广东广州市第六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 广州六中2024级高二下期末数学试卷以真实情境与梯度设计为特色，涵盖函数、概率统计、立体几何等模块，通过文旅主题排列组合、数字通信概率、线性回归残差分析等题，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达现实世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数奇偶性、抛物线|文旅主题排列组合渗透文化传承| |多选题|3/18|等差数列、概率分布|结合放回与不放回抽样考查数据意识| |填空题|3/15|独立性检验、不等式|电离辐射实验分析强化应用意识| |解答题|5/77|函数极值、线性回归、椭圆综合|椭圆内心几何性质题考查逻辑推理与创新意识|

广州六中2024级高二下期末考试题（数学） 命题老师：刘旭升 莫秀玲 黄燕 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知正实数满足，则 A． B． C． D． 4．若为奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 5．暑假期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的安排方式共有种 A．72 B．36 C．18 D．12 6．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．则接收的信号为1的概率是 A．0.925 B．0.4625 C．0.48 D．0.525 7．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则 A．1 B． C．2 D．4 8．已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为 A． B． C．1 D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有 A．数列的通项公式为 B．数列是递增数列 C．数列的前项和 D．若，则数列一定是等比数列 10．已知一个盒中装有除颜色外完全相同的乒乓球4个，白色和黄色各2个．现随机抽取2个球，方式一是每次取一个，取完后放回再取下一个，记取到的白球个数为；方式二是每次取一个，取完后不放回，记取到的白球个数为，下列说法正确的是 A． B． C． D． 11．已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是 （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 三、填空题（每题5分，共15分；第13题第1空2分，第2空3分） 12．已知，则 ． 13．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如表所示，由表中数据算得： （精确到0.001），若基于的独立性检验，可以认为两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．则根据所给参考数据，的最小值为 ． 电离辐射剂量 存活情况 合计 死亡 存活 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50 公式： 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14．若不等式解集中有且仅有两个整数，则实数的取值范围是_____． 三、解答题（共5小题，77分） 15．（本小题13分）已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求的取值范围． 16．（本小题15分）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求的大小； （2）设为中点，连接，当面积取得最小值时，求线段的长度． 17．（本小题15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 18．（本小题17分）假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型． （1）求参数的最小二乘估计； （2）现随机抽取其中的6对观测数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0 1 1 3 3 4 5 ①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程； ②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点．若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合．以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值． 19．（本小题17分）已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在过且垂直于轴的直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $广州六中2024级高二下期末考参考答案（数学） 命题老师：刘旭升莫秀玲黄燕 一、单选题（每题5分，共40分） CAAA BDDC 二、多选题（每题6分，共18分） BD ACD AD 三、填空题（每题5分，共15分：第13题第1空2分，第2空3分） 12.63 13.5.333 0.05 14.（-∞，2-ln3] 三、解答题（共5小题，77分） 15.【详解】(1)函数(x)的定义域为R )-+6-1 .f'()=2-2x=x(x-2) 令f'()=0,解得x=0或x=2 当x<0时，x<0,-2<0,故f'()>0,f(x)单调递增 当0<x<2时，x>0,x-2<0,故∫'()<0，f()单调递减 当x>2时，x>0x-2>0,敢()>0，f()单调递增 x=0为()的极大值点，极大值为f(O)=b-1 x=2为()的极小值点，极小值为 (2)计算f()在区间[2,3]端点的函数值： f（-2)=3x(-8)-4+b-1=b-2 f)=3×27-9+b-1=b-1 :f)在【2,0上单调递增，在[0，]上单调递减，在[2,3上单调递增， f(0)=f(3)=b-1>0 0ab-30 要使()在[-2,3]上有3个不同的零点，需满足： /(-2)=b-2s0 3 7 解得 1<b3,即b的取值范围为3 16.【详解】(1)因为sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c, 因为∠BAC的角平分线交BC于点D,所以∠BAD=∠CAD=60°， 由SABC=SADB+ScDA,得2 csin∠BAC=c·ADsin∠BAD+b-ADsin∠CAD 2-bsin60+22-csim60= 1 1 则 ·b.csinl20° 即bc=2c+2b,所以c=3,b=6 a2=b2+c2-2 bccos120°=36+9-2×3×6× (1=63 在△ABC中，由余弦定理得 2 即a=63-37； (2)由SABc=SADB+S.cDA,得2 bcsimn∠BAC=ADsin∠BAD+,ADsin∠CAD 得2 2.bst62csin60-bcsin120 1,11 化简得bc=2c+2b,即bc2, 1,11 11 ≥2， ≥，L→bc216 所以bc2Vbc,即4Vbc 当且仅当b=C=4时等号成立，bc取得最小值，△ABC面积取得最小值， 此时△ABC为等腰三角形，M为BC中点，则AM既是中线也是角平分线 即D,M重合，故AM=AD=2 17.【详解】(I)证明：由AB⊥AD,PD⊥AB,ADOPD=D,AD、PDc平面 PAD 可得AB⊥平面PAD,又PAC平面PAD,故PA⊥AB, 由平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,且PAC平面PAB, 故PA⊥平面ABCD: (2)以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向， AP的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设PA=1,入>0， 则D(1,0,0),B(0,2,0),C1,2,0),P(0,0,2) PC=(1,2,-).BD=(1,-2,0).PD=(1,0,-) BD=0 [x-2y=0 D 记平面P8D的法向量为i=(y2),i:PD=0,即x-z=0, 令z=2,则x=21,y=元，即可取i=(21,,2) 设直线PC与平面PBD所成角为B, PC. 2元 sin= V6 则 PC×MV1+4+2×42+2+49 即542=(2+552+4,5-252+20=5(2-(22-4)=0. 解得元=1或元=2（负值舍去），故PA=1或2. 0-2-2-c-旷-2(62f-20-w+0g-r） 18.【详解】(1)令 =2-22x-0+-月 i-1 ZxC-0 6=日 6= 当且仅当 时残差平方和最小，故b的最小二乘估计 =0,万=2，∑5y=36,∑=24 (2)①由观测数据求得 1 立-)-立 36-03 242 故 3 V= x+1 故所求经验回归方程为 2 ②计算样本点(x片)的残差的绝对值e, 如下 序号 1 2 3 5 6 lel 0.5 1 2 0.5 1.5 0.5 21 故“大偏差”样本点共有2个，频率为63， D= 即单次抽到“大偏差”的概率 3 因此 P-图 P(X=k) -H8" 10-k+121 P(X=k-1) 2k 必 ，解得 3, c- 10-A P(X=k) 2(k+1) ≥1 P(X=k+1) k+1 0- +G 10-k 8 由 ，解得3 又因为k∈N,且k≤10，所以当P(X=)时，k=3」 e= V2 antl-an 19.【详解】(1)由 2 a1,解得01=2am, 因为C的一个焦点为2,0），所以4=4-4=24，-4，解得4=4， 所以0n=4×20-2=2 2+2 =1 (2)由(1)知 2+21即2+2y=2 因为△BAB,的内心在过B且垂直于x轴的直线上，所以k4+k品，=0， 设4，(，），B,(),AB的方程为y=+b, 将其代入C,整理得1+22)r+46+2B2-2”)=0 △=162b2-81+2k26-2”）>0,即(2k2+2-b2>0 +5=-46262-2） 由韦达定理可得 1+22,5= 1+2k2,() 积=6=F代入f42=2,可利=2由对餐，不动取25,2列 1-22-20 由4，+8，=0得-V22-V2” 整理得+6-2-2可)-+6-2-2可)-0 2+b-k2-2+3)+22-22=0 即 将(*)代入，整理得 （2k+b-V2(2k-=0 当V2”k+b-V2=0时，4B过点B,舍去， ks② 所以V2k-1=0,解得2 (3)由(2)知4，B的方程为 ,此时b2<21, x+3=-√2b,x2=b2-2” 4=1+G+}-46=622-28 O到线4么份适写-纠 因为0以么价利d号，m-F:29 2 ,解得b2=2”满足 △>0， 因为>0，所以b=-V2,,=V2m 11-11-1-2” 1 1 侧221222下0以不3D w分安号8 2,1≤1+11