精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二上学期第七次定时训练（1月月考）数学试题

2024级高二第七次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解的值. 【详解】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 2. 等差数列中，已知公差，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等差数列的性质及求和，利用与的关系即可求解. 【详解】解：由题意， 在等差数列中， ， ， . 故选：A. 3. 已知直线过点，且与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入直线求出，再由两条直线平行列方程求，从而可求值. 【详解】因为直线过点， 所以，解得. 因为直线与直线平行， 所以，即，解得， 所以. 故选：B. 4. ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 5. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 6. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 1013 C. 2023 D. 1022 【答案】B 【解析】 【分析】先根据韦达定理得到，再利用等比数列的性质得到，最后利用倒序相加法求和. 【详解】由韦达定理，可得， 由等比数列性质可得． 设， 所以 则， 得， 所以. 故选：B 7. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 若，则n的最大值为4047 【答案】D 【解析】 【分析】首先分析，再由得到，，即，然后逐项判断. 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确， 对于D：由， 可知，故D错误； 故选：D. 8. 设，分别是椭圆E的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由求出，由求出， 由求出，由得到，在中，由勾股定理得，代入数值计算得到，在中，由勾股定理得，代入数值计算得到，利用公式求出离心率. 【详解】设，，，， ，，， ，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则 D. 数列是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】设出公比后，结合等比数列通项公式与定义计算可得A；分、，结合数列单调性讨论即可得B；由等比数列性质计算即可得C；举出反例可得D. 【详解】设数列公比为，则， 对A：，故数列是以为首项， 为公比的等比数列，故A正确； 对B：若，则， 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 若，则，解得， 则，此时数列是递减数列； 故数列是递减数列，故B正确； 对C：，则，故（负值舍去）， 故，故C错误； 对D：若，则， 此时数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：利用空间向量共面定理判断；对于C：举反例分析判断；对于D：根据空间向量共面的推论判断. 【详解】对于A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于B：由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C：例如满足，由，可知， 即共线同向，即与的夹角为，故C错误； 对于D：因，且， 根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解. 【详解】由圆，得圆心，圆半径， A选项：点C到直线l的距离为，又，即， 所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，， 所以，B选项错误； C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上， 设，则以为直径圆的圆心为， 半径， 圆的方程为， 即， 又A，B在圆C上，则， 得，则，解得， 所以AB恒过定点，C选项正确； D选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线PC方程为， 即，联立，解得，故，则， 所以，即，D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线方程为，将代入可得，从而求出双曲线方程. 【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 将代入得， 故所求双曲线方程为，即. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，，，则____. 【答案】9 【解析】 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 14. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，此时的使得最小，据此即可求解. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点， 任取(不含)，此时. 点D处建立如图所示空间直角坐标系，如图， 则， 因为E，F分别为的三等分点，所以， 又点F距平面的距离为1，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等差数列通项公式及等差数列前n项和公式的基本量计算即可. （2）运用分组求和及等差数列求和公式、等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 据题意得，解得（舍）或， 故. 所以. 【小问2详解】 由题意知，， 故. 16. 已知抛物线的焦点到直线的距离为. （1）求的准线方程； （2）若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，然后利用点到直线的距离公式求出，即可得出准线方程； （2）设出直线方程和交点坐标，然后联立，韦达定理，算出，即可证明. 【小问1详解】 由题可知，则其到的距离为， 又，所以， 所以抛物线的准线方程为； 【小问2详解】 由（1）得抛物线的标准方程为 由题可知，直线斜率不为0，所以设直线, 设，联立得 ， 所以， ， 所以， 所以. 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）由构造法可得数列是等比数列，写出其通项公式后即可得解； （2）运用裂项相消法进行求和； （3）由题可得，求出其前项和后，根据数列单调性及特殊值法即可得解. 【小问1详解】 由，变形可得， 因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 故， 即. 【小问2详解】 因为，由（1）知，， 所以， 故 . 【小问3详解】 由（1）知， 则， 设 ， ， 数列单调递增. 令 当时，， 当时，， 所以，使得不等式成立的最小正整数的值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第七次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 等差数列中，已知公差，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线过点，且与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 5. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 1013 C. 2023 D. 1022 7. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 若，则n的最大值为4047 8. 设，分别是椭圆E的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 数列等比数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则 D. 数列等比数列 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 11. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ） A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B. 切线长的最小值为 C. 直线AB恒过定点 D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________． 13. 已知等差数列的前项和为，，，则____. 14. 如图，棱长为3正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 已知抛物线的焦点到直线的距离为. （1）求准线方程； （2）若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：. 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列前项和． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $