云南省文山州马关县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

云南省马关县第一中学2025-2026学年高二年级上学期期中考试 高二数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（ ） A.       B.       C.       D. 4.在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP=（ ） A.       B.       C. 2    D. 5.已知两个向量，且，则（ ） A.       B. C.       D. 6.若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A.       B.       C.       D. 7.直线的倾斜角为（ ） A.       B.       C.       D. 8.某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（ ） A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的有（） A. 两平行线间的距离为2 B. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C. 直线的方向向量可以是 D. 直线与直线平行，则或2 10.若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 11.已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________． 13.计算____________. 14.在中，若，，，则的面积是________． 四、解答题 15.已知直线过点，直线：. （1）若，求直线的方程； （2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程. 16.已知甲组数据，，…，的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分（仅一位小数）为叶，例如第一数据为5.3. （1）为甲组数据的平均值、方差、中位数M； （2）乙组数据为，，…，，且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值，方差，求乙组数据的平均值和方差，写出必要的计算过程和步骤. 17.已知圆C的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为. （1）求该圆的方程； （2）求过点A的该圆的切线方程. 18.如图，正四棱柱中，，点E在上且. （1）证明：； （2）求点B到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19.已知. （1）若函数，求函数在上的最值； （2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围； （3），不等式成立，求实数的最小值. 一、单选题 1. A【解析】已知，，则. 又全集，所以. 故选：A. 2. D【解析】函数，由，解得，定义域为. 令，其对称轴为，在单调递增， 在单调递减. 在单调递增，单调递增区间是. 因为在上单调递增， 所以， 则，解得. 所以的取值范围是. 故选：D. 3. D【解析】已知直线的方向向量为，则直线的斜率. 直线过点、，则. 即，解得，答案选D. 4. D【解析】以正方体共顶点的三个面为坐标平面，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则正方体中心坐标为. 点到共顶点三个面距离分别为，，， 根据对称性可得坐标为. 则. 故选：D. 5. C【解析】因为，所以. 即. 则，解得. 故选：C. 6. B【解析】将方程配方得， 因为圆的标准方程中半径的平方大于， 所以 . 7. A【解析】将直线方程变形为斜截式， 即， 则直线斜率. 设倾斜角为，， 由，可得. 所以. 故选：A. 8. C【解析】抽取的100件产品中，合格产品数为件，合格率. 那么20万件产品中合格产品约为（万件）. 故选：C． 二、多选题 9. AB【解析】选项A：直线与， 则，A正确， 选项B：过点，当直线在两坐标轴上截距为时，直线方程为； 当截距不为时，设直线方程为， 把代入得， 直线方程为， 所以满足条件得直线共两条，B正确， 选项C：直线，其斜率， 方向向量满足， 一个方向向量为，不是，C错误， 选项D：直线与平行， 则， 解得或， 当时，两直线方程分别为与， 两直线重合， 所以，D错误， 综上，答案选AB. 10. AD【解析】圆的一般方程可化为标准方程 . 方程表示圆的条件是， 即，解得或 ， 选项中和满足条件. 故选：AD. 11. AC【解析】对于选项：因为，则，所以选项正确； 对于选项：因为， 所以，所以不垂直， 所以选项不正确； 对于选项：因为，所以， 所以选项正确； 对于选项：，，因为， 所以不平行于；所以选项不正确. 故选：. 三、填空题 12. 【解析】设圆锥的高为，母线长为，底面半径为. 已知圆锥母线与底面所成角为，. 在由圆锥底面半径、高、母线构成的直角三角形中， 因为母线与底面所成角为， 所以. 根据勾股定理 . 13. 【解析】 . 14. 【解析】在中，根据余弦定理=， 即，整理得. 解得或，边长不能为负，舍去. 根据三角形面积公式. 四、解答题 15. 解：（1）直线，斜率为. 两直线垂直，斜率之积为，所以斜率为. 过点，根据点斜式 . 可得，整理得. （2）当斜率不存在时，. 此时与轴和围成三角形，面积为，符合题意. 当斜率存在时，设斜率为，. 令，得，则与轴交点. 与交点为. 已知，则. 即，解得. 此时方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16. 解：（1）甲组数据为. 中位数：数据个数为奇数，按顺序排列后第个数是，即. 平均值. 方差 . （2）由，解得. 已知，可得； 由，可得. 则. 17. 解：（1）圆圆心到直线的距离. 设圆半径为，已知弦长为， 由垂径定理，得，即. 所以圆的方程为. （2）情况一：切线斜率不存在 此时切线方程为， 圆心到直线的距离，等于圆半径，满足相切条件. 情况二：切线斜率存在 设切线方程为，即. 即. 即， 展开，解得. 则切线方程为， 即. 综上，切线方程为或. 18. （1）证明：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 可得，，，. 则，. 则. 故，即. （2）解：由且，得. ，. 设平面的法向量为. 由，令. 解得，，所以. 又， 点到平面的距离. （3）解：平面的法向量，. 设直线与平面所成角为. 则. 19. 解：（1）因为， 所以. 当时，. 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. （2），作出大致图象. 因为有三个零点，所以， 即取值范围是. （3）是奇函数且在上递增. 由，， 得. 则恒成立. 令， 又因为， 所以时，取最小值. 所以，成立， 即，. 令，在单调递增， 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $