 对任意两个代数式，比较大小，我们可以用“作差法”：若时，则；若时，则；若时，则．例如：因为，所以． (1)比较大小：_______（填“”，“”或“”）； (2)比较代数式与的大小； (3)对于任意的有理数，，请比较与的大小． 【答案】(1)；(2)； (3)当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：； （2）解：， ∵，∴，∴，∴； （3）解： 当时，，则，此时， 当时，，则，此时，； 当时，，则，此时，． 题型12 整式的实际应用 24．（2025·河北·一模）将4个如图①所示的长为、宽为的小矩形按照图②的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和． (1)求图形的周长（用含的式子表示）； (2)要求图形C1和C2的周长和，嘉嘉认为必须告诉的值；淇淇认为不用告诉x，y的值，你认为谁的看法正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)淇淇看法正确，见解析 【详解】（1）解：由题图可知图形的长，宽， ∴图形的周长； （2）解：淇淇的看法正确，理由如下： ∵由题图可知，图形的周长为，图形的周长为，且， ∴图形和的周长和为， ∴淇淇的看法正确． 25．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段（以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度．①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 【答案】(1)①；②节约电费元(2)小安家要开通峰谷 【详解】（1）解：①根据题意得：（元）， ∴若未开通峰谷，需缴交电费元，故答案为：； ②根据题意得：（元）， ∴小明家月份能节约元电费； （2）小安家要开通峰谷． 理由： （元）， ∵，∴，∴开通峰谷全年可节省元，∴小安家要开通峰谷． 题型13 整式加减的新定义问题 26．（24-25七年级上·北京海淀·期中）关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”，如，．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】①的x的指数与y的指数是相等的正整数，是“等次单项式”，故选项原说法正确； ②x 和 y 的指数相等且为正整数，那么它们的和（即次数）必然是偶数，故选项原说法错误； ③两个次数相等的“等次单项式”的和不一定是“等次单项式”，如不是“等次单项式”，故原说法错误；④五个“等次单项式”的次数均不高于8，即它们的次数分别为2，4，6，8，那么必定会有一个“等次单项式”的次数为2或4或6或8，即至少有两个“等次单项式”的次数是相同的．故本选项说法正确； 综上所述：正确得有①④，故选：B． 27．（24-25·江苏南通·七年级统考期中）关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则_______； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 【答案】(1)0(2)奇整式；理由见解析(3)①；②35 【详解】（1）由定义可知，整式的值互为相反数，故答案为：0； （2）奇整式 理由：将代入中可得； ∵与互为相反数，∴该式为奇整式； （3）①， ∵，，∴是偶整式，是奇整式． ②由于是偶整式，是奇整式，∴当x分别取，，，0，1，2，3时， 的值分别为10,5,2,1,2，5,10；当x取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0； ∴这七个整式的值之和是；故答案为：35． 28．（24-25七年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值；(2)计算． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 【答案】C 【详解】解：在中，单项式有，共4个，多项式有共2个，整式有共6个；故选C． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（   ） A．系数，次数3 B．系数，次数3 C．系数，次数4 D．系数5，次数4 【答案】C 【详解】解：单项式的系数是，次数是 4 ，故选：C． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是6次单项式 B．是单项式 C．的系数是 D．是二次三项式 【答案】C 【详解】解：A．是4次单项式，原说法错误，不符合题意； B．是多项式，原说法错误，不符合题意； C．的系数是，原说法正确，符合题意； D．是三次三项式，原说法错误，不符合题意．故选：C． 4．（24-25七年级上·山东·期末）下列单项式：，，，中，的同类项的系数是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：的同类项是，其系数是，故选：D． 5．（24-25七年级上·陕西延安·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故此选项计算不正确，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故此选项计算不正确，不符合题意；故选：B． 6．（24-25八年级上·重庆·期末）关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与3B的差中不含项时，则；③当时，的值总是正数．其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：①， ∵为关于的二次三项式，∴，解得，故说法①正确； ②， ∵多项式A与3B的差中不含项，∴，解得，故说法②正确； ③， 当时，，故说法③正确；综上，说法①②③都正确；故选：A． 7．（24-25七年级上·重庆江北·期中）多项式是 次 项式． 【答案】 六 四 【详解】解：多项式的最高次数为6，项数为4，所以该多项式是六次四项式． 故答案为：六，四． 8．（24-25七年级上·广东广州·期末）请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ． 【答案】答案不唯一 【详解】解：单项式可以是答案不唯一，故答案为：答案不唯一 9．（23-24七年级上·江苏南通·期末）某同学在做计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴； ∴；故答案为：． 10．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【详解】解：（1） ； （2） = ； 当，时， 原式； 11．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知． (1)求；(2)小明同学在解答（1）时，误将看作，求小明同学的计算结果； (3)若小明同学的计算结果与正确结果相等，请写出一组、的值 【答案】(1)(2)(3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：由（1）和（2）可知，正确答案为，小明的答案为， 小明同学的计算结果与正确结果相等， ， ， 、的值为，． 12．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）窗户的形状如图1所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是长为，宽为的四个小长方形． (1)窗户的面积为______，窗户的外框（如图2）总长为______ ；（结果保留） (2)现要在窗户上安装玻璃（窗户的内框虚线部分忽略不计）．若玻璃每平方米元，窗户外框每米元． ①若，，制作这样一个窗户共需费用多少元（取整数）？ ②设窗户的外框与玻璃的费用差为元，当的长度发生变化时，的值保持不变，直接写出的值为______． 【答案】(1)；(2)①；② 【详解】（1）解：上部半圆面积：，整个窗户面积：， 外部总长：，故答案为：； （2）解：①，，取整数时，整个窗户面积：， 外部总长为：，总费用为：（元）； ② ，由题意可得：的长度发生变化时，不变； 故，即，解得：； 1．（2025·云南楚雄·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：单项式的系数依次为：； 字母的指数依次为：；∴第个单项式是．故选：A． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）两个只含一个相同字母的二次三项式相加，其结果次数与项数描述正确的是（   ） A．仍为二次三项式 B．次数仍为二次，项数不超过三项 C．次数不超过二次，项数仍为三项 D．次数不超过二次，项数不超过三项 【答案】D 【详解】解：两个只含一个相同字母的二次三项式相加，其结果的次数不超过二次，项数不超过三项． 故选：D． 3．（2024·河北保定·七年级统考期末）已知：，．则比较A与B的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴，故选A． 4．（2025·重庆·一模）有依次排列的2个整式：，，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，得到第3个整式，称为第一次操作；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，得到第4个整式，称为第二次操作；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，得到第5个整式，称为第三次操作，……，以此类推，下列说法：①第六次操作得到的整式为； ②第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1； ③第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于．其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：第1个整式：，第2个整式：，第3个整式：，第4个整式：， 第5个整式：，第6个整式：，第7个整式：，第8个整式：，故①正确； 由此规律可知，第n个整式中含项的系数的2倍与第个整式中含项的系数之差为1；第n个整式与第个整式，x项的系数和为； ∴第20个整式中含项的系数的2倍与第21个整式中含项的系数之差为1，故②正确；第2024个整式和第2025个整式中含项的系数之和等于，故③错误；故选：C． 5.（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】由图3知，长方体盒子底部的长为，宽为，∴， ∴图2中阴影部分的周长为，图3中阴影部分的周长为， ∴．∴图2和图3中阴影部分周长之差为．故选B． 6.（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴， ∵无论x代入何值，的值皆不变，∴，解得，故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵（a、b是常数）与恒等， ∴∴，，，， ∴．故答案为：． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）定义新运算“”：对于任意的有理数 a 和 b ，． (1)分别求出 ，的值；(2)若，求代数式 的值； (3)若 ，且的运算结果与n 的 取值无关，求 m 的值及的值． 【答案】(1)，(2)(3)， 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵，∴，即， ∵ ； ∴原式； （3）解： ； ∵ ， ∴ ； ∵的运算结果与n 的 取值无关，∴中， 解得：，∴的值为． 9．（24-25七年级上·福建福州·期中）小乐在学习完课本上的数学活动后，对数的整除很感兴趣，于是自己研究了被7整除的数的特征，先从两位数开始研究： 两位数 十位数字 个位数字 10位数字减个位数字的2倍 14 1 4 21 2 1 28 2 8 35 3 5 … … … … 91 9 1 ① 98 9 8 他发现如果一个两位数的十位数字减去个位数字的2倍得到的结果是7的倍数，那么这个两位数就是7的倍数，并作了简单的推理： 解：设这个两位数十位数字是，个位数字是． 则该两位数是 因为是7的倍数，3为质数． 所以当是7的倍数时，原两位数是7的倍数． 这个结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是，除个位数字外的部分用表示，推理过程与上面相同，依然能得到．因此当是7的倍数时，原数是7的倍数，并且该结论反之亦成立． (1)根据表中的内容，①式的内容是______． (2)请按照推广后的结论解决下列问题：①判断47243是不是7的倍数． ②若一个正整数乘以7所得的乘积的最后四位数为2027，求这个正整数的最小值． 【答案】(1)(2)①47243是7的倍数；②这个正整数的最小值为8861 【详解】（1）解：根据题意得：．故答案为：； （2）①∵，∴是7的倍数，∴47243是7的倍数； ②设一个正整数乘以7所得的乘积是， ∵是7的倍数，∴是7的倍数，即是7的倍数． ∵，∴是7的倍数， ∵x是正整数，∴x的最小值为6，∴一个正整数乘以7所得的乘积的最小值为62027， 又∵，∴这个正整数的最小值为8861． 10．（24-25七年级上·重庆·期中）如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 【答案】(1)①不是；理由见解析  ②是；(2)(3) 【详解】（1）① 不是，理由： ∵，不是单项式， ∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；， ②是，∵，是单项式， ∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为 （2）∵与互为“孪生多项式”， ∴，且， ∴，故； （3）∵，∴， ∴， ∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关， ∴，且，∴，∵，∴，∴． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $