精品解析：天津市和平区双菱中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

双菱中学2025-2026学年第一学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 值等于（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 一个矩形，它长边比短边长6cm，面积为，则这个矩形的周长为（ ） A. 18cm B. 24cm C. 28cm D. 32cm 9. 如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（ ） A. 120 B. 130 C. 156 D. 169 10. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点，，且点C，A，三点共线，连接，，，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为______． 14. 如图，，交于点E，，，，则______． 15. 计算的结果等于_______． 16. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m值______． 17. 如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为______． （Ⅱ）的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程： （1）； （2）已知关于的方程的根为、． （a）当时，求_____； （b）若方程的一个根，求____与另一个根______． 20. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）此二次函数的解析式是_____； （2）当时，的最大值是_____； （3）当时，的取值范围是______； （4）若直线与该二次函数的图象有公共点，则k的取值范围是_____． 21. 已知中，直径长为12，、分别切于点，，弦． （1）如图1，若，求的大小和弦的长； （2）如图2，过点的切线分别与、的延长线交于点，，且，求弦的长． 22. 如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为，测得某建筑物的顶端D的俯角为，操控者在点B处测得建筑物的顶端D的仰角为．已知点A，B，C，D，E在同一平面，无人机距地面的高度是32m． （1）求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数） （2）设建筑物的高为h． ①用含有h的式子表示； ②求建筑物的高度：（结果保留整数） 参考数据取1.6，取0.9． 23. 已知小华一家结束了假期家庭旅游，准备沿馆直的公路驾驶两辆私家车承载参与旅行的所有家庭成员由景区旅店返回家中，小华和小华的妈妈分别驾驶两车，同时出发、其中，小华驾车出发后，匀速行驶了一段时间，发现遗忘了某件物品在旅店中，随即调头匀速驶向旅店，途中在路旁的加油站加油，再匀速行驶，到达旅店，在工作人员的帮助下进行寻找，并找到了遗失的物品，之后驱车匀速回到家中．下面图中x表示时间，y表示小华所驾驶的私家车离家的距离．图象反映了这个过程中小华所驾驶的私家车离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 时间 1.2 1.6 2 2.6 距离 70 ②填空：小华加油用了______h； ③当时，请直接写出小华驾驶的私家车离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）小华的妈妈匀速驾驶另一辆私家车返回家中，比小华早到家1.2h，小华的妈妈驾车回家过程中，与调头驶往旅店的小华所驾驶的车辆相遇时，妈妈已经驾车行驶了多少小时（直接写出结果即可）？ 24. 在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，． （1）填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F． （1）若 ； ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标； （2）若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双菱中学2025-2026学年第一学期九年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ） A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可． 【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化； 在滚动过程俯视图会发生变化； 在滚动过程左视图不会发生变化； 故选：A． 【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选:C． 3. 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据800000用科学记数法表示应为． 故选：C． 4. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 5. 如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示点落在第③段， 故选；C． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，掌握分式加减的计算方法是解题的关键． 利用平方差公式，将原式通分并化简即可． 【详解】解： 故选：D． 7. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 8. 一个矩形，它的长边比短边长6cm，面积为，则这个矩形的周长为（ ） A. 18cm B. 24cm C. 28cm D. 32cm 【答案】B 【解析】 【分析】设这个矩形的宽为，则长为，根据这个矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设这个矩形的宽为，则长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 这个矩形的周长为． 故选：B． 9. 如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与的延长线，相交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G，连接并延长，与的延长线相交于点H．若，则的面积为（ ） A 120 B. 130 C. 156 D. 169 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由作图可得，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，由等角对等边得出，进而求出，过D作于M，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由作图知：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 过D作于M， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：A． 10. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点，，且点C，A，三点共线，连接，，，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，把握旋转的不变性是解题的关键．由旋转可得，，则等边对等角可得，设，那么，再代入即可求解判断A，至于B、C、D，不能证明． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， 设， ∴，， ∴， 故A正确，符合题意；对于B、C、D，现有条件均不足以证明，不符合题意， 故选：A． 11. 如图1所示矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 12. 有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质等知识，求出函数解析式是关键．求出函数解析式，延长交于点B，则轴于点E，作于点D，证明，则，得到，，求出，即可得到，即可判断①正确；由，，抛物线开口向下，即可判断②正确； 当时，，当时，，，即可判断③正确． 【详解】解：把代入得到， ， 解得，， ∴， 延长交于点B，则轴于点E，作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点和点的横坐标为， 当时，， ∴， ∴ 故①正确； ∵，，抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为， 即小球运动的最大高度为； 故②正确； 当时，， 当时，， ∵ ∴小球运动时的高度低于运动时的高度． 故③正确； 综上可知，正确结论为①②③， 故选：D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据红球数量除以总球数，即可得出红球的概率进行作答． 【详解】解：∵装有10个球，其中有5个红球 ∴红球的概率为 故答案为： 14. 如图，，交于点E，，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 由，证明，则，而，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴， 故答案为：5． 15. 计算的结果等于_______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 16. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：， 平移后经过， ∴， 解得：． 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，，连接对角线AC、BD，，，若为的中点，为的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为______． （Ⅱ）的长为______． 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定和三角形中位线的应用、勾股定理，根据，，由垂直平分线判定定理可得，由此根据四边形的面积为，在取的中点M，连接、，可得、是中位线，是直角三角形，由勾股定理即可求出． 【详解】解：（Ⅰ）∵，， ∴， ∴四边形的面积为 （Ⅱ）在取的中点M，连接、， ∵E为的中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴，∴， 故答案为：（Ⅰ）40，（Ⅱ）． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 【答案】 ①. ②. 取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形内心，正确理解题意，灵活运用知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先利用网格的特征结合圆周角定理找到圆心，再利用圆周角定理结合网格的特征找到的角平分线，两条角平分线的交点即为内心． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I，点I即为所求． 由作图得，即点为圆心，为直径， 由网格的特征得点为中点，即， ∴， ∴，即是的角平分线， ∵，即是的角平分线， ∴点I为的内心． 故答案为：取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程： （1）； （2）已知关于的方程的根为、． （a）当时，求_____； （b）若方程的一个根，求____与另一个根______． 【答案】（1） （2）（a）7（b） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）（a）把代入，得，故，然后代入进行计算，即可作答． （b）把代入，得，解得，故，则，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：（a）∵，且， ∴， ∵关于的方程的根为、． ∴， ∴， 故答案为：， （b）依题意，把代入， 得， 解得， 则， ∴关于的方程的根为、，且， ∴， 即 解得， 故答案为：． 20. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）此二次函数的解析式是_____； （2）当时，的最大值是_____； （3）当时，的取值范围是______； （4）若直线与该二次函数的图象有公共点，则k的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）3 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据增减性，进行求解即可； （3）根据增减性，进行求解即可； （4）求出顶点坐标，图象法进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为； 即图象经过，， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； 故答案为：3； 【小问3详解】 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为； ∵ ∴当时，函数有最小值为； ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：依题意，， ∴当时，有最大值为4， ∵直线与该二次函数的图象有公共点， ∴， 故答案为：． 21. 已知中，直径长为12，、分别切于点，，弦． （1）如图1，若，求的大小和弦的长； （2）如图2，过点的切线分别与、的延长线交于点，，且，求弦的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质和圆的切线的性质定理求得的度数，再利用三角函数即可得出结论； （2）连接、、，，利用切线的性质定理和全等三角形的判定与性质得到，，利用切线的性质定理和平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，则，；设设则，在中，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求得值，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【小问1详解】 解：、分别切于点，， ， 在四边形中， ， ，， ， 是的直径， ，即， ， ， 【小问2详解】 解：连接、、，如图，，为的切线， ， 在和中， ， 同理：， ，为的切线， ，， ， ， ∴四边形为平行四边形， ． ， 设则 ， ， 在中， ，即， ， 是的直径， 为斜边上的高， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 22. 如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为，测得某建筑物的顶端D的俯角为，操控者在点B处测得建筑物的顶端D的仰角为．已知点A，B，C，D，E在同一平面，无人机距地面的高度是32m． （1）求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数） （2）设建筑物的高为h． ①用含有h的式子表示； ②求建筑物的高度：（结果保留整数） 参考数据取1.6，取0.9． 【答案】（1）操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长约为20m （2）①；②建筑物的高度约为25m 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，对于（1），根据题意可知，，，再根据，可得，代入计算即可． 对于（2）①，根据题意得，，结合，可得答案；②作，先说明四边形DCEF是矩形，由，得，再根据等腰直角三角形的性质得，进而得出，然后由（1）结合，并根据（2），结合得出方程，求出答案即可． 【小问1详解】 根据题意，有，，． 在中，， （m）． 答：操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长约为20m； 【小问2详解】 ①根据题意，有，． 在中，， ②如图，过点D作，垂足为F，则． ． 四边形是矩形． ，． ． 根据题意，有， ． ． 由（1）知， ， 由（2）①知， ． ． 答：建筑物的高度约为25m． 23. 已知小华一家结束了假期家庭旅游，准备沿馆直的公路驾驶两辆私家车承载参与旅行的所有家庭成员由景区旅店返回家中，小华和小华的妈妈分别驾驶两车，同时出发、其中，小华驾车出发后，匀速行驶了一段时间，发现遗忘了某件物品在旅店中，随即调头匀速驶向旅店，途中在路旁的加油站加油，再匀速行驶，到达旅店，在工作人员的帮助下进行寻找，并找到了遗失的物品，之后驱车匀速回到家中．下面图中x表示时间，y表示小华所驾驶的私家车离家的距离．图象反映了这个过程中小华所驾驶的私家车离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 时间 1.2 1.6 2 2.6 距离 70 ②填空：小华加油用了______h； ③当时，请直接写出小华驾驶的私家车离家的距离y关于时间x的函数解析式； （2）小华的妈妈匀速驾驶另一辆私家车返回家中，比小华早到家1.2h，小华的妈妈驾车回家过程中，与调头驶往旅店的小华所驾驶的车辆相遇时，妈妈已经驾车行驶了多少小时（直接写出结果即可）？ 【答案】（1）①30，85，100；②0.2；③ （2）妈妈已经驾车行驶了1.4小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂图象是解题的关键． （1）①由函数图象填表即可；②根据时，离家距离不变，可求加油时间；③在当时是分段函数，当时，，当时，运用待定系数法求解； （2）先求出妈妈的速度为，设妈妈已经驾车行驶了小时，建立一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：①由图象可得，行驶，离家； 行驶离家：； 行驶，离家； 故答案为：30，85，100； ②由图象可得，时，离家距离不变，故加油时间为， 故答案为：0.2； ③当时，； 当时，设函数关系式为， 代入得： 解得：， ∴解析式为：， ∴ 【小问2详解】 解：设妈妈已经驾车行驶了小时， 由题意得，， 解得：， 答：妈妈已经驾车行驶了1.4小时． 24. 在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，． （1）填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； （2）若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理、特殊角的三角函数得到、，再根据旋转的性质结合题意可得，过作轴，过作轴，然后通过解直角三角形即可完成解答； （2）①由（1）可得，，点落在y轴的正半轴上时，，，再运用勾股定理即可求得，再根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和的定理可得，，最后根据三角形外角的性质即可求得的大小；②设旋转角为，即，确定点P在以为弦，以为圆周角的圆弧上运动，设圆心为Q，当点M，Q，P在同一直线上时，有最大值和最小值，然后解答即可． 【小问1详解】 解：∵点，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，，点A落在边上， ∴， ∴， 如图：过作轴，过作轴， ∴，即； ， 即． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①如图：由（1）可得，， 设交轴于点， ∵点落在y轴的正半轴上时， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，设与交点为C，旋转角为，即， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴点P在以为弦，以为圆周角的圆弧上运动，设圆心为Q， 连接，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴当点M，Q，P在同一直线上时，有最大值和最小值， 如图，当点P在位置时，有最大值，为， 当点P在位置时，有最小值，为． 综上所述，线段长的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、旋转的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，掌握运用辅助圆求线段的取值范围成为解题的关键． 25. 已知抛物线 与x轴相交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，过抛物线的顶点 D作 轴于点M，点 N在y轴正半轴上， ，点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，交x轴于点E，交直线MN于点 F． （1）若 ； ①求抛物线顶点D和点A的坐标； ②若点P在第一象限，过点P作垂直直线于点H， ，求点E的坐标； （2）若，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，射线交直线于点 G， 当时，求顶点D的坐标． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合问题，主要考查了解直角三角形、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，灵活运用解直角三角形成为解题的关键． （1）①直接运用待定系数法求解即可；②设，其中，由轴于点M，在中，得出，求得直线 的解析式为，由于点H，轴于点E，交于点F，则，在中，，根据列方程求解即可； （2）根据解析式得出顶点坐标，同（）可得，在中，，根据列出方程可得得，根据由，点F在直线：上，得出，进而可得即可． 【小问1详解】 解：①将，代入可得，即，其顶点D为， 令，得，即， 令，得，解得，即，． ②点P在第一象限，设，其中，由轴于点M，     由①顶点，，，, 有，即 ∵点N在y轴正半轴，， 故在中，，即， 设直线  的解析式为：，代入， 可得：，解得：， 即直线 的解析式为， 由于点H，轴于点E，交于点F， ∴，, 在中，, ∵点P在第一象限， ∴，即，解得 （舍去），即． 【小问2详解】 解：由，点P与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴，对称轴直线，， ∴顶点坐标为即， 同（1）可得，在中，， ∴， ∵， ∴，解得：; 在中，， 在中，， 由，点F在直线：上， 则，，解得：， ∵， ∴顶点D的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $