专题5.4 利用导数研究函数的极值、最值以及实际应用问题（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第二册

专题5.4 利用导数研究函数的极值、最值以及实际应用问题 教学目标 1.了解函数的极值及相关的概念。 2.体会导数在求极值中的应用 。 3.了解函数的最值及相关的概念。 教学重难点 1.重点 （1）能利用导数求某些函数的极值； （2）能利用导数研究与函数极值等相关的问题； （3）能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题 2.难点 （1）能利用导数求给定区间上的多项式函数的最值； （2）会用导数求在给定区间上的函数的最值。 知识点01 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【特别提醒】 1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数． 2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点． 【方法与技巧】 求可导函数f(x)极值的步骤 (1)定义域：求函数的定义域． (2)求导：求函数的导数f′(x)． (3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0全部的根x0，即导函数f′(x)的零点． (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内． (5)结论：若导数f′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f(x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f(x)在x＝x0处取得极小值． 【即学即练】 1．已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 知识点02 函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 【即学即练】 1．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 知识点03 利用导数解决实际生活中的应用 1．解决最优问题应从以下两个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域． (2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 2．利用导数解决生活中优化问题的四个步骤 第一步：设出恰当的未知量，并确定未知量的取值集合(即函数的定义域)． 第二步：依题意将所求最值的量表示为未知量的函数． 第三步：求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点． 第四步：通过单调性确定出函数的极值点及最值． 【即学即练】 3．把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 题型01 根据图象判断函数极值，最值 【典例1】 已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的最小值点 C．函数在区间上单调递增 D．曲线在处切线的斜率小于零 【变式1-3】已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 题型02 求已知函数（不含参）极值（点）最值 【典例2】 已知函数，则在上的极值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数的图象在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 【变式2-2】已知函数． (1)当时，求函数在上的最值； (2)若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 【变式2-3】已知函数， (1)求的单调区间和极值； (2)当x∈时，求的最值． 题型03 根据函数的极值（点）求参数 【典例3】 已知函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．或 B． C．1 D． 【变式3-1】已知函数在处有极小值，则c的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【变式3-2】若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-3】已知函数在处取得极值． (1) 求的值； 题型04 求已知函数（含参）极值（点）、最值 【典例4】 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若有2个极值点，求m的取值范围； 【变式4-2】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【变式4-3】设函数，且存在极值点. (1) 求的取值范围； 题型05 根据函数的最值求参数 【典例5】 已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【变式5-1】已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【变式5-2】已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【变式5-3】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 题型06 实际应用问题 【典例6】 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l．    (1)证明：平面ABC； (2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 【变式6-1】在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【变式6-2】如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 一、单选题 1．已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（  ） A．2 B．8 C．10 D．14 2．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数的极大值点为（   ） A．0 B． C． D． 4．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 5．若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D． 7．已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 9．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 10．若函数，且恒成立，则实数 . 11．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 12．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，其容积为，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料1kg，圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料 kg.（取）    三、解答题 13．已知函数 (1)当时，求函数的最值; (2)讨论函数的单调性． 14．已知函数． (1)若，求单调区间与最值； 15．已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 16．已知，两地的距离是．假设汽油的价格是7.5元/升，以（其中）的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．设这次行车的总费用为元． (1)求出关于的函数关系式； (2)求此次行车最经济的车速． 17．已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 18． 已知函数，求的最值. 19．已知函数，且满足. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 20．已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 利用导数研究函数的极值、最值以及实际应用问题 教学目标 1.了解函数的极值及相关的概念。 2.体会导数在求极值中的应用 。 3.了解函数的最值及相关的概念。 教学重难点 1.重点 （1）能利用导数求某些函数的极值； （2）能利用导数研究与函数极值等相关的问题； （3）能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题 2.难点 （1）能利用导数求给定区间上的多项式函数的最值； （2）会用导数求在给定区间上的函数的最值。 知识点01 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【特别提醒】 1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数． 2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点． 【方法与技巧】 求可导函数f(x)极值的步骤 (1)定义域：求函数的定义域． (2)求导：求函数的导数f′(x)． (3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0全部的根x0，即导函数f′(x)的零点． (4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内． (5)结论：若导数f′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f(x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函数f(x)在x＝x0处取得极小值． 【即学即练】 1．已知函数的定义域为R，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．2是的极值点 B．的单调递增区间是， C．的单调递减区间是 D．当时， 【答案】C 【分析】根据的图象，可得的正负情况，得的单调性，结合极值点的概念判断各个选项. 【详解】根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，的单调递减区间是，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 知识点02 函数的最值 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 函数的极值与最值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个． (3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 【即学即练】 1．已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：区分函数的极值和最值是解决本题的关键. 知识点03 利用导数解决实际生活中的应用 1．解决最优问题应从以下两个方面入手 (1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域． (2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点． 2．利用导数解决生活中优化问题的四个步骤 第一步：设出恰当的未知量，并确定未知量的取值集合(即函数的定义域)． 第二步：依题意将所求最值的量表示为未知量的函数． 第三步：求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点． 第四步：通过单调性确定出函数的极值点及最值． 【即学即练】 3．把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮风挡雨的作用，设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱锥性质以及侧棱长度得出三棱锥体积表达式，再构造函数并求导得出函数单调性，即可得出其高度. 【详解】设帐篷高度为， 则底面正三角形的外接圆半径， 易知底面边长， 底面面积为， 帐篷容积， 则， 令得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在时取得最大值. 故选：C. 题型01 根据图象判断函数极值，最值 【典例1】 已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 【答案】D 【分析】求导，，再根据导数的图象逐项判断. 【详解】，由图象可知，，且当时，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 对于A：如图是函数的大致图象，易得无最值，故A错： 对于B，当时，，由，得，故B错误； 对于C、D：有两个极值点1和2，且当时函数取得极小值，当时函数取得极大值，故C错误，D正确． 故选：D. 【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④. 【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有， 所以在上单调递减，故①错误； 由可知，的图像在处的切线斜率等于0，故②正确； 在区间上单调，没有极值点，故③错误； 由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故④正确． 故选：B 【变式1-2】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的极大值点 B．是函数的最小值点 C．函数在区间上单调递增 D．曲线在处切线的斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断； 【详解】解：由导函数的图象可知， 当时，当时，当时，当或时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点， 因为，所以曲线在处切线的斜率大于零， 综上可知ABD错误，C正确. 故选：C 【变式1-3】已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 【答案】C 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，当时，； 当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以C正确. 对于D中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于0，所以D不正确； 故选：C. 题型02 求已知函数（不含参）极值（点）最值 【典例2】 已知函数，则在上的极值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性进而求极值即可求解. 【详解】由题意得：， 令，得或， 因为，所以， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为， 在上无极大值. 故选：C. 【变式2-1】已知函数的图象在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值，无极大值. 【分析】（1）求导，根据切线与直线平行，得到，得到； （2）求导，得到函数单调性和极值情况. 【详解】（1）因为，定义域， 所以， 因为直线的斜率为， 函数在处的切线与直线平行， 所以， 设，， 则，所以函数在上单调递增， 又时，， 所以； （2）由（1）得：，，定义域， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 令，解得， 当变化时，的变化情况如下表所示： 0 单调递减 极小值 单调递增 因此，当时，有极小值，并且极小值，无极大值. 【变式2-2】已知函数． (1)当时，求函数在上的最值； (2)若有极值且极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为0. (2) 【分析】（1）求导，判断单调性，根据单调性求出最值； （2）求出导数，分和讨论，判断单调性求出极小值，可得，构造函数，，利用导数求出答案. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， ，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为0. （2），， 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，有极小值，极小值为， 由，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则. 综上，的取值范围为. 【变式2-3】已知函数， (1)求的单调区间和极值； (2)当x∈时，求的最值． 【答案】(1)答案见解析 (2)的最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. 综上，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 函数有极大值为，有极小值为. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 题型03 根据函数的极值（点）求参数 【典例3】 已知函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．或 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由求得或，再分别代入验证极值确定值. 【详解】由题意得，又函数在处取得极小值， 则，解得或． 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， 所以． 故选：B. 【变式3-1】已知函数在处有极小值，则c的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意，从而求得，再进行检验即可. 【详解】因为，所以， 因为在处有极小值，则， 故，解得或， 当时，，则， 令，得或；令，得； 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，，则， 令，得或；令，得； 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上：. 故选：A. 【变式3-2】若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求导，对分类讨论，即可根据极值点的定义求解. 【详解】， 若，，此时单调递增，故无极大值，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 故1为的极大值点，，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 则为的极大值点， 所以， 所以，所以，解得. 故选：A. 【变式3-3】已知函数在处取得极值． (1)求的值； 【答案】(1)， 【分析】（1）先求，再由可得结果； 【详解】（1）由题设可得，在处取得极值， 所以，即，解得，， 经检验知，，满足题设条件． 题型04 求已知函数（含参）极值（点）、最值 【典例4】 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，，分类讨论研究函数的单调性，进而利用极值点的定义求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， ∴在处的切线方程为，即． （2）由题意，函数的定义域为． ， ①当时，由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值． ②当时，， ∴在上单调递增，无极值． ③当时，由，得或， 由，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． ④当时，由，得或， 由，得， ∴在单调递增，在单调递减， ∴在处取得极大值，在处取得极小值． 综上，当时，的极值点个数为0； 当时，有1个极值点； 当且时，有2个极值点． 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若有2个极值点，求m的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线的斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2） 函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点，从而将问题转化为与的图象有2个交点，结合导数求出的单调区间和最值即可求解； 【详解】（1）当时，，，， 所以.     所以的图象在处的切线方程为，即. （2）因为函数有2个极值点，所以函数有2个变号零点， 而，令，所以，     设，只需与的图象有2个交点. 因，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，又， 且当时，且，当时，且. 作出函数的图象如下： 由图知，当时，函数有2个极值点. 【变式4-2】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是和，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求出导数，分别求出和的解，即可得到单调区间； （2）分类讨论的范围，从而得到的单调性即可求解. 【详解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，且，． 不妨设，当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知当时，是的极大值点，不符合题意． 综上，若没有极值点，则a的取值范围是． 【变式4-3】设函数，且存在极值点. (1)求的取值范围； 【答案】(1) 【分析】（1）求定义域，求导，分，，结合根的判别式进行分类讨论，得到各种情况下的极值情况，得到答案； 【详解】（1）函数的定义域为，， 若，则，函数无极值点； 当时，方程的判别式， 设的两根分别为， 若，则，且二次项系数，故恒成立， 即，函数无极值点. 当时，，且，故方程有一正一负两根. 由于定义域为，仅有一个正根，不妨设正根为. 当时，；当时，. 此时有1个极值点，为极大值点. 当时，，且两根之和，两根之积， 方程有两个不相等的正实根，，不妨设， 当时，，当时，， 此时为极大值点，为极小值点，有2个极值点. 综上所述，当时，极值点个数为0；当时，极值点个数为1； 当时，极值点个数为2. 故的取值范围为； 题型05 根据函数的最值求参数 【典例5】 已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1)有极小值，无极大值； (2)答案见详解； (3) 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 【变式5-1】已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若函数的最小值为0，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增． (2) 【分析】（1）考点为“导数法判断函数单调性”，核心思路是对函数求导后，分析导函数在定义域内的符号变化，从而确定函数的单调区间． （2）考点为“导数法求函数的最值（含参数讨论）”，核心思路是先根据参数a的范围讨论函数的单调性，确定最小值点，再结合“最小值为0”的条件，建立方程求解a的值． 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得： ， 当时，；当时，， ∴在上单调递减；在上单调递增． （2）的定义域为，求导得： ， 若恒成立，单调递增，无最小值，不符合； 若，令得： 当时，单调递减； 当时，单调递增． ∴的最小值为，由，解得． 【变式5-2】已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题转化为在上恒成立，进而可得； （2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在 上单调递增；当时，在单调递减，进而根据最小值为可得. 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得与矛盾，故舍去； 综上所述，. 【变式5-3】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求导后分，，，四种情况讨论可得； （2）利用（1）的单调性分和两种情况求出最大值后讨论可得. 【详解】（1）函数的定义域为， 当，即时，在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增， ，，所以函数在区间上单调递减. 综上， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）由（1）可知，当时，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为，解得，不合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为， 整理得，即，所以，符合题意， 综上可知，函数在区间上的最大值为2时，实数的值为. 题型06 实际应用问题 【典例6】 如图，在直三棱柱中，，点P在线段上运动（包含端点），点Q为AC的中点，设平面PBQ与平面的交线为l．    (1)证明：平面ABC； (2)若直线PQ与平面ABC所成角的余弦值为，求； (3)求平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)12 【分析】（1）首先根据面面平行的性质可证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）首先根据垂直关系建立空间直角坐标系，再代入线面角的向量公式，即可求解； （3）首先确定截面的形状，再利用向量公式求点到直线的距离，再代入面积公式，利用导数确定函数的单调性，再求最值. 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，平面，平面，所以平面； （2）， 如图，以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，，，， 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 解得：， 所以；    （3）直线与交于点，连接， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面为梯形， ，根据（2）可知，，， 则点到的距离， 由，且，所以， 所以是等边三角形，则， 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面的面积，， 恒成立， 所以函数在区间上单调递减，所以的最大值为. 所以平面PBQ截直三棱柱所得的截面面积的最大值为12.    【变式6-1】在南水北调工程中，需要建造大量的引水渠（如图1所示），按工程设计要求，引水渠过水横断面需要设计为圆弧形，当过水面积为定值时，其湿周（浸没水中的圆弧长，即图2中圆弧的长）越小，则用料越省. (1)设扇形的圆心角为（如图2所示），试将湿周表示为的函数； (2)当为何值时，用料最省？ 【答案】(1) (2)时，用料最省. 【分析】（1）设扇形半径为，根据扇形的面积公式可得，即可得结果； （2）根据（1）可得，构造，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）设扇形半径为，则， 可得，即， 所以. （2）由（1）得：，即， 构造，， 则， 因为，则， 构造，，则， 可知在内单调递减，则， 即，可得， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知当，即时，取得最小值，即取得最小值， 所以当时，用料最省. 【变式6-2】如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设包装盒的底面边长为，高为，将、用表示，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值； （2）求得关于的函数表达式，利用导数法可求得的最大值及其对应的值，进而代入计算得出高及底面边长的比值. 【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则由题意可得，，，其中， 所以， 因此，当时，取得最大值； （2）根据题意，由（1）有， 所以， 由得，（舍）或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，函数取得极大值，也是最大值； 此时包装盒的高与底面边长的比值. 一、单选题 1．已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（  ） A．2 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【分析】由题意可得且，利用在区间上存在极大值，可得，进而求解即可. 【详解】因为在处取到最小值，所以， 所以，所以， 又，所以. 当，所以， 又因为在区间上存在极大值，所以, 所以，所以，即，解得， 所以且， 当时，，所以的最小整数解是8. 故选：B. 2．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个极值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 3．函数的极大值点为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数 求导，通过导数判定的单调性，进而可求出极值. 【详解】由题意得， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极大值点为0． 故选：A. 4．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（   ） A．的极大值点为1，无极小值点 B．的极小值点为1，无极大值点 C．的极大值点为0，极小值点为1 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象得到的正负，进而求出的正负，得到极值点情况. 【详解】由图象可得，当时，，故， 当时，，故， 当时，，故， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值点为1，极小值点为0 故选：D 5．若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得有2个正根，所以有2个正根，通过换元可得有两个正根，即有两个正根，令，求导可得的单调性，结合图象即可求得实数 的取值范围. 【详解】由题意得，因为存在极大值点，又存在极小值点， 所以有2个正根，即有2个正根. 当时，在上单调递增， 此时至多1个零点，不符合题意，故； 令，由，得，即， 即有两个正根， 令，则与有两个不同的交点， 求导得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 画出函数的图像如图所示： 由在上有两个正根，则， 所以，所以实数 的取值范围是. 故选：A 6．已知函数的最小值为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，令，求得，得到的单调性，得到函数的最小值，得出，令，求得，得出的单调性，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 要使得函数在上的最小值为，则必不是单调函数， 所以在定义域上为先减后增， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，且， 令，可得， 构造函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 7．已知奇函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式利用函数奇偶性可求得，再由导函数求出其单调性可得最小值为. 【详解】由可知，所以， 又因为是奇函数，所以， 即可得时，，即； 则，令可得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值为. 故选：C. 二、填空题 8．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 9．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： 10．若函数，且恒成立，则实数 . 【答案】 【分析】求出代入，分与分别求出参数的取值范围，则可写出答案. 【详解】因为， 所以， 所以恒成立等价于恒成立， 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 当时，恒成立，等价于恒成立， 又函数在上单调递减，当时，， 所以； 综上所述：. 故答案为：. 11．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导可得的单调性，由题意得，求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 又时，，又时，， 要使函数有3个零点，则，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 12．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，其容积为，且圆柱的高是圆锥高的2倍.若在粮仓的圆锥表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料1kg，圆柱表面不需要涂防水漆，则给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料 kg.（取）    【答案】 【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式以及表面积公式可得圆锥的侧面积表达式为，求导，即可根据函数的单调性求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为. 由题意知该粮仓的容积，则， 则该粮仓的圆锥侧面积为， 设，则. 令，得，易得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以给这个粮仓涂防水漆至少需要涂料. 故答案为： 三、解答题 13．已知函数 (1)当时，求函数的最值; (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)最小值为，无最大值 (2)答案见解析 【分析】（1）代入，求导分析单调性后求出最值. （2）求导后对进行分类讨论，进而求出函数f（x）的单调性. 【详解】（1）由题可知，函数定义域为， 当时，， ，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，无最大值． （2）． 当时，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上恒成立，函数在上单调递减； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，， 令，得或，令，得， 函数在和上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 14．已知函数． (1)若，求单调区间与最值； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值； 【分析】（1）通过求导确定导数的符号变化，进而得到单调区间与最值； 【详解】（1）当时，，求导得. 令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 的最小值为，无最大值. 15．已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，令得，结合极小值的定义即可求出函数的极小值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，得到函数单调性. 【详解】（1）的定义域为，， 令得， 令得，令得， 故的极小值为. （2），定义域为， ， 若，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. 16．已知，两地的距离是．假设汽油的价格是7.5元/升，以（其中）的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．设这次行车的总费用为元． (1)求出关于的函数关系式； (2)求此次行车最经济的车速． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）根据题目条件，计算出使用的油量和行车时间，计算出总费用. （2）根据函数导数，求出函数单调性，求出函数最小值. 【详解】（1）由题意知，当速度为时，用时， 使用油量， 总费用； （2）已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，所以最经济的车速为40. 17．已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合切线的点与斜率，联立函数值与导数值的方程求解； （2）求导分析函数单调性，计算区间内关键点的函数值，确定值域. 【详解】（1）由切线方程，得. ，故. 求导得，切线斜率为3，故. 联立，解得，. （2）由（1）得，求导得. 在上，，， 故：时，，单调递减；时，，单调递增. ，，. 故在上的值域为. 18．已知函数，求的最值. 【答案】最小值为2，无最大值； 【分析】求导，利用导数判断的单调性，进而可得最值. 【详解】因为，则， 设，则， 因为，则， 可知在上单调递增，且， 当时，，即；当时，，即； 可知在上单调递减，在上为单调递增， 所以的最小值为，无最大值. 19．已知函数，且满足. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)函数在区间上的最大值为，最小值为 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 由，则，解得； （2）由（1）知，，所以， 令，即，解得， 列表如下： -2 2 3 0 0 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以有极大值有极小值， 又， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 20．已知，． (1)当时，求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值为1，无极大值 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值与导数的关系，即可求得答案； （2）先判断出，即可将方程有两个不等实根，转化为与有2个交点的问题，结合函数的导数判断函数单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为R，， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为，无极大值． （2）方程，当时，显然方程不成立， 所以，则，方程有两个不等实根， 即与的图象有2个交点， ，当或时，， 在区间和上单调递减，且时，， 当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得极小值也即最小值，， 所以与有2个交点时，， 故a的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $