专题03 整式及其加减（9大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题03 整式及其加减 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 代数式的概念及意义 题型二 单项式及相关概念 题型三 多项式及相关概念 题型四 同类型与合并同类项 题型五 去括号与添括号 题型六 整式的加减运算与化简求值 题型七 整式的加减中无关型问题 题型八 整式的加减的应用 题型九 探究与表达规律 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 代数式的概念及意义 ⭐技巧积累与运用 代数式：用运算符号把字母和数字连接而成的式子就叫代数式。 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值。 代数式的书写要求： ①字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“”，或略去不写。 ②字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数。 ③系数是1时，一般省略不写。 多项式后面带单位，多项式须用括号括起来。 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和；乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的意义，根据甲、乙同学的叙述列出代数式，再进行判断即可求解，理解代数式的意义是解题的关键． 【详解】解：的倍与的和是，所以甲同学叙述错误； 苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费为元，所以乙同学叙述正确； 故选：． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）下列代数式符合通常书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的规范书写，根据字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面可对A进行判断；系数不能用带分数，由此可对B进行判断．根据代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式可对C进行判断；根据代数式的规范书写可对D进行判断． 【详解】解：A、应写成，故此选项不符合题意；B、应写成，故此选项不符合题意； C、应写成，故此选项不符合题意；D、书写规范，故此选项符合题意；故选：D． 3.（2024·安徽·七年级校考期中）若，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据得，整体代入计算即可． 【详解】∵，∴，∴．故答案为：2022． 【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练掌握整体思想代入计算是解题的关键． 单项式及相关概念 ⭐技巧积累与运用 单项式：数与字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。 1．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是0，次数也是0 B．单项式的系数是，次数是3 C．单项式的系数是，次数是7 D．单项式的系数是，次数是5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义；根据单项式的定义以及单项式的系数、次数定义判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是1，次数也是1，故本项错误； B、单项式的系数是，次数是2，故本项错误； C、单项式的系数是，次数是5，故本项错误； D、单项式的系数是，次数是5，正确，故选D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）请写出一个系数为且只含有字母、的三次单项式 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的定义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：依题意，一个系数为，且只含有字母，的三次单项式为：， 故答案为：（答案不唯一） 多项式及相关概念 ⭐技巧积累与运用 多项式：几个单项式的和。 项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）。 1．（23-24·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3 【答案】D 【分析】根据多项式的概念和降幂排序的方法进行判断即可． 【详解】解：A、这个多项式是五次四项式，故此项不符合题意；B、常数项是1，故此项不符合题意； C、按y降幂排列为，故此不项符合题意； D、四次项的系数是，故此项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查多项式的定义及多项式的降幂排序，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式；小红：这个代数式的最高次项系数为；小华：这个代数式的常数项是5．如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的相关概念逐项判断即可得解． 【详解】解：A、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是5，故不符合题意； B、是一个五次三项式，故不符合题意； C、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故不符合题意； D、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故符合题意；故选：D． 3．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若多项式是关于a的二次二项式，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多项式，解决本题的关键是熟记多项式的相关定义．根据多项式的次数和项数的定义解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式， ，，，，．故答案为：6． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）有下列一组式子：，，，m，，，，，；将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中．      【答案】见详解 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，单项式是指数字与字母或字母与字母乘积的形式，单独的字母或数字也是单项式．多项式：几个单项式和的形式．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， 同类型与合并同类项 ⭐技巧积累与运用 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。 例:5abc2：与3abc2；3abc与3abc。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各组中的两个单项式，是同类项的是（　　） A．a与b B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的判定，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项，根据定义解答即可． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项；B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项；D、符合同类项的定义，是同类项；故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若与是同类项，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同类项的定义，求代数式的值，熟记同类项的定义是解决问题的关键．根据同类项的定义：字母相同且相同字母的指数也相同，可得m，n的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：与是同类项，，，，故答案为：6． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．根据整式的加减运算法则和去括号法则即可求出答案． 【详解】解：、，选项不符合题意． 、，选项符合题意．、，选项不符合题意． 、与不是同类项，选项不符合题意．故选：B． 4．（2023·天津河北·统考二模）计算的结果等于__________． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，化简即可． 【详解】解：．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟记合并同类项法则． 去括号与添括号 ⭐技巧积累与运用 去（添）括号法则 1. 括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变 1. 括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。 1. 括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 1．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是解题的关键：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反． 根据去括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，计算正确，故选项符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，原计算错误，故选项不符合题意；故选：． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，添括号等知识点，熟练掌握去括号法则和添括号法则是解题的关键：去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反；添括号法则：如果所添括号前面是“”，括到括号里的各项都不改变符号，如果所添括号前面是“”，括到括号里的各项都要改变符号． 按照去括号法则和添括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，原变形错误，故选项不符合题意； B、 ，原变形错误，故选项不符合题意； C、，原变形错误，故选项不符合题意； D、 ，变形正确，故选项符合题意；故选：． 整式的加减运算与化简求值 ⭐技巧积累与运用 整式的加减 整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为： ①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。 解题技巧：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 1．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）化简：(1)；(2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了整式的加减计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项；（2）先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．（24-25七年级上·广东佛山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减−化简求值，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键．先去括号、合并同类项进行化简，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 3．（24-25七年级上·山西·期中）（1）化简：； （2）下面是嘉淇同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简： ． 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务一：①第一步运算的依据是 ；②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出正确的化简结果，并求出当，时该整式的值． 【答案】（1）；（2）①乘法对加法的分配律；②二，去括号时，第二项没有变号；；． 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）根据去括号法则，合并同类项法则进行计算，化简正确答案，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2）任务一：①第一步运算的依据是乘法对加法的分配律； ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，第二项没有变号； 任务二：原式 ， 当，时，． 整式的加减中无关型问题 ⭐技巧积累与运用 加减无关型题目指的是在整式中，某些项的系数加减变化，但不会影响整式的值。这类题目主要考察学生对整式运算和系数变化的敏感度。 解题技巧与方法：对于加减无关型的题目，我们可以通过观察各项系数的加减变化，找出不变的项，进而求解。同时，要熟练掌握整式的加减运算定律，将复杂题目简化。 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）若关于、的多项式不含项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答． 【详解】解：原式， ∵多项式中不含项，∴，∴，故答案为：. 2．（24-25七年级上·重庆·期中）已知多项式，； (1)若，求代数式的值；(2)若代数式的值与无关，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查非负性，整式的加减运算，整式的无关性的计算，理解非负性，掌握整式的加减运算法则是解题关键．（1）据非负性可得的值，代入，运用整式的加减运算法则计算即可；（2）据整式的加减运算计算，再根据值与无关，确定的系数，且该系数为零，列式得到的值，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，，∴， ∴； （2）解：， ∵代数式的值与无关，∴，解得，， ∴． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．(1)当，时，化简；(2)若的结果不含x项和项，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算及不含某项问题，熟练掌握整式的加减运算及不含某项问题是解题的关键；（1）把，代入A、B两个多项式，然后根据题意化简即可； （2）先对进行运算，然后根据不含x项和项可进行求解． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：， ∵的结果不含x项和项，∴，∴，∴． 整式的加减的应用 55．（21．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）为使学生熟练掌握项体育运动技能，学校决定添置一批篮球和足球，建立足球和篮球俱乐部．甲、乙两家商场同种品牌的篮球和足球标价分别相同，为支持教育业，给出如下优惠活动方案：⭐技巧积累与运用 整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题。 优惠方式商场 类别 篮球 足球 标价（单位：元） 200 150 甲商场 每件商品优惠方式 篮球按标价的9折出售 足球按标价的8折出售 例：买一只篮球，只需付款元 乙商场 若所购商品不超过50件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的9折出售；若所购商品超过50件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的折出售． (1)学校购买篮球30只，足球20只，按照甲商场优惠方式购买付款金额为_______元； (2)学校计划购买篮球、足球共60只． ①若其中篮球购买了x只（x为正整数），则按甲商场优惠方式购买付款金额为_______元，按乙商场优惠方式购买付款金额为______元，（用含x的代数式表示）； ②若其中篮球购买了40只，且计划购买篮球和足球的总费用不超过9500元，则学校应选择在甲、乙哪个商场购买？请说明理由． 【答案】(1)7800 (2)①，；②乙商场，理由见详解 【分析】（1）利用总价单价数量，结合甲商场给出的优惠方案，即可求出结论； （2）①由学校购买篮球、足球的总数量及购买篮球的数量，可得出足球购买了只为正整数），利用总价单价数量，结合甲、乙两商场给出的优惠方案，即可用含的代数式表示出按甲、乙两商场优惠方式购买需付款金额；②把分别代入甲商场和乙商场的付款金额的代数式中，进行计算，把结果进行比较后，即可得出结论．本题考查了列代数式、代数式求值以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出按甲、乙两商场优惠方式购买需付款金额． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 按照甲商场优惠方式购买付款金额为7800元．故答案为：7800； （2）解：①学校计划购买篮球、足球共60只，且篮球购买了只为正整数）， 足球购买了只为正整数）．根据题意得：按甲商场优惠方式购买付款金额为： 元； 按乙商场优惠方式购买付款金额为：元． 故答案为：，； ②学校应选择在乙商场购买，理由如下： 当时，选择甲商场购买所需费用为（元）； 选择乙商场购买所需费用为（元）． ，学校应选择在乙商场购买． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一扇窗户如图1，所有窗框为铝合金材料，其下部由长为米，宽米的两个长方形组成，上部是半径为米半圆形状，窗户都安装透明玻璃，现在按照图2的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图2中窗帘下部分是直角边为米的两个等腰直角三角形组成，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（本题中取3）； (1)一扇这样窗户一共需要铝合金__________米（用含的代数式表示）；一扇这样窗户一共需要玻璃__________平方米（用含的代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计）； (2)当时，请求出图2中窗帘部分的面积．（铝合金窗框宽度忽略不计）； (3)在（2）的条件下，现某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 窗帘（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元平方米，超过平方米的部分打八折 乙厂商 元平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 若公司只能选择在其中一家厂商购买，问：该公司在哪家厂商购买窗户合算？请说明理由． 【答案】(1)；(2)出图2中窗帘部分的面积为(3)在乙厂商购买窗户合算，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式 ，代数式求值，有理数的混合运算的应用； （1）根据铝合金的长度等于所有边长之和，玻璃的面积等于正方形加上半圆的面积即可求解； （2）计算半圆的面积与2个边为米的等腰直角三角形的面积和，即可求解． （3）当时，分别求出10扇窗户需要铝合金长度和玻璃的面积以及窗帘的面积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：一扇这样窗户一共需要铝合金米； 一扇这样窗户一共需要玻璃平方米，故答案为：；． （2）解：图2中窗帘部分的面积为 当时， （3）解：当时，扇这样的窗户需要的铝合金长度为米， 玻璃的面积为 窗帘的面积为 甲厂商：元 乙厂商：元 ∴在乙厂商购买窗户合算 探究与表达规律 ⭐技巧积累与运用 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件。 1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。 5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，小华制定了一种密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文，例如：密文“567”翻译成明文是“体育”．根据这个密码规则将明文“数学”写成密文，下列选项不正确的是（　　） A．49  79 B．165  21 C．107  137 D．49  23 【答案】D 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，发现密文与明文之间的对应关系即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，明文“数”对应的密文可以是：165或107或49； 明文“学”对应的密文可以是：137或79或21，显然D选项符合题意．故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定，…；，…；，…，那么按此规定，的值是 ． 【答案】136 【分析】本题考查数字类规律探索，代数式求值．理解题意得出，是解题关键．由题意可总结出，，从而可求出和的值，进而即可求解． 【详解】解：因为，…， 所以，所以； 因为，…， 所以， 所以，所以．故答案为：136． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块，……，按此照规律铺设下去． (1)每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 块，三角形地砖会增加 块； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，则共用去了 块正方形地砖， 块三角形地砖的数量（分别用含n的代数式表示）；(3)当时，求正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【答案】(1)5，4(2)，(3)273块 【分析】本题考查了图形类规律探索、代数式的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1和图2中的正方形和三角形地砖的数量求解即可得；（2）求出用1、2、3块六边形地砖时，正方形和三角形地砖的数量，据此归纳类推出一般规律即可得；（3）将代入计算即可得． 【详解】（1）解：每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块， 故答案为：5，4． （2）解：由题意可知，用1块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 用2块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 用3块六边形地砖时，正方形地砖有块，三角形地砖有块， 归纳类推得：用去块六边形地砖时，则共用去了块正方形地砖，块三角形地砖的数量， 故答案为：，． （3）解：当时，正方形地砖的数量为（块），三角形地砖的数量为（块）， （块）， 答：正方形地砖和三角形地砖的总数量为273块． 1．（24-25七年级上·山西阳泉·期中）随着国产游戏《黑神话：悟空》的爆火，山西隰县小西天旅游景区成为众多游客的打卡圣地国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的2倍少300人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天网络一共预约的人数 D．第二天网络预约的人数 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，先根据题意表示出第二天预约的人数，再根据是第二天预约的人数减去第一天预约的人数的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，第二天预约的人数为人， ∵，∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多预约的人数，故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数为，次数为3次 B．是单项式 C．关于x的整式是三次二项式 D．0是单项式 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的系数为，次数为3次，故该选项不正确，不符合题意； B．是多项式，故该选项不正确，不符合题意； C．当不为0时，关于x的整式是二次三项式，故该选项不正确，不符合题意； D．0是单项式，故该选项正确，符合题意；故选：D． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）若多项式是关于，的三次三项式，则有理数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴，∴．故选：A． 4．（22-23七年级上·辽宁锦州·期中）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项的方法是解答本题的关键．先计算，然后对比题干中的式子，即可得到被墨水遮住的一项． 【详解】解： ∴被墨水遮住的一项应是，故选：A． 5．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有50个．则步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖块数为（   ） A．84 B．86 C．102 D．104 【答案】D 【分析】本题考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得到三角形的个数为． 【详解】解：根据图可知，中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，最左侧有3个等腰直角三角形，最右边有1个等腰直角三角形，（个）． 答：步道上总共使用个直角三角形地砖．故选：D． 6．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，…，按照这个的规律，图（7）中共有正方形的个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了图形类规律．根据所给图形找到规律为图（n）中正方形的个数为个，据此进行解答即可． 【详解】解：由所给图形可知，图（1）中正方形的个数为：； 图（2）中正方形的个数为：；图（3）中正方形的个数为：； 图（4）中正方形的个数为：；…，所以图（n）中正方形的个数为个， 当时，（个），即图（7）中正方形的个数为个．故答案为：． 7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知的值为2，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握等式变形和整体代入思想的运用是解题的关键． 先由，得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵的值为2，∴，∴ ∴．故答案为：5． 8．（24-25七年级上·广东湛江·期中）若一个单项式含有字母和，系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式，利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出符合题意一个答案． 【详解】解：由题意得：这个单项式可以是，故答案为：． 9．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）小东和小军两位同学在学习过程中遇到了下图中的一道试题，他们给出了不同的解法． (1)请你选择他们两人中的一种方法对图中的式子进行化简求值，并写出过程． (2)根据小军同学的方法，完成下列问题．已知，求的值． 【答案】(1)见解析(2)2 【分析】本题考查了代数式化简求值．（1）分别根据小东和小军的思路，写出解答过程即可；（2）根据小军同学的方法，将看成一个整体，将原式化简为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：选择小东的解法． 原式， 当时，原式； 选择小军的解法．令，则原式， 因为，所以，故原式； （2）解：∵， ∴． 10．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务：(1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①④(2)（答案不唯一）(3)，是对称式 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）根据对称式定义逐个判断即可；（2）按照要求写出一个符合要求的式子即可； （3）先将代入计算，再根据对称式的定义判断即可得答案． 【详解】（1）解：根据对称式的定义可知：、是对称式，、、不是对称式． 故答案为：①④． （2）解：∵只含有字母m，n，单项式是对称式，且次数为8，∴单项式可以是：（答案不唯一）． （3）解：∵， ∴，． 由根据对称式的定义可知，是对称式，∴是对称式． 11．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知A，B是关于x的整式，其中． (1)①化简：；②若的值与无关，求的值． (2)当时，的值为，求式子的值． 【答案】(1)①；②．(2)29 【分析】（1）①直接把、表示的代数式代入加减即可；②先根据的值与无关，确定的值，再计算代数式的值；（2）先根据当时，的值为，求出含、的代数式的值，再整体代入求值．本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则等知识点是解决本题的关键． 【详解】（1）解：①； ②的值与无关，．． ． （2）解：时，的值为，． 整理，得．． 12．（2024七年级上·山东·专题练习）某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是米．（提示：） (1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含的代数式表示） (2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为，，试比较与的大小． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用、长方形的面积，正确表示出花园道路的面积是解答的关键．（1）根据横向道路的宽是x米，根据纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍即可得到横向道路的宽；用纵向道路的面积加上横向道路的面积即可；（2）将，的面积分别表示出来比较大小即可． 【详解】（1）解：横向道路的宽是x米，且纵向道路的宽是横向道路的宽的2倍，纵向道路的宽是米， 由题意，图①中花园道路的面积为：平方米； （2）解：由题意得，题图①中花园的面积平方米， 题图②中花园的面积．平方米， 则．因为，所以，所以． 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，多项式的系数，求代数式的值等知识，解题的关键是： ①取特殊值判断即可； ②把代入，得出，然后按照“换系数操作”列出所有的结果判断即可； ③当时，展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，则，然后用每一项与其后面的项进行“换系数操作”，得出多项式的常数项求解即可． 【详解】解：①当时，a与化为相反数，此时“换系数操作”后的结果与原多项式相同，故①正确； ②若，则原多项式为，“换系数操作”后的多项式有，，，共三个，故②正确； ③当时，，则展开得到多项式的各项系数和为，常数项为，∴， 选择第一项与其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，1，，即9个1和， 选择第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为1，1，1，1，1，1，1，1，，即8个1和，…… 选择倒数第二项与剩余其余各项进行“换系数操作”，所得多项式的常数项分别为， ∴“换系数操作”的所有多项式的常数项和为， 故③正确，故选：D． 2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）依次排列的两个整式，，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；…，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（   ）个． ①第6个整式为；②第n个整式中a系数与b系数的和为1； ③若，则前n个整式之和为． ④第n次与第次操作后得到的两个整式中a与b所有系数的绝对值之和为； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的加减运算，整式的加减运算中的规律探究，绝对值的含义，掌握探究的方法是解本题的关键． 先根据题意得出前面五次操作的结果，再进行观察，分析得出规律，逐个判断从而可得答案． 【详解】解：第1个整式：， 第2个整式：， 第3个整式：，（第一次操作）， 第4个整式：，（第二次操作）， 第5个整式：，（第三次操作）， 第6个整式：，（第四次操作）， 第7个整式：，（第五次操作），故①正确； 由前面7个等式可得a，b的系数之和为，∴第n个整式中系数与系数的和为；故②错误； ∵，当时，前3个整式之和为：， ，，故③错误； 当时，第一次操作得，第二次操作得，此时所有的系数的绝对值之和为，此时故④错误，综上所述：正确的有①，1个故选：B． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数．例如，表格中的；．若，，，…，都是系数为的关于，的单项式，则的次数为 ．若多项式★为，其中，，为个不同的正整数，且多项式的值为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据，即可求得的次数；再根据题意和★所处表格位置可得，由，，为个不同的正整数，可得的值，从而得出的值，然后代入中，即可得最大值． 【详解】解：根据题意可得，∴，即的次数为， 根据题意和★所处表格位置，可得多项式★：中的， ∴将代入中，即为 ∵为其中，，为个不同的正整数，∴求的最大值时，最小即可，∴， 又∵多项式的值为，即，∴，解得：， ∴的最大值为，故答案为：，． 【点睛】本题考查数字类规律探索，代数式的值，单项式，整式的加减运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是 ． 【答案】74 【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是根据新定义运算得到数字的基本规律．根据题中所给新定义运算进行求解，即当时，则第一次“”运算的结果为23，第二次“”运算的结果为74，第三次“”运算的结果为37，第四次“”运算的结果为116，第五次“”运算的结果为29，第六次“”运算的结果为92，第七次“”运算的结果为23，….；由此可发现规律为 “”运算的结果按照23、74、37、116、29、92循环，据此问题可求解． 【详解】解：由题意得：当时，则：第一次“”运算的结果为23，第二次“”运算的结果为74， 第三次“”运算的结果为37，第四次“”运算的结果为116，第五次“”运算的结果为29， 第六次“”运算的结果为92，第七次“”运算的结果为23，第八次“”运算的结果为74，….； 由此可发现规律为 “”运算的结果按照23、74、37、116、29、92循环下去， ∵；∴第2024次“”运算的结果为74；故答案为：74． 5．（24-25七年级上·山西朔州·期中）阅读与理解 下面是一篇关于进位制的阅读内容，请你认真阅读并完成相应的任务． 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢七进一就是七进制，逢二进一就是二进制．也就是“逢几进一”就是几进制． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．用这10个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数是几就表示几个十；依次是百位、千位……例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，即（规定当时，）． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 任务一：（1）把十进制数1234表示成各数位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式是______； （2）把七进制数1234表示成各数位上的数字与基数7的幂的乘积之和的形式是______； 任务二：已知一个十进制的三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，把这个三位数中a与c的位置对调得到一个新的三位数． （3）用代数式表示：原三位数是______，新三位数是______； （4）试说明新三位数减去原三位数的差是99的倍数． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）见详解 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的混合运算以及单位进制的转化，理解材料内容是解题的关键． （1）根据十进制数表示解答即可；（2）根据七进制数表示解答即可；（3）根据题意解答即可； （4）根据题意作差即可解答． 【详解】（1）把十进制数1234表示成各数位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式是，故答案为：． （2）把七进制数1234表示成各数位上的数字与基数7的幂的乘积之和的形式是，故答案为：． （3）根据题意可得原三位数是，新三位数是， 故答案为：，． （4）根据题意可得，∴是99的倍数， 即新三位数减去原三位数的差是99的倍数． 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是______； （2）已知，求的值； 拓展探索：（3）已知，，，求的值． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）仿照材料，把看成一个整体，即可合并；（2）（3） （）将整体代入计算即可； （）先去括号，再添括号，然后整体代入求值即可； 本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键． 【详解】（）解：把看成一个整体，则， 故答案为： （）解：∵，∴； （）解：∵，，， ∴． 7．（24-25七年级·江苏·期中）在数学中为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”（西格玛）． 如记；；；；(1)求的值；(2)求与的差；(3)若对于任意都存在，请分别求出的值． 【答案】(1)55(2)(3)， 【分析】本题主要考查了整式的加减，弄清题中的新定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据求和符号的定义，令，代入解题即可；（2）根据求和符号的定义，分别求出，，再作差即可；（3）根据求和符号的定义，表示出，再由求出的值，代回中，即可求出． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解： ； ，；，且，． 8．（24-25七年级上·河北邢台·期中）【知识回顾】在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，其中，则． 【方法应用】（1）当___，____时，关于x的多项式不含项和项． （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】（3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1），1；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值：（1）根据多项式不含项和项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可；（3）观察图形，求出和的面积，进而求出，进行即可得到答案． 解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． 【详解】（1）∵关于x的多项式不含项和项， ∴，，∴， （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关，∴，∴； （3）解：设，依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变，∴．即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式及其加减 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 代数式的概念及意义 题型二 单项式及相关概念 题型三 多项式及相关概念 题型四 同类型与合并同类项 题型五 去括号与添括号 题型六 整式的加减运算与化简求值 题型七 整式的加减中无关型问题 题型八 整式的加减的应用 题型九 探究与表达规律 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 代数式的概念及意义 ⭐技巧积累与运用 代数式：用运算符号把字母和数字连接而成的式子就叫代数式。 代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，就可以得到代数式的值。 代数式的书写要求： ①字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“”，或略去不写。 ②字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数。 ③系数是1时，一般省略不写。 多项式后面带单位，多项式须用括号括起来。 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和；乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）下列代数式符合通常书写规范的是（   ） A． B． C． D． 3.（2024·安徽·七年级校考期中）若，那么的值是 ． 单项式及相关概念 ⭐技巧积累与运用 单项式：数与字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。 单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。 1．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是0，次数也是0 B．单项式的系数是，次数是3 C．单项式的系数是，次数是7 D．单项式的系数是，次数是5 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）请写出一个系数为且只含有字母、的三次单项式 ． 多项式及相关概念 ⭐技巧积累与运用 多项式：几个单项式的和。 项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）。 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）。 1．（23-24·福建·七年级校考期中）关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．按y降幂排列为 D．四次项的系数是3 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式；小红：这个代数式的最高次项系数为；小华：这个代数式的常数项是5．如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若多项式是关于a的二次二项式，则的值是 ． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）有下列一组式子：，，，m，，，，，；将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中．      同类型与合并同类项 ⭐技巧积累与运用 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。 例:5abc2：与3abc2；3abc与3abc。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各组中的两个单项式，是同类项的是（　　） A．a与b B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）若与是同类项，则 ． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·天津河北·统考二模）计算的结果等于__________． 去括号与添括号 ⭐技巧积累与运用 去（添）括号法则 1. 括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变 1. 括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。 1. 括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 1．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 整式的加减运算与化简求值 ⭐技巧积累与运用 整式的加减 整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为： ①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。 解题技巧：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。（2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 1．（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）化简：(1)；(2) 2．（24-25七年级上·广东佛山·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25七年级上·山西·期中）（1）化简：； （2）下面是嘉淇同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简： ． 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务一：①第一步运算的依据是 ；②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出正确的化简结果，并求出当，时该整式的值． 整式的加减中无关型问题 ⭐技巧积累与运用 加减无关型题目指的是在整式中，某些项的系数加减变化，但不会影响整式的值。这类题目主要考察学生对整式运算和系数变化的敏感度。 解题技巧与方法：对于加减无关型的题目，我们可以通过观察各项系数的加减变化，找出不变的项，进而求解。同时，要熟练掌握整式的加减运算定律，将复杂题目简化。 1．（24-25七年级上·山东德州·期中）若关于、的多项式不含项，则的值是 ． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）已知多项式，； (1)若，求代数式的值；(2)若代数式的值与无关，求的值． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于x的多项式A，B，其中，（m，n为有理数）．(1)当，时，化简；(2)若的结果不含x项和项，求的值． 整式的加减的应用 ⭐技巧积累与运用 整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题。 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）为使学生熟练掌握项体育运动技能，学校决定添置一批篮球和足球，建立足球和篮球俱乐部．甲、乙两家商场同种品牌的篮球和足球标价分别相同，为支持教育业，给出如下优惠活动方案： 优惠方式商场 类别 篮球 足球 标价（单位：元） 200 150 甲商场 每件商品优惠方式 篮球按标价的9折出售 足球按标价的8折出售 例：买一只篮球，只需付款元 乙商场 若所购商品不超过50件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的9折出售；若所购商品超过50件（不同商品可累计），则所购商品均按标价的折出售． (1)学校购买篮球30只，足球20只，按照甲商场优惠方式购买付款金额为_______元； (2)学校计划购买篮球、足球共60只． ①若其中篮球购买了x只（x为正整数），则按甲商场优惠方式购买付款金额为_______元，按乙商场优惠方式购买付款金额为______元，（用含x的代数式表示）； ②若其中篮球购买了40只，且计划购买篮球和足球的总费用不超过9500元，则学校应选择在甲、乙哪个商场购买？请说明理由． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一扇窗户如图1，所有窗框为铝合金材料，其下部由长为米，宽米的两个长方形组成，上部是半径为米半圆形状，窗户都安装透明玻璃，现在按照图2的方式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图2中窗帘下部分是直角边为米的两个等腰直角三角形组成，没有窗帘的部分阳光可以照射进来．（本题中取3）； (1)一扇这样窗户一共需要铝合金__________米（用含的代数式表示）；一扇这样窗户一共需要玻璃__________平方米（用含的代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计）；(2)当时，请求出图2中窗帘部分的面积．（铝合金窗框宽度忽略不计）；(3)在（2）的条件下，现某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 窗帘（元/平方米） 甲厂商 不超过平方米的部分，元平方米，超过平方米的部分打八折 乙厂商 元平方米，每购一平方米玻璃送米铝合金 若公司只能选择在其中一家厂商购买，问：该公司在哪家厂商购买窗户合算？请说明理由． 探究与表达规律 ⭐技巧积累与运用 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件。 1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。 5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，小华制定了一种密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文，例如：密文“567”翻译成明文是“体育”．根据这个密码规则将明文“数学”写成密文，下列选项不正确的是（　　） A．49  79 B．165  21 C．107  137 D．49  23 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定，…；，…；，…，那么按此规定，的值是 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设，图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块，……，按此照规律铺设下去． (1)每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加 块，三角形地砖会增加 块； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，则共用去了 块正方形地砖， 块三角形地砖的数量（分别用含n的代数式表示）；(3)当时，求正方形地砖和三角形地砖的总数量． 1．（24-25七年级上·山西阳泉·期中）随着国产游戏《黑神话：悟空》的爆火，山西隰县小西天旅游景区成为众多游客的打卡圣地国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的2倍少300人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天网络一共预约的人数 D．第二天网络预约的人数 2．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数为，次数为3次 B．是单项式 C．关于x的整式是三次二项式 D．0是单项式 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）若多项式是关于，的三次三项式，则有理数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 4．（22-23七年级上·辽宁锦州·期中）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有50个．则步道上总共使用白色等腰直角三角形地砖块数为（   ） A．84 B．86 C．102 D．104 6．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，由图（1）到图（2）是一个正方形衍生出两个小正方形，图（3）是图（2）中每个新生小正方形再衍生出两个正方形，…，按照这个的规律，图（7）中共有正方形的个数是 ． 7．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知的值为2，则的值为 ． 8．（24-25七年级上·广东湛江·期中）若一个单项式含有字母和，系数是2，次数是3，则这个单项式可以是 （写出一种情况即可）． 9．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）小东和小军两位同学在学习过程中遇到了下图中的一道试题，他们给出了不同的解法． (1)请你选择他们两人中的一种方法对图中的式子进行化简求值，并写出过程． (2)根据小军同学的方法，完成下列问题．已知，求的值． 10．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务：(1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 11．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知A，B是关于x的整式，其中． (1)①化简：；②若的值与无关，求的值． (2)当时，的值为，求式子的值． 12．（2024七年级上·山东·专题练习）某学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设横纵各一条道路（图①空白部分），且它们互相垂直．若横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是米．（提示：） (1)如图①，横向道路的宽是_____米，花园道路的面积为_____平方米；（用含的代数式表示） (2)若把纵向道路的宽改为原来的2倍，横向道路的宽改为原来的（如图②所示）．设图①与图②中花园的面积（阴影部分）分别为，，试比较与的大小． 1．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）对于一个多项式，任意选择其中两项的系数，变成其相反数后再交换它们的位置，称为“换系数操作”，例如，对进行“换系数操作”后，所有可能的结果为，，，则下列说法： ①存在多项式进行“换系数操作”后的结果与原多项式相同； ②对于，若且，则“换系数操作”后的不同多项式有3个； ③将展开得到多项式，对它进行“换系数操作”后的所有多项式的常数项和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）依次排列的两个整式，，将第1个整式乘2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式；…，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有（   ）个． ①第6个整式为；②第n个整式中a系数与b系数的和为1； ③若，则前n个整式之和为． ④第n次与第次操作后得到的两个整式中a与b所有系数的绝对值之和为； A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数．例如，表格中的；．若，，，…，都是系数为的关于，的单项式，则的次数为 ．若多项式★为，其中，，为个不同的正整数，且多项式的值为，则的最大值为 ． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）定义一种关于整数的“”运算：（1）当是奇数时，结果为，（2）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：时，第一次经“”运算的结果是3，第二次经“”运算的结果是14，第三次经“”运算的结果是7，第四次经“”运算的结果是26……．若，则第2024次经“”运算的结果是 ． 5．（24-25七年级上·山西朔州·期中）阅读与理解 下面是一篇关于进位制的阅读内容，请你认真阅读并完成相应的任务． 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢七进一就是七进制，逢二进一就是二进制．也就是“逢几进一”就是几进制． 在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制．用这10个数字记数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数是几就表示几个一；第二位是十位，十位上的数是几就表示几个十；依次是百位、千位……例如，十进制数3721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一，即（规定当时，）． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 任务一：（1）把十进制数1234表示成各数位上的数字与基数10的幂的乘积之和的形式是______； （2）把七进制数1234表示成各数位上的数字与基数7的幂的乘积之和的形式是______； 任务二：已知一个十进制的三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，把这个三位数中a与c的位置对调得到一个新的三位数． （3）用代数式表示：原三位数是______，新三位数是______； （4）试说明新三位数减去原三位数的差是99的倍数． 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）阅读材料： “整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到． 【例】合并同类项：，类似地，我们也可以把看成一个整体，则． 尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是______； （2）已知，求的值； 拓展探索：（3）已知，，，求的值． 7．（24-25七年级·江苏·期中）在数学中为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”（西格玛）． 如记；；；；(1)求的值；(2)求与的差；(3)若对于任意都存在，请分别求出的值． 8．（24-25七年级上·河北邢台·期中）【知识回顾】在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，其中，则． 【方法应用】（1）当___，____时，关于x的多项式不含项和项． （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值． 【拓展延伸】（3）淇淇用6张长为b，宽为a的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$